高中数学立体几何常考证明题汇总

立体几何常考证明题汇总
考点1：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
已知四边形
ABCD
是空间四边形，
E,F,G,H
分别是边
AB,BC,CD,DA
的中点
（1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若BD=
23
，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。






考点2：线面垂直，面面垂直的判定
如图，已知空间四边形
ABCD
中，
BC?AC,AD?BD
，E
是
AB
的中点。
求证：（1）
AB?
平面CDE;
（2）平面
CDE?
平面
ABC
。








考点3：线面平行的判定
如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
AA
1
的中点，
求证：
A
1
C
平面
BDE

B
1





考点4：线面垂直的判定
B
E
C
A
D
1
D
B
E
A
B
F
C
G
D
E
A
H
C
A
S
D
D
C
A
C
B

已知
?ABC
中
?ACB?90
,
SA?
面
ABC
,
AD?SC
,求证：
AD?
面
SBC
．









考点5：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
已知正方体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的交点.
D
1
A
1
DO
AB
B
1
C
1
?
面
AB
1
D
1
． 求证：(１) C
1
O∥面
AB
1D
1
；(2)
AC
1












考点6：线面垂直的判定
C
正方体
ABCD?A'B'C'D'
中 ，求证：（1）
AC?平面B'D'DB
；（2）
BD'?平面ACB'
.













考点7：线面平行的判定（利用平行四边形）
正方体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
中．(1)求证： 平面A
1
BD∥平面B
1
D
1
C；
A
1
D
1
B
1
F
C
1

(2)若E、F分别是AA
1
，CC
1
的中点，求证：平面EB
1< br>D
1
∥平面FBD．















考点8：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形
四面体
ABCD
中，
AC?BD,E,F
分别为
AD,BC
的中点，且
EF?
2
AC
，
2
?BDC?90
，求证：
BD?
平面
ACD

















考点9：三垂线定理
如图
P
是
?ABC
所在平面外一点，
PA?PB,CB?
平面< br>PAB
，
M
是
PC
的中点，
N
是
A B
上的点，
AN?3NB

（1）求证：
MN?AB
；（2 ）当
?APB?90
，
AB?2BC?4
时，求
MN
的长。











考点10：线面平行的判定（利用三角形中位线）
如图，在正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E< br>、
F
、
G
分别是
AB
、
AD
、C
1
D
1
的
中点.求证：平面
D
1
E F
∥平面
BDG
.
P
M
C
N
A
B

考点11：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
AA
1
的中点.
（1）求证：
A
1
C
平面
BDE
；
（2）求证：平面
A
1
AC?
平面
BDE
.











考点12：线面垂直的判定,构造直角三角形
已知
ABCD
是矩 形，
PA?
平面
ABCD
，
AB?2
，
PA?AD ?4
，
E
为
BC
的中点．
（1） 求证：
DE?
平面
PAE
；（2）求直线
DP
与平面
PAE
所成 的角．









考点13：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求
法（定义法）
如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB ?60
且边长为
a
的菱形，
侧面
PAD
是等边三角形，且平 面
PAD
垂直于底面
ABCD
．
0

（1） 若
G
为
AD
的中点，求证：
BG?
平面
PAD；
（2）求证：
AD?PB
；
（3）求二面角
A?BC?P
的大小．












考点14：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

?
平面MBD． 如图1，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，
M
为
CC
1
的中点，AC交BD于点O，求证：
AO
1











考点15：线面垂直的判定
如图２，在三棱锥
Ａ
－
BCD
中，
BC
＝
AC
，
AD
＝
BD
，作
BE
⊥
CD
，
Ｅ
为垂足，作
AH
⊥
BE
于
Ｈ
．求证：
AH
⊥平面
BCD
．












考点16：线面垂直的判定，三垂线定理
证明：在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C⊥平面 BC
1
D

D
1
C
1




A
1
B
1





D C

考点17：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
如图，过S引三条长度相等但不共面的线 段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面
ABC⊥平面B SC．
















