重点高中数学圆的方程知识点题型归纳

重点高中数学圆的方程知识点
题型归纳

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：




2

第一讲 圆的方程
一、知识清单
（一）圆的定义及方程
定义
标准
方程
一般
方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r
DE
－，－
?
， 圆心：
?
2
??
2
1
半径：D
2
＋E
2
－4F
2
x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0
(D
2
＋E
2
－4F>0)
1、圆的标准方程与一般方程的互化
（1）将圆的标准方程 (x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
展开并整理得x< br>2
＋y
2
－2ax－2by＋a
2
＋b
2
－ r
2
＝
0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a
2
＋b
2< br>－r
2
，得x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0. < br>（2）将圆的一般方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得 到的方程为：
D
2
E
2
D
2
＋E
2－4F
(x＋)＋(y＋)＝
224
DE1
①当D
2
＋E
2
－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，D
2
＋E
2
－4F为半径的圆；
222
DEDE
②当D
2
＋E
2
－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；
2222< br>③当D
2
＋E
2
－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图 形．
2、圆的一般方程的特征是：x
2
和y
2
项的系数 都为1 ，没有 xy 的二次项.
3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三 个系数，圆的方程就确
定了．

（二）点与圆的位置关系
3

点M(x
0
，y
0
)与圆(x－a)2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系：
（1）若M( x
0
，y
0
)在圆外，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
>r
2
.
（2）若M(x0
，y
0
)在圆上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
.
（3）若M(x
0
，y
0
)在圆内，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
2
.

（三）温馨提示 1、方程Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是 ：
（1）B＝0； （2）A＝C≠0； （3）D
2
＋E
2
－4AF＞0.
2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
（2）圆心在任一弦的中垂线上．
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
3、中点坐标公式：已知平面直角坐标 系中的两点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2< br>)，点M(x，y)是线段
AB的中点，则x＝
x
1
?x
2< br>y?y
2
，y＝
1
.
2
2

二、典例归纳
考点一：有关圆的标准方程的求法
【例1】 圆的圆心是 ，半径是 .

【例2】 点(1,1)在圆(x－a)
2
＋ (y＋a)
2
＝4内，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1)



B．(0,1)
D．(1，＋∞)
4

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【例3】 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x
2
＋(y－2)
2
＝1

B．x
2
＋(y＋2)
2
＝1
D．x
2
＋(y－3)
2
＝1 C．(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1

【例4】 圆(x＋2)
2
＋y
2
＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)
2
＋y
2
＝5
C．(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝5

【变式1】已知圆的方程为
?
x?1
??
x?2
?
?
?
y?2
??
y?4
?
?0
，则圆心坐标为

【变式2】已知圆C与圆
?
x?1
?
?y
2?1
关于直线
y??x
对称，则圆C的方程为
2


B．x
2
＋(y－2)
2
＝5
D．x
2
＋(y＋2)
2
＝5


【变式3】 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该
圆的标准方程是( )
7
y－
?
2
＝1 A．(x－3)
2
＋
?
?
3
?
C．(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1

【变式4】已知
?ABC
的顶点坐标分别是
A
?
?1,5
?
，
B
?
5,5
?
，
C
?
6,?2
?
，求
?ABC
外接
圆 的方程.

B．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
3
x－
?
2
＋(y－1)
2
＝1 D.
?
?
2
?


5

方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．
2．利用圆的几何性质 求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形
结合思想的运用．

考点二、有关圆的一般方程的求法
【例1】 若方程x
2
＋y
2< br>＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则
m
的取值范围是( )
111
A .＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜
444

【例2】 将圆x
2
＋y
2
－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0

【例3】 圆x
2
－2x＋y
2< br>－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．

【变式1】 已知点
P
是圆
C:x?y?4x?ay?5?0
上任意一点，P点关于直线< br>22
D．m＞1
B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
2x?y?1?0
的对称点也在圆C上，则实数
a
=

【变式2】 已知一个圆经过点
A
?
3,1
?
、
B
?
?1,3
?
，且圆心在
3x?y?2?0
上， 求圆的方
程.
6

【变式3】 平 面直角坐标系中有
A
?
0,1
?
,B
?
2,1?
,C
?
3,4
?
,D
?
?1,2
?
四点，这四点能否在同
一个圆上？为什么？



【变式4】 如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切 圆方程为
________________．

方法总结：
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．
2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题
【例1】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x
2
＋y
2
＝32
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16

【例2】 方程
y??25?x
2
表示的曲线是（ ）
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆

【例3】 在
?ABC
中，若点
B,C
的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度 是3，则
点A的轨迹方程是（ ）
7





B．x
2
＋y
2
＝16
D．x
2
＋(y－1)
2
＝16

A.
x?y?3
B.
x?y?4

C.
x?y?9
?
y?0
?
D.
x?y?9
?
x?0
?

22
22
22
22

1
【例4】 已知一曲线是与 两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的
2
方程，并画出曲 线．




【变式1】 方程
x?1?1?
?
y?1
?
所表示的曲线是（ ）
A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆

【变式2】 动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为
( )
A．x
2
＋y
2
＝32
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16




B．x
2
＋y
2
＝16
D．x
2
＋(y－1)
2
＝16
2
【变式3】 如右图，过点M(－6,0)作圆C：x
2
＋y
2
－6x－4y＋9＝0的割 线，交圆C于A、B
两点，求线段AB的中点P的轨迹．






8

【变式4】 如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x
2
＋y
2
＝1上的动点，连接BC并延
长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的 轨迹方程．







方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化
简．
(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．



考点四：与圆有关的最值问题
【例1】 已知圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围
是_____ ___
9

y－2
【例2】 已知x，y满足x
2
＋y
2
＝1，则的最小值为________．
x－1
【例3】 已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝1上的动点，
则|MN|的最小值是( )
9
A.
5

【例4】已知实数x，y满足(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1则2x－y的最大值为________，最小值为
_ _______．

【变式1】 P(x，y)在圆C：(x－1)
2
＋( y－1)
2
＝1上移动，则x
2
＋y
2
的最小值为____ ____．

【变式2】 由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)
2
＋(y＋2)
2
＝1引切线PT(T为切点)，当
|PT|最小时，点P的坐标是( )
A．(－1,1)

【变式3】 已知两点A(－2,0)，B(0,2 )，点C是圆x
2
＋y
2
－2x＝0上任意一点，则△ABC面
积的 最小值是________．

【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的 两条切线，A，B为切点，
求四边形PAMB面积的最小值．

方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法
10

4
B．1 C.
5
13
D.
5
B．(0,2) C．(－2,0) D．(1,3)

y－b
（1）形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上 的动点(x，y)的斜率的最值问题
x－a
（2） 形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
（3）形如(x－a)
2
＋(y－b)
2
的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．
（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：
d?r
（其中d为圆心到
直线的距离）
11