高中数学-圆与圆的位置关系测试题

高中数学-圆与圆的位置关系测试题
自我小测
1．已知0＜r＜
2
＋1，则两圆x＋y＝r与(x－1)＋(y＋1)＝2的位置关系是( )
22222
Ａ.外切 B．相交 C．外离 D．内含
2．内切两圆的半 径长是方程x＋px＋q＝0的两个根，已知两圆的圆心距为1，其中一
圆的半径为3，则p＋q等于( )
Ａ.1 B．5 C．1或5 D．以上都不对
3．已知圆C
1
：x＋y－4x＋6y＝0和圆C
2
：x＋y－6x＝0交于A，B两点，则线段AB
的垂直平分线的方程为( )
Ａ.x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．设两圆C
1
，C
2
都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C
1
C
2
|＝( )
Ａ.4 B．4
2
C．8 D．8
2
< br>5．若集合A＝{(x，y)|x＋y≤16}，B＝{(x，y)|x＋(y－2)≤a－1}，且A∩ B＝B，则
a的取值范围是( )
Ａ.a≤1 B．a≥5 C．1≤a≤5 D．a≤5
6．若圆(x－a)＋(y－b)＝b＋1始终平分圆(x＋1)＋(y＋1)＝4的周长 ，则a，b应
满足的关系式是( )
Ａ.a－2a－2b－3＝0 B．a＋2a＋2b＋5＝0
C．a＋2b＋2a＋2b＋1＝0 D．3a＋2b＋2a＋2b＋1＝0
7．若a＋b＝1，则圆(x－a)＋y＝1与圆x＋(y－b )＝1的位置关系为__________．
8．与圆C
1
：(x－1)＋y＝1， 圆C
2
：(x－4)＋(y＋4)＝4均外切的圆中，面积最小的
圆的方程是____ ______．
9．已知圆C
1
：x＋y－2mx＋4y＋m－5＝0，圆C
2
：x＋y＋2x－2my＋m－3＝0，m为何
值时，(1)圆C
1
与圆 C
2
外切；(2)圆C
1
与圆C
2
内含？
22< br>10．已知一个圆和圆C
1
：x＋y－2x＝0相外切，并与直线
l
： x＋
3
y＝0相切于点M(3，
222222
2222
222222
2222
22
22222
2222
2222
2
－< br>3
)，求该圆的方程．
11．如图所示，圆O
1
与圆O
2< br>的半径都是1，|O
1
O
2
|＝4，过动点P分别作圆O
1< br>，圆O
2
的
切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝
2
|PN|.试建立适当的坐标系，求动点P的轨
迹方程．

1

参考答案
1．解析：设圆(x－1)＋(y＋1)＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．
两圆的圆 心距离d(O，O′)＝
1
2
?(?1)
2
＝
2
.
显然有|r－
2
|＜
2
＜
2
＋r.所以两圆相交．
答案：B
2．解析：设方程的两根为x
1
，x
2
， 由x＋px＋q＝0，得
?
2
22
?
x
1
?x
2
??p,

?
x
1
x
2
?q,
因为其中一个圆半径为3，不妨设x
2
＝3，
因为两圆内切，所以|x
1
－3|＝1.
所以x
1
＝4或x
1
＝2.
当x
1
＝4时，p＝－7，q＝12，p＋q＝5.
当x
1
＝2时，p＝－5，q＝6，p＋q＝1.
答案：C
3． 解析：由平面几何知识，知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线，把两圆分
别化为标准式可得两 圆心分别为C
1
(2，－3)，C
2
(3,0)，因为C
1
C
2
所在直线的斜率为3，所以
直线方程为y－0＝3(x－3)，即3x－y－9＝ 0.
答案：C
4．解析：因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)＋(1－a)＝a，(4－b)＋(1－b)＝b，
即a，b为方程(4－x)＋(1－x)＝x的两个根，
整理得x－10x＋17＝0，所以a＋b＝10，ab＝17.
所以(a－b)＝(a＋b)－4ab＝100－4×17＝32，
22
所以|C< br>1
C
2
|＝
(a?b)?(a?b)
＝
32?2＝8.
22
2
222
222222
答案：C
5．解析：由A∩B＝B知B
?
A，故0≤a－1≤4，即1≤a≤5.
答案：C
6．解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x＋1)＋(y＋1)＝4的圆心即可求 得．把两圆
分别化成一般式方程，作差可得公共弦方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a－1＝0 ，它经过圆心
2
22
2

