高中数学必修二立体几何ppt-高中数学课程标准微盘
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数学公式
第一章集合与简易逻辑
1、对于任意集合
2、若集合
A,B
,则
C
U
A
?
C
U
B?
;
?C
U
(A?B)
;
A
中有<
br>n
个元素,则集合
A
的所有不同的子集个数为_________,所有真子集
的个数是
__________,所有非空子集的个数是
,所有非空真子集的个数是 。
3、
A?B
中元素的个数的计算公式为:
Card(A?B)?
;
4、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的
第二章函数
1、函数定义域的求法:
①
y?
f(x)
*
,则 ;
②
y?
2n
f(x)(n?N)
则 ;
g(x)
③
y?[f(x)]
0
,则
; ④如:
y?log
f(x)
g(x)
,则 ;
⑤含参问题的定义域要分类讨论;
⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。
2、函数值域的求法:
①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型
的形式;
②逆
求法(反求法):通过反解,用
常用来解,型如:
f(x)?ax
2
?bx?
c,x?(m,n)
y
来表示
x
,再由
x
的取值范围,通过
解不等式,得出
y
的取值范围;
y?
ax?b
,x?(m,n);
cx?d
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式
法:转化成型如:
y?x?
k
(k?0)
,利用平均值不等式公式来求值域;
x
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。
3、函数的性质:函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
⑴单调性:定义(注意定义是相对与某个具体的区间而言)
1
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判定方法有:①定义法(作差比较和作商比较)②导数法(适用于多项式函数)
注: 函数
上的区间I且x
1
,x
2
∈I.若
f(x
1
)?f
(x
2
)
x
1
?x
2
>0(x
1
≠x
2
),则函数f(x)在区间I上是增函数;
若
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
<0(x
1
≠x
2
),则函数f(x)是在区间I上是减函数。
⑵奇偶性:定义(注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(-x)的关系)
f(x) -f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0
?
f(x)
=-f(-x)
?
f(x)为奇函数。
注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)=
f(|x|);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.
⑶周期性:
①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ,a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。
⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=
a?b
对称;(
即:‘一均二等’的原则)
2
b?a
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-
x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.
2
③你还知道函
数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点,直线x+y+c=0,
直线x-y+c=0
对称的函数吗写出来
⑸函数图象的变换你知道吗平移变换,伸缩变换,翻折变换
⑹函数与反函数之间:f(a)=b
?
f(b)=a
-1
4、常用的初等函数:一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,
y?x?
k
(k?0)
的图象
x
和性质(重点掌握!!)
(1)一次函数:
(2)二次函数:
一般式:
两点式:
y?ax?
b(a?0)
,当
a?0
时,是增函数;当
a?0
时,是减函数;
y?ax
2
?bx?c(a?0)
;对称轴方程是
;顶点为 ;
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
;对称轴方程是
;与
x
轴的交点为 ;
y?a(x?k)
2
?h
;对称轴方程是 ;顶点为
; 顶点式:
(3)反比例函数:
y?
acmx?b
(x?0)
?<
br>y?a?
(遇y=的函数一般用反比例函数来解决)
xx?bnx?a
2
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a
n
(4)指数函数:
y?a(a?0,a?1)
指数运算法则
ab
= ;
m
b
x
mn
=
;
(ab)
= ;
a
= 。
n
0
(5
)对数函数:
y
n
?log
a
x(a?0,a?1)
对数运算法则:log
a
MN=
;log
a
n
M
N
=
;
log
a
M= ;log
a
M
=
;log
a
m
M= ;
log
a
log
a
n
a
=1;
log
a
1=0
log
a
b=
(换底公式);
a
注意:(1)
N
=N(对数恒等式)
y?a
x
与
y?log
a
x
的图象关系是
;
⑹
y?x?
k
(k?0)
的图象:定义域:
;值域: ; 奇偶性: ;
x
单调性:
是增函数; 是减函数。
5、补充内容:抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型:
①
②<
br>f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
正比例函数
f(x)?kx(k?0)
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
;
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
;
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
;
f(
x
1
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
x
2
第三章数列
③
?
S
1
(n?1)<
br>a
1、常用公式:
n
=
?
?
S?S(
n?2且n?N)
n?1
?
n
2、等差数列:⑴定义:若
a
n?1
⑵通项公式:①
a
n
?a
n
?d(d
为常数
)
,则
?
a
n
?
