高中数学必修二：圆的方程

2019-2020学年高一数学必修二
第三节:圆的方程


1．圆的定义及方程
定义
标准方程
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)
2
＋(y－b )
2
＝r
2
(r＞
0)
x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，
(D
2
＋E
2
－4F＞0)
22
圆心：(a，b)，半径：
r

DE
-，
?
, 圆心：
?
?
22
?
1
半径：D
2
＋E
2
－4F
2
一般方程

2．点与圆的位置关系
点M(x
0
，y
0
)与 圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系： (1)若M(x
0
，y
0
)在圆外，则(x
0
－a)< br>2
＋(y
0
－b)
2
＞r
2
.
( 2)若M(x
0
，y
0
)在圆上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
.
(3)若 M(x
0
，y
0
)在圆内，则(x
0
－a)
2＋(y
0
－b)
2
＜r
2
.



1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝t
2
(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆 ．( )
(3)方程x
2
＋y
2
＋4mx－2y＝0不一定表示圆．( )
2
(4)若点M(x
0
，y
0
)在圆x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x
2
0
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x
2
＋y
2
－ 2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，
则a＝( )
4
A．－
3
C.3
3
B．－
4
D．2
解析：选A 因为圆x
2
＋y
2
－ 2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax
＋y－1＝0的距离d＝
|a＋4－1|
4
＝1，解得a＝－.
2
3
a＋1
第 1 页 共 22 页

3．(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A( －1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程
为________．
解析：设圆心C的坐标为(a，b)，
－1＋12＋4
则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．
22
11< br>半径r＝|AB|＝[1－?－1?]
2
＋?4－2?
2
＝2.
22
∴圆C的标准方程为x
2
＋(y－3)
2
＝2.
答案：x
2
＋(y－3)
2
＝2
4．若方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋2a
2
＋a－1＝0表示圆，则a的取值范 围是________．
a
3
x＋
?
2
＋(y＋a)2
＝－a
2
－a＋1，解析：方程x
2
＋y
2
＋ax＋2ay＋2a
2
＋a－1＝0可化为
?
因
?
2?
4
32
为该方程表示圆，所以－a
2
－a＋1>0，即3a< br>2
＋4a－4<0，所以－243
2
－2，
?
答案：
?
3
??
5．若点(1,1)在圆(x－a)
2
＋(y＋a)
2
＝4的内部，则实数 a的取值范围是________．
解析：因为点(1,1)在圆(x－a)
2
＋( y＋a)
2
＝4的内部，所以(1－a)
2
＋(1＋a)
2
＜4.
即a
2
＜1，故－1＜a＜1.
答案：(－1,1)


考点一 求圆的方程

?重点保分型考点——师生共研?

圆的方程的求法是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为
中高档题.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y
2
＝2x，过点( 2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是
以线段AB为直径的圆.

?

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

?

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.

?

[学审题]
①由此条件可知，直线AB的方程可设为x＝my＋2.如果设为点斜式，则需讨论斜率的

第 2 页 共 22 页

存在性；
②若坐标原点O在圆M上，则OA⊥OB；
③由此可知PA⊥PB，|MO|＝|MP|.
解：(1)证明：设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，l：x＝my＋2.
?
?
x＝my＋2，
由< br>?
2
可得y
2
－2my－4＝0，则y
1
y
2
＝－4.
?
?
y＝2x

