高中数学题型讲义(直线与圆)

高中数学题型讲义(直线与圆)
直 线 与 圆 题 型 库（1）
知识精髓
? 直线方程
? 二个概念（斜率、倾斜角）
? 三个距离（点点、点线、平行线间）
? 四组关系（相交、平行、垂直、对称）
? 五种形式（点斜（标准）、斜截、两点、截距、一般）
? 圆方程
? 两种形式（标准、一般）
? 三种关系（点圆、线圆、圆圆）
主干题型
? 倾斜角范围讨论
T1***已知
?
?[
重点难点：
直线间关系
难点：对称关系；直线旋转一定角度后的斜率计算，如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。
直线与圆间关系
圆与圆间关系
温馨提示：时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论
思维路径
T1:
k?
?
??
,)
，求直线
2xcosa?3y?1
的倾斜角范围？
62
33
2cosa5
?
]
,
?k?[?,0)
,
?倾斜角a?[,
?
)
,
cosa?(0,
23
36
T2（10）****
xcosa?3y?2?0
，求其倾斜角范围？
温馨提示：倾斜角范围一般由斜率范围反演，有两种情形：两边和中间，即：
①
k? k
0
或k?k
0
；②
k
1
?k?k
2
斜率逆时针增大：0?
??
,跨过y轴后，
??
?0 正切函 数在
[0,
T2：
k??
33
cosa
?k?
，因 为
?1?cosa?1
??

33
3
如图：直线越靠近y轴，斜率绝对值越大，反之亦然
本题中
??
?
2
)和(
?
2
,
?
)
上单 增
333
?k?
，其绝对值
k?
，直线
333
越 靠
斜率绝对值越大，直线越靠近y轴，绝对值越小，直线越靠近x轴。
? 斜率范围讨论 < br>T1***直线
l
过点
P(?1,2),
且与以
A(?2,? 3),(3,0)
为端点的线段相交，求直线
l
的斜
率范围？
? 求直线方程（求斜率和过点，点斜式是根本）
T1***直线经点
P(2,3)
，且两坐标上的截距相等，求直线方程？
T2****过点
P(2,1)
的直线
l
交两轴于两点，求（1）当
?AOB
面积最小时直线方程？
（2）
PA?PB
最小时直线方程？
近x轴，所以倾斜角是
[0,
?
6
]?[
5
?
,
?
)

6
T1:求直线斜率范围，要重点分析动直线是否存在“垂直 状态”情形，若存在，则分
两类：>0和<0,若不存在，则要么是在.>0类范围，要么在<0类范围 。
通过图形可知本题动直线存在“垂直状态”的情况，因此分两类讨论。

T1：这种类型的题高考不会考，属于基本功题型；但必须熟练掌握，为高考题打下
基础； < br>T2：这类题属于条件约束下的直线方程问题，通解思路就是根据条件选择合适直线
方程形式，写 出含参的直线方程形式，根据约束条件建立参数方程，进而求出参数
即可。这也是所有这类题型的通用解 法。
1 7

高中数学题型讲义(直线与圆)

直 线 与 圆 题 型 库（2）
主干题型
? 两条直线的平行与垂直
T1***（1 0）过点
(1,0)
且与直线
x?2y?2?0
平行（垂直）的直线方程是？
T2****已知两条直线
l
1
:x?ysin
?
?1?0 和l
2
:2xsin
?
?y?1?0
，试求两直线平
行、垂 直时
?
的值。
? 两直线交点问题
T1***直线
l
过 两直线
3x?2y?1?0
和
5x?2y?1?0的交点
，且垂直于直线思维路径
快捷提示：只要涉及到直线问题，就得单拎出斜率不存在的情况进行分析。
T1、略。
T2：先分析①特殊情形：
l
1
?x
轴：sin
?
?0
，此时：
k
1
不存在；k
2??2sin
?

