高中数学教师资格证好考-高中数学课时分层
圆的方程题型总结
一、基础知识
1.圆的方程
圆的标准方程为_
__________________;圆心_________,半径________.
圆的一般方程为___________ _________
____;圆心________ ,半径
__________.
二元二次方程
Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
表示圆的条件为:
(1)_______ _______; (2) _______ __ .
2.直线和圆的位置关系:
直线
Ax?By?C?0
,圆
(x?
a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,圆心到直线的距离为d.
则:(1)d=_________________;
(2)当______________时,直线与圆相离;
当______________时,直线与圆相切;
当______________时,直线与圆相交;
(3)弦长公式:____________________.
3. 两圆的位置关系 <
br>圆
C
x-a
2
y-b
2
2
(
x-a
22
2
1
:
(
1
)
+
(
1
)
=r
1
; 圆
C
2
:
2
)<
br>+
(
y-b
2
)
=r
2
则有:两圆相离
?
__________________;
外切
?
__________________;
相交
?
__________________________;
内切
?
_________________;
内含
?
_______________________.
二、题型总结:
(一)圆的方程
☆1.
x
2
?y
2
?3x?y?1?0
的圆心坐标
,半径 .
☆☆2.点(
2a,a?1
)在圆
x2
+
y
2
-2
y
-4=0的内部,则
a
的取值范围是( )
用心 爱心 专心
1
11
D.-<
a
<1
55
☆☆3.
若方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?
E
2
?4F?0)
所表示的曲线关于直线
y?x
对称,必有(
)
A.-1<
a
<1 B. 0<
a
<1
C.–1<
a
<
A.
E?F
B.
D?F
C.
D?E
D.
D,E,F
两两不相等
☆☆☆4.圆x
2
?y
2
?ax?2ay?2a
2
?3a?0
的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 <
br>☆5.若直线
3x-4y+12=0
与两坐标轴交点为A,B,则以线段
AB<
br>为直径的圆的方程是
( )
A.
x+y+4x-3y=0
B.
x+y-4x-3y=0
C.
x+y+4x-3y-4=0
D.
x+y-4x-3y+8=0
☆☆6.过圆
x
2
?y2
?4
外一点
P
?
4,2
?
作圆的两条切线,
切点为
A,B
,则
?ABP
的外接圆
方程是( )
A.
(x?4)+(y?2)=4
B.
x+(y?2)=4
C.
(x?4)+(y?2)=5
D.
(x?2)+(y?1)=5
☆7.过点
A
(
1
,-1
)
,
B
(
-1,1
)
且圆心在直线
x+y-2=0
上的圆的方程( )
A.
(
x-3
)
+
(
y+1
)
=4
B.
(
x+3
)
+
(
y-1
)
=4
C.
(
x-1
)
+
(
y-1
)
=1
D.
(
x+1
)
+
(
y+1
)
=1
☆☆8.圆
x?y?2x?6y?9?0
关于直线
2x?y?5?0
对称的圆的方程是
( )
A.
(x?7)?(y?1)?1
22
22
22
2222
2222
2222
2222
2222
2222
B.
(x?7)?(y?2)?1
22
22
C.
(x?6)?(y?2)?1
D.
(x?6)?(y?2)?1
☆9.已知△
ABC
的三个项点坐标分别是
A
(4,1),
B
(6,-3),
C
(-3,0),求△
ABC
外
接圆的方程.
用心 爱心 专心
2
☆10.求经过点A(2,-1),和直线
x?y?1<
br>相切,且圆心在直线
y??2x
上的圆的方程.
2.求轨迹方程
☆11.圆
x
2
?y
2
?4y?12?0
上的动点
Q
,定点
A
?
8,0
?
,线段
AQ
的中点轨迹方程
________________
.
☆☆☆12.方程
?
x?y?1
?
x
2
?y<
br>2
?4?0
所表示的图形是( )
A.一条直线及一个圆
B.两个点
C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆
☆
☆13.已知动点
M
到点
A
(2,0)的距离是它到点
B
(
8,0)的距离的一半,
求:(1)动点
M
的轨迹方程;(2)若
N
为线段
AM
的中点,试求点
N
的轨迹.
