2010年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试卷

2010年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
一、选择题
1．已知
O
为
?ABC
内一点，若对任意
k?R
，有
|OA?OB?kBC|?|
（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
2．已知
f(1,1)?1,f(m,n)?N*(m, n?N*)
，且对任意
m,n?N*
都有
①
f(m,n?1)?f (m,n)?2
；②
f(m?1,1)?2f(m,1)

则
f(2010,2008)
的值为（ ）
A．
2
2009
AC|,
则
?ABC
一定是
?2007
B．
2
2009
?4014
C．
2
2010
?2007
D．
2
2010
?4014

f(x)?x
2
?4 x?3
,集合
M?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}
,集合 3．已知函数< br>N?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}
,则在平面直角坐标系内集合
M?N所表示的区域的面积是
（ ）
A.
??
B. C.
?
D.
2
?

42
4. 一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为
a
的正三角形，这样的两个
m
多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积
m?n
等于（ ）
n
A．3 B．4 C．6 D．12
5．设函数
①
f(x)
满足下列条件：
f(x)
是定义在R上的奇函数；
②对任意的
x
1
,x< br>2
?[1,a]
（其中常数
a?1
），当
x
2
?x
1
时，有
f(x
2
)?f(x
1
)?0.< br>
1?a
f()?f(a)

2
1?3a
)?f(?a)
D．
f(
1?a
B．
则下列不等式不一定成立的是 （ ）
A．
C．
f(a)?f(0)

1?3a
f()?f(?3)

1?a
6.圆周上有10个等分点， 则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为
（ ）
A．

8
B．
4
C．
1
D．
2

1267
2121

二、填空题
?
3
x
,x?2
1 ．已知函数
f(x)?
?
，则
f(2?log
3
2)?_________．
?
f(x?1),x?2
2．不等式
x?
1
?a?2?1
对一切非零实数
x
均成立,则实数
a
的最 大值是_________．
x
n
3．已知
(ax?1)
点列A
i
(i,a
i
)






?a
n
x
n
?a
n?1
x
n? 1
?
?
?a
1
x?a
0
(n?N*),

(i?0,1,2,?,n)
部分图象如图所示，则实数
a

的值为________．
4．若
Bx?sinx?
对
0?x?< br>Ax
(A,B为常数）
?
2
恒成立，则常数
B?A
的 最小值为
_________
；
对任意锐角
?ABC
，均有
sinA?sinB?sinC?M
成立，则
M
的最大值为
________ _
．
5．已知圆
O
的半径为1，半径
OA
、
OB
夹角为
?
?
0?
?
?
?
?
，?
为常数，点
C
为圆上动点，若
????????????
OC ?xOA?yOB
(
x,y?R
)，则
x?y
的最大值为
_________
．
6.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭 区间
[0,4]
对应的线段，对
折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4 个单位长度的线段，这一过程称为一次操
作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来 的坐标2变成4，等等）.那么原闭
区间
[0,
，恰好被拉到与4重合的点
4 ]
上（除两个端点外）的点，在第
n
次操作完成后（
n?1
）
所对应的坐标为___________________________．


?
0
三、解答题

?
2
?
4
x
2
3x?y
?;
1．（1）设
x?0,y?0,
求证：
x?y4
x
3
y
3
z
3
xy?y z?zx
???.
（2）设
x?0,y?0,z?0,
求证：
x? yy?zz?x2

2．已知数列
{a
n
}满足a< br>1
记
b
n
?a(a?0,且a?1),前n项和为S
n
,且S
n
?
a
(1?a
n
).

1?a
?a
n
lg|a
n
|(n?N
*
),当a??7
时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有
3
b
n
?b
m
？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
3．如图，四边形ABCD
的两条对角线相交于点
O
，
?DCO
的平分线
CQ
交线段
OD
于
Q
，连
OB?OD
?BC于M， ON?AQ于N.
且
P
为
AB
边的中点，
OA?

OC?CD
D

求证：
PM?PN.

接
AQ
，作
OM

Q

C



N

O



M

A





P




B




4． 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算 一次）恰好为100个整点（横纵坐标均为整数的点称为
整点）
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．

参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
提示： 由已知可得
M
={（
x
,
y
)|
f
(x
)+
f
(
y
)≤0}=
22
{(
x
,
y
)|(
x
-2)+(
y
-2)≤2},N
={(
x
,
y
)|
f
(
x
)-
f
(
y
)≥0}
={(
x
,
y)|(
x
-
y
)(
x
+
y
-4)≥0 }.
?
?
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2则
M
∩
N
=
?