y
2
y2
?y
1
y
2
?
2
12
又x
1
＝，x
2
＝，故x
1
x
2
＝＝4.
2 24
y
1
y
2
－4
因此OA与OB的斜率之积为·＝＝－1 ，
x
1
x
2
4
所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)法一：由(1)可得y
1
＋y
2< br>＝2m，x
1
＋x
2
＝m(y
1
＋y
2)＋4＝2m
2
＋4.
故圆心M的坐标为(m
2
＋2，m)，
圆M的半径r＝?m
2
＋2?
2
＋m
2
.
―→―→
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，
故(x
1< br>－4)(x
2
－4)＋(y
1
＋2)(y
2
＋2)＝ 0，
即x
1
x
2
－4(x
1
＋x
2)＋y
1
y
2
＋2(y
1
＋y
2
)＋ 20＝0.
由(1)可知y
1
y
2
＝－4，x
1
x
2
＝4.
1
所以2m
2
－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
2
当 m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，
圆M的方 程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝10.
91
1
，－
?
，圆M的半径当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为
?
2
??
4
2
为
91
8585
x－?
2
＋
?
y＋
?
2
＝. ，圆M的方程为?
?
4
??
2
?
164
法二：由(1)可得y
1
＋y
2
＝2m，x
1
＋x
2
＝m(y< br>1
＋y
2
)＋4＝2m
2
＋4.
故圆心M的坐标为(m
2
＋2，m)．
又圆M过坐标原点O和点P(4，－2)，
∴|MO|＝|MP|，
即(m
2
＋2)
2
＋m
2
＝(m
2
－2)
2< br>＋(m＋2)
2
，
整理得2m
2
－m－1＝0，
1
解得m＝1或m＝－.
2
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0， 圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为10，

第 3 页 共 22 页

圆M的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝10.
91
1
，－
?
，圆M的半径当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－ 4＝0，圆心M的坐标为
?
2
??
4
2
为
918585
x－
?
2
＋
?
y＋
?
2＝. ，圆M的方程为
?
?
4
??
2
?
164
[解题师说]
1．求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据 已知条件列出关于
a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给 出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出
关于D，E，F的方程组，进而求出D，E， F的值．
2．确定圆心的方法
求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：
(1)当题目条件中出现直线 与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来
确定圆心位置；
(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上；
(3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．
[冲关演练]
1．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该
圆的 方程是________________．
解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－ y－5＝0，与y＝－4x联立可求得
圆心为(1，－4)．
所以半径r＝?3－1?
2
＋?－2＋4?
2
＝22，
故所求圆的方程为(x－1)
2
＋(y＋4)
2
＝8.
答案：(x－1)
2
＋(y＋4)
2
＝8
x
2< br>y
2
2．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准< br>164
方程为________________．
解析：由题意知a＝4，b＝2， 上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标
为(4,0)．由圆心在x轴的正半 轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为
(x－m)
2< br>＋y
2
＝r
2
(00)，

第 4 页 共 22 页

?
m＋4＝r，
?
则
?
解得
22
?
?
?4－m?＝r，
22

?
?
25
?
r＝
4
.
2
3
m＝，
2


3
25
x－
?
2
＋y
2
＝. 所以圆的标 准方程为
?
?
2
?
4
3
25
x－
?
2
＋y
2
＝ 答案：
?
?
2
?
4
3．(2018·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x< br>上截得的弦长为27，则该圆的方程为________________．
解析：法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(3a，a)，
又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，
又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，
|2a|
圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝＝2|a|，
2
∴d< br>2
＋(7)
2
＝r
2
，即2a
2
＋7＝9a
2
，∴a＝±1.

故所求圆的方程为(x－3)
2
＋( y－1)
2
＝9或(x＋3)
2
＋(y＋1)
2
＝9. < br>法二：设所求圆的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，
|a－b|
则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为，
2
?a－b?
2
∴r＝＋7，
2
2
即2r
2
＝(a－b)
2
＋14.①
由于所求圆与y轴相切，
∴r
2
＝a
2
，②
又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，
∴a－3b＝0，③
a＝3，
?
?
联立①②③，解得
?
b＝1，
?
?
r
2
＝9

a＝－3，
?
?
或
?
b＝－1，
?
?
r
2
＝9.


故所求圆的方程为( x－3)
2
＋(y－1)
2
＝9或(x＋3)
2
＋(y＋1 )
2
＝9.
答案：(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝9或(x＋3)
2
＋(y＋1)
2
＝9
考点二 与圆有关的轨迹问题

?重点保分型考点——师生共研?

以圆为载体的轨迹方程的求法常出现在高考试题中，题型既有选择题、填空题，有时

第 5 页 共 22 页

也出现在解答题中，难度适中，属于中低档题.
[典题领悟]

设定点M(－3,4)，动点N在圆x
2
＋y2
＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形
MONP，求点P的轨迹．
x y
?
解：如图，设P(x，y)，N(x
0
，y
0
)，则线 段OP的中点坐标为
?
?
2
，
2
?
，
x< br>0
－3y
0
＋4
?
线段MN的中点坐标为
?
?
2
，
2
?
.
因为平行四边形的对角线互相平分， ?
?
x
0
＝x＋3，
x
x
0
－3y
y
0
＋4
所以＝，＝，整理得
?