用心 爱心 专心
3
3.直线与圆的位置关系
2
☆14.圆
(
x-1
)
+y=1
的圆心到直线
y=
2
3
x
的距离是( )
3
A.
1
3
B. C. 1
D.
3
2
2
☆☆15.过点
(
2,1
)
的直线中,被
x
2
+y
2
-2x+4y=0
截得
弦长最长的直线方程为
( )
A.
3x-y-5=0
B.
3x+y-7=0
C.
x+3y-3=0
D.
x-3y+1=0
(?2,0)
☆☆16.已知直线
l
过
点,当直线
l
与圆
x
2
?y
2
?2x
有两
个交点时,其斜率
k
的
取值范围是( )
(?22,22)(?2,2)
A. B. C.
(?
11
22
(?,)
D.
,)
88
44
☆17.圆
x
2
?y
2
?4x?0
在
点
P(1,3)
处的切线方程为( )
A.
x?3y?2?0
B.
x?3y?4?0
C.
x?3y?4?0
D.
x?3y?2?0
☆☆18.过点P(2,1)作圆C:
x
+
y
-
ax
+2
ay
+2
a
+1=0的切线
有两条,则
a
取值范围是( )
A.
a
>-3
B.
a
<-3
22
22
D.-3<
a
<-或
a
>2
55
22
☆☆19.
直线
x?2y?3?0
与圆
(x?2)?(y?3)?9
交于E、F两点,则
?EOF
(O
C.-3<
a
<-
为原点)的面积为(
)
A.
3
2
B.
3
4
C.
65
5
D.
35
5
☆☆20.过点
M
(0,4),被圆
(x?1)
2
?
y
2
?4
截得弦长为
23
的直线方程为 _
_.
用心 爱心 专心
4
☆☆☆21.已知
圆
C
:
?
x?1
?
2
?
?
y?2
?
2
?25
及直线
l:
?
2m?1
?x?
?
m?1
?
y?7m?4
.
?
m?R
?
(1)证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆
C
恒相交;
(2)求直线
l
与圆
C
所截得的弦长的最短长度及此时直线<
br>l
的方程.
22
☆☆☆22.已知圆
x
+
y
+
x
-6
y
+
m
=0和直线
x
+2
y
-3=0交于
P
、
Q
两点,且以
PQ
为直径的
圆恰过坐标原点,求实数<
br>m
的值.
用心 爱心 专心
5
4.圆与圆的位置关系
☆23.圆
x
2
?y
2
?2x?0
与圆
x
2
?y
2
?4y?0
的位置关系为
☆24.已知两圆
C
1
:x
2
?y
2
?10,C<
br>2
:x
2
?y
2
?2x?2y?14?0
.求经过两
圆交点的公共弦所在
的直线方程_______ ____.
☆2
5.两圆
x
+
y-
4
x
+6
y
=0和x
+
y-
6
x
=0的连心线方程为( )
A.
x
+
y
+3=0
C.3
x-y-
9=0
B.2
x-y-
5=0
D.4
x-
3
y
+7=0
2222
☆
26.两圆
C
1
:x
2
?y
2
?2x?2y?2?
0
,
C
2
:x
2
?y
2
?4x?2y?1
?0
的公切线有且
仅有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
☆☆☆27.已知圆
C
1
的方程为
f(x,y)?0
,且<
br>P(x
0
,y
0
)
在圆
C
1
外,圆
C
2
的方程为
f(x,y)
=
f(x
0,y
0
)
,则
C
1
与圆
C
2
一定( )
A.相离 B.相切 C.同心圆
22
D.相交
☆☆28.求圆心在直线
x?y?0
上,且过两圆<
br>x?y?2x?10y?24?0
,
x?y
?2x?2y?8?0
交点的圆的方程.
用心 爱心 专心
6
22
5.综合问题
☆☆29.点
A
在圆
x
2
?y
2
?2y
上,点
B
在直线
y?x?1
上,则
AB
的最小 ( )
A
2?1
B
1?
22
C
2
D
22
☆☆30.若点
P
在直线
2x?3y?10?0
上,直线
PA,PB
分别切圆
x
2
?y
2
?4
于
A,B
两点,
则四边形
PAOB面积的最小值为( )
A 24 B 16 C 8
D 4
2
☆☆31. 直线
y?x?b
与曲线
x?1?y有且只有一个交点,则
b
的取值范围是( )
A.
b?2
2
B.
