高中数学视频 那个好-高中数学教师资格难不难
圆
基础知识
如果没有圆,平面几何将黯然失色.
圆是一种特殊的
几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系,
和圆有关的角,切线长定理,圆幂
定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系.
圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,
将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何
问题,“三角形的心”,“几何著名的几何定理”,“共圆、共线、
共点”,“直线形” 将构成圆
的综合问题的基础.
本部分着重研究下面几个问题:
1.角的相等及其和、差、倍、分;
2.线段的相等及其和、差、倍、分;
3.二直线的平行、垂直;
4.线段的比例式或等积式;
5.直线与圆相切;
6.竞赛数学中几何命题的等价性.
命题分析
例1.已知
A
为平
面上两个半径不等的⊙
O
1
和⊙
O
2
的一个交点,两圆的外
公切线分别
为
P
1
P
2
,Q
1
Q
2
,
M
1
、
M
2
分别为
P
1Q
1
、
P
2
Q
2
的中点,求证:
?O
1
AO
2
??M
1
AM
2
.
例2.证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.
例3.延长
AB
至
D
,以
AD
为直径作半圆,圆心为
H
,
G
是半圆上一点,
?ABG
为
锐角.
E
在线段
BH
上,
Z
在半圆上,
EZ
∥
BG
,且<
br>EH?ED?EZ
,
BT
∥
HZ
.求
证:
?
TBG?
2
1
?ABG
.
3
例4.求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等.
例5.设
?A
是△
ABC
中最小的内角,点
B
和
C
将这个三角形的外接圆分成两段弧,
U
是落在不含
A
的那段弧上且
不等于
B
与
C
的一个点,线段
AB
和
AC
的垂直平分线分别
交线段
AU
于
V
和
W
,直线BV
和
CW
相交于
T
.证明:
AU?TB?TC
.
例6.菱形
ABCD
的内切圆
O
与各边分别切于
E,
F,G,H
,在
EF
与
GH
上分别作⊙
O
切线交<
br>AB
于
M
,交
BC
于
N
,交
CD<
br>于
P
,交
DA
于
Q
,求证:
MQ
∥
NP
.
例7.⊙
O
1
和⊙
O
2
与△
ABC
的三边所在直线都相切,
E,F,G,H
为切点,并且
⌒
⌒
EG,FH
的延长线交于点
P
.求证:直线
PA
与
BC
垂直.
例8.在圆中,两条弦
AB,CD
相交于
E
点,
M
为弦
AB
上严格在
E
、
B
之间的点.过
D,E,M
的圆在
E
点的切线分别交直线
BC
、
AC
于
F,G
.已知
AMCE
?t
,求(用t
表
ABEF
示).
例9.设点
D
和
E是△
ABC
的边
BC
上的两点,使得
?BAD??CAE
.又设
M
和
N
1111
???
.
MBMDNCNE
例10.设△
ABC
满足
?A?90?
,
?B??C
,过
A
作△
ABC
外接圆
W
的切线,
交
直线
BC
于
D
,设
A
关于直线
BC的对称点为
E
,由
A
到
BE
所作垂线的垂足为
X
,
AX
的中点为
Y
,
BY
交
W
于
Z
点,证明直线
BD
为△
ADZ
外接圆的切线.
分别是△
ABD
、△
ACE
的内切圆与
BC
的切点.求证
:
例11.两个圆
?
1
和
?
2
被包含在圆
?
内,且分别现圆
?
相切于两个不同的点
M
和
N
.
?
1
经过
?
2
的圆心.经过
?
1
和
?
2
的两个交点的直线与
?
相交于点
A
和
B
,直线
MA
和直线
MB
分别与
?
1
相
交于点
C
和
D
.求证:
CD
与
?
2
相切.
例12.已知两个半径不相等的⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
M
、
N
两点,且⊙
O
1
、⊙
O
2
分别
与⊙
O
内切于
S
、
T
两点.求证:
OM?MN
的充要条件是
S
、
N
、
T
三点共线.