2222
?
?
y
0
＝y－4.

又点N(x＋3，y－4)在圆x
2
＋y
2
＝4上，
所以(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝4.
所以点P的轨迹 是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以
9122128
－ ，
?
和
?
－，
?
. 应除去两点
?
?
55
??
55
?
[解题师说]
1．掌握“3方法”

2．明确“5步骤”

3．关注1个易错点

第 6 页 共 22 页

此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)
[冲关演练]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截 得线段
长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为
2
，求圆P的方程．
2
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y
2
＋2 ＝r
2
，x
2
＋3＝r
2
，从而y
2
＋2 ＝x
2
＋3.
故P点的轨迹方程为y
2
－x
2
＝1.
(2)设P(x< br>0
，y
0
)．由已知得
|x
0
－y
0
|
2
＝.
2
2
又P点在双曲线y
2
－x
2
＝1上，
?
?
|x
0
－y
0
|＝1，
从而得
?< br>22

?
y－x＝1.
?
00
??
?
x
0
－y
0
＝1，
?
x
0
＝0，
?
由
22
得
?

?
y
0
－x< br>0
＝1，
?
??
y
0
＝－1.


此时，圆P的半径r＝3.
??
?
x
0
－y
0< br>＝－1，
?
x
0
＝0，
由
?
22
得
?

??
y－x＝1，y＝1.
?
0
?
00

此时，圆P的半径r＝3.
故圆P的方程为x
2
＋(y－1)
2< br>＝3或x
2
＋(y＋1)
2
＝3.
考点三 与圆有关的最值问题

?题点多变型考点——追根溯源?

与圆有关的 最值问题是命题的热点内容，重在考查数形结合与转化思想.,常见的命题角
度有：,?1?斜率μ＝f (y－b,x－a)型最值问题；,?2?截距μ＝ax＋by型最值问题；,?3?距离μ＝
?x－a ?
2
＋?y－b?
2
型最值问题.
[题点全练]

角度(一) 斜率μ＝
y－b
型最值问题
x－a
y
1．已 知实数x，y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0，求
x
的 最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)
2
＋y
2
＝3，
表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．

第 7 页 共 22 页

y
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
x
y
所以设
x
＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，
此时
|2k－0|
＝3，
k
2
＋1
解得k＝±3.
y
所以
x
的最大值为3，最小值为－3.
[题型技法] 形如μ＝
y－b
型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问
x－a
y
y－0
题求解．如本题＝表示过坐标圆点的直线的斜率．
x
x－0
角度(二) 截距μ＝ax＋by型最值问题
2．已知实数x，y 满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直
|2－0＋b|
线y＝ x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时
2
＝3，解得b＝－2±6.所以y－ x的最大值为－2＋6，最小值为－2
－6.
[题型技法] 形如μ＝ax＋by型的最值问 题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如
本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值 转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问
题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理 为(x－2)
2
＋y
2
＝3，故可令
?
x－2＝3cos θ，
?
x＝3cos θ＋2，
π
θ－
?
?
即
?
从而y－x＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin
?
?
4
?
?
y＝3sin θ，
?
y＝3sin θ，
－2，进而求出y－x的最大值和最小值．

角度(三) 距离μ＝(x－a)
2
＋(y－b)
2
型最值问题 < br>3．已知实数x，y满足方程x
2
＋y
2
－4x＋1＝0，求x
2
＋y
2
的最大值和最小值．
解：如图所示，x
2
＋y
2
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面
几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两 个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
?2－0?
2
＋?0－0?
2
＝2，
所以x
2< br>＋y
2
的最大值是(2＋3)
2
＝7＋43，


第 8 页 共 22 页

x
2
＋y
2
的 最小值是(2－3)
2
＝7－43.
[题型技法] 形如μ＝(x－a)
2
＋(y－b)
2
型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，
b)的 距离的平方求最值．如本题中x
2
＋y
2
＝(x－0)
2
＋ (y－0)
2
，从而转化为动点(x，y)与坐标
原点的距离的平方．
[题“根”探求]
角度(一)是求μ＝
看个性
y－b
型最值问题；
x－a
y
角度(二)是将角度一中的变换为y－x，即求μ＝ax＋by型最值问题；
x
角度(三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题
求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程
为：
找共性


