人教版高中数学4-3-高中数学金太阳卷子及答案
第一章 集合与简易逻辑:
一.集合
1、 集合的有关概念和运算
(1)集合的特性:确定性、互异性和无序性;
(2)元素
a
和集合A之间
的关系:
a∈A,
或
a
?
A
;
2、子集定义:A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集 ;记作:A
?
B,
注意:A
?
B时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
3、真子集定义:A是B的子集 ,且B中至少有一个元素不属于A;记作:
A?B
;
4、补集定义:
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
;
5、交集与并集 交集:
A?B?{x|x?A且x?B}
;并集:
A?B
?{x|x?A或x?B}
6、集合中元素的个数的计算: 若集合
A
中有
n
个元素,则集合
A
的所有不同的子集个数为_________,
所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是 。
二.简易逻辑:
1.复合命题: 三种形式:p或q、p且q、非p;
判断复合命题真假:
2.真值表:p或q,同假为假,否则为真;p且q,同真为真;非p,真假相反。
3.四种命题及其关系:
原命题:若p则q; 逆命题:若q则p;
原命题
互
逆命题
否命题:若
?
p则
?
q;
逆否命题:若
?
q则
?
p;
若p则q
否
若q则p
互为逆否的两个命题是等价的。
互
原命题与它的逆否命题是等价命题。
互
为
逆
互
为
4.充分条件与必要条件:
否
逆
否
若
p?q
,则
p
叫
q
的充分条件;
否命题
互
逆
否
否命
若
p?q
,则p
叫
q
的必要条件;
若
?
p则
互
题
若
p?q
,则
p
叫
q
的充要条件;
第二章 函数
一. 函数
1、映射:按照某种对应法则
f
,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,
记作
f
:A→B,若
a?A,b?B
,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。 <
br>2、函数:(1)、定义:设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系
f
,对于集合
A中的任意一个数
x
,集合B中都有唯一确定的数
f
(
x
)
和它对应,就称
f
:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作
y=f
(x
),
(2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;
3、求定义域的一
般方法:①整式:全体实数R;②分式:分母
?0
,0次幂:底数
?0
;
③偶次根式:被开方式
?0
,例:
y?25?x
2
;④对数
:真数
?0
,例:
y?log
1
a
(1?
x
)
4、求值域的一般方法:
①图象观察法:
y?0.2
|x|
;②单调函数法:
y?log
1
2
(3x?1),x?[
3
,3]
③二次函数配方法:
y?x
2
?4x,x?[1,5)
,
y??x
2
?2x?2
④“一次”分式反函数法:
y?<
br>x
2x?1
;⑥换元法:
y?x?1?2x
5、求函数解析式
f
(
x
)的一般方法:
①待定系数法:
一次函数
f
(
x
),且满足
3f(x?1)?2f(x?1)?2x
?17
,求
f
(
x
)
②配凑法:
f(x?
1
)?x
2
?
1
x
x
2
,
求<
br>f
(
x
);③换元法:
f(x?1)?x?2x
,求
f
(
x
)
6、函数的单调性:
(1)定义:区间D上任意两个值
x
1
,x
2
,若
x
1
?x
2时有
f(x
1
)?f(x
2
)
,称
f(x)<
br>为D上增函数;
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
,称
f(x)
为D上减函数。(
一致为增,不同为减)
(2)区间D叫函数
f(x)
的单调区间,单调区间
?
定义域;
(3)复合函数
y?f[h(x)]
的单调性:即同增异减;
7.奇偶性:
定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x)
-f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =-f(-x)
?
f(x)为奇函数。
8.周期性:
定义:若函数f(x)对定义域内的
任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
9.函数图像变换:
(1)平移变换
y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法则:加左减右,加上减下
(3)注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y
=f(2x+4)的图象。(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量
a
(m,n)平移
的意义。
10.反函数:
(1)定义:函数
y?f(x)
的反函数为y?f
?1
(x)
;函数
y?f(x)
和
y?f
?1
(x)
互为反函数;
(2)反函数的求法:①由
y?f(x)
,反解出
x?f
?1
(y)
,②
x,y
互换,写成
y?f
?1
(x)
,③写出
y?f
?1
(x)
的
定义域(即原函数的值域);
(3)反函数的性质:函数
y?f(x)
的定义域、值
域分别是其反函数
y?f
?1
(x)
的值域、定义域;
函数
y?f(x)
的图象和它的反函数
y?f
?1
(x)
的图象关于直
线
y?x
对称;点(
a,b
)关于直线
y?x
的对称点为(
b,a
);
二、指对运算:
1. 指数及其运算性质:当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
?
a(a?0)<
br>?