?
(x?y)(x ?y?4)?0
?
作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，
1
2
π·（
2
）=π，故应选C.
2
4．C
即为
提示：利用等体积法，可以求出
5．C
6．D
任选4点， 共有
C
10
4
m2
?
，所以
m
·
n
等于6
n3
?210
个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行 于直径的5条平
行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60 个，所以，
梯形所占的比为
二、填空题
1．6 2．
3
。 3．
2
．
7
12
1
4．
1?
； 2 5．．
?
3
?
cos
2
6.
j
2
n?2
,这里j为[1,2
n
]中的所有奇数


三、解答题
x
2
3x?y
?;
1．（1）设
x?0,y?0,
求证：
x?y4
x
3
y
3
z
3
xy?y z?zx
???.
（2）设
x?0,y?0,z?0,
求证：
x? yy?zz?x2
x
2
3x?y(x?y)
2
x
2
3x?y
???0

??
.
证明：（1）
?
x?y44(x?y)x?y4

x
3
3x
2
?xy
（2）由（1）得
?.

x?y4
3z
2
?zxy
3
3y
2
?yz z
3
?,
类似的
?,
z?x4
y?z4
x
3
y
3
z
3
3x
2
?xy?3y
2?yz?3z
2
?zx
????
x?yy?zz?x4
3(x< br>2
?y
2
?z
2
)?xy?yz?zx
?
4

3(xy?yz?zx)?xy?yz?zx
?
4
xy?yz?z x
?
2
2．已知数列
{a
n
}满足a
1
记
b
n
?a(a?0,且a?1),前n项和为S
n
,且S
n
?
a
(1?a
n
).

1?a
?a
n
lg|a
n
|(n?N
*
),当a??
7
时， 问是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有
3
b
n
?b
m< br>？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：当
n?2时,S
n< br>aa
(1?a
n
),S
n?1
?(1?a
n?1)
，
1?a1?a
aa
?a
n
?S
n
?S
n?1
?[(1?a
n
)?(1?a
n?1
)]?( a
n?1
?a
n
)
，
1?a1?a
?
即
a
n
?aa
n?1
.又a
1
?a?0
，
所以，
{a
n
}是首项和公比都为a
的等比数列。
an
?a
n
,b
n
?a
n
lg|a
n< br>|?na
n
lg|a|.

7
?(?1,0),则lg|a|?0.

3
所以,当n为偶数时, b
n
?na
n
lg|a|?0;n为奇数时,b
n
?0.< br>又a??
可见，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数。

b
2k?2
?b
2k
?[(2k?2)a
2k?2
?2ka
2k
]lg|a|
?2a
2k
[(k?1)a
2
? k]lg|a|
a
2
?1
?2a[k(a?1)?a?
2
] lg|a|
a?1
a
2
2k2
?2a(a?1)(k?)lg|a| (k?N
?
).
1?a
2
72a
2
7
< br>22k2
当a??时,a?1??,?2a(a?1)lg|a|?0.又?,
391?a
2
2
7
当k?时,b
2k?2
?b
2k
,即b
8
?b
10
?b
12
?
?
;
2
7
当k?时,b
2k?2
?b
2k
,即b8
?b
6
?b
4
?b
2
.
2
故存在正整数m?8使得对于任意正整数n,都有b
n
?b
m
.
2k 22
3．如图，四边形
ABCD
的两条对角线相交于点
O
，
?DCO
的平分线
CQ
交线段
OD
于
Q
，连
接
AQ
，作
OM
求证：
PM
?BC于M，ON?AQ于N .
且
P
为
AB
边的中点，
OA?
OB?OD

OC?CD
?PN.

证明：
?
CQ
平分
?DCO

D

DQDCQO
???DC
①
?CO?
QOCODQ
OB?OD
又
OA?

?OA?(OC?CD)?OB?OD
②
OC?CD
将①代入②，得
Q

N

O

C

DQ?QO
)CD?OB?OD
DQ

DO
?OA??CD ?OB?OD
DQ
?OA?(
?OA?
1CO
?CD?OB

?OA??OB

DQQO
A

X

Y

M

P

即
OA?OC?OQ?OB

?
得
?QAO??CBO

A,Q,C,B
四点共圆.
B

分别取
OA,OB
的中点
X,Y
，连接
NX,PX,MY, PY,
则
OXPY
为平行四边形.

? NX?
1
AO?XO?PY
2
?PXN??NXO??OXP?2?QAO? ?OXP?2?CBO??OYP??MYO??OYP??MYP
1
PX?YO?OB?MY
2
??PXN
≌
?MYP

?PM?PN.


4． 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算 一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称
为整点）
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由。
证明：（1）先证明这样的矩形不超过2025个。
任取定100个整点。设
O为所取定的100个整点中的一个，我们称以
O
为一个顶点，另外三
个也取自10 0个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”。下证：至多有81个“好
的”矩形。 事实上，过
O
作平行于两坐标轴的直线
l
1
，
l
2
，并设
l
1
个整点，
l
2
{O}
上有
m
个点取自所取定的100
{O}
上有
n
个点取自所取定的 100个整点，设点
P
为所取定的100个整点中的一个，
且不在
l
1
和
l
2
上，则至多有一个“好的”矩形以
P
为其一个顶点 ，而这样的点至多有
99?m?n
个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是
①若
m?n?18
,则“好的”矩形至多有
99?m?n?81
个；
②若
m?n?18,
考虑点对
(P,Q)
，其中
P?l1
{O}
，
Q?l
2
{O}
，可知每一对
(P ,Q)
至
多形成一个“好的”矩形，故“好的”矩形的个数
?mn?m(18?m)? 9?9?81
个。
综上可知，对所取定的100个整点中的任意一点
O
，以
O
为其一个顶点的“好的”矩形至多81
个，于是，满足条件的矩形的个数
?
81?100
?2025
（这里除以4是因为每个矩形有4个顶点）。
4< br>（2）设点集
A?{(x,y)|1?x?10,1?y?10,x,y?N}
，取点集
A
中的100个点，则恰好可以
画出满足题设的2025个矩形。
综上可知最多能画出2025个这样的矩形。