参考答案
1. 证明：在
?ABD
中，∵
E,H
分别是
AB,AD
的中点∴
EHBD,EH?
同理，
FGBD,FG?
(2) 90° 30 °
1
BD

2
1
BD
∴
EHFG,EH?F G
∴四边形
EFGH
是平行四边形。
2

2. 证明：（1）
BC?AC
?
?
?CE?AB

AE?BE< br>?
AD?BD
?
同理，
?
?DE?AB

AE?BE
?
又∵
CE?DE?E
∴
AB?
平面
CDE

（2）由（1）有
AB?
平面
CDE

又∵
AB?
平面
ABC
， ∴平面
CDE?
平面
ABC

3. 证明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

又
EO
在平面
BDE
内，
A
1
C
在平面
BDE
外
∴
A
1
C
平面
BDE
。
4. 证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC


?BC?
面
SAC


?BC?AD

又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC

5. 证明：（1）连结
A
1
C
1
，设
A
1
C
1
?B
1
D
1
?O
1
，连结
AO
1

∵
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
∴A
1
C
1
∥AC且
A
1
C
1
?AC

又
O
1
,O
分别是
A
1
C
1,AC
的中点，∴O
1
C
1
∥AO且
O
1C
1
?AO

?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C
1
O∥AO
1
,AO
1
?
面
AB
1
D
1
，
C
1
O?
面
AB< br>1
D
1
∴C
1
O∥面
AB
1
D
1

CC
1
?
面
A
1
B
1
C
1
D
1

?CC
1
?B
1
D
!

∵A
1
C
1
?B
1
D
1
?B1
D
1
又，
?B
1
D
1
?面AC
11
C

即AC
1
A
1
C?AD
1
D
1
B
1
?AD
1
?D
1
（2）
同理可证， 又
?
面
AB
1
D
1

?
AC
1

7. 证明：(1)由B
1
B∥DD< br>1
，得四边形BB
1
D
1
D是平行四边形，∴B
1< br>D
1
∥BD，




又BD ?平面B
1
D
1
C，B
1
D
1
?
平面B< br>1
D
1
C，
∴BD∥平面B
1
D
1
C．
同理A
1
D∥平面B
1
D
1
C．
而A< br>1
D∩BD＝D，∴平面A
1
BD∥平面B
1
CD．
(2)由BD∥B
1
D
1
，得BD∥平面EB
1
D
1
．取BB
1
中点G，∴AE∥B
1
G．

从而得B
1
E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B
1
E∥DF．∴DF∥平面EB
1
D
1
．∴平面EB
1< br>D
1
∥平面FBD．
8. 证明：取
CD
的中点
G
，连结
EG,FG
，∵
E,F
分别为
AD,BC
的 中点，∴
EG
1

?
AC

2

1< br>BD
，又
AC?BD,
∴
FG?
1
AC
，∴ 在
?EFG
中，
EG
2
?FG
2
?
1AC
2
?EF
2

FG
?
222
∴
EG?FG
，∴
BD?AC
，又
?BDC?90
，即
BD?CD
，
AC?CD?C

∴
BD?
平面
ACD

9. 证明：（1）取
PA
的中点
Q
，连结
MQ,NQ
，∵
M
是
PB
的中点，
∴
MQBC
，∵
CB?
平面
PAB
，∴
MQ?
平面
PAB

∴
QN
是
MN
在平面
PAB
内的射影 ，取
AB
的中点
D
，连结
PD
，∵
PA?PB,∴
PD?AB
，又
AN?3NB
，
∴
BN?ND

∴
QNPD
，∴
QN?AB
，由三垂线定理得
MN?AB

1
（2）∵
?APB?90
，
PA?PB,
∴
P D?AB?2
，∴
QN?1
，∵
MQ?
平面
PAB
.∴
MQ?NQ
，且
2
1
MQ?BC?1
，∴
MN ?2

2
10. 证明：∵
E
、
F
分别是
AB
、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD
又
EF?
平面
BDG
，
BD?
平面
BDG?
EF
∥平面
BDG