?a(a?0)
m
2.分数指数幂:正分数指数幂:
a
n
?
n
a
m
;负分数指数幂:
a
?
m
n
?
1
m
a
n
3.对数及其运算性质:
(1)定义:如果
a
b?N(a?0,a?1)
,以10为底叫常用对数,记为
lgN
,以e=2.71
82828…为底叫
自然对数,记为
lnN
(2)性质:①负数和零没有对数,②1
的对数等于0:
log
a
1?0
,③底的对数等于1:
log
a
a?1
,
④积的对数:
log
M
a
(MN)?
log
a
M?log
a
N
, 商的对数:
log
a
N
?log
a
M?log
a
N
,
幂的
对数:
log
n
?nlog
1
a
M
a
M<
br>, 方根的对数:
log
n
a
M?
n<
br>log
a
M
,
三.指数函数和对数函数的图象性质
函数
指数函数 对数函数
定义
y?a
x
(
a?0且a?1
)
y?log
a
x
(
a?0且a?1
)
a>1
01 0
图象
y
y=a
x
y=a
x
y
y
y=log
a
x
y
x
1
1
O
1
x
O
1
O
x
O
x
y=log
a
x
定义域 (-∞,+∞) (0,+∞)
(-∞,+∞) (0,+∞)
性
值域 (0,+∞) (-∞,+∞)
单调性 在(-∞,+∞) 在(-∞,+∞) 在(0,+∞) 在(0,+∞)
上是增函数 上是减函数 上是增函数 上是减函数
函数值
质
变化
?
?1,x?0
?
?1,x?
?
?0,x?
?
?0,x?
a
x
?
?
?1,x?0
a
x
?
0
?
?
?1,x?0
l
ogx
?
1
a
?
?0,x?1logx
?
1
?
?0,x?1
?
?1,x?0
?
?
?1,x
?0
?
a
?
?0,0?x?1
?
?
?0,0?x?
1
图 定 点
?a
0
?1,?
过定点(0,1)
?log
a
1?0,?
过定点(1,0)
象 图象
特征
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
?x?0,?
图象在y轴右边
图象
关系
y?a
x的图象与
y?log
a
x
的图象关于直线
y?x
对称
第三章 数列
一.数列:(1)前n项和:
S
)
n
?a<
br>1
?a
2
?a
3
???a
n
; (2)前n
项和与通项的关系:
a
?
a
1
?S
1
(n?1n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
二.等差数列 :
1.定义:
a
n?1
?a
n
?d
。2.通项公式:
a
n
?a
1
?(n?1)d
(关于n的一次函数),
3.前n项和:(1).
S
n(aa
n
?
1
?
n
)
2
(2).
S?na<
br>n(n?1)
n1
?
2
d
(即S
2
n
= An+Bn)
4.等差中项:
A?
a?b
2
或
2A?a?b
5.等差数列的主要性质:
(1)等差数列
?
a
n
?,若
n?m?p?q
,则
a
n
?a
m
?ap
?a
q
。
?
也就是:
a
1
?a<
br>n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n
?2
???
,如图所示:
a
1
,
?
a
?<
br>?
2
,
?
a
?
3
?
,?
?
a
1
?
?a
??
,a
?
n
???
?
?
n?2
?
,a
?
n
?
?1
,
a
n
a
2
?a
n?1
(2)若数列
?<
br>a
?
是等差数列,
S
*
nn
是其前n项的和,
k?N
,则
S
k
,
S
2k
?S
k
,
S
3k
?S
2k
成等差
????????????S
?
3k
???????????
数列。如下图所示:
a
?
1
?
?a
?
2
?
?a
?
3<
br>?
??
??
?a
?
k
?a
?
?k?
?
1
?
?
?
?
?
?
?<
br>a
?
2k
?a
?
2k
?
?1
??
?
?
?
?
?
a
?
3k
<
br>S
k
S
2k
?S
k
S
3k
?S2k
三.等比数列:
1.定义:
a
n?1
a
?q(q
?0)
;2.通项公式:
a
n?1
n
?a
1
q(其中:首项是
a
1
,公比是
q
)
n
?na
1
,(q?1)
3.前n项和]:
S
?
?
a
n
n
?
?
1
?a
n
q
a
1
(1?q
?
1?q
?
)
1?q
,(q?1)<
br>(推导方法:乘公比,错位相减)
说明:①
S
a
n
?
1
(1?q
n
)
q
(q?1)
;
○
2
S
a?a
n
?