?1?b?1
且
b??2
D.以上答案都不对
2
C.
?1?b?1
☆☆32.如果实数
x,y
满足
x?y?4x?1?0
求:
y
的最大值;
x
(2)
y?x
的最小值;
(1)
22
x?y
(3)的最值.
用心 爱心 专心
7
☆☆33.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风
中心位于轮船
正西70 km处,受影响的范围是半径长30
km的圆形区域.已知港口位于台风正北40
km
处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
用心 爱心专心
8
圆的方程题型总结
参考答案
1.
(-
31
14
,)
;;2.D;3.C;4.D;5.A;6.D;7.C;8.A;
22
2<
br>9.解:解法一:设所求圆的方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2?r
2
. ①
因为A(4,1),B(6,-3),C(-3,0)都在圆上,
所以它们的坐标都满足方程①,于是
?
a?1,
?
(4?a)2
?(1?b)
2
?r
2
,
?
222
可解得
?
(6?a)?(?3?b)?r,
?
b??3,
?
?
r
2
?25.
?
(?3?a)
2
?(
0?b)
2
?r
2
.
?
?
所以△ABC的外接圆的
方程是
(x?1)
2
?(y?3)
2
?25
.
解法二:因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
所以
先求AB、
BC 的垂直平分线方程,求得的交点坐标就是圆心
y
坐标.
A
?3?1
C
O
∵
k
AB
???2
,k
BC
?
0?(?3)
??
1
,
6?4?3?63
x
线段AB的中点为(5,-1),线段BC的中点为
B
E<
br>33
(,?)
,
22
1
(x?5)
,
2
33
BC的垂直平分线方程
y??3(x?)
. ②
2
2
∴AB的垂直平分线方程为
y?1?
解由①②联立的方程组可得
?
半径
r?|AE|?
①
?
x?1,
∴△ABC外接圆的圆心为E(1,-3),
?
y??
3.
(4?1)
2
?(1?3)
2
?5
.
22
故△ABC外接圆的方程是
(x?1)?(y?3)?25
.
10.解:因为圆心在直线
y??2x
上,所以可设圆心坐标为(
a
,-2<
br>a
),据题意得:
用心 爱心 专心
9
(a?2)
2
?(?2a?1)
2
?
|a?2a?1|2
, ∴
(a?2)
2
?(1?2a)
2
?1
(1?a)
2
,
2
∴
a
=1,
∴ 圆心为(1,-2),半径为
2
,
∴所求的圆的方程为
(x?1)
2
?(y?2)
2
?2
.
2
11.
(x?4)+(y?1)
2
=4
;12.D; <
br>13.解:(1)设动点M(
x
,
y
)为轨迹上任意一点,则点M的轨
迹就是集合
P
?{M||MA|?
1
|MB|}
.
2
由两点距离公式,点M适合的条件可表示为
(x?2)
2
?y<
br>2
?
1
(x?8)
2
?y
2
,
2
平方后再整理,得
x
2
?y
2
?16
.
可以验证,这就是动点M的轨迹方程.
(2)设动点N的坐标为(
x
,
y<
br>),
M
的坐标是(
x
1
,
y
1
).
由于A(2,0),且N为线段AM的中点,所以
x?
2?x
1
0?y
1
,
y?
.所以有
x
1
?2x?2
,
y
1
?2y
①
22
由(1)题知,M是圆
x
2
?y
2
?16上的点,
所以
M
坐标(
x
1
,
y
1
)满足:
x
1
2
?y
1
2
?16
②
将①代入②整理,得
(x?1)
2
?y
2
?4
.
所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,以2为半径的圆(如图中的虚圆为所求).
14.A;15.A; 16.B; 17.D; 18.D; 19.C;
20.
x
=0或15
x
+8
y
-32=0;
21
.解:(1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?
?
m
?1
?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7
?
?x?y?4?0
,所
以直线必经过直线
2x?y?7?0和x?y?4
?0
的交点.由方程组
?
?
2x?y?7?0,
解得
x?y
?4?0
?
?
x?3,
即两直线的交点为
A
(3,1) 又因为点
A
?
3,1
?
与圆心
C
?