是等差数列(证明等差数列
的依据);
?a
1
?(n?1)d
;②
a
n
?a
m
?(n?m)d
;③
a
n
?dn?b
⑶求和公式:①
S
n
?na
1
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
2
;②
S
n
?;③
S
n
?pn?qn
2
2
*
⑷性质:①
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N),则
②等差数列中
S
k
,S
2k
?S
k,S
3k
?S
2k
成等差数列;
?a
2
???a
n
=③等差数列{
a
n
}中
a
1
n
(a
1
?a
n
)
<
br>2
3、等比数列:⑴定义:若
a
n?1
?q(q
为常数
)
,则
?
a
n
?
是等比数列(证明等比数列的依据);
a
n
3
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⑵通项公
式:①
a
n
?a
1
q
n?1
;②
a
n
?a
m
q
n?m
;
?
na
1(q?1)
?
na
1
(q?1)
?
?
n
⑶求和公式:①
S
n
?
?
a
1
(1?q<
br>n
)
;②
S
n
?
?
a
1
?
a
n
q
; ③
S
n
?Aq?A
?
1?q
(q?1)
?
1?q
(q?1)
?
?
⑷性
质:①
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N),则
②等比数列中
S
k
,S
2k
*
?S
k,S
3k
?S
2k
成比差数列;
③等比数列
{an
}
中.
a
1
a
2
a
3
?a
n
?(a
1
a
n
)
n
2
第四章三角函数
1、 任意圆中圆心角弧度的计算公式:____________;弧长公
式:____________;扇形的面积公式:
____________。(其中α的单位都是_
______)
2、任意角的三角函数的定义:设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意的一点
P
距离是r=_____则:
sin
?
?
x,y
?
,它与原点的
?
___,
cos<
br>?
?
___,
tan
?
?
___,
cot<
br>?
?
___,
sec
?
?
___,
csc<
br>?
?
___。
3、 同角三角函数间的基本关系式:
(1)平方关系:sinα+cosα=1;1+tanα=secα;1+cotα=cscα
(2)商数关系:
tan
?
222222
?
sin
?
cos
?
,cot
?
?
cos
?
si
n
?
(3)倒数关系:sinα·cscα=1;
cosα·secα=1; tanα·cotα=1
4、第一套诱导公式(函数名不变,符号看象限)
(1)sin(2kπ+α)=___
__,cos(2kπ+α)=_____,tan(2kπ+α)=____,
(2)sin(-α)=_______, cos(-α)=_______,
tan(-α)=_______,
(3)sin(π-α)=_______,
cos(π-α)=_______, tan(π-α)=_______,
(4)sin(π+α)=_______, cos(π+α)=_______,
tan(π+α)=_______,
(5)sin(2π-α)=_______,
cos(2π-α)=_______, tan(2π-α)=_______,
第二套诱导公式(函数名改变,符号看象限)
(1)sin(90-α)=_______,
cos(90-α)=_______, tan(90-α)=_______,
(2)sin(90+α)=_______, cos(90+α)=_______,
tan(90+α)=_______,
(3)sin(270-α)=_______,
cos(270-α)=_______, tan(270-α)=_______,
(4)sin(270+α)=_______, cos(270+α)=_______,
tan(270+α)=_______,
5、三角函数的和、差、倍、半公式
(1)和、差角公式:sin(α±β)=___________,cos(α±β)=
, tan(α±β)=___________
▲变形公式:
tanα±tanβ=tan(α±β)(1
?
tanα·tanβ)
000
000
000
000
4
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▲
a
sinx+
b
cosx=
a
2
?b
2
(
a
a?b
b
a
2
?b<
br>2
22
sinx+
b
a?b
22
cosx)=
a
2
?b
2
sin(x+φ),
(其中cosφ=
a
a
2
?b
2
,sinφ=,tanφ=
b
)
a
2222
(2)二倍角公式:sin2α=2sinα·cosα;
cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα
2tan
?
▲万能公式:sin2α=
1?tan
2
?
▲降次公式:sinα=
2
1?tan
2
?
;
cos2α=
1?tan
2
?
2
;
tan2α=
2tan
?
1?tan
2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
, cosα=
22
???
?
▲变形公式:1+sinα =(sin+
cos);1-sinα
=(sin-cos)
2222
??
1+cosα=2cos;
1-cosα=2 sin
22
1?cos
?
???
(3)半角公
式:sin=________, cos=_________,▲tan=________=
s
in
?
222
sin
?
.
1?cos
?