1n
q
1?
1?q
(q?1)
;
○
3当
q?1
时为常数列,
S
n
?na
1
。
4.等比中项:
Gb
a
?
G
,即
G
2
?ab
(或
G??ab
,等比中项有两个
)
5.等比数列的主要性质:
(1)等比数列
?
a
n
?
,若
n?m?u?v
,则
a
n
?a
m
?a
u
?a
v
?
也就是:
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
。如图所示:
a
1
,
?
a
?
?
2
,
?
a
??
a
?
1
?a
n
?????
3
?
,?
??
,a
?<
br>n?2
?
,a
?
n
?
?1
,a
n<
br>
a
2
?a
n?1
(2)若数列
?
a
n
?
是等比数列,
S
n
是前n项的和,
k?N
*
,则
S
k
,
S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
成等比数列。
???????
?????
S
?
3k
????????????
a?a?a???a
?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k<
br> 如下图所示:
?
1
??
2
??
3
????
k
?
k?
?????????????
S
k
S2k
?S
k
S
3k
?S
2k
C
(?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?<
br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?tan
?
1?tan
?
tan
?
四.求数列的前n项和
的常用方法:分析通项,寻求解法
n
1.公式法:等差等比数列
;2.分部求和法:如a
n
=2n+3
3.裂项相消法:如a
n
=
1
n
;4.错位相减法:“差比之积”的数列:如a
n
=(2n-1
)2
n(n?1)
第四章 三角函数
?
7、辅助角公式:
as
inx?bcosx?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?
cosx?sin
?
)?a
2
?b
2
?sin(x?
?
)
(其中
?
称为辅助角,
?
的终边过点(a,b)
,
tan
?
?
1、角:与
?
终边相
同的角的集合为{
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
2、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
b
)
a
8、二倍角公式:(1)、
S
2
?
:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
(2)、降次公式:
180
o(2)度数与弧度数的换算:
180?
?
弧度,1弧度
?()
?
?
(3)弧长公式:
l?|
?
|r
(
?
是角的弧度数) 扇形面积:
S?
3、三角函数 定义:(如图)
yyr
sin
?
? tan
?
? sec
?
?
rxx
xxr
cos
?
? cot
?
? csc
?
?
ryy
11
lr??|?
|r
2
22
y
P(x,y)
r
0
1
sin2
?
2
1?cos2
?
11
22
2
?1?2sin
?
?2cos
?
?1
sin
?
???cos2
?
?
222
2
tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2
?<
br>:
tan2
?
?
co
s
?
??cos2
?
?
2
222
1?tan
?
C
2
?
:
cos2
?
?cos
2<
br>?
?sin
2
?
sin
?
cos
?
?
9、三角函数的图象性质
(1)函数的周期性:
①定义:对于函数
f
(
x
),若存
在一个非零常数T,当
x
取定义域内的每一个值时,都有:
f
(
x<
br>+T)
=
f
(
x
),那么函数
f
(
x
)叫周期函数,非零常数T叫这个函数的周期;
②如果函数
f
(x
)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫
f
(
x
)的最小正周期。
(2)函数的奇偶性:
①定义:对于函数
f
(
x
)的定义域内的任意一个
x
,都有:
f
(
-x
)
= - f
(
x
),则称
f
(
x
)是奇
函数,
f
(
-x
)
=
f
(
x
),则称
f
(
x
)是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(3)正弦、余弦、正切函数的性质(
k?Z
)
函数 定义域 值域
[
-
1,1]
周期性 奇偶性 递增区间
?
?
?
?
??2k
?
,?2k
?
??
2
?2
?
4、同角三角函数基本关系式
r?x
2
?y
2
?0
?
x
(1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
tan
?
?
sin
?
tan
?
cot
?
?1
cos
?
5、诱导公式(理解记忆方法:奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
sin(
?
?k?360?)?sin
?
c
os(
?
?k?360?)?cos
?
tan(
?
?k
?360?)?tan
?
公式二: 公式三:
公式四: 公式五:
递减区间
3
?
?
?
?
?
2
?2k
?
,
2
?2k
?
?
??
sin(180???
)?sin
?
sin(180??
?
)??sin
?
sin(?
?
)??sin
?
sin(360??
?
)??sin
?
y?sinx
x?R
T?2
?
奇函数
cos(180??
?
)??cos
?
cos(180??
?
)??cos
?
cos(?
?
)?cos
?
cos(360??
?
)?cos
?
tan(??
)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(
y?cosx
x?R
{x|x?
[
-
1,1]
T?2
?