例13.在凸四边形
ABCD
中,
AB
与CD
不平行,⊙
O
1
过
A
、
B
且与边
CD
相切于
点
P
,⊙
O
2
过
C<
br>、
D
且与边
AB
相切于点
Q
.⊙
O
1
和⊙
O
2
相交于
E
、
F
,求证:
EF
平
分线段
PQ
的充要条件是
BC
∥
AD.
例14.设凸四边形
ABCD
的两条对角线
AC
与
BD
互相垂直,且两对边
AB
与
CD
不
平行.点
P
为线段
AB
与
CD
的垂直平分线的交点,且在四边形的内部.求证:
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆的充要条件为<
br>S
?PAB
?S
?PCD
.
训练题
1.△
ABC
内接于⊙
O
,
?BAC?90?
,过
B
、
C
两点⊙
O
的切线交于
P
,
M
为
BC
的中点,求证:(1)
AM
?cos?BAC
;(2)
?BAM
??PAC
.
AP
⌒⌒⌒
CA,AB
的中点,2.已知
A
?
,B
?
,C
?
分别是△
ABC
外接圆上
不包含
A,B,C
的弧
BC,
BC
分别和
C
?A
?
、
A
?
B
?
相交于
M
、
N
两点,
CA
分别和
A
?
B
?
、
B
?
C
?
相交于
P
、
Q
两点,<
br>AB
分别和
B
?
C
?
、
C
?
A
?
相交于
R
、
S
两点.求证:
MN?PQ?R
S
的充要条件是△
ABC
为等边三角形.
3.以△
ABC
的边
BC
为直径作半圆,与
AB
、
CA
分别 交于点D
和
E
,过
D
、
E
作
BC
的
垂线,垂足分别为
F
、
G
.线段
DG
、
EF
交于点
M
.求证:
AM?BC
.
4.在△
ABC
中,已知
?B
内的旁切圆与
CA
相切于
D
,
?C
内的旁切圆与
AB
相切
于
E
,过
DE
和<
br>BC
的中点
M
和
N
作一直线,求证:直线
MN
平分△
ABC
的周长,且与
?A
的平分线平行.
5.在△
ABC
中,已知,过该三角形的内心
I
作直线平行于
AC
交
AB
于
F
.在
BC
边
上取点
P
使得3BP?BC
.求证:
?BFP?
1
?B
.
2
6.半圆圆心为
O
,直径为
AB
,一直线交半圆于
C,D
,交
AB
于
M
(
MB?MA,MC?MD
)
.设
K
是△
AOC
与△
DOB
的外接圆除点
O外之另一交点.求
证:
?MKO
为直角 .
7.已知,
AD<
br>是锐角△
ABC
的角平分线,
?BAC?
?
,
?AD
C?
?
,且
2
co
?
s?cos
?
.求证
:
AD
2
?BD?DC
.
8.
M
为△
ABC
的边
AB
上任一点,
r
1
,r
2
,
r
分别为△
AMC
、△
BMC
、△
ABC
的
内切圆半径;
?
1
,
?
2
,
?
分别为这
三个三角形的旁切圆半径(在
?ACB
内部).
求证:
r
1
?
1
?
2
?
r
2
?
r
?
.
9.设
D
是△
ABC
的边
BC
上的一个内点
,
AD
交△
ABC
外接圆于
X
,
P
、Q
是
X
分别到
AB
和
AC
的垂足,
O
是直径为
XD
的圆.证明:
PQ
与⊙
O
相切当且仅
当
AB?AC
.
10.若
AB
是圆的弦,
M
是<
br>AB
的中点,过
M
任意作弦
CD
和
EF
,连
CD,DE
分别
交
AB
于
X,Y
,则
MX
?MY
.
11.设
H
为△
ABC
的垂心,
P为该三角形外接圆上的一点,
E
是高
BH
的垂足,并
设
PAQB
与
PARC
都是平行四边形,
AQ
与
BR
交于
X
.证明:
EX
∥
AP
.
12.在△
ABC
中,
?C
的平分线分别交
AB
及三角形的外接圆于
D
和
K
,
I
是内切
圆圆心.证明:(1)
111C
IID
????1
. ;(2)
IDIKCIIDIK