222222
22
=
6、▲(1)三角函数
y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ),振幅为 ,周期为
若函数f(x)是偶函数,则φ= ;若函数f(x)是偶函数,则φ=
。
(3)函数f(x)=Acos(ωx+φ),振幅为 ,周期为
若函数f(x)是偶函数,则φ= ;若函数f(x)是偶函数,则φ=
。
7、函数振幅为A,周期为 。,(1)
A?
y?Asin
?
?
x?
?
?
?k
,
y
大
?y小
2
k
(2)
?
y
大
?y
小
2
(3)
T
=相邻的两个最高点(或最底点)之间的距离,
个拐点的距离,
T
2
=相邻两个最高点与最底点的距离,或相邻两
T
4
=相邻的最值点与拐点的距离。
第五章平面向量
1、若
P
1
(
x
1
,<
br>y
1
),P (
x
,
y
),
P
2<
br>(
x
2
,
y
2
),P分
P
1
P
2
所成的比λ
则定比分点坐标公式是
?
中点坐标公式是
?
?
?
?
?
2、若△ABC三顶
点的坐标为A(
x
1
,
y
1
)、B(
x
2
,
y
2
)、C(
x
3
,
y
3),则△ABC的重心坐标为
5
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?<
br>x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
,
??
.
33
??
3、已知
a
=(
x
1
,
两向量的数量积
,
b
=(
x
2
,
y2
),设它们间的夹角是θ,填下表:
y
1
)
定义形式
坐标形式
a
·
b
=
│
a
│=
a
·
b
=
│
a
│=
向量的长度
两向量间的角度
cos
?
=
cos
?
=
a
在
b
上的投影
两向量垂直
a
⊥
b
a
∥
b
2
a
⊥
b
a
∥
b
2
两向量平行
4、(a+b)(a-b)= ;(a+b)=
;(a-b)=
第六章不等式
1、不等式的性质(作用:解决与不等式有关的问题)
(1)不等式的基本性质:a>b
?
a-b>0; ;
.
(2)对称性:a>b
?
b<a ;b<a
?
.
(3)传递性:a>b且b>c
?
;c<b
且b<a
?
.
(4)加法单调性:a>b
?
;同向不等式相加:a>b且c>d
?
.
(5)不等式变向原则:a>b且c 0
?
ac>bc;a>b且c
0
?
ac<bc .
同向不等式相乘:
?
ac>bd ;
?
a>b
(n
?
N,且n>1).
nn
(6)
?
(7)a>b且ab>0
?
n
a
>
n
b
(n
?
N,且n>1).
11
ab
;a>b且ab<0
?
11
ab
2、几个重要的不等式(作用:(1)证明不等式;(2)解不等式;(3)求最大(小)值)
1.如果a,b
?
,那么a+b≥2ab(当且仅当
时取“=”号)
22
2.如果a,b
?
,那么
a?b
≥
ab
(当且仅当 时取“=”号)
2
6
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3.如果a,b,c
?
,那么
a?b?c
3
≥
abc
(当且仅当 时取“=”号)
3
(
a
2aba?b
a
2
?b
2
5.若a,b都是正数,则≤
ab
≤≤
a?b2
2
6.若a,b
,m都是正数,并且a<b,比较
7.三角形不等式:
?b
时取等号即称不等式链)
aa?mb?mb
≤≤ ≤.
bb?ma?ma
+
a
-<
br>b
≤
a?b
≤
ab
,其中不等式
a?b
≤<
br>ab
+
取“=”号时的充要条
件是
,取“<”号时的充要条件是
第七章直线和圆
1、若直线的斜率是k,则此直线的一个方向向量是_________;
2、经过两点P<
br>1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2<
br>,y
2
)的直线斜率公式k =_________;
3、直线方程:⑴点斜
式:若直线经过点P
1
(x
1
,y
1
),且斜率为k,则直
线的方程设为_____________,
若直线经过
点P
1
(x
1
,y
1
),且斜率为0,则直线的方程为
,
若直线经过点P
1
(x
1
,y
1
),且斜率不存在,则直线的方程为 .
⑵斜截式:若直线斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线的方程设为
.
⑶若直线经过两点P
1
(x
1
,y
1
),P<
br>2
(x
2
,y
2
).则方程设为(x
2
-x
1
)(y-y
1
)=(y
2
-y
1
)(x
-x
1
)
当x
1
≠x
2
,y
1
≠y
2
时,这条直线的方程是 ;
当x
1=x
2
,y
1
≠y
2
时,这条直线的方程是
;
当x
1
≠x
2
,y
1
=y
2
时,这条直线的方程是 .
