高中数学 直线与圆相关的最值问题

直线与圆相关的最值问题常用的处理方法
圆的轨迹问题在江苏高考中是常 考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题
型从填空题到解答题不固定。
【母题】
（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系
xOy中，若直线
l:kx?y?2k?3?0
上
存在点
P
，使得过点
P
可作一条射线与圆
O:x?y?1
依次交于
A、B
，满足
PA?AB
，则
k
的取
值范围为 .

22
一、与圆相关的最值问题的联系点
1.1 与距离有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离
最小 ，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便
可利用 这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：
（1）圆外一点
A
到圆上距离最近为< br>AO?r
，最远为
AO?r
；
（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
（3）直线与圆相离，则圆 上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
d?r
，最近为
d?r
；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.
（5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.


【例1】 已知圆
C
的方程为：
(x?3)?(y?2)?r(r ?0)
，若直线
3x?y?3
上存在一点
P
，在圆
222< br>C
上总存在不同的两点
M,N
，使得点
M
是线段
PN
的中点，则圆
C
的半径
r
的取值范围

1

为 .

【变式1】（2015届淮 安高三三模第14题）在平面直角坐标系
x?y
中，圆
C
1
:
?
x?1
?
?
?
y?6
?
?25
，圆
C
2
:
?
x?17
?
?
?
y?30
?
?r
2
．若圆
C
2
上存在一点
P
，使得过点
P
可作一条射线与圆
C
1
依次交于
点
?
，
?
，满足
???2??
，则半径
r
的 取值范围是_______.
22
22
【变式2】 过点
M
?1,2
?
的直线
l
与圆
C
：
?
x?3
?
?
?
y?4
?
?25
交于
A,B
两点，
C
为圆心，当
?ACB
最小时，直线
l
的方程是 ．

【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系
xOy
中 ，以点
(1,0)
为圆心且与直线
22
mx?y?2m?1?0(m?R)< br>相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

1.2 与面积相关的最值问题
与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形 的关系，借助函数
求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结 合思想求解.

【例2】 在平面直角坐标系中，
A,B
分别是
x
轴和
y
轴上的动点，若以
AB
为直径的圆
C
与直线
2x?y?4?0
相切，则圆
C
面积的最小值为 ．

【变式1】设
m,n?R
，若直线
mx?ny?1?0
与
x
轴相交于点
A
，与
y
轴相交于点
B
，且
l
与圆
x
2
?y
2
?4
相交所得弦的长为
2
，
O
为坐标原点，则
?ABO
面积的最小值为 ．

二、与圆相关的最值问题常用的处理方法


2

2.1 数形结合法
处理与圆有关的最值问题，应充分考 虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合
思想求解.
【例3】已知实数x，y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0，求：
y
(1)的最大值和最小值；
x
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x
2
＋y
2
的最大值和最小值．



【变式1】（2017江苏高考第13题）在平面直角坐标系
xOy
中,< br>A(?12,0),B(0,6),
点
P
在圆
O：x
2
?y
2
?50
uuuruuur
PA?PB≤20,
则点
P
的横坐标的取值范围是 . 上,若

【变式2】（江苏2012 、12）坐标系
xOy
中，圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
上至少
存在一点 ，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值是 ．

2.2 隐形圆
1、有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在 题中，要通过分析、转化、发现圆（或圆
的方程），从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形 圆”问题。
2、常见解题策略
（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；
??
（2） 动点
P
与两定点
A,B
连线的张角是
90?
（
k< br>PA
?k
PB
??1或PA?PB?0
）确定隐形圆；
（3 ）两定点
A,B
与动点
P
满足
PA?PB?
?
(< br>?
?R)
确定隐形圆；

3
??

（4）两定点
A,B
与动点
P
满足
PA?PB?
?
(
?
?0)
确定隐形圆；
22
（5）两定点
A, B
与动点
P
满足
PA
?
?
(
?
? 0,
?
?1)
确定隐形圆；
PB
（6）由圆周角的性质确定隐形圆。

【例4】已知
A、B< br>是圆
C
1
:x?y?1
上的动点，
AB?
动点，则< br>PA?PB
的取值范围为 .
??
22
3
，
P
是圆
C
2
:(x?3)
2
?(y?4)
2
?1
上的

??
【变式1】已知圆
C:x?(y?4) ?4
和点
Q(2,2)
，过点
P(0,3)
作直线
l
交于
A、B
两点，则
QA?QB
的取值范围为 .