[冲关演练]
1．(2018·厦门模拟)已知两点A(0，－3)， B(4,0)，若点P是圆C：x
2
＋y
2
－2y＝0上的
动点，则 △ABP的面积的最小值为( )
A．6
C．8
11
B.
2
21
D.
2
解析：选B x
2
＋y
2
－2y＝0可化为x
2
＋(y－1)
2< br>＝1，则圆C为以(0,1)
为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点 P，
xy
连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，
4< br>－3
即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝
16
?
1 11
积的最小值为×5×
?
?
5
－1
?
＝
2
.
2

y＋1
2．已知实数x，y满足(x－2)
2< br>＋(y－1)
2
＝1，则z＝
x
的最大值与最小值分别为______ __
和________．
16
，又|AB|＝3
2
＋4
2
＝5，∴△ABP的面
5

第 9 页 共 22 页

< br>y＋1
解析：由题意，得表示过点A(0，－1)和圆(x－2)
2
＋(y－1 )
2
＝1上的动点(x，y)的直
x
线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直 线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程
为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则
4＋ 74－7

33

(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)
2
＋y
2
＝1
B．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1
C．x
2
＋(y－1)
2
＝1
D．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
??
?
x＝1，
?
x＝1，
?
解析：选B 由得
?

??
?
x＋y＝2，
?
y＝1，
|2k－2|4＋74－7
4±7
＝1，解得k＝，所以z＝，z＝.
maxmin
333
k
2
＋1
答案：

即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，
故圆的方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1.
2．已 知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x
2
＋y
2
＋2x－6y＋1＝0上存 在两点P，Q关于直
线l对称，则m的值为( )
A．2
C．1
B．－2
D．－1
解析：选D 因为曲线x
2< br>＋y
2
＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)
2
＋(y－3)
2
＝9，若圆(x＋1)
2
＋
(y－3)
2
＝9上存在两点 P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以
－1＋3m＋4＝0， 解得m＝－1.
3．若圆x
2
＋y
2
＋2ax－b
2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为( )
A．1
C.2
解析：选B 由半径r＝
B．2
D．4
11
D
2
＋E
2
－4F＝4a
2
＋4b
2
＝2，得a2
＋b
2
＝2.
22
∴点(a，b)到原点的距离d＝a2
＋b
2
＝2，故选B.
4．点P(4，－2)与圆x
2＋y
2
＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1

B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
第 10 页 共 22 页

C．(x＋4)
2
＋(y－2)
2
＝4 D．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
1
解析：选A < br>4
，
?
x＝
x＋
2
设圆上任意一点为(x，y)，中 点为(x，y)，则
?
y－2
y＝
?
2
，
111

即
?
?
x
1
＝2x－4，
?代入x
2
＋y
2
＝4，得(2x－4)
2
＋(2y＋2 )
2
＝4，化简得(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1.
?
y
1
＝2y＋2，
?

5．(2018·成都高 新区月考)已知圆C经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x
－y＋1＝0上，则 该圆的面积是( )

A．5π
C．17π
B．13π
D．25π
解析：选D 法一：设圆心为(a，a＋1)，半径为r(r>0)，则圆的 标准方程为(x－a)
2
＋(y
222
?
?
?1－a?＋? －a?＝r，
－a－1)＝r，又圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，故有
?
解得
222
?
?2－a?＋?－3－a?＝r，
?
22

?
?
a＝－3，
?
故该圆的面积是25π.
?
r＝5，
?

3
11
x－
?
， 即x－3y－3＝0上．由法二：由题意可知圆心C在AB的中垂线y＋＝
?
23
?< br>2
?
??
?
x－3y－3＝0，
?
x＝－3，
?
解得
?
故圆心C为(－3，－2)，半径r＝|AC|＝5，圆的面积是25π.
??
x－y＋1＝0，y＝－2，
??