⑷若截距式:直线在x轴上的截距为a(a
≠0),在y轴上的截距为b
(
b≠0
)
,则直线的方程是
.
⑸直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 (A、B不同时为0),当B≠0时,方程变为
,斜率为 ,
在y轴上的截距为 ;当B=0时,方程变为 .
4、在两坐标轴上截距相等的直线方程可设为 或
.
5、两直线的位置关系
直线方程
斜截式 一般式
l
1
:y?k
1
x?b
1
l
2
:y?k
2
x?b
2
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?
0
乘积式
k
1
与k
2
、b
1
与b
2
的关系
比例式
l
1
与
l
2
平行
7
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l
1
与
l
2
重合
l
1
与
l
2
相交
l
1
与
l
2
垂直
7、已知两点P
1(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y<
br>2
),则
P
1
P
2
=______________
____=_______________;
8、已知直线
l
1
:y=
k
1
x+b
1
和
l
2
:y=k
2
x+b
2
,
l
1
到
l
2
的角为
?
1
,
l
2
到
l
1
的角为
?
2
,
l
1
与
l
2
的夹角为
?
,
若1+k
1
k
2
=0,则
?
1
=
?
2
=
?
=
若1+k
1
k
2
≠0, 则tan
?
1
=
,tan
?
2
= , tan
?
=
.
9、点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离d=
.
10、
两条平行线Ax+By+C
1
=0与Ax+By+C
2
=0的距离d=
.
11、曲线C:f
(
x,y
)
=0.关于x轴的对称曲线C1
的方程为 ,关于y轴的对称曲线C
2
的方程为
,
关于原点的对称曲线C
3
的方程为
,关于直线x-y=0的对称曲线C
4
的方程为 ,关于直线
x+y=0的对称曲线C
5
的方程为
,关于直线x-y+C=0的对称曲线C
6
的方程为
,关于直线
x+y+C=0的对称曲线C
7
的方程为 。
12、关于点对称的两条直线的位置关系是 .
13、与两条平行线
Ax+By+C
1
=0与Ax+By+C
2
=0的距离相等的直线方程是
.
14、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为__________;与直线Ax+By+C
=0垂直的直线可设为__________.
15、二元一次不等式表示的平面区域的判断方法
特殊点代入法:当直线f(x,y)=Ax+By+C=0不过原点时,常用点(0,0)代入
若f(0,0)>0,则原点所在的平面区域即是Ax+By+C>0所表示的平面区域
若f(0,0)<0,则原点所在的平面区域即是Ax+By+C<0所表示的平面区域
公式法:
若A>0,B>0,则Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的_____方
若A>0,B<0,则Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的_____方
若A<0,B>0,则Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的_____方
若A<0,B<0,则Ax+By+C>0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的_____方
不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域与Ax+By+C>0相反
15、圆的方程
8
v1.0 可编辑可修改
⑴圆的标准方程是_________
_________,其中圆心是__________,半径是__________。
⑵二元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0
①当____________时,
方程表示以_____________为圆心,以__________为半径的圆;
②当____
________时,方程表示一个点,此点的坐标是当________________ ;
③当____________时,方程不表示任何图形。
⑶圆的参数方程是_______
___________,其中圆心是__________,半径是__________。
16、
过圆x+y=r上一点(x
0
,y
0
)的切线方程是x
0
x
+ y
0
y=r
222
2222
22
过圆(x-a)+(
y-b)=r上一点(x
0
,y
0
)的切线方程是(x
0
-
a) (x-a)+ (y
0
-b)(y-b)=r
17、直线和圆的几种位置关系
记圆心到直线的距离为d,圆的半径是r, 则
(1)相离
?
______
____;(2)相切
?
__________;(3)相交
?
______
____;
18、圆与圆的几种位置关系
记两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R、r(R≥r),则
(1)相离
?
__________;(2)相外切
?
__________;(3)相交
?__________;
(4)相内切
?
__________;(5
)内含
?
__________。
19、.两圆相交弦所在直线方程的求法: <
br>圆C
1
的方程为:x+y+D
1
x+E
1
y+C1
=0.
圆C
2
的方程为:x+y+D
2
x+E2
y+C
2
=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(C1
-C
2
)=0
第八章圆锥曲线
一、椭圆
1、椭
圆定义:一个动点P,两定点F
1
,F
2
,且
⑴若2
a>
⑵若2
a
=
22
22
2
PF
1<
br>?PF
2
=2
a
(
a
为常数)
F
1
F
2
,则动点P的轨迹是椭圆
,则动点P的轨迹是线段F
1
F
2
,则动点P无轨迹。
F
1
F
2
F
1
F
2
⑶若2
a
<
2、 椭圆的方程:
9
v1.0 可编辑可修改
x
2
y
2
⑴椭圆的标准方程:焦点在x轴上时,方程为
2<
br>?
