高中数学对称性问题-2020浙江高中数学公式
数学立体几何测试卷
一、选择题
1.一条直
线与一个平面所成的角等于
?
,另一直线与这个平面所成的角是
?
.
则这两条直
3
6
线的位置关系
A.必定相交
B.平行
( )
C.必定异面 D.不可能平行
2.下列说法正确的是 。
A.直线a平行于平面M,则a平行于M内的任意一条直线
B.直线a与平面M相交,则a不平行于M内的任意一条直线
C.直线a不垂直于平面M,则a不垂直于M内的任意一条直线
D.直线a不垂直于平面M,则过a的平面不垂直于M
3.设P是平面α外一点,且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等,则四边形是 。
A.梯形 B.圆外切四边形 C.圆内接四边形 D.任意四边形
<
br>4.平面α与正四棱柱的四条侧棱AA
1
、BB
1
、CC
1<
br>、DD
1
分别交于E、F、G、H.若AE=3,BF=4,CG=5,则DH等于
。
A.6 B.5 C.4
D.3
5.二面角α—EF—β是直二面角,C∈EF,AC
?
α,B
C
?
β,∠ACF=30°,∠ACB=60°,则cos∠BCF等于 。
A.
23
3
B.
6
3
C.
2
2
D.
3
36.把∠
A
=60°,边长为
a
的菱形
ABCD
沿对角
线
BD
折成60°的二面角,则
AC
与
BD
的距离为(
)
3
4
?
?
3
4
?
3
2
?
??
6
4
7.|
a
|=|
b
|
=4,〈
a
,
b
〉=60°,则|
a
-
b
|= 。
A. 4 B. 8 C.
37 D. 13
8.三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,M、N分别是
BB
1
、
AC
的
中点,设
AB?a
,
AC?b
,
AA
则
NM
等于 。
1
?c
,
(A)
1
(a?b?c)
(B)
1
(a?b?c)
(C)
1
(a?c)
(D)
a?
2
2
2
1
(c?b)
2
9.如图,棱长为5的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的
边长为1的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各
面)是 。
A.258 B.234 C.222 D.210
10.已知
O
是三角形
ABC
外一点,且
OA,OB,OC
两两垂直,则三角形
ABC
一定是
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形
(D)都有可能
二、填空题
11.边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD
,如果AB与平面α的距离为
2
,则AC与平面α所成
角的大小是
。
12.已知空间四形OABC的各边和对角线的长均为1,则OA与平面ABC所成角的
余弦值的大小是___________
13.已知AB是异面直线a、b的公垂线段,A
B=2,且a与b成30°角,在直线a上取AP=4,则点P到直线b
的距离为
。
14 P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA
?
平面ABCD,P到B、C、
D三点的距离分别为
5
,
17
,
13
,
则P点到A
点的距离为
15.已知a、b是直线,
?
、
?
、
?
是平面,给出下列命题:
①若
?
∥
?
,a
?
?
,则a∥
?
②若a、b与
?
所成角相等,则a∥b
③若
?
⊥
?
、
?
⊥
?
,则
?
∥
?
④若a⊥
?
, a⊥
?
,则
?
∥
?
其中正确的命题的序号是________________。
三、解答题
16.已知ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=
a
,E、F是侧棱PD、PC的中点。
(1)求证:EF∥平面PAB ;
(2)求直线PC与底面ABCD所成角
?
的正切值;
17.在正方体ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
O为底面ABCD的中心,F为CC
1
的中点,求证:
A
1
O?平
面BDF
。
18.在△ABC所在平面外有点S,斜线SA⊥AC,S
B⊥BC,且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等.
(1)求证:AC=BC;
(2)又设点S到平面ABC的距离为4c
m
,AC⊥BC且AB=6c
m
,
求S与AB的距离.
S
A
C
O B
19.平面E
F
GH分别平行空间四边形ABCD中
的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、
F
、G、=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求证E
F
GH为矩形;
(2)点E在什么位置,S
E
F
GH
最大?
20.如图:直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C1
,底面三角形ABC中,
CA?CB?1
,
?BCA?90?
,棱
AA
1
?2
,M、N
分别为A
1
B
1
、AB的中点
(1)求证:平面A
1
NC∥平面BMC
1
;
(2)求异面直线A
1
C与C
1
N所成角的大小;
(3)求直线
A
1
N与平面ACC
1
A
1
所成角的大小。
21.已知四边形ACED和四边形CBFE都是矩形,且二面角
A-CE-
B是直二面角,AM垂直CD交CE于M。
(1)求证:AM
?
BD
(2)若AD=
6
,BC=1,AC=
3
,求二面角M-AB-
C的大小。
22.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,
平面MCD
?
平面BCD,AB
?
平面BCD,
AB?23
。
(1) 求点A到平面MBC的距离;
(2)
求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。
23.如题(19)图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA?