【变式2】若
AB?2, AC?
22
2BC
，则
S
?ABC
的最大值 ．


【变式3】在
VABC
中，已知
AB?AC
，
D
是
AB
中点，若
CD?2
，则
VABC
面积的最大值是 ．

【变式4】已知平面直角坐标系上一点
Q(2 ,0)
和圆
C:(x?2)
2
?y
2
?4
，动点< br>P
到圆
C
的切线长与
PQ
的
比等于
2
，求动点
P
的轨迹方程．



【变式5】已知圆C
1
:(x?2)
2
?y
2
?4
及
C
2
:(x?2)
2
?y
2
?4
．点
P是平面直角坐标系
xOy
内一点，过
点
P
分别作两圆
C
1
，
C
2
的切线，切线长分别为
m,n
，若

4
m
?2
，求动点
P
的轨迹方程．
n

222
【变式
6
】已知圆
O:x?y?r
?
r?0
?
和圆
C:
?
x?4
?
?
?
y?3
?
?18
，对于圆
O
上任意一点
P
，圆
C
22
uuuruu ur
A,B
上均存在两点，使得
PA
g
PB?0
，则
r
的取值范围是

．



222< br>【变式
7
】已知圆
O:x?y?r
?
r?0
?
，直线
x?y?4
与坐标轴分别交于
A,B
两点，若圆
O
上存在点
uuuruuur
P
，使得
PA
g
PB?10，则
r
的取值范围是

．


【变 式8】在平面直角坐标系
xoy
中，过点
A
?
?1,0
?< br>向直线
l:mx?y?m?2?0
作垂线，垂足为
M
，
则点< br>M
到点
N
?
2,3
?
的距离的最大值为 ．

【变式9】在平面直角坐标系
xoy
中，若与点
A
?
2,2
?
的距离为
1
且与点
B
?
m,0< br>?
的距离为
3
的直线恰有
两条，则实数
m
的取值范围 为 ．


【变式10】在平面直角坐标系
x Oy
中，已知圆
C:x
2
?y
2
?4x?0
及点< br>A(?1,0)
，
B(1,2)
．在圆
C
上是
否存在 点
P
，使得
PA
2
?PB
2
?12
？若存 在，求点
P
的个数；若不存在，说明理由．



【变式 11】（江苏2013、17）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A(0,3)< br>，直线
l:y?2x?4
．设圆
C
的半径为
1
，圆心 在
l
上．

5

（1）若圆心
C
也在直线
y?x?1
上，过点
A
作圆
C
的切线 ，求切线的方程；
（2）若圆
C
上存在点
M
，使
MA?2 MO
，求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围．




【变式12】（2017南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方 向的直线）3.8海里的A处，
发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私 艇立即追击．已知缉私艇的最
大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大 航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；
?
3
，
33?5.7446
） （参考数据：
sin17< br>°
6
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理 由．
北






课后练习 1、在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C
:(
x?a
)
?
(
y?a?
2)
?
1
，点
A(0,2 )
，若圆
C
上存在点
M
，
满足
MA?MO?10< br>，则实数
a
的取值范围为 ．

22
l


领海
公海
B
30°
A
22

6

2、 已知圆
O
:
x?y?
1
吗，则圆
M:(x?a)?(y?a?4)?1
，若圆
M
上存在点
P
，过点
P
作圆
2222O
的两条切线，切点为
A、B
，使得
?APB?60
?
，则实数
a
的取值范围为 ．


3、在平面 直角坐标系
xOy
中，已知点
P(?1,0),Q(2,1)
，直线
l:ax?bx?c?0
，其中实数
a,b,c
成等
差数列，若点
P
在直线
l
上的射影为
H
，则线段
QH
的取值范围为 ．


4、设圆
O:x?y?
22
16
，直线< br>l:x?3y?8?0
，点
A?l
，使得圆
O
上存在点
B
，且
?OAB?30?
（
O
9
为坐标原点），则点A
的横坐标的取值范围为 ．


5、已知圆
C:x?y?1
,点
P(x
0
,y
0
)
是直线l:3x?2y?4?0
上的动点,若圆
C
上总存在不同的两
点
A,B
,使得
OA?OB?OP
,则
x
0
的取值范围为 .


6、已知直线
l:x?y?9?0
和圆
M:2x ?2y?8x?8y?1?0
，点
A
在直线
l
上，
B,C< br>为圆
M
上两
点，在
?ABC
中，
?BAC?45?< br>，
AB
过圆心
M
，则点
A
的横坐标的取值范围为 ．


7、已知圆
C
:(
x?
2)
? y?
1
，直线
x?y?1?0
上存在点
P
使得经过
P
直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点，

7
22
22
22

且点
A为
PB
中点，则点
P
的横坐标
x
0
的取值范围 为 ．


8、在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a )
2
＋(y＋a－3)
2
＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N< br>为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为 ．


22
9
、在平面直角坐标系
xOy
中，若直线
y ?k(x?33)
上存在一点
P
，圆
x?(y?1)?1
上存在一点
Q
，
uuuruuur
满足
OP?3OQ
，则实数
k
的最小值为

．




8