2
?1
(a>b>0)
ab
y
2
x2
焦点在y轴上时,方程为
2
?
2
?1
(a>b>0)
ab
?
x?acos
?
⑵椭圆的参数方程:焦点在x轴上
时,参数方程为
?
(
?
为参数
)
y?bsin<
br>?
?
焦点在y轴上时,参数方程为
?
?
x?bcos
?
(
?
为参数
)
?
y?asin
?
3、 掌
握椭圆的性质(范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、长轴长2
a
、短轴长2
b
、焦距2c、长半轴
a
、
2b
2
短半轴
b
、半焦
距
c
、通经
a
a
=
b
+
c
222
b
2
、相应焦准距
c
、准线方程、离心率
c
a、焦半径(第二定义)、
)
二、双曲线
1、双曲线定义:一个动点P,两定点
F
1
,F
2
,且
⑴若2
a
>
⑵若2
a
=
PF
1
?PF
2
=2
a
(
a
为常数)
F
1
F
2
,则动点P无轨迹
,则动
点P的轨迹是以F
1
、F
2
为端点的两条射线(在直线F
1
F
2
上)
,则动点P的轨迹是双曲线。
F
1
F
2
F
1
F
2
⑶若2
a
<
x
2y
2
2、双曲线的标准方程:焦点在x轴上时,方程为
2
?
2<
br>?1
(a>0,b>0)
ab
y
2
x
2<
br>焦点在y轴上时,方程为
2
?
2
?1
(a>0,b>0)
ab
3、 掌握双曲线的性质(范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、实轴长2
a
、虚轴长2
b
、焦距2c、
2b
2
实半轴
a<
br>、虚半轴
b
、半焦距
c
、通经
a
半径(第二定义)、
a
+
b
=
c
)
222
b
2、相应焦准距
c
、准线方程、渐近线方程、离心率
c
、焦
ax
2
4、①双曲线方程
2
a
y
2
-
2
b
x
2
=1(a>0,b>0)即
2
a
y
2
-
2
b
=0(或y=±
b
x)
(a>0,b>0)就是其渐近线方程;
a
10
v1.0
可编辑可修改
x
2
②渐近线是
2
a
y
2
-
2
b
x
2
b
=0(或y=±x) (a>0,b>0)的
双曲线设为
2
a
a
y
2
-
2
b
=
λ(λ≠0),k是待定系数.
5、等轴双曲线表示为 ,离心率为
,渐近线为 .
三、抛物线
1、
抛物线定义:一个动点P到定点F的距离与P到定直线
l
的距离的比为
e
.
若0<
e
<1,则动点P的轨迹是椭圆; 若
e
=1,
,则动点P的轨迹是抛物线;
若
e
>1, ,则动点P的轨迹是双曲线
p
2
p
P
焦点在y轴上时,方程可设为x=2py,焦点为(0,),准线方程是y=
?
2
2
2、 抛物线的标准方程:焦点在x轴上时,方程可设为y=2px,焦点为(<
br>2
2
P
2
,0),准线方程是x=
?
3、抛物线的性
质(范围、对称性、顶点坐标、通经为2p、焦准距p、离心率1)
3、 关于抛物线y=2px(p
>0)焦点F弦的端点为A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),性质:⑴
2
AB
= x+ x+ p,
12
x
1
x
2
=
p
2
4
,⑶y
1
y
2
=
?p
2
,⑷
1122p
??
,⑸若AB与对称轴的夹角为
?
,则
AB
=<
br>2
AFBFp
sin
?
。
四、圆锥曲线的性质:
x
2
y
2
1、P是椭圆
2
?
2
?1
(
a
>
b
b>0)上的一点,F、F是两焦点,若∠FPF=
?<
br>(0<
?
<
?
ab
1212
),
求证△F
1
PF
2
的面积为
b
tan
2
?
.
2
1212
x
2
y
2
2、P是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上的一点,F、F是两焦点,若∠FPF=<
br>?
(0<
?
<
?
ab
求证△F
1
P
F
2
的面积为
b
cot
2
),
?
.
