高中数学阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用
数学理论
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点
A,B
，设
P
点在同一平面上且满足
PA
?
?,
当
?
?0
且
?
?1
时，
P
点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
PB
（
?
?1
时
P
点的轨迹是线段
AB
的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 < br>定理：
A,B
为两已知点，
P,Q
分别为线段
AB
的 定比为
?
(
?
?1)
的内外分点，则
以
PQ
为直径的圆
O
上任意点到
A,B
两点的距离之比为
?
.< br>
证 （以
?
?1
为例）
设
AB?a,
AP?
APAQ
??
?
，则
PBQB
?
aa
?
aa
.
,PB?,AQ?,B Q?
1?
?
1?
??
?1
?
?1
由相交弦 定理及勾股定理知
a
2
?
2
a
2
222
BC?PB?BQ?
2
,AC?AB?BC?
2
,

??1
?
?1
2
于是
BC?
a
?
2?1
,AC?
?
a
AC
,
?
?
.
2
?
?1
BC
而
P,Q,C
同时在到
A,B
两点距离之比等于
?
的曲线（圆）上，不共线的三点所确
定的圆是唯 一的，因此，圆
O
上任意一点到
A,B
两点的距离之比恒为
?
.

性质1.当
?
?1
时，点
B
在圆
O
内，点
A
在圆
O
外；
当
0?
?
?1
时，点
A
在圆
O
内，点
B
在圆< br>O
外。
性质2.因
AC
2
?AP?AQ
，过
AC
是圆
O
的一条切线。
若已知圆
O
及圆
O
外一点
A
，可以作出与之对应的点
B,
反之亦然。 2a
?
?
a
?
?
性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径 为
PQ?
2
，面积为
?
?
2
?
.

?
?1
?
?
?1
?

1
2

性质4.过点
A
作圆
O
的切线
AC(C
为切点），则
CP,CQ
分别为
?ACB
的内、外角
平分线。 性质5.过点
B
作圆
O
不与
CD
重合的弦
EF ,
则
AB
平分
?EAF.

数学应用
1.设A(?c,0),B(c,0)(c?0)
为两定点，动点
P
到点
A的距离与到点
B
的距离之比为
定值
a(a?0),
求点
P
的轨迹.



2.圆
O
1
和圆O
2
的半径都是1，
O
1
O
2
?4
， 过动点P分别作圆
O
1
和圆
O
2
的切线
，使得PM?2PN
，试建立适当坐标系，求动点
P
的
PM,PN(M,N分别为切点）
轨迹方程.





3.已 知两定点
A(?2,0),B(1,0).
如果动点
P
满足
PA?2 PB
，则点
P
的轨迹所围成
的图形的面积是_______________ _.


4.满足条件
AB?2,AC?2BC
的
?AB C
面积的最大值是___________.




5 .在等腰
?ABC
中，
AB?AC,BD
是腰
AC
上的中线 ，且
BD?3,
则
?ABC
面积

2