底面ABCD,PA=AB=
6
,点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=
3
,求二面角A-
EC-D的平面角的余弦值。
高二立体几何测试卷答案
一、将选择题答案(3’×12=36’)
题
号
答
案
1
D
2
B
3
B
4
C
5
D
6
A
7
A
8
D
9
B
1
0
A
二、填空题答案(4’×5=20’)
11.
30?
;
12
3
.;13.
22
14.2; 15.(1)(4)
3
三、解答题(10’×4=40’)
16.证明:(1)
证明:(2)
连结AC,因为PA
?
平面ABC
D,所以
?PCA
就为直线PC与平面ABCD所成的角
?
。即
?<
br>??PCA
又因为正方形ABCD的边长为
a
,所以AC=
2a
,
所以。
tan
?
?tanPCA?
17.证明:
PAa2
??
AC2
2a
,
DB?AB?AD<
br>DF?DC?CF?AB?
1
AA
1
2
1
1
OA
1
?AA
1
?AO?AA
1
?
AB
?
AD
2
2
不妨设正方体的棱长为1,那么
11
AB
?
AD)
?(AB?AD)
22
111
1
AB?ABAB?ADAD?ABAD?AD
=AA
1
?AB?AA
????
?AD
1
2222
11
?0?0??0?0??0
22
所以,
OA
1?DB
,
OA
1
?DB
。
11
1
A
B
又
OA
1
?DF?
(AA
+
??
AD)
?(ABAA
11
)
2
22
1111
1
AB?ABAD?AB
=
AA
1
?AB
?
AA
??
??
?AAAB?AAAD?AA
1
111
22222
11
?0???0?0?0?0
22<
br>所以,
OA
1
?DF
,
OA
1
?DF
。
又
DB?DF?F
,所以
OA
1
?平面DBF
。
OA
1
?DB?
(AA
1
?
18.(1)证明:过S作SO⊥面ABC于O
19.解:
又∵AB⊥CDE
F
⊥
F
GE
F
GH为矩形.
(2)AG=
x
,AC=
m
,
a
GHx
?
,GH=
x
m
am
b
GFm?xm?x
G
F
=(
m
-
x
)
??
m
bmm
ab
S
E
FGH
=GH·G
F
=
x
·(
m
-
x<
br>)
mm
m
2
m
2
ababab
m
2
m
2
22
=
2
(
mx
-
x
)=
2
(-
x
+
mx
-+)=
2
[-(
x
-)+]
4
44
2
mmm
abm
2
ab
m
?.
当
x
=时,S
E
F
GH最大
=
2
?
44
2
m
20、建系:A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0)
A
1
(1,0,2)
,
B
1
(0,1,2)
,C
1
(0,0,2)
,
M(,,2)
,
N(,
(1)
CN?(,
11
22
11
,0)
221111
,0)
,
C
1
M?(,,0)
,
CN
?C
1
M
,
?CNC
1
M
22221111
A
1
N?(?,,?2)
,
MB?(?,,?2),
A
1
N?MB
,
?A
1
NMB
<
br>2222
?A
1
N?CN?N,C
1
M?MB?M
,
?
平面A
1
NC∥平面BMC
1
(2)
A
1
C?(?1,0,?2)
,
C
1
N?(,
11
,?2)
22
1
?4
710
2
cos<
br>?
??
30
11
5???4
44
?
异面直线A
1
C与C
1
N所成角的大小为
arccos
7
10
30
(3)平面ACC
1
A
1
的法向量为<
br>n?(0,1,0)
,
A
1
N?(?
11
,,?2)
22
sin
?
?
|A
1
N?n|
|A
1
N|?|n|
?
1
2
2
?
6
11
??4?1
44
2
6
直线A1
N与平面ACC
1
A
1
所成角的大小为
arcsin
21.22、(1)
?
四边形ABCD是矩形,
?
BC<
br>?
EC。
又二面角A-EC-
B是直二面角,
?
BC
?
平面AE。
?
DC是直线DB在平面AE上的射影。
又AM
?
CD,AM?
平面AE,
?
AM
?
BD。
(2)设CD交直线AM于点N,因为在Rt
?
ABC中,AC=
3
AD=
6
?
CD=3。
ANAC
AC
2
3
?
又AN
?
CD
?
AN=
2
?
cosCAN=
?AM?
?
ACAM
AN
2
96
?CM
?AM
2
?AC
2
??3?
22
在平面ABC内过C作CP
?
AB,垂足为P,连结MP。
因
为EC
?
BC,EC
?
AC,所以EC
?
平面ABC,所以
CP是MP在平面ABC上的射影。
所以AB
?
MP,
?
MPC就是二面角M-AB-C的平面角。 <
br>3
因为Rt
?
ABC中,
AC?3
,
BC?1
,所以
AB?2
CP?
2
CM63
???2
,所以二面角M-AB-
C的大小为
arctna2
。
所以
tanMPC?
CP22
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