再分析②一般情形：
k
1
=-
1
；k
2
??2sin
?

sin
?
然后再以上的两种情况下分别从平行和垂直约束下求参数值
3x?5y?6?0
的直线方程？
T2****（10）直线
y?kx?1
与直线
x?y?1?0
的交点位于第一象限，则
k
范围？
T1、求出交点和斜率，点斜式写出即可。
T2：可通过图象分析求得。
? 距离问题
T1****求过点（-2，2）且与点（-1,1）的距离为1的直线方程？
T 2****直线
l:3x?y?1?0
及点A（4,1），B（0,4），C（2,0）求（1 ）在直线
l
上求
一点P，使得最小；（2）在直线
l
上求一点Q，使 得绝对值最大。
T1：分特殊情况和一般情况进行分类分析；
T2：图形如图：






同侧 两侧
? 中点问题
T1****过点P（3，0）作直线
l
使它被两条直 线
2x?y?2?0和x?y?3?0
所截得
线段恰好被P点平分，求直线
l
方程？




T1：中点问题一般是设中点线段坐标， 然后中点公式表示中点，如本题：可设线段
的一个端点是
(x
1
,y
1
)
，另一个端点
(x
2
,y
2
)
，则可 列出四个方程（斜率和中点：2+2），
然后只要求出一个端点，则就能把中点线段方程写出，
2 7

高中数学题型讲义(直线与圆)


直 线 与 圆 题 型 库（3）
主干题型
? 点对称问题
T***直线
l
：
y?4x?1
关于点（2,3）对称的直线方程？
思维路径
T：思路1：轨迹法：所求直线上任一点
(x,y)
关于对称点（ 2,3）的对称点（中点关
系）在已知直线上，因此：
2?3?y?4(2?2?x)?1
思路2：点对称直线平行且对称点到两直线距离相等。利用这个几何关系列方程也可。
? 轴对称问题
T****直线
l:3x?4y?1?0
，直线
l
1
:2x?y?4?0
，直线
l
2
与直线
l
1
关于直线
l
对
称，求直线
l
2
方程？

主干题型
? 求圆方程
T：思路1：轨迹法：直线
l
2
上任一点
(x,y)
关于直线
l
的对称点一定在已知直线
l
1
上，
其中轴对称点关系：连线垂直对称轴+中点在对称轴上
思路2： 具体点：在已知直线上取一具体点（0,4），然后求出其关于对称对称的点
（
x
0< br>,y
0
），然后与对称轴和已知直线交点用两点式写出直线方程。
总而言之就是等腰三角形关系
思维路径
圆就抓圆心。因此本类题关键是要把圆心的坐标求出，见弦就垂径！，垂径后解直角
三角形！
T1***圆半径为
10
，圆心在直线
y?2x
上，圆被直线
y?x
截得弦长为
42
，求圆
解略。
标准方程？

T2****圆心在
x
轴上，半径为
5
的圆O位于y轴左侧，且与直 线
x?2y?0
相切，

则圆方程？

T3****（ 10L）过点（1,4）的圆C与直线
x?y?1?0
相切于点B（2,1）则圆C的方

程为？
? 与圆有关的最值问题
T1****已知方程
x?y?4 x?1?0
，求（1）
y?x
范围；（2）求
x?y
的范围；（3）
2222
T1：已知方程
f(x,y)?0
是一条几何曲线，所求表达也是一 种几何度量，综合两者
求出其范围。所求表达一般有三种形式结构：①
?
?ax?by
，直线平移中的截距范
3 7