偶函数
?
(2k?1)
?
,2k
?
?
?
2k
?
,(2k?1)
?
?
?
22
?
3
?
3
?
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?
)??cos
?
2
2
2
2
3
?
?
?
3
?
cos(?
?
)?sin
?
cos(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?sin
?
2
2
22
3
?
?
?
3
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)??cot
?
tan(?
?
)?cot
?
tan(?
?
)?cot
?
2
2
2
2
?
?
?
)?cos
?
sin(
?
?
?
)?cos
?
y?tanx
?
?k
?
}
2
(
-
∞,+∞)
T?
?
奇函数
?
??
?
?
?
?k
?
,?k
?
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
3
?
,
1),(
?
,0),(,
-
1),(
2
?
,0);
2
2
?
3
?
(0,1),(,0),(
?
,
-
1),(,0),(
2
?
,1);
y?cosx图象的五个关键点:
2
2
y?sinx
图象的五个关键点:(0,0),
(
y
?
?
?
?
2
1
y?sinx
3
?
2
y
?
?
?
?
2
1
0
-1
y?cosx
?
2
?
3
?
2
2
?
x
向量的加法
三角形法则
平行四边形法则
向量的减法
a
b
b
b
b
a
a?b
b
a
首位连结
a
b
a?b
a
a
a?b
指向被减向量
(2)实数与向量的积:①定义:实数
?
与向量
a<
br>的积是一个向量,记作:
?
a
;
②它的长度:
|
?
a|?|
?
|?|a|
; <
br>③:它的方向:当
?
?0
,
?
a
与
a
的方向相同;当
?
?0
,
?
a
与
a
的方
向相反;当
?
?0
时,
?
a
=
0
; 3.平面向量基本定理:如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不
共线的向量,那么对平面内的任一向量
a
,
y
?
?
3
?
?
2
?
?
2
?
o
?
2
3
?
2
x
有且只有一对实数
?
1
,
?
2,使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
;
4.平面向量的坐标运算:
(1)坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?
x
2
,y
1
?y
2
?
????
y?tanx
函数 定义域 值域 振幅
A
周期 频率
初相
?
x?
?
?
相位
(4)、函数
y?Asin(
?
x?<
br>?
)(A?0,
?
?0)
的相关概念:
图象
设A、B两点的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x<
br>2
,y
2
),则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
?
y?Asin(
?
x?
?
)
x?R
[
-
A,A]
T?
2
?
?
f?
1
?
?
T2
?
??
五点法
(2)实数与向量的积的运算律:
设
a?
?
x,y
?
,则λ
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
,
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与
y?sinx
的关系:
①振幅变换:
y?sinx
当
0?
A
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
y?Asinx
当
?
当A
?1
时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
(3)平面向量的数量积:
??
?
????
00
?
①定义:
a?b?a?bcos
?
?
a?0,b?0,0?
??180
?
,
0?a?0
.
??
????
?1
时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的
y?sin
?
x
②周期变换:
y?sinx
1
当
0?
1
?
倍
倍
①平面向量的数量
积的几何意义:向量
a
的长度|
a
|与
b
在
a的方向上的投影|
b
|
cos
?
的乘积;
③、坐标运
算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1x
2
?y
1
y
2
;
向量
a
的模|
a
|:
|a|
2
?a?a
?x?y
;模|
a
|
?
??
22
图象上各点的纵坐标伸长到原来
的
?
?1
时,
?
当
?
?0
时,图象上的各
点向左平移
?
个单位倍
????
y?sin(x?
?
)
③相位变换:
y?sinx
当
?
?0
时,图象上的各点向右平移
|
?
|
个单位倍
10.反三角函数:
第五章 平面向量
1.向量的有关概念:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2.向量的运算:(1)、向量的加减法:
x
2
?y
2
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22
④、设
?
是向量
a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角,则
cos
?
?
5、重要结论:
x
2
?y
2
22
。
(1)两个向量平行的充要条件:
??
????
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?a?
?
b?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
(
?
?R)
(2)两个非零向量垂直的充要条件:
??
????
设
a?
?
x
1
,y1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y<
br>2
?0
(3)两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
的距离:
|AB|?(x
2
1
?x
2
)?(y1
?y
2
)
2
??
(4) P(x,y)分
线段P
1
P
2
的定比满足
P
1
P?
?PP
2
,且P
1
(x
1
,y
1
)
,P
2
(x
2
,y
2
)
?
x
x
1
?
?
x
2
?
x
1
?x
2
则定比分点坐标公式
?
?
?
?
1?