(－1，－1)，代入后有a＋2a＋2b＋5＝0.
答案：B
7．解析：因为圆(x－a)＋y＝1的圆心为(a,0)，半径r
1
＝1；
圆x＋(y－b)＝1的圆心为(0，b)，半径r
2
＝1，
所以圆心距d＝
a
2
?b
2
＝1.
所以|r1
－r
2
|＜d＜r
1
＋r
2
＝2，两圆相交 ．
答案：相交
8．解析：当三圆圆心在一条直线上时，所求圆面积最小．
设所求圆的圆心坐标为(a，b)，已知两圆圆心之间的距离为d＝(1－4)＋(0＋4)＝5，
所以所求圆半径为1.
由已知可知
22
22
22
2
a?1
2
11b?0
2
＝，所以a＝，＝，
4?1
5
5?4?0
5
所以b＝－
8
，
5
?
?
11
?
2
?
8
?
2
y?
＋
???
＝1.
5
??
5
?
所以 所求圆的方程为
?
x?
答案：
?
x?
?
?
11
?
2
?
8
?
2
y?
＋
???
＝1
5
??
5
?
22
9．分析：充分利用两圆位 置关系的判定公式(几何法)．
解：配方得C
1
：(x－m)＋(y＋2)＝9，
C
2
：(x＋1)＋(y－m)＝4.
(1)由圆C
1
与 圆C
2
外切，得
(m?1)?(m?2)
＝3＋2.
即(m＋1)＋(m＋2)＝25，解得m
1
＝－5，m
2
＝2.
故当m＝－5或2时，圆C
1
与圆C
2
外切．
(2)由圆 C
1
与圆C
2
内含，得
(m?1)?(m?2)
＜3－2， 即(m＋1)＋(m＋2)＜1.
解得－2＜m＜－1.
故当－2＜m＜－1时，圆C
1
与圆C
2
内含．
10．解 ：圆C
1
方程化为(x－1)＋y＝1，其圆心C
1
(1,0)，半径为r< br>1
＝1.
设所求圆的圆心为C(a，b)，半径为r.
因为M(3，－
3
)在圆上，
所以r＝
(a?3)?(b?3)
.
因为两圆外切，
22
22
22
22
22
22
22
3

所以|C
1
C|＝1＋
(a?3)?(b?3)
.
所以
(a?1)
2
?b
2
＝1＋
(a?3)?(b ?3)
.①
又因为直线CM⊥
l
，所以k
CM
·k
l
＝－1.
所以－
22
22
b?3
1
·＝－1，解得b＝
3< br>a－4
3
.②
a?3
3
将②代入①可得
?
a?1
?
2
?3(a?4)
2
＝1＋
(a?3)
2
?3(a?3)
w
，
即
4a
2
?26a?49
＝1＋2|a－3|.
当a≥3 时，上式变为
4a
2
?26a?49
＝1＋2(a－3)＝2a－5，所以a ＝4.
代入②可得，b＝0，半径r＝
(a?3)?(b?3)
＝2.
此时圆的方程为(x－4)＋y＝4.
当a＜3时，上式变为
4a
2
?26a?49
＝1－2(a－3)＝－2a＋7，所以a＝0.
22
代入②可得 ，b＝－4
3
，半径r＝
(a?3)?(b?3)
＝6.
22
22
此时圆的方程为x＋(y＋4
3
)＝36.
22
2222
综上所述，该圆的方程为(x－4)＋y＝4或x＋(y＋4
3
)＝ 36.
11．解：如图所示，以直线O
1
O
2
为x轴，线段O1
O
2
的垂直平分线为y轴，建立平面直角
坐标系，则O
1(－2,0)，O
2
(2,0)．

设动点P(x，y)．
由题意得|PM|＝|O
1
P|－|O
1
M|＝(x＋2)＋y－1.
同理，可得|PN|＝(x－2)＋y－1.
因为|PM|＝
2
|PN|，所以|PM|＝2|PN|.
22
2 22
22222
所以(x＋2)＋y－1＝2[(x－2)＋y－1]，
即x＋y－12x＋3＝0.
所以动点P的轨迹方程是x＋y－12x＋3＝0.
22
22
2222
4