6．已知圆C的圆心是直 线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
则圆C的方程为( )
A．(x＋1)
2
＋y
2
＝2
C．(x－1)
2
＋y
2
＝2
B．(x＋1)
2
＋y
2
＝8
D．(x－1)
2
＋y
2
＝8
解析：选A 直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1,0)．
根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0)． |－1＋0＋3|
因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝< br>1
2
＋1
2
＝2，
则圆的方程为(x＋1)
2
＋y
2
＝2.
7．(2018 ·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x
2
＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x
＋ 3相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：抛物线x
2
＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x
2
＋(y－1)< br>2

第 11 页 共 22 页

＝r
2
( r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝
x
2
＋(y－1)
2
＝2.
答案：x
2
＋(y－1)
2
＝2
|－ 1＋3|
＝2，故该圆的标准方程是
2
8．在平面直角坐标系内，若曲线C：x
2
＋y
2
＋2ax－4ay＋5a
2
－4＝0上所有的点均在第< br>四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2
＋(y－2a)
2
＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由
a<0，
?
?
题意知
?
|－a|>2，
?
?|2a|>2，

解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．(2018·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C上，且圆
心到直线2x－y＝0的距离为
45
，则圆C的方程为__ ______________．
5
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0 )，且a＞0，所以圆心到直线2x－
y＝0的距离d＝
2a
45
＝，解得a ＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的
5
5
方程为(x－2)
2
＋y
2
＝9.
答案：(x－2)
2
＋y
2
＝9
10．在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相
切的所有圆中，半径最 大的圆的标准方程为________________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0( m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，
半径最大，此时半径r＝2，故所求圆 的标准方程为(x－1)
2
＋y
2
＝2.
答案：(x－1)
2
＋y
2
＝2

B级——中档题目练通抓牢

1．(2018·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为( )
A．x
2
＋y
2
＋10y＝0
C．x
2
＋y
2
＋10x＝0
B．x
2
＋y
2
－10y＝0
D．x
2
＋y
2
－10x＝0
解析：选B 根据题意，设圆心坐标 为(0，r)，半径为r，则3
2
＋(r－1)
2
＝r
2
， 解得r＝
5，可得圆的方程为x
2
＋y
2
－10y＝0.
2．(2018·银川模拟)方程|y|－1＝1－?x－1?
2
表示的曲线是( )
A．一个椭圆
C．两个圆

B．一个圆
D．两个半圆
第 12 页 共 22 页

解析：选D 由题意知|y|－ 1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1
时，原方程可化为(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝1(y≤－1)，其表示 以(1，－1)为圆心、1为半径、直线
y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－?x－1?< br>2
表示的曲线是两个半圆，选D.
3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切 ，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方
程为( )
A．(x＋1)
2
＋(y－1)
2
＝2
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
B．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
D．(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
|4|
＝22，
2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0平行 ，且它们之间的距离为
所以r＝2.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x ＋y＝0和x－y＝0
联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为 (2，－2)，所以圆心
坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)
2
＋(y ＋1)
2
＝2.
4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段， 弧长比为1∶2，则圆C
的方程为 ________________.
2π
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径
3
ππ
243
为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r< br>2
＝，|a|＝，
3333
3
3
?
3
?< br>4
即a＝±，故圆C的方程为x
2
＋
y±
2
＝. < br>3
?
3
?
3
答案：x
2
＋
y±?
?
3
?
2
4
＝
3
?
3< br>5．当方程x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0所表 示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2
的倾斜角α＝________.
解析 ：由题意可知，圆的半径r＝
1
2
1
k＋4－4k
2
＝4－ 3k
2
≤1，当半径r取最大值时，
22
圆的面积最大，此时k＝0，r＝1 ，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，
3π
π)，故α＝
.
4
答案：
3π

4
6．已知以点P为圆心的圆经过点A(－ 1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于
点C和D，且|CD|＝410.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2

第 13 页 共 22 页

＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝410，
∴|PA|＝210，
∴(a＋1)
2
＋b
2
＝40.②
??
?
a＝－3，
?
a＝5，
?
由①②解得或
?

?
b＝6
?
??
b＝－2.