∵
D
1
GEB
?
四边形
D
1
GBE
为平行四边形，
D< br>1
E
∥
GB

EF?D
1
E?E
，
?
平面
D
1
EF
∥平面
BDG
又
D
1
E?
平面
BDG
，
GB?
平面
BD G
?
D
1
E
∥平面
BDG
,
11. 证明：（1）设
AC?BD?O
，
∵
E
、
O
分别 是
AA
1
、
AC
的中点，
?
A
1
C
∥
EO

?
平面
BDE
，
EO?
平面
BDE
，
?
A
1
C
∥平面
BDE< br> 又
AC
1
（2）∵
AA
1
?
平面
ABCD
，
BD?
平面
ABCD
，
AA
1
?BD

又
BD?AC
，
AC?AA
1
?A
2
，
?
BD?
平面
A
1
AC
，
BD?
平面
BDE
，
?
平面
BDE?
平面
A
1
AC

22
12. 证明：在
?ADE
中，< br>AD?AE?DE
，
?
AE?DE

∵
PA?
平面
ABCD
，
DE?
平面
ABCD
，
?
PA?DE
又
PA?AE?A
，
?
DE?
平面
P AE

（2）
?DPE
为
DP
与平面
PAE
所成的角 < br>在
Rt?PAD
，
PD?42
，在
Rt?DCE
中，
DE?22

在
Rt?DEP
中，
PD?2DE
，
?
?DPE?30

13. 证明：（1）
?ABD
为等边 三角形且
G
为
AD
的中点，
?
BG?AD

又平面
PAD?
平面
ABCD
，
?
BG?
平面< br>PAD

（2）
PAD
是等边三角形且
G
为
AD
的中点，
?
AD?PG

且
AD?BG
，PG?BG?G
，
?
AD?
平面
PBG
，
0
PB?
平面
PBG
，
?
AD?PB
< br>（3）由
AD?PB
，
AD
∥
BC
，
?BC?PB

又
BG?AD
，
AD
∥
BC
，
?
BG?BC

?
?PBG
为二面角
A?BC?P
的平面角
在
R t?PBG
中，
PG?BG
，
?
?PBG?45

0

14. 证明：连结MO，
A
1
M
，∵D B⊥
A
1
A
，DB⊥AC，
A
1
A?AC?A，
?
平面
A
1
ACC
1
∴DB⊥
A
1
O
． ∴DB⊥平面
A
1
ACC< br>1
，而
AO
1
设正方体棱长为
a
，则
A1
O
2
?
在Rt△
A
1
C
1
M
中，
A
1
M
2
?
3
2
3
a
，
MO
2
?a
2
．
24
9
2
?OM
．
a
．∵
A
1
O
2
?MO
2
?A
1
M
2
，∴
AO
1
4
∵OM∩DB=O，∴
A
1
O
⊥平面MBD．
15. 证明：取
AB
的 中点
Ｆ
，连结
CF
，
DF
．
∵
AC?BC
，∴
CF?AB
．
∵
AD?BD
，∴
DF?AB
．
又
CFDF?F
，∴
AB?
平面
CDF
．
∵
CD?
平面
CDF
，∴
CD?AB
．
又
CD?BE
，
BE?AB?B
，
∴
CD?
平面
ABE
，
CD?AH
．
∵
AH?CD
，
AH?BE
，
CD?BE?E
，
∴
AH?
平面
BCD
．
16. 证明：连结AC

∵BD⊥AC
∴ AC为A
1
C在平面AC上的射影 ?BD?A
1
C
?
?
?A
1
C?平面BC1
D
同理可证A
1
C?BC
1
?

1 7证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO， 则AO⊥BC，SO⊥BC，
2
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又 ∠BSC=90°，∴BC=
2
a，SO=
2
a，
11
A O
2
=AC
2
－OC
2
=a
2
－
2
a
2
=
2
a
2
，∴SA
2
=A O
2
+OS
2
，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．