?
y?
?
y
,
中点坐标公式
?
?
x?
?
?
2
?
12
?
y?y
2
?
y?
1?
?
?
?
y?
1
2
?
(5)平移公式:如果点
P(x,y)按向量
a?
?
h,k
?
平移至P′(x′,y′)
,则
?
?
?
x
'
?x?h,
?
?
y
'
?y?k.
6、解三角形:
(1)三角形的面积
公式:
S
111
?
?
2
absinC?
2
acsinB?
2
bcsinA
(2)正,余弦定理
①正弦定理
:
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R,或a?2RsinA, b?2RsinB, c?2Rsin
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
②余弦定理:
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?(a?b)
2
?2ab(1?cocC)
求角:
cosA?
b
2
?c
2
?a
2
2bc
?
a
2
?c
2<
br>?b
2
2ac
cosC?
a
2
?b
2
?c
2
cosB
2ab
第六章不等式
一、不等式的基本性质:
1.特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。
2.中间值比较法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
二.均值不等式:
1.内容:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即:若
a,b?0
,则
a?b
2
?ab
(当且仅
当
a?b
时取等号)
2.基本变形:①
a?b?
;②若<
br>a,b?R
,则
a
2
?b
2
?2ab
3.基本应用:求函数最值:
注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。
常用的方法为:拆、凑、平方;如:①函数
y?4x?
9
2?4x
(x?1
2
)
的最小值 。
②若正数
x,
y
满足
x?2y?1
,则
1
x
?
1
y的最小值 。
三、绝对值不等式:
||aba
?||?|?bab|??||||
,注意:上述等号“=”成立的条件;
五、不等式的解法:
1.一元二次不等式的图解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
判别式:△=
b
2
-4
ac
??0
??0
??0
二次函数
y
y
y
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象
x
O
1
x
2
x
x
x
O
x
1
=x
2
O
一元二次方程 有两相异实数根 有两相等实数根 没有实数根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
x
b
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
x
1
?x
2
??
2a
一元二次不等式
{x|x?x
{x|x??
b
R
1
,x?x
2
}
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
2a
}
“>”取两边
一元二次不等式
{x|x
1
?x?x
2
}
?
?
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
“<”取中间
3.绝对值不等式的解法:(“>”取两边,“<”取中间)
(1)
当
a?0
时,
|x|?a
的解集是
{x|x??a,x?a}
,
|x|?a
的解集是
{x|?a?x?a}
(2)当
c?0
时,
|ax?b|?c?ax?b??c,ax?b?c
,
|ax?b|?c??c?ax?b?c
4.分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;
⑴
f(x)
g(x)
?0?
;(2)
f(x)
g(x)
?0?
;
5.高次不等式组的解法:数轴标根法。
第七章 直线和圆的方程
一、直线
1.直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角α∈[0,π).(2)直线的
斜率,即
k?tan
?
(
?
?90
0
)
(3)斜率公式:经过两点P
y?y
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)的直线的斜率为
k?
21
x
(x
2
?x
1
?0)
2
?x
1
2.直线的方程
(1)点斜式
:y-y
0
=k(x-x
0
) (2)斜截式:y=kx+b
(3)两点式:
y?y
1
yy
?
x?x
1
(4)截距式:
x
?
y
b
?1
2
?1
x
2
?x
1
a
(5)一般式 Ax+By+C=0
(A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系
(1)平行:当直线
l
1
和
l
2
有斜截式方程时,k
1
=k
2
且
b
1
≠b
2
;
(2)重合:当
l
1
和<
br>l
2
有斜截式方程时,k
1
=k
2
且b
1<
br>=b
2
;
(3)相交:当
l
1
,
l2
是斜截式方程时,k
1
≠k
2
(4)垂直:设两条直线l
1
和
l
2
的斜率分别为
k
1
和k
2
,则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
一般式方程时,
l
1
?
l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2?0
(优点:对斜率是否存在不讨论)
(5)到角:直线
l
1
到
l
2
的角,是指直线
l
1
绕交点依逆时针方向旋转到与<
br>l
2
重合时所转动的角
?
,它
的范围是
(0,
?
)
,当
?
?90
?
时
tan
?
?
k
2
?k
1
1?k
.
1
k
2
(6)夹角:两条相交直线
l
1
与
l
2
的夹角,
是指由
l
1
与
l
2
相交所成的四个角中最小的正角
?
,又称为
l
1
和
l
?
?
k
2<
br>所成的角,它的取值范围是
?
?
0,
?
?
2
?
?
,当
?
?90
?