高中数学题型讲义(直线与圆)
求
y
的范围？
x
围（如：线性规划）；②
?
?( x?a)?(y?b)
：以点
(a,b)
为圆心的圆半径范围；
22
22
T2****（11）在圆
x?y?2x?6y?0
内，过点E（0,1）的最长 弦和最短弦分别为、，
③
?
?
y?b
：曲线上点与点
(a, b)
连线的斜率范围。
x?a
则四边形的面积为？ T2：最长弦：直径；最短弦：中点弦。
直 线 与 圆 题 型 库（4）
主干题型 思维路径
T1：（1）求轨迹方程首先把轨迹点的坐标设为
(x,y)
，然后根据题 目约束条件求出方
程
f(x,y)?0
即可。
? 与圆有关的轨迹问题 < br>?
圆C与一圆圆心距离?它们半径之差（内切）
题目约束关系为：
?
或
2222
T1（11****设圆C与两圆
(x?5)?y?4,(x?5)?y?4
中的一个内切，另一
圆C与另一圆圆心距离?它们半径之和（外切）
?
个外切 ，（1）求圆C的圆心轨迹方程（2）已知点
M(
3545
,),F(5,0)
且P为L
55
?
圆C与一圆圆心距离?它们半径之和（外切）
，然后根据题 目条件求
x,y
方
?
?
圆C与另一圆圆心距离?它们半径之差（内切 ）
程关系。
（2）由（1）可知轨迹L是一组焦点在x轴上的双曲线，已知点M、F分布于一 支
双曲线的两侧，连线与双曲线的交点即为所求。 （2，
(
上动点，求
MP?FP
的最大值及此时点P的坐标。
6525
,?)

55
T:圆的一般方程中参数的范围核心约束就是 “半径表达”>0且二次项系数
?0

16(a
2
?2a?2)
?0
因此首先
a?0
， 然表达半径
r?D?E?4F?
2
a
22
T（10M）****若方 程
ax?ay?4(a?1)x?4y?0
表示圆，求参数
a
取值范围，并< br>? 圆的一般方程应用
222
求出其半径最小的圆方程.
16(a
2
?2a?2)22
r??16(1??
2
)?0
，转化为二次反比 例复合函数的值域问题
2
aaa
2
? 综合求圆方程
T（10M）****根据下列条件求圆方程：
（1） 过点
P(1,1)
和坐标原点，且圆心在直线
2x?3y?1?0
上；
T：（1）标准方程
（2）思维1：标准方程，思维2：切线关系。
（3）思维1：一般方程；思维2：两条线段中垂线交点为圆心
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高中数学题型讲义(直线与圆)
（2） 圆心在直线
y??4x上，且与直线
l:x?y?1?0
相切于点P（3，-2）
（3） 过三点
A(1,12),B(7,10),C(?9,2)




直 线 与 圆 题 型 库（5）
直线与圆关系知识精髓
? 两个问题：切线和弦长
2
222
切线方程：圆方程
(x?a) ?(y?b)?r
，过点
P(x
0
,y
0
)
的切线 方程为：
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r< br>
2
222
特殊情形：
x?y?r
，过 点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为：
x
0
x?y
0
y?r

以上公式推理逻辑：几何法 ：圆心切点连线垂直切线，切点在切线和圆上；代数法：斜截式直线斜率满足相交方程
??0
关 系。当然也可以利用导数工具。
注意：不要忘记斜率不存直线的讨论！
弦长问题：圆截直线 弦：几何法和代数法。几何法（垂径关系下的勾股定理）在圆中首选，代数法通用于所有曲线弦问题。
A B?(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2< br>]

? 三种直线与圆的关系：相交、相切、相离（代数法：
相交二次方程?< br>；几何法：圆心到直线的距离与半径关系）
? 四种圆与圆的关系：相交、内切、外切、相离（外离、内含）几何法：圆心和（差）与半径和（差）关系）
? 圆系方程：
22222
同心圆系：
x?y?Dx?Ey?
?< br>?0
或
(x?a)?(y?b)?r
过两圆交点圆系：
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y)?0
，（?
?0
，不包括圆2）
22
两圆公共弦直线方程：
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0

温馨提示：遇到圆的问题时，多用几何关系，辅以代数处理。
主干题型
? 直线与圆的关系
T1（11）***直线
l:y?k(x?)
与圆
x?y? 1
的位置关系是什么？
T2（11）****将圆
x?y?1
沿x轴正方向 平移1个单位后得圆C，若过点（3,0）的
直线
l
和圆C相切，则直线
l< br>的斜率=？
22
思维路径
T1：遇到参数直线形式，一定要找到变中的不变 ，要不过定点（绕定点转动），要不
1
2
22
斜率不变（倾斜一定平移），本 题直线过定点
(?,0)
，然后再考察定点与圆的关系，
代入计算知：在圆内，因此直 线与圆相交。
当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比较；或者计算相交二次方程的
?