2
3、弦长公式(直线和曲线相交时,其被曲线所截的线段叫做弦)
设M(x,y),N(x,y),则弦长
MN
=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
=
1?k
2
x
1
?x
2
=
1?<
br>1
y
1
?y
2
k
2
(k为已知直线斜率)
第九章 立体几何
一、证明(线线、线面、面面)平行和垂直
11
v1.0 可编辑可修改
1、平行的证明:
(1)线线平行的证明
①若
a
∥
b
,
a
∥
c
.则
b
∥
c
; ②若
a
∥
?
,
a
③若
?
∥
?
,
?
(2)线面平行的证明
?
?
,
?
?
?
=
l
.则
a
∥
l
?
?
?m
,
?
?
?
?n
.则
m
∥
n
;
④
a?
?
?
?
?
a
∥
b
b?
?
?
a?b
?
?
①
a?
?
?
?
?
a
∥
?
②
a?
?<
br>?
?
a
∥
?
b?
?
?
?
(3)面面平行的证明
?
?
?
?
;
③
?
?a
∥
?
a?
?
?
a<
br>?
?
b
?
?
①
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
∥
?
?
b?
?
?
a与b相交
?
?
(1)线线垂直的证明
②
a?
?
?
?
?
?
∥
?
a??
?
2、垂直的证明
①若
a
∥
b
,
l?
则
la,?b
;
②
l?
?
?
?
?
l?a
a?
?
?
③三垂线定理或三垂线定理的逆定理
PO?
?<
br>??
??
a?
?
??
??
OA是PA在
?<
br>上
?
?PA?a
;
OA是PA在
?
上
?
?OA?a
??
的
射影的射影
??
??
OA?aPA?a
??
PO?
?
a?
?
④向量证明:
a?b?0?a?b
(2)线面垂直的证明
?
?
a?b
?
?
①
?
?l?
?
;
②
?
?b?
?
;
a、b?
?
?
a??
?
a与b相交
?
?
l?a
l?b
12
v1.0 可编辑可修改
?
?
?
?
??
?
?l
?
?
③
?
?a?
?
a?
?
?
a?l
?
?
(3)面面垂直的证明
;
④
?
?
?
?
?
?a?
?
.
a?
?
?
a?
?
?
①二面角
?
?l?
?
是直二面角
?
?
?
?
;
②
?
?
?
?
?
;
a?
?
?
?
?
③
?
的法向量为m
?
?
?
?
?
?
n?m?0
?
?
二、所成的角
1、 直线与直线所成的
角的范围是
?
的法向量为n
?
?
0,90
?
00
0
⑴若直线与直线平行,则所成角为0;⑵若直线与直线相交,则所成角为
?
0,90
?
;
00
⑶两条异面直线所成角θ的范围是 (0,90
].两条异面直线所成的角是本单元的重点.求两条异面直线所
成的角的基本方法是通过平移将其转化为
两条相交直线(即作出平面角).主要有四种方法:
① 直接平移法(利用图中已有的平行线);
② 中位线平移法;
③
补形平移法(延长某线段、延展某个面或补一个与已知几何体相同的几何体,以便找出平行线).
④
向量法:设
a
,
b
分别是异面直线
a
、
b
上的两个非零向量,则cos=|cos<
a
,
b
>|=
a?b
.
a?b
2、直线和平面所成的角的范围是[0,90]
⑴若直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是0;
⑵若直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是90;
⑶斜线
l
和平
面
?
所成的角是平面
?
的斜线
l
和它在这个平面内的射影的
夹角.范围是(0,90)
00
0
00
方法:①关键是作垂线,找射影.构造一个直角三角形
②向量求法:求
?
的法向量
n
和
l
,
|cos<
n
,
l
>|=
n?l
=k(0
则
l
和
?
所成的角是
arcsink
(或
?
-
arccosk
)
2
13
v1.0 可编辑可修改
3、二面角大小范围是[0,180]
方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法
;④射影面积公式
S
′=
S
cos
θ
;
⑤向量求法:求
?
、
?
的法向量分别为
n
和
m,coc<
n
,
m
>=k,若二面角
?
-
l<
br>-
?
是
锐二面角时,则大小为
arccos
k
;若二
面角
?
-
l
-
?
是钝二面角时,则大小为
?
-
arccos
k
三、距离:(1)两点之间的距离.(2)点到直线的
距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条
异面
直线间的距离.
(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.在七种距离中,求点
到
平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点.
▲求点到平面的距离:(1)直接法,
即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)转移法,转化成求另一点到该
平面的距离.(3)体积法;⑷
向量法:如点P到面
?
的距离d=
PA?n
n
(其中
n是面
?