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)
2
＋ (y－6)
2
＝40或(x－5)
2
＋(y＋2)
2
＝40 .
7．已知过原点的动直线l与圆C
1
：x
2
＋y
2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标．
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C
1
的方程化 为标准方程得(x－3)
2
＋y
2
＝4，
∴圆C
1
的圆心坐标为C
1
(3,0)．
(2)设M(x ，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C
1
的交点，且M为AB的中点，
―→―→
∴由圆的性质知：MC
1
⊥MO，∴MC
1
·MO＝0.
―→―→
又∵MC
1
＝(3－x，－y)，MO＝(－x，－y)，
∴x
2
－3x＋y
2
＝0.
易知直线l的斜率存在，
故设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C
1
相切时，
圆心到直线l的距离d＝
25
解得m＝±.
5
把相切时直线l的方程代入圆C
1
的方程化简得
5
9x
2
－30x＋25＝0，解得x＝.
3
当直线l经过圆C
1
的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C
1
交于A，B两点，M为AB的中点，
5
∴3
5
∴点M的轨迹C的方程为x
2
－3x＋y
2
＝0，其中3


|3m－0|
＝2，
m
2
＋1
第 14 页 共 22 页

C级——重难题目自主选做

1．已知M(m，n)为圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求
n－3
的最大值和最小值．
m＋2
解：(1)因为x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0的圆 心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m
＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝
|2＋2×7－t|
≤22，
1
2
＋2
2
解得16－210≤t≤16＋210，
所以m＋2n的最大值为16＋210.
(2)记点Q(－2,3)，
n－3
因为表示直线MQ的斜率k，
m＋2
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得
|2k－7＋2k＋3|
≤22.
1＋k
2
可得2－3≤k≤2＋3，
n－3
所以的最大值为2＋3，最小值为2－3.
m＋2
2．已知圆C的方 程为x
2
＋(y－4)
2
＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l 上，
过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定
点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，
6
设P(a， 2a)，则a
2
＋?2a－4?
2
＝2，解得a＝2或a＝，
5< br>612
?
所以点P的坐标为(2,4)或
?
?
5
，< br>5
?
.
(2)证明：设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直 径的圆，其方程为x(x－b)＋(y
－4)(y－2b)＝0，

第 15 页 共 22 页

整理得x
2
＋y
2
－bx－4y－2 by＋8b＝0，
即(x
2
＋y
2
－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
? ?
?
x＋y－4y＝0，
?
x＝0，
?
由解得
?< br>或
?
x＋2y－8＝0
?
??
y＝4
22

?
?
16
?
y＝
5
，
8
x＝，< br>5


816
?
所以该圆必经过定点(0,4)和
?
?
5
，
5
?
.
(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－1)
2
＋y
2
＝8
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16
B．(x＋1)
2
＋y
2
＝8
D．(x＋1)
2
＋y
2
＝16
解析：选A 因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，
所以圆心M(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆 的半径r，即r＝
所以所求圆的方程为(x－1)
2
＋y
2
＝8.
2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )
A．x
2
＋y
2
＝1
C．(x－1)
2
＋y
2
＝1
B．(x－3)
2
＋y
2
＝1
D．x
2
＋(y－3)
2
＝1
|1－0＋3|
＝22.
2
解析：选A 因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C( 0,0)，所
以所求圆的标准方程为x
2
＋y
2
＝1.
3 ．(2018·兰州模拟)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)
2
＋ (y＋1)
2
＝16分成面积
12
相等的两部分，则＋
b
的 最小值为( )
2a
A．10
C．5
B．8
D．4
解析：选B ∵圆(x＋4)
2
＋(y＋1)
2
＝16的圆 心坐标为(－4，－1)，直线ax＋by＋1＝0
把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4， －1)，∴－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，
∴
8ab
12
?
12
?
＋
b
＝
?
2a
＋
b
?(4a＋b)＝4＋
b
＋≥4＋2
2a2a
8ab
11
×＝8，当且仅当a＝，b＝时取
b
2a82
“＝”，故选B.
4．(20 18·湖北七市(州)联考)关于曲线C：x
2
＋y
4
＝1，给出下列四个命 题：
①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；

