高中数学难题集锦

高一、高二难题A类
1，f（x）＝ax
2
+bx＋c（a
?
0），f（x）＝x无实数解，求f［f（x）］＝x解的个数。
1
2，设f（ x）＝ax
2
+bx＋c（a>0），f（x）－x＝0两根x
1
x
2,
有01
2
<，当x
?
（0，
a
x
1
）时，证明x1
).
1f(0)=0,○
2
3，f(x)定义域D,

x
1
x< br>2
?
d,当x
1
2
,f(x
1
)
?
f(x
2
),则f(x)在D上为非减函数且○
xf(x)11
3
f()=,○f(1-x)=1-f(x),则f（）＋f()= . < br>3238
4，A
n
={X
?
RX
n
=2n
},B
n
={X
?
RX
2n
=9
n
}C
n
={Z
?
RZ=x+y,X
?
A
n
,Y
?
B
n+1
}n
?
N
1
A
k
=A
k+2
对

k
?
N
+
成立 ○
2
不存在正整数m，n使B
2m+1
=B
2n
○


3
存在唯一一个自然数n使A
n
=B
n
○
4如果n为奇C
n
={5,-1}如果n为偶C
n
={-5,-1,1,5 } ○
5
存在自然数K
0
对

n
?
N有（A
n
?
b
n
）
?
C
k0
且（An
?
b
n
）
?
C
k0
○
5 ，直线系m；xcos
q
+(y-2)sin
q
=1(0
?
q
?2
p
)，判断：
1
。M中所有直线均过一定点。 ○
2
。存在定点p不在M中任意一条l上。 ○
3
。

n（n
?
3且n
?
Z
＋
） ○，存在正n边形，其所有边均在M中l上。
4
。M中l所能围成的正

○面积都相等。
△
6，ABCD是正方形，PA
^
面ABCD，PA＝AB ，MN＝PD，PB中点AM与CN所成
角余弦值：
7，四面体顶点和棱中点共10点，取四个不共面点，then？
8，甲、乙、丙、丁、戊每 人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项
工作至少一人参加，甲、乙不会开车，但能从事其他 三项工作，丙、丁、戊均可，
求种数？
9，
A:
C:
是定义在上的非负可导函数，且满足
，则必有（ ）。
B:
D:


，对任意
正数a，b，若
10，已知函数.f（x）＝
x-1
x
e
(2)若函数y=g(x)对任意x满足g（x）＝f（4-x），求证:当x>2, f(x)>g(x)
1 7

11, 已知函数
（2）若对于任意的
求 的取值范围

，都存在 ，使得 ，
12, 已知椭圆，曲线c
2
：y＝
1
2
x+a，若p是 椭圆c1上一动点，
4
点A（2，0），m是曲线c上的右顶点，
PA
的最小 值为
MA
，求实数m的取值范
围。
13，在斜三角形ABC中，sin A＝－
角A的值为( )

cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则
x
2
y
2
14, 已知双曲线
2
-< br>2
=1(a>0,b>0)y
2
的右焦点为F,过F且斜率为
3
的直线交C于
ab
A,B两点,若
???
=4
???
,则 C的离心率为？
AFFB
15, 设函数
。
（Ⅰ）求
（II）证明：
满足的约束条件；

在两个极值点 ，且
16, 如图所示,已知抛物线E:y
2
=x与圆M:(x-4)
2
+y
2
=r
2
(r>0)相交于A、B、C、D四个点.
求r的取值范围
17, 已知函数f(x)＝e
x
－e
-x
－2x.
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；
(3)已知1.4142<
18,数列满足b
n
=
<1.4143，估计l n2的近似值(精确到0.001)．
n
，若存在正整数m，n
2n+1
，使得，，成等
比数列，求m、n的值。
2 7

11
19,a
n
=nln（
1+
）+ -1
n2n
（Ⅱ）求证：a
n
＜；
（Ⅲ）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，求证：S
n
＜．
20, g(x)=10sinx-8，证明:存在无穷多个互不相同的正整数
21, 已知
S满足
是（ ）
A:
C:
B:
D:

的内角a，b，c满足
,使得.
，面积
，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的
22， 已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，证明：
ln4
2
+…+
23，已知椭圆
D四点，已知
ln（n+1）
2
＞（n∈N
+
）．
ln2
2
+ln3
2
+
，过E（1，0） 作两条直线AB与CD分别交椭圆于A，B，C，
．
（1）若AB的中点为M，CD的中点为 N，求证：①
该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；
为定值，并求出
x
2
y
2
24，
+=1
,当过点
42
上取点Q，满 足
的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB
，证明：点Q总在某定直线上。
25，设a＞0,b＞0,c＞0,求证:2( )≤3(
3 7
).

