高中数学归纳推理测试题(有答案)

高中数学归纳推理测试题（有答案）
选修2-22.1.1第1课时归纳推理
一、选择题
1．关于归纳推理，下列说法正确的是()
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到个别的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论是或然性的
[答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性
不一定．故应选D.
2．下列推理是归纳推理的是()
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨
迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的
前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的
面积S＝ab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
[答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.
3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()
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A．28
B．32
C．33
D．27
[答案] B
[解析] 因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33， 猜测
x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B.
4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是()
A．2n－2－12
B．2n－2
C．2n－1＋1
D．2n＋1－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝21－2，
a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
猜想an＝2n－2.
故应选B.
5．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月
10日 到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，
并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到 2019年
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将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为
()
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
[(1＋p)7－(1＋p)]
[(1＋p)8－(1＋p)]
[答案] D
[解析] 到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)．
到2019年5月10日存款及利息为
a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]
到2019年5月10日存款及利息为
a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]
所以到2019年5月10日存款及利息为
a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]
＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)
＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．
故应选D.
6．已知数列{an}的前n 项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过
计算a2，a3，a4，猜想an等于()
A.2(n＋1)2
B.2n(n＋1)
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C.22n－1
D.22n－1
[答案] B
[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.
所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.
7．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2019到2019箭头的方向依次为()
A．
B．
C．
D．
[答案] C
[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公< br>差的等差数列，由234可知从2019到2019为，故应选C.
8．(2019山东文，1 0)观察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－
sinx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数f(x)满足f(－
x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()
A．f(x)
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B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子
可看出偶函数求导后都变成了奇函数，
g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推
理的能力的考查．
9．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于()
19＋2＝11
129＋3＝111
1239＋4＝1111
12349＋5＝11111
123459＋6＝111111
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
[答案] B
[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.
10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数， 这
是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
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试求第七个三角形数是()
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2 ＋3＋
4＋…＋n＝n(n＋1)2个，第七个三角形数为7(7＋1)2＝28.
二、填空题
11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n
个正方形组成：
通过观 察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；
第n个图形中，火柴杆有________ 根．
[答案] 13,3n＋1
[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个 图
形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n
＋1根．
12．从1 ＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一
般规律是____________ ______．
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5
个数相加，故猜想第n个式子有 2n－1个数相加，且第n个
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式子的第一个加数为n，每数增 加1，共有2n－1个数相加，
故第n个式子为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．观察下图中各 正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每
个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式 为
________．
[答案] S＝4(n－1)(n2)
[解析] 每条边上 有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3
个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S< br>＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的
关系为S＝4(n－1)(n2)．
14．(2009浙江理，15)观察下列等式：
C15＋C55＝23－2，
C19＋C59＋C99＝27＋23，
C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，
C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋ 1＋…＋C4n＋14n＋
1＝__________________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
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[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力
等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为a n
＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两
项中间等号正、 负相间出现，右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.
三、解答题
15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，
在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，
在五边形ABCDE中，不等式 1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，
猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
[解析] 根据已知特殊的数值：9、162、253，…，总结归纳
出一般性的规律：n2(n－2)3)．
在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．
16．下图 中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平
面图各有多少个顶点？多少条边？它们 围成了多少个区
域？并将结果填入下表中．
平面区域 顶点数 边数 区域数
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之
间有什么关系？
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(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个 区域，
试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？
[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：
平面区域 顶点数 边数 区域数 关系
(1) 3 3 2 3＋2－3＝2
(2) 8 12 6 8＋6－12＝2
(3) 6 9 5 6＋5－9＝2
(4) 10 15 7 10＋7－15＝2
结论 V E F V＋F－E＝2
推广 999 E 999 E＝999＋999－2
＝2019
其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝
2.
故可猜想此平面图可能有2019条边．
17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入 浓度为p%
的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，
设第n次操作后容器 内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓
度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公 式．
[解析] b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，
b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.
b3＝ab2＋a4p100a＋a4
＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，
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归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.
18．设f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，
f(10)的 值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正
确．
[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质
数．
即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．
语文课本中的文章都是精 选的比较优秀的文章,还有不少名
家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、
精 彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教
师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总 在文章的技巧方
面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效
甚微,没过几天便 忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局
面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见 ”,
如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、
跳读,或听读、范读、轮读 、分角色朗读,学生便可以在读中
自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强
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语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技
巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作
中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．
“师”之概念，大 体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字 》中有
注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事
教育工作或是传授知识技 术也或是某方面有特长值得学习
者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初
见于《史记》，有“荀卿最为老师” 之说法。慢慢“老师”之说也
不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”
当 然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构
词，所表达的含义多指对知识渊博者的一 种尊称，虽能从其
身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教
师”的必要条 件不光是拥有知识，更重于传播知识。
所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．
课本、报 刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作
文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其 分。为什
么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简
单,每天花3-5分钟 左右的时间记一条成语、一则名言警句即
可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课
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前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往 笔
记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条
成语、300多则名言警句, 日积月累,终究会成为一笔不小的财
富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时< br>便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
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