的法向量,A
?
?
)
四、三个唯一
1、 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线;
2、
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面;3、过一点有且只有一个平面垂直于已知直线.
五、重要性质
1、O是P点在△ABC所在的平面上的射影,即PO⊥面ABC.
⑴若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心;
⑵若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分别为D、E、F且PD=PE=PF.
则点O是△ABC的内心;
⑶若PA⊥BC,PB⊥AC. 则点O是△ABC的垂心
3、 ⑴若∠POA=∠POB,则PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分线;
⑵若∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别E、F且PE=PF.
O
B
则点P在面AOB上的射影在∠AOB平分线.
4、 如图,已知<
br>OB
平面于
B
,
OA
是平面的斜线,
A
为斜
足,
直线
AC
平面,设
OAB
=
1
,又
CAB
=
2
,
OAC
=.
A
D
C
14
v1.0
可编辑可修改
那么cos=cos
1
cos
2
.
5、
在Rt△ABC中,∠C=90.对应边分别为
0
a
、
b
、
c
⑴Rt△ABC的外心(外接圆的圆心)在斜边的中点且半径R=
⑵Rt△ABC
的内心(内切圆的圆心)且半径r=
⑶ ⑷
六、简单几何体
1棱柱:
c
2
a?b?c
2
(1) {正方体}
?
{正四棱
柱}
?
{长方体}
?
{直平行六面体}
?
{直四棱柱}?
{四棱柱}
?
{棱柱}
{正方体}
?
{正四棱柱}
?
{长方体}
?
{直平行六面体}
?
{平行六面体}
?
{四棱柱}
?
{棱柱}
(2)棱柱的侧面积
S
侧<
br>?C
直
l
(
其中
C
直
为直截面的周长,l
为棱长
)
;
棱柱的体积
V
=
S
底
h
?C
底
l
;
直棱柱的体积
V
=
S
底
h
(3)直棱柱的侧面积
S
侧
(4)特殊棱柱长方体A
1
B
1
C
1
D
1
-ABCD的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c<
br>
①
对角线长
l
=
a
2
?b
2
?c
2
② 长方体外接球的直径2R等于对角线长
l
;
③ 若对角线与一个顶点引
的三条棱所成角分别为
?
、
?
、
?
.则
cos④ 若对角线与一个顶点引的三个面所成角分别为
?
、
?
、
?<
br>.则
cos
⑤
长方体的表面积S=2
(ab?bc?bc)
;长方体的体积V=
abc
;
⑥ 正方体的内切球的直径等于棱长
2、 棱锥:
(1)
棱锥的性质:若棱锥P-
ABC…被平行于底面ABC的截面A
1
B
1
C
1
所截,则
① 多边形ABC…∽多边形A
1
B
1
C
1
…,设
相似比为
?
;
②
2
?
?cos
2
?<
br>?cos
2
?
?
?cos
2
?
?cos2
?
=1;
=2;
2
h
截
h
原<
br>?
?
;
S
截
S
原
?
?
2<
br>;
V
截
V
原
?
?
3
。
③ V=
1
S
底
h
3
⑵正棱锥(①底面是正多边形;②顶点在底面的射影是正多边形的中心)
①
S
正侧
3、多面体
⑴正多面体只有五种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体。
?
11
C
底
h
斜
;
②V=
S
底
h
23
15
v1.0 可编辑可修改
其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形,正六面体的面是正方形,
正二十面体是五边形。
⑵简单多面体的顶点数
V
、面数
F
、棱数E之间的关系:
V
简单多面体各个面的内角和等于
(V
若各面多边形的边数
n
,则
E
3、 球
⑴球的截面有以下性质:
① 球心和截面圆心的连线垂直于截面
② 球心到截面的距离
d
与球的半径
R
及截面的半径
r
有以下的关系:
r
⑵球的表面积:
S
⑶球的体积:
V
?F?E?2
?2)?360
0
; 若各个顶点引出的棱数
m
,则<
br>E?
nF
2
?
mV
2
?R
2
?d
2
?4
?
R
2
;
?
4
3
?
R
3
第十章
排列组合与二项式定理
1. 计数原理
①加法原理:
N?n
1
?n
2
???n
m
(分类)
②乘法原理:
N?n
1
?n
2
???n
m
(分步)
2. 排列(有序)与组合(无序)
①
m
A
n
?n(n?1)(n?2)
?
(n?m?1)
=
n!
n
②
A
n
?n!
(n?m)!