,则有
tan
??
2
?k
1
1?k
.
1
k
2
(7)交点:求两直线交点,即解方程组
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
4.点到直线的距离:设点
P(x
Ax<
br>0
?By
0
?C
0
,y
0
)
,直线
l:Ax?By?C?0,P
到
l
的距离为
d?
A
2
?B
2
.
5.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线
l1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
,它们之间
的距离为
d
,则有
d?
C
1
?C
2
.
A
2
?B
2
6.
关于点对称和关于某直线对称:利用直线垂直,平行等解决
7.简单的线性规划----
线性规划的三种类型:
1.截距型:形如z=ax+by,
把z看作是y轴上的截距,目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。
2.斜率型:形如
z?
y?a
x?b
时,把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(b,a)
连线的斜率,目标函数的最值
就转化为PQ连线斜率的最值。
3.距离
型:形如
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
时,可把z看作是动点<
br>P(x,y)
与定点
Q(a,b)
距离的平方,这
样目标函数的最值就
转化为PQ距离平方的最值。
二、曲线和方程:求曲线方程的步骤:①建系,设点;②列式;③代入④化简;⑤证明.
三、圆
1..圆的方程:
(1)标准方程(x-a)
2
+(y-
b)
2
=r
2
.(a,b)为圆心,r为半径.
(2)
圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F>0
.)
(3)圆的参数
方程:
?
?
x?a?rcos
?
(
?
为参数).
?
y?b?rsin
?
2.点和圆的位置关系:给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内?d?(x
222
0
?a)?(y
0
?b)<r
;②<
br>M
在圆
C
上
?d?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
③
M
在圆
C
外
?d?(x
2
(y
22
0
?a)
?
0
?b)>r
3.直线和圆的位置关系:
设圆圆
C
:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(r>0)
; 直线
l
:
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
;
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
.
①几何法:
d?r
时,
l
与
C
相切;
d<
r
时,
l
与
C
相交;
d>r
时,
l
与
C
相离.
② 代数法:方程组
?
?
?
(x
?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
?
Bx?C?0<
br>用代入法,得关于
x
(或
y
)的一元二次方程,其判别式为
?
,
?
Ax?
则:
??0?l
与
C
相切;<
br>?>0?l
与
C
相交;
?<0?l
与
C
相离
.
注意:几何法优于代数法
4.求圆的切线方法
①若已知切点(x
0<
br>,y
0
)在圆上,则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。
②若已知切线
过圆外一点(x
0
,y
0
),则设切线方程为y-y
0
=k
(x-x
0
),再利用相切条件求k,这时
必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的
切线.
5.圆与圆的位置关系:已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
,
半径分别为r
1
、r
2
,则
(1)两圆外切?|O
1
O
2
|=r
1
+r
2
;
(2)两圆内切?|O<
br>1
O
2
|=|r
1
-r
2
|;
(3
)两圆相交?|r
1
-r
2
|<|O
1
O
2
|<r
1
+r
2
.
第八章 圆锥曲线
一.椭圆的定义标准方程及其几何性质
第一
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离的和等于常数(大于
|F
1
F2
|
)的点的轨
定义 定义
第二
定义
迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦
距.若
M
为椭圆
上任意一点,则有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
. 平面内与定点
F(c,0)
的距离和它到定直线
l
:
x?
方程
图像
a
c
的距离比是常数
c
a
2
y
B
2
a
A
1
O
B
1
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
(
a?c?0
)的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的一个焦
点,定直线
l
是椭
圆的一条准线,常数
e
椭圆的离心率
方程
图像
a,b,c
关系
焦点
范围
对称
性
顶点
长短
轴
离心
率
准线
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1(a?b?
0)
2
ab
b
A
2
x
y
B
1
a
A
2
b
B
2
x
O
A
1
a,b,c
关系
焦点
范围
对成性
顶点
c
2
?a
2
?b
2
(?c,0)
|x|?a
(0,?c)
||y|?a
坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.
c
2
?a
2
?b
2
(?c,0)
|x|?a,|y|?b
(0,?c)
|x|?b,|y|?a
(?a,0)
实轴:A
1A
2
?2a,虚轴:B
1
B
2
?2b
(0,?a)
实轴 虚轴
离心率
准线
e?
a
2
x??
c
坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.
c
(e>1)
a
a
2
y??
c
(?a,0),(0,?b)
A
1
A
2
?2a,B
1
B
2
?2b
(?b,0),(0,?a)
渐近线
x
2
y
2
b
b
y??x
(
2
?
2
?0?
y
??x
)
a
ab
a
y??
a
x
b
c
e?