26，已知函数
求证:
27，已知函数f(x)＝
时，恒有a
n
<3成立．
28，f（x）＝
lnx1
+
若有
x+1x
,其中.
.
，如果数列{a
n
}满足a
1
＝4，a
n＋
1
＝f(a
n
)，求证：当n≥2
(，)，求的取值范围。
1
29，设0＜a，b，c＜1，求证（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不可能同时 大于
4
30，设函数
.
(Ⅱ)证明：对任意正数，都有；
其中为自然对数的底数，
(Ⅲ)若，证明：.
31，对于数对序列P:(a
1
,b
1
),(a
2
,b
2
),…,(a
n
,b
n
), 记T
1
(P)=a
1
+b
1

T
k
(P)=b
k
+max{T
k-1
(P),a
1
+a2
+…+a
k
}(2≤k≤n)
(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数 中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列
P:(a,b),(c,d)和P ':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T
2
(P)和T
2
(P')的大小;
(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(1 1,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一
个数对序列P使T
5
(P)最 小,并写出T
5
(P)的值.(只需写出结论)
32，在平面直角坐标系中，对于任 意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横
纵坐标都是整数的点）
，其中
两点列的起 点和终点分别相同；
：
，若同时满足：
线段，其中
与：
，则称与
4 7
互为正交点列。

（3）
你的结论.
，，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明
33, 已知圆x
2
+y
2
=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的
动点，若∠ PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程。
34，若正整数a的各位数字之和等于6，那么称a为“好数”(如：6,24,2 013等均为
“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a
1
，a
2
，a
3
，…，若a
n
＝2 013，则
n＝( )
35，已知集合M={1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C 为M的非空子集，若?x∈A，y
∈B，z∈C，x＜y＜z恒成立，则称“A-B-C”为集合M的一 个“子集串”，则集合M
的“子集串”共有 个．
36，的展开式中，的系数为（ ）。
A: 10 B: 20 C: 30 D: 60
37，已知数列满足,,
成等比数列的的值;
,.
(Ⅱ)求出所有使数列
(Ⅲ)求数列的通项公式.
38，设平面上n个圆周最多把平面分成f（n）片（平面区域）f（n）= ？
39，在 平面直角坐标系
x
2
中，椭圆
+y
2
=1

4
(1)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）。点D在椭圆C
上，且，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点。设直线BD，AM的
斜率分别为
(2)求
，，证明存在常数使得，并求出的值
面积的最大值。
40，已知x，y∈R，满足 x
2
+2xy+4y
2
=6，则z=x
2
+4y
2
的取值范围为
5 7

41，已知椭圆的左焦点为F
1< br>，右焦点为F
2
，若椭圆上存
在一点P，满足线段PF
1
相切 于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF
1
的中点，
则该椭圆的离心率为（ ）
42,数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N
1
，其中 N
2
，N
3
分别表
示第二、三行中的最大数，则满足N
1< br>2
3
的所有排列的个数是________．

43, 某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)．
从A点走向B点最短的走法有多少种？
44，f（x＋m）＝f（m－x），证：y＝f（x）关于x＝m对称
45，已知函数
调性。
46，设函数
在区间上具有单调性，且
（A ，，是常数，
，则
，）。若
，a=
0.5
，讨论的单
的最小正周期为_____ 。
47，如图，在中，已知点D在BC边上，，，，
，则BD的长为_____。
48. 在
（ ）。
A: 垂心 B: 内心 C: 外心 D: 重心
49，在
个内角.
中,若,
中，设

，那么动点M的轨迹 必通过的
,求的三
50，若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA， sinB－cosA）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6 7

51，如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO 的延长线与线段BA的延长线交于圆O
外的点D，若，则m+n的取值范围是 ．

52, 设函数
。
（Ⅰ）求a，b ?解得a＝1，b＝2
（Ⅱ）证明：
53, 设函数
。
，
，曲线在点处的切线方程为
（Ⅲ）a＝1，设函数
值），求的最大值。
（表示p，q中的较小
54, 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=， a=，若给定一个b
的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为 ．
55, 人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人
从格外跳 到第8个格子的方法种数为（ ）


7 7