③
C
nm
?
n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
?
m!
m
n!
(n?m)!m!
④组合的两个性质:
C
n
n?m
mm?1m
?C
n
?C
n
;
C
n
?C
n?1
3.
排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排
排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
以
位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时,应注意:(
1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析
确定运用分类计数原理还是分步计数原理
;(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子
计算和作答.
16
v1.0 可编辑可修改
经常运用的数学思想是:①分类讨论思想
②转化思想; ③对称思想.
4. 二项式定理:
①
(a?b)
n0n
1n?11rn?rnn
?C
n
a?C
n
ab?
?
?C
n
a
n
?
?
?C
n
b
1rrnn
x)
n
?1?C
n
x???C
n
x
???C
n
x
特别地:
(1?
②通项为第
r
?1
项:
T
r?1
rn?rr
?C
n
ab
作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
mn?m
?C
n
③主要性质和主要结论:对称性
C
n<
br>最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)
所有二项
式系数的和:
C
n
012n
?C
n
?C
n
???C
n
?2
n
0
C
n
奇数项二项式
系数的和=偶数项而是系数的和:
24135
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1
5.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某
几
项的系数的和时注意赋值法的应用。
6.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题
,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有
关的不等式。
第十一章概率统计
1.必然事件
P(A)?1
,不可能事件
P(A)?0
,随机事件的定义<
br>0?P(A)?1
。
2.⑴等可能事件的概率:(古典概率)
P(A)
=
⑵事件
事件
m
n
理解这里
m
、
n
的意义。
即事件
A
、
B
不可能同时发生,这时
P(A?B)?0
,
P(A?B)?P(A)?P(B
)
A
、
B
互斥,
A
、
B对立,即事件
A
、
B
不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生。这时
P(A?B)?0
,
P(A)?P(B)?1
⑶独立事件:(事
件
A
、
B
的发生相互独立,互不影响)
P(A?B)?P(A)?P
(B)
k
?C
n
P
k
(1?P)
n?
k
表示事件
A
在
n
次独立重复试验中恰好发
...
独立重复事件(贝努里概型)
P
n
(k)
生了的概率。
..
k
次
.
P
为在一次独立重复试验中事件
A
发生的概率。
特殊:令
k
n
P(0)?(1?P)
?0
得:在
n
次独立重复试验中,事件
A
没有发生的概率为
n
....
....
17
v1.0 可编辑可修改
令
k
n
?n
得:在
n
次独立重复试验中,事件A全部发生的概率为........
P
n
(n)?P
3.统计、总体、个体、样本、,样本个体、样本容量的定义;
抽样方法:1简单随机抽样:包括随机数表法,抽签法;2系统抽样 3分层抽样。
11
n
样本平均数:
x?(x
1
?x
2
?
x
3
???x
n
)?
?
x
i
nn
i?1
样本方差:
S
S=
2
2
1
[(x-
x
)+(x-
x
)+
(x-
x
)+…+(x-
x
)]
n
2222
12
3n
样本标准差:
S
=
S
2
作用:估计总体的稳定程度
第十二章、导数及应用
1.导数的定义:
f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
用定义求函数的导数步骤为:
⑴求函数的增量
?y?f(x??x)?f(x);
(2)求平均变化率<
br>x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
。
?x
?yf(x??x)?f(x)
;
?
?x?x
?y
。
?x?0
?x
(3)取极限,
得导数
f
?
(x)?lim
2.导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(
x
0
,f(x
0
))处的切线方程是
3.常见函数的导数公式:C
?
y?y
0
?f'(x
0
)(x?x
0)
。
?0(C为常数);(x
m
)
?
?mx
m-1
(m?Q);
(f(x)±g(x))
,
=
(f(x)g(x))
,
=
(af(x))
,
= (a为常数) (x+1))=
(n∈Q)
((ax+1))= (a为常数,n∈Q)
4.导数的应用
(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,
若
数;若
是
n'
n'
f
?
(x)?0,
则f(x)为增函
f
?
(x)?0,
则f(x)为减函数;若在某个区间内恒
有
f
?
(x)?0,
则f(x)为常数,因此,
f
?
(x)?0
f(x)
为增函数的必要不充分条件;
(2)求可导函数极值的步骤:
①求导数
f
?
(x)
;②求方程
f
?
(x
)?0
的根;③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号,如果
左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;
如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小
18
v1.0
可编辑可修改
值;
(3)求可导函数f(x)在区间[a,b]最大值与最小值的步骤:①
求y=f(x)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)
在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较
,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。
19