(0
a
2
x??
c
a
2
y??
c
三.抛物线定义标准方程及其简单几何性质
定义
标准方
程
图形
平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物<
br>线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线.
x
2
??2py
y
2
??2px
x
2
?2py
y
2
?2px
▲
二.双曲线的定义标准方程及其几何性质
定义 第一
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于
|F
1
F
2
|
)的点的
轨
定义
迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.
第二
定义
y
▲
y
▲
y
▲
yx
O
x
O
x
O
x
O
a
2c
平面内与定点
F(c,0)
的距离和它到定直线
l
:
x?
的距离比是常数
c
a
(
a?c?0
)的轨迹叫双曲线.
定点F是双曲线的一个焦点,定直线
l
是双曲线
的一条准线,常数
e
双曲线的离心率
焦点
F(
p
,0)
2
F(?
p
,0)
2
F(0,
p
)
2
F(0,?
p
)
2
准线
范围
对称轴
顶点
离心率
x??
p
2
x
轴
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
三垂线定
理
三垂线逆
定理
空
间
两
个
平
面
两个
平面
平行
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
x?0,y?R
x?0,y?R
x?R,y?0
x?R,y?0
y
轴
(0,0)
e?1
4.平面与平面位置关系:平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)
判 定 性
质
三.直线和圆锥曲线的位置关系
1. 直线和椭圆的位置关系的判断方法
(1
)代数法:直线
l
:
Ax
+
By
+
C
=0
和圆锥曲线
C
:
f
(
x
,
y
)=0的位置
关系可分为:相交、相切、相离.
设直线
l
:
Ax
+
By
+
C
=0,圆锥曲线
C
:
f
(
x
,
y
)=0 由
?
?
Ax?By?C?0
消去
y
(或
x
)得:
?
F(x,y)?0
(1)
如果一个平面内有两条相交直线平(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线
行于另一个平面,那么这
两个平面平行 必平行于另一个平面
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相
(2)垂直于同一直线的两个平面平行
交,那么它们的交线平行
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个
平面,它也垂直于另一个平面
ax
2
+
bx
+
c
=0
(
a
≠0) 令Δ=
b
2
-4
ac
,
则Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相离.
(2)几何法:求大致位置和满足条件的直线时可用,精确计算时不可用。
2.弦长的计算:弦长公式
AB?1?k|x
1
?x
2
|?1?k
1.平面的基本性质
:三个公理及推论。
2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面;
3.直线与平面
位置关系
直线和平
面平行
(1)直线在平面内——有无数个公共点
。(2)直线和平面相交——有且只有一个公共
点(3)直线和平面平行——没有公共点
判
定 定 理
a
22
(x
1
?x
2
)?4x
1
?x
2
.
2
相交
的两
平面
二面角
:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的
线,这两个半平面叫二面
角的面
二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
第九章 立体几何
两平
面垂
直
判 定
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线,那么这两个平面互相垂直
性 质
(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直
于它们的交线的直线垂直于另一个平面
(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平
性 质 定 理
β
b
a
5. 常用证明方法:
(1)判断线线平行的常用方法:
①a∥b,b∥c,
③a⊥α,b⊥α
a
面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一
个平面内
b
α
直线与平
面垂直
判 定 定 理
α
性 质
定 理
b
a∥c;②a∥α,a β,α∩β=b a∥b
a∥b
a∥b;④α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
l
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α,b α a⊥b; ②b∥c,a⊥c a⊥b
0
③a⊥α,b∥α
m
a⊥b; ④三垂线定理及逆定理
α
直线与平
面所成的
角
n
α
(3)判定线面平行的常用方法:
①定义 ②a α,bα且a∥b
a∥α.③α∥β,a β a∥β;
(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
0
(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是0的角
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且a α,b α,a,b无公共点
c⊥α;②a∥b且a⊥α b⊥α
③α∥β且a⊥α a⊥β
(5)判定面面平行的常用方法:
①a、b β,a∩b=A,若a∥α,b∥α α∥β
②a⊥α,α⊥β α∥β
③α∥β,β∥r α∥γ
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,a β α⊥β ②α∥β,b⊥r β⊥r
③a⊥β,a∥α α⊥β
6.棱柱
(1)棱柱的定义、分类,直棱柱、正棱柱的性质;(2)长方体的性质。
(3)平行六面体
→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以
及它们的特有性质。
(4)S
侧
=各侧面的面积和;(5)V=Sh。
7.棱锥
1.棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心)
2.相关计算:S
1
侧
=各侧面的面积和 ,V=
3
Sh
8.球的相关概念:(1)S
4
球
=4πR
2
V
球
=
3
πR
3
(2)球面距离的概念
9.计算问题:计算步骤:一作、二证、三算
(1)异面直线所成的角
范围:0°<
θ
≤90° 方法:①平移法;②向量法.
