高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几 何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的
方程称为圆系方程。常用的圆 系方程有如下几种：
⑴以为圆心的同心圆系方程
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难 得出在以为直径的圆上。而刚
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算 过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：
，即

⑵过直线与圆的交点的圆系方程
………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线
⑶过两圆
的圆系方程
和圆

的交点
上，则，解之可得
又
此圆系方程中不包含圆
谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程
，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，
满足方程①，则 故
例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为

，即
例1：已知圆
标原点，若，求实数
与直线
的值。
相交于两点，为坐
过直线与圆的交点的圆系方程为

分析：此题最易想到设出

，即
，由得到，利
1
用设而不求的思 想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。

依题意，欲使所 求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的
直径，圆心必在公共弦所在直线上。即， 则
类型二：直线与圆的位置关系
例5、若直线
y?x?m
与曲线
y ?4?x
2
有且只有一个公共点，求实数
m
的取值范围.
代回圆系方程得所求圆方程
解：∵曲线
y?4?x
2
表示半圆x
2
?y
2
?4(y?0)
，∴利用数形结合法，可得实数m
的取值范
例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 恒过一定点P，并
求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就 一定是直线系中任意
两直线的交点。
解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
?
x?2y?1?0
?x?9
解得
??
x?y?5?0
?
y??4
， 即
?
围是
?2?m?2
或
m?22
.
2
1?y
变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.
解析：利用数形结合.
答案：－1＜k≤1或k=－
2


例6 圆
(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
上到直 线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求 出直线
l
1
、
l
2
的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆
(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
的圆心为
O
1
(3,3)
，半径
r?3
．
设圆心
O
1
到直线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例 4已知圆C：（x－1）
2
＋（y－2）
2
＝25，直线l：（2m+1）x +（m+1）y－7m－
4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
2x+y－7=0， x=3，
∵m∈R，∴
x+y－4=0，
得


y=1，
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝
5
＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由k
AC
＝－
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
．
如图，在圆心
O
1
同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且距离为1的直线
l
1
与圆有两个交点，这
两个交点符合题意．
1
，
2
又
r?d?3?2?1
．

∴l的方程为2x－y－5=0.
评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论


2
∴与直线
3x?4y?11?0
平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线
3x?4y?11? 0
，且与之距离为1的直线和圆的交点．设

所求直线为
3x?4y?m ?0
，则
d?
m?11
3?4
22
?1
，
的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程
(x?3)
2
?(y?4)
2
?1
．
可设圆的参数方程为
?
∴
m?11??5
，即m??6
，或
m??16
，也即
l
1
：3x?4y? 6?0
，或
l
2
：3x?4y?16?0
．
设圆
O
1
：(x?3)
2
?(y?3)
2
?9
的圆心到 直线
l
1
、
l
2
的距离为
d
1
、
d
2
，则
?
x?3?cos
?
,
（
?
是参数）．
?
y?4?sin
?
,
则
d?x
2
?y
2
?9?6cos
?
?cos
2
?
?16?8sin
?
?sin
2
?

d
1
?
3?3?4?3 ?6
3?4
22
?3
，
d
2
?
3?3?4 ?3?16
3?4
22
?1
．
?26?6cos
?
?8sin
?
?26?10cos(
?
?
?
)
（ 其中
tan
?
?
所以
d
max
?26?10?36
，
d
min
?26?10?16
．
4
）． 3
∴
l
1
与
O
1
相切，与圆
O
1
有一个公共点；
l
2
与圆
O
1
相交，与圆O
1
有两个公共点．即符合题意的
点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心
O
1
到直 线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
∴圆
O
1
到
3x?4y?11?0
距离为1的点有两个．
显然，上述误 解中的
d
是圆心到直线
3x?4y?11?0
的距离，
d?r
，只能说明此直线与圆有
两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
(法2) 圆上点到原点距离的最大值
d
1
等于圆心到原点的距离
d
1
加上半径1，圆上点到原点距离
'
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
．
的最小值
d
2
等于圆心到原点的距离
d
1
减去半径1．
所以
d
1
?3
2
?4
2
?1?6
．
'
d
2
?3
2
?4
2
?1?4
．
所以
d
max
?36
．
d
min
?16< br>．
(2) (法1)由
(x?2)
2
?y
2
?1< br>得圆的参数方程：
?
则
类型三：圆中的最值问题
例7：圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到直线
x?y?1 4?0
的最大距离与最小距离的差是
22
解：∵圆
(x?2 )?(y?2)?18
的圆心为（2，2），半径
r?32
，∴圆心到直线的距离?
x??2?cos
?
,
?
是参数．
?
y? sin
?
,
y?2sin
?
?2sin
?
?2??t
， ．令
x?1cos
?
?3cos
?
?3d?
10
2
得
sin
?
?tcos
?
?2?3t
，
1?t
2
sin(
?
?
?
) ?2?3t

?52?r
，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离 的差是
?
2?3t
1?t
2
?sin(
?
?
?
)?1
?
3?33?3
?t?
．
44
(d?r)?(d?r)?2r?62
.
例8 (1)已知圆
O
1
：(x?3)?(y?4)?1
，
P(x,y)
为圆
O
上的动点，求
d?x?y
的最大、最
小值．
2222
所以
t
max
?
3?33?3
，
t
min
?< br>．
44
y?2
(2)已知圆
O
2
：
的最大 、最小值，求
x?2y
(x?2)?y?1
，
P(x,y)
为圆上任 一点．求
x?1
22
即
3
y?2
3?33?3
的最大值为，最小值为．
x?1
44

此时
x?2y??2?cos
?
?2sin
?
??2?5cos(
?
?
?
)
．
所以
x?2y
的最大值为
?2?5
，最小值为
?2?5
．
(法2)设
图所示，
即
m??(1?cos
?
?sin
?
)
恒成立．
∴只须
m
不小于
?(1?cos
?
?sin
?)
的最大值．
设
u??(sin
?
?cos
?
)?1??2sin(
?
?
∴
u
max
?2?1
即
m?
y?2
?k
，则
kx?y?k?2?0
．由于
P(x,y)
是圆上点，当直线与圆有交点时，如
x?1
?
4
)? 1

2?1
．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地， 把圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
上的点< br>设为
(a?rcos
?
,b?rsin
?
)
(
?
?[0,2
?
)
)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可
以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．


两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由
d?

?2k?k?2< br>1?k
2
?1
，得
k?
3?3
．
4
所以
y?2
3?33?3
的最大值为，最小值为．
x? 1
44
令
x?2y?t
，同理两条切线在
x
轴上的截距分别 是最大、最小值．
由
d?
?2?m
5
?1
，得
m ??2?5
．
所以
x?2y
的最大值为
?2?5
，最小值 为
?2?5
．
22
例9、已知对于圆
x?(y?1)?1
上任一点
P(x,y)
，不等式
x?y?m?0
恒成立，求实数
m< br>的
取值范围．
22
设圆
x?(y?1)?1
上任一点
P(cos
?
,1?sin
?
)
?
?[0,2
?
)

∴
x?cos
?
，
y?1?sin
?

∵
x?y?m?0
恒成立
∴
cos
?
?1?sin
?
?m?0


4