第 16 页 共 22 页

②曲线C上的点到原点距离的最小值为1；
③曲线C的长度l满足l>42；
④曲线C所围成图形的面积S满足π上述命题中，真命题的个数是( )
A．4
C．2
B．3
D．1
解析：选A ①将(x ，－y)，(－x，y)，(－x，－y)代入，方程不变，
确定曲线C关于x轴，y轴对称，关于原点 对称，故①正确．
②x
2
＋y
4
＝1?0≤x
2
≤1,0≤y
4
≤1，故x
2
＋y
2
≥x
2
＋y
2
·y
2
＝x
2
＋y
4
＝1，即曲线C上的点到原点的距离为x
2
＋y
2
≥1，故②正确；
③由②知，x
2
＋y
4
＝1的图象位于单位圆x
2
＋y2
＝1和边长为2的正方形之间，如图所
示，其每一段弧长均大于2，所以l>42，故③ 正确；
④由③知，π×1
2
5．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方
程为( )
A．(x＋1)
2
＋(y－1)
2
＝2
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
B．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
D．(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
|4|
＝22，
2
解析：选D 由题意知x－y＝0 和x－y－4＝0平行 ，且它们之间的距离为
所以r＝2.又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由x ＋y＝0和x－y＝0
联立得交点坐标为(0,0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为 (2，－2)，所以圆心
坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)
2
＋(y ＋1)
2
＝2.
6．圆(x－2)
2
＋y
2
＝4 关于直线y＝
3
x对称的圆的方程是________．
3
解析：圆与圆关 于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求
圆的圆心坐标为(a，b)， b－0
3
×
?
?
a－2
3
＝－1，
则
?
b＋0
3
a＋2
＝
?
?
23
×
2
，

?
a＝1，
解得
?
所以圆(x－2 )
2
＋y
2
＝4的圆心关于直线y＝
?
b＝3，

3
x对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x－1)
2
＋(y －3)
2
＝4.
3
答案：(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝4
7． 在平面直角坐标系内，若曲线C：x
2
＋y
2
＋2ax－4ay＋5a
2
－4＝0上所有的点均在第
四象限内，则实数a的取值范围为________．

第 17 页 共 22 页

解析：圆C的标准方程为(x＋a)
2
＋(y－2a)
2
＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由< br>a<0，
?
?
题意知
?
|－a|>2，
?
?
|2a|>2，

解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
x≥0，
?
?
8．已知平面区域
?
y≥0，
?
?
x＋2y－4≤0

恰好被面积最小的圆C： (x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
及其内
部所覆 盖，则圆C的方程为____________________．
解析：由题意知，此平面区域表示 的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其
内部，所以覆盖它的且面积最小 的圆是其外接圆．
∵△OPQ为直角三角形，
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r ＝
因此圆C的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5.
答案：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5
9．已知过原点 的动直线l与圆C
1
：x
2
＋y
2
－6x＋5＝0相交于不 同的两点A，B.
(1)求圆C
1
的圆心坐标．
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)把圆C
1
的方程化 为标准方程得(x－3)
2
＋y
2
＝4，
∴圆C
1
的圆心坐标为C
1
(3,0)．
(2)设M(x ，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C
1
的交点，且M为AB的中点，
―→―→
∴由圆的性质知：MC
1
⊥MO，∴MC
1
·MO＝0.
―→―→
又∵MC
1
＝(3－x，－y)，MO＝(－x，－y)，
∴x
2
－3x＋y
2
＝0.
易知直线l的斜率存在，
故设直线l的方程为y＝mx，
当直线l与圆C
1
相切时，
圆心到直线l的距离d＝
25
解得m＝±.
5
把相切时直线l的方程代入圆C
1
的方程化简得
5
9x
2
－30x＋25＝0，解得x＝.
3

第 18 页 共 22 页
|PQ|
＝5，
2
|3m－0|
＝2，
m
2
＋1

当直线l经过圆C
1
的圆心时，M的坐标为(3,0)．
又∵直线l与圆C
1
交于A，B两点，M为AB的中点，
5
∴3
5
∴点M的轨迹C的方程为x
2
－3x＋y
2
＝0，其中3
10．已知M (m，n)为圆C：x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求m＋2n的最大值；
(2)求
n－3
的最大值和最小值．
m＋2
解：(1)因为x
2
＋y
2
－4x－14y＋45＝0的圆 心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m
＋2n＝t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝
|2＋2×7－t|
≤22，
1
2
＋2
2
解得16－210≤t≤16＋210，
所以m＋2n的最大值为16＋210.
(2)记点Q(－2,3)，
n－3
因为表示直线MQ的斜率k，
m＋2
所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得
|2k－7＋2k＋3|
≤22.
1＋k
2
可得2－3≤k≤2＋3，
n－3
所以的最大值为2＋3，最小值为2－3.
m＋2