(2)直线与平面所成的角 范围:0°≤
θ
≤90°
方法:关键是作垂线,找射影.
(3)二面角方法:①定义法;②射影面积法:
S
′
=
S
cos
θ
三垂线法;③向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法:由二面角平面角的定义做出平面角;
②三垂线法:一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。
(4)两点之间的距离.(5)点到直线的距离.
(6)点到平面的距离:
(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法
(7)两条平行线间的距离.
(8)两异面直线间的距离(1)定义法,即求公垂线段的长.
(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法
(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离
第十章 排列组合与二项式定理概率
一.排列组合
1.计数原理
①分类
原理:N=n
1
+n
2
+n
3
+…+n
M
(分类) ②分步原理:N=n
1
·n
2
·n
3
·…n<
br>M
(分步)
2.排列(有序)与组合(无序)
A
m
n
=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=
n!
n
(n?m)
!
A
n
=n!
C
m
n
=
n(
n?1)(n?2)?(n?m?1)n!
mn-m
m!
?
(n?m)!m!
C= C
m
C
m+1m+1
nn
C
n
+
n
= C
n+1
k?k!=(k+1)!-k!
三.排列、组合问题几大解法:总原则:先选后排,先分再排
1、多排问题直排法:把n个元
素排成若干排的问题,若没其他的特殊要求,可用统一排成一排的方
法来处理.
2、特殊元素
优先法:对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排。
在操作时,针对
实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。
3、相邻问题捆绑法:对于某些元素要求相邻排
列的问题,可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个
元素再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行
自排。
4、不相邻问题插空法:对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相
邻的
元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可(有时候两端的空隙的插法是不符合题意的)
5、正难则反排除法(或淘汰法):对于含有否定词语“至多”,“至少”类的问题,从正面解决
不容易,可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去,应注意既不能多减也不能少减。
6、元素重复问题住店法(或映射法):解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素:一类元素
可
重复,另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”,能重复的元素看着“店”,再利用分步
计数
原理直接求解的方法称为“住店法”。
四.二项式定理:
1.(a+b)
n
=C
0x1n-112n-22
+
C
3n-33rn-rr n-1n-1nn
n
a+C
n
ab+
C
n
ab
n
ab+…+ C
n
ab+…+
C
n
ab+ C
n
b
特别地:(1+x)
n
=1+C
122rrnn
n
x+C
n
x+…+C
n
x+…+C
n
x
2.通项为第r+1项:
T
rn-rr
r+1
= C
n
ab
作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
3.主要性质和主要结论:对称性C
mn-m
n
=C
n
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和:C
01234
+…+C
rnn
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+
C
nn
+…+C
n
=2
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
C
024681357
+ C
9n -1
n
+C
n
+C
n
+ C
n
+
C
n
+…=C
n
+C
n
+C
n
+
C
nn
+…=2
五.概率1.必然事件: P(A)=1;不可能事件:
P(A)=0;随机事件的定义: 0
2.等可能事件的概率:如果一次试
验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等,
那么,每一个基本事件的概率都是1
n
,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率
P(A)?
m
n
.
3.互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互
斥,那么事件A+B发生(即A、
B中有一个发生)的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即P(
A+B)=P(A)+P(B);
推广:
P(A
1
?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(An
)
.
4.对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件
......
.........
叫对立事件.(A、B互斥,即事件A、B不可能同时发
生)(A、B对立
,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生。P(A)+ P(B)=1
5.相互独
立独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫
做相互
独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即
P(A·B)=
P(A)·P(B).
推广:若事件
A
1
,A
2
,?,A
n
相互独立,则
P(A
1
?A
2
?A
n<
br>)?P(A
1
)?P(A
2
)?P(A
n
)
.
6.独立重复事件:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试
验的结果,则称这
n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复
试验中这个事件
kn?k
恰好发生k次的概率:
P
n
(k)?Ck
。特殊:令k=0 得:在n次独立重复试验中,事件A没有
n
P(1?P)<
br>..
发生的概率为
......
P
n
=C
n
p(1-p) =(1-p)令k=n得:在n次独立重复试验中,事件A全部发生的概率
......
.
(n)nn0n
为
.
P
n
=C
n
p(1
-p) =p
(0)00nn
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