T2：几何法：画出切线直角三角形，并根据直角三角形三边长计算切线斜率。
1
2
5 7

高中数学题型讲义(直线与圆)
T 3（09L）***圆C与直线
x?y?0
及
x?y?4?0
都相切，圆心在 直线
x?y?0
上，代数法：圆心（1,0）到直线
y?k(x?3)
的距离 =半径，求出
k
。
则圆C的方程为？
22
T4(11L)*** *若曲线
C
1
:x?y?2x?0
与曲线
C
2
:y (y?mx?m)?0
有四个不同交
T3：画图从几何关系入手分析。
(x?1)?( y?1)?2

T4：曲线
C
2
是由直线
y?0
和
y?m(x?1)
【过定点（-1,0）】组成，画图后可知，
两条临界直线是斜率为
?
22
点，则参数
m
取值范围？
T5（12）***圆C ：
x?y?4x?0
，
l
过点（3,0），则
l与C
的关系 为？
(先判断定点与圆C的关系：内部，因此相交)
22
3
，旋转过程中不能与0重合（四个交点）。
3
直 线 与 圆 题 型 库（6）
主干题型 思维路径
T1：（1）垂径直角关系求之
? 弦长与中点弦问题
T1****圆
x?y?8
内一点
P(?1 ,2)
，过点P的直线
l
的倾斜角为
?
，直线
l
交 圆于
A、B两点，（1）当
?
?
22
30

3
?
时，的长为？（2）当弦被点P平分时，求直线
l
方程。
定点P与圆心连线斜率
?k
，
0
4
22
（2）思 维1：设出A、B两点坐标，列出在圆上的方程，两式相减求出斜率。
思维2：挖掘几何关系：圆心与弦中点P连线后垂直弦，中点又在弦上。直线方程可
求。
T2：几何法：如图：过圆外一定点固定弦长
利用垂径定理可算出上下对称角的正切值
k'

T2（10）****直线< br>y?kx?3
与圆
(x?3)?(y?2)?4
相交于M、N两点，若
上切线的斜率
k?
MN?23
，则
k
取值范围？（过圆外一定点的定 值弦长问题）
下切线的斜率
k?
T3****直线
y?x?1
上一 点向圆
(x?3)?y?1
引切线，则切线长最小为？
22
k
0
?k'

1?k
0
k'
k
0
?k'
倾斜角的和差关系（正切和差公式）
1?k
0
k'
代数法：表达出
MN?f(k)
，然后满足
f(k)?23

T4（11M）****过点P （3,4）作圆
x?y?1
的两条切线，切点为A、B，则线段长
为？
22
T3：遇到切线连圆心和切点，然后解切心直角三角形：动点P，圆心M，切点Q，
则
PQ?R?PM?PQ?PM?R
,因此切线长由动点与圆心连线长决定。
22222222
T5（12L）****圆C方程为
x?y?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
上至少存在一点，
T4：的一半是切心直角三角形斜边上的高，切心直角三角形 三边都可算出。
T5：此题中的逻辑变化有两方面：直线旋转+每条直线上不同的圆心。分析多方向变
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则
k
的最大值是？
化情形时，要先固定其余变化，分析其余不变的情形下单向变化影响。如此题：
先固定直线方向（斜率固定），然后圆心变化时的临界状态点是圆心到该直线的距离
6 7

高中数学题型讲义(直线与圆)
垂足点，此时是满足两圆有公共点的约束条件 最松条件，也只有在这样的位置，才
能允许直线尽可能逆时针方向旋转，即斜率变大，进而找到最大值状 态：两圆外切+
圆心连线垂直直线。
? 圆之间的位置关系
T****已知两圆< br>x?y?2x?6y?1?0
和
x?y?10x?12y?m?0
，求：
（1）
m
取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切，公切线方程是？
（3）当45时，两圆的公共弦所在直线方程和弦长？

2222
T：先表达出两圆圆心和半径：然后根据条件建立参数方程并求解即可。

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