B级——拔高题目稳做准做

1．(2018·银川模拟)方程|y|－1＝1－?x－1?
2
表示的曲线是( )
A．一个椭圆
C．两个圆
B．一个圆
D．两个半圆
解析：选D 由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)< br>2
＋(y－1)
2
＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直 线y＝1上方的半圆；当y≤－1

第 19 页 共 22 页

时 ，原方程可化为(x－1)
2
＋(y＋1)
2
＝1(y≤－1)，其表示以( 1，－1)为圆心、1为半径、直线
y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－?x－1?
2
表示的曲线是两个半圆，选D.
2．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴 分成两段，弧长比为1∶2，则圆C
的方程为 ________________.
2π
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径
3
ππ
243
为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r< br>2
＝，|a|＝，
3333
3
3
?
3
?< br>4
即a＝±，故圆C的方程为x
2
＋
y±
2
＝. < br>3
?
3
?
3
答案：x
2
＋
y±?
?
3
?
2
4
＝
3
?
3< br>3．当方程x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0所表 示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2
的倾斜角α＝________.
解析 ：由题意可知，圆的半径r＝
1
2
1
k＋4－4k
2
＝4－ 3k
2
≤1，当半径r取最大值时，
22
圆的面积最大，此时k＝0，r＝1 ，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，
3π
π)，故α＝
.
4
答案：
3π

4
4．已知圆C和直线x－6y－10＝0 相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为
________________．
解析：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，
即y＝－6x＋23.
13
55
x－
?
上，即5x又因为 圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－
?
2
?
27
?
＋7y－50＝0上，
?
?
y＝－6x＋23，
由
?
解得圆心坐标为(3,5)，
?
5x＋7y－50＝0
?

所以半径为?9－3?
2
＋?6－5?
2
＝37，
故所求圆的方程为(x－3)
2
＋(y－5)
2
＝37.
答案：(x－3)
2
＋(y－5)
2
＝37
5．已知圆C 过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝r
2
(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0
对称．

第 20 页 共 22 页

(1)求圆C的方程；
―→―→
(2)设Q为圆C上的一个动点，求PQ·MQ的最小值．
解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，
a－2b－2
??
2
＋
2
＋2＝0，
则
?
b＋2
?< br>?
a＋2
＝1，

则圆C的方程为x
2
＋y
2
＝r
2
，
将 点P的坐标代入得r
2
＝2，故圆C的方程为x
2
＋y
2
＝ 2.
(2)设Q(x，y)，则x
2
＋y
2
＝2，
―→―→
PQ·MQ＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x
2
＋y
2
＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝2cos θ，y＝2sin θ，
―→―→
所以PQ·MQ＝x＋y－2
＝2(sin θ＋cos θ)－2
π
θ＋
?
－2， ＝2sin
?
?
4
?

?
?
a＝0，
解得
?

?
b＝0，
?

?
θ＋
π
??
min
＝－1， 又
?
si n
??
4
??
―→―→
所以PQ·MQ的最小值为－4.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为22 的圆C与直线y＝x
相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
则圆C的方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝8.
因为直线y＝x与圆C相切于原点O，
所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x， a＋b＝8，
?
??
?
?
a＝2，
?
a＝－2 ，
?
于是有
?
b
解得或
?

??
b＝－2b＝2.
＝－1，
??
?
?
a
22


由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，

第 21 页 共 22 页

所以圆C的方程为(x＋2)
2
＋(y－2)
2
＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
22
?
?
?x－4?＋y＝16，
4
则有
?
解得x＝或x＝0(舍去)．
22
5
?
?x＋2?＋?y－2?＝8，
?

41 2
?
所以存在点Q
?
?
5
，
5
?
，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．



第 22 页 共 22 页