1,2
?
的距离
d?5?5
,所以
?
y?1
?该点在
C
内,故不论
m
取什么实数,直线
l
与圆
C
恒相交.
(2)连接
AC
,过
A
作
AC的垂线,此时的直线与圆
C
相交于
B
、
D
.
B
D
为直线被圆所截得
的最短弦长.此时,
AC?5,BC?5,所以BD?225?5
?45
.即最短弦长为
45
.
又直线
AC
的斜率
k
AC
??
1
,所以直线
BD
的斜率为2.此时直线方程<
br>2
用心 爱心 专心
10
为:
y?1?2
?
x?3
?
,即2x?y?5?0.
?
y1
?y
2
?4
?
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
?
2
22.解:由
?
?5y?20y?12?m
?0
?
?
12?m
y
1
y
2
?
?
x?2y?3?0
?
5
?
又
OP
⊥
OQ
, ∴
x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,而
x
1
x
2
=9-6(
y
1
+y
2
)+4
y
1
y
2
=
4m?27
5
4m?2712?m
??0
解得
m
=3.
55
23.相交;
24.
x?y?2?0
; 25.C; 26.B; 27.C;
∴
28.解法一:(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)
将两圆的方程联立得方程组
点
?
x
2<
br>?y
2
?2x?10y?24?0
?
22
?
x?y?
2x?2y?8?0
,
解这个方程组求得两圆的交点坐标
A
(-4,0),
B
(0,2).
因所求圆心在直线
x?y?0
上,故设所求圆心坐标为
(x,?x)
,则它到上面的两上交
(-4,0)和(0,2)的距离相等,故有
(?4?x)
2
?(0?x)
2
?x
2
?(2?x)
2
,
即
4x??12
,∴
x??3
,
y?
?x?3
,从而圆心坐标是(-3,3).
又
r?(?4?3)
2
?3
2
?10
,
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
.
22
解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)
<
br>同解法一求得两交点坐标
A
(-4,0),
B
(0,2),弦AB的中
垂线为
2x?y?3?0
,
它与直线
x?y?0
交点(-3,3)就是圆心,又半径
r?10
,
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
.
22
解法三:(用待定系数法求圆的方程)
同解法一求得两交点坐标为
A
(-4,0),
B
(0,2).
设
所求圆的方程为
(x?a)?(y?b)?r
,因两点在此圆上,且圆心在
x?y?0
上,
222
?
a??3
?
(?4?a)
2
?b
2
?r
2
?
222
所以得方程组
?
?
a?(3?b)?r
,解之得
?
b?3
,
?
?
a?b?0
?
?
r?10
用心 爱心
专心
11
故所求圆的方程为
(x?3)
2
?(y?3)
2
?10
.
解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?)
设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?2x?10y?24?
?
(x
2?y
2
?2x?2y?8)?0
(
?
??1)
,
即
x
2
?y
2?
2(1?
?
)2(5?
?
)8(3?
?
)<
br>x?y??0
.
1?
?
1?
?
1?
?1?
?
5?
?
,?)
.
1?
?
1?
?
1?
?
5?
?
因圆心在直线
x?y?0
上,所以
??0
,解得
?
??2
.
1?
?
1?
?
可知圆心坐标为
(
将
?
??2
代入所设方
程并化简,求圆的方程
x
2
?y
2
?6x?6y?8?0
.
29.A; 30.C; 31.B;
32.(1)
3
;(2
)
?6?2
;(3)
x?y
?
22
?
min
?43
;
?
x
2
?y
2
?
max?7?43
.
33.解:我们以台风中心为原点
O
,东西方向为
x
轴,建立如图所示的直角坐标系.
这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
x
2
?y
2
?30
2
①
轮船航线所在直线
l
的方程为
x
?
y
?1
,即
4x?7y?280?0
② 7040
如果圆
O
与直线
l
有公共点,则轮船受影响,需要改变
航
向;如果
O
与直线
l
无公共点,则轮船不受影响,无需改变航向.
由于圆心
O
(0,0)到直线
l
的距离
|4?0?7?0?280|280
d???30
,
22
67
4?7
所以直线
l
与圆O
无公共点.这说明轮船将不受台风影响,不用改变航向.
用心 爱心 专心
12
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