北师大版高中数学必修一综合测试题(一).docx

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必修1全册 综合测试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分， 共50分，
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·新课 标文)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
P＝M∩N，则P的子集共有( )
A
．2个
C
．6个
B
．4个
D
．8个
2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝
log
a
x(a>0，且a≠1)在
(0，＋∞)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关 系是( )
A
．f(a＋1)＝f(2)
C
．f(a＋1)B
．f(a＋1)>f(2)
D
．不确定
1
3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )
x
A
．f(x)＝
ln
x
C
．f(x)＝|x|
1
B
．f(x)＝
x
D
．f(x)＝
e
x

4．(2011·北京文 )已知全集U＝R，集合
P
＝{
x
|
x
2
≤1}， 那么
?
U
P
＝( )
A．(－∞，－1)
C．(－1,1)
B．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) < br>5．函数
y
＝ln
x
＋2
x
－6的零点，必定位于如 下哪一个区间( )
A．(1,2)
C．(3,4)
B．(2,3)
D．(4,5)
6．已知
f
(
x
)是定义域在(0，＋∞ )上的单调增函数，若
f
(
x
)>
f
(2
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－
x
)，则
x
的取值范围是( )
A．
x
>1
C．0<
x
<2
0.90.48
B．
x
<1
D．1<
x
<2 < br>1
－1.5
7．设
y
1
＝4，
y
2
＝8，
y
3
＝()，则( )
2
A．
y
3>
y
1
>
y
2

C．
y
1
>
y
2
>
y
3

B．
y
2
>
y
1
>
y
3

D．
y
1
>
y
3
>
y
2

8．(2012·德阳高一检测)已知log
3
2＝
a,
3
b
＝5，则log
3
30由
a
，
b
表示为( )
1
A.(
a
＋
b
＋1)
2
1
C.(
a
＋
b
＋1)
3
1
B.(
a
＋
b
)＋1
2
1
D.
a
＋
b
＋1
2
9．若
a
>0且
a
≠1，
f
(
x
)是偶函数，则
g
(
x
)＝
f
(
x
)·log
a
(
x
＋
x
2
＋1)是( )
A．奇函数
C．非奇非偶函数
B．偶函数
D．奇偶性与
a
的具体值有关
10．定义两种运算：
a
⊕
b
＝
a
2
－< br>b
2
，
a
?
b
＝(
a
－
b
)
2
，则函数
f
(
x
)＝
2⊕
x
的解析式为( )
(
x
?2)－2
4－
x
2< br>A．
f
(
x
)＝，
x
∈[－2,0)∪(0,2)
x
x
2
－4
B．
f
(
x
)＝，< br>x
∈(－∞，2]∪[2，＋∞)
x
x
2
－4
C．
f
(
x
)＝－，
x
∈(－∞，2]∪[2，＋∞)
x
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D．
f
(
x
)＝－
4－
x
2
x
，
x
∈[－2,0)∪(0,2]
第Ⅱ
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案
填在题中横线上)
4
11．幂函数
f
(
x
)的图像过点(3，27)．则
f< br>(
x
)的解析式是
________．
1
12．(2011·安徽文)函数
y
＝的定义域是________． < br>6－
x
－
x
2
13．设函数
f
(
x
)＝
x
(
e
x
＋
ae
－
x
)(
x
∈R)是偶函数，则实数
a
的值
为________． < br>14．已知
f
(
x
6
)＝log
2
x
，则
f
(8)＝________.
a
15．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋(
x
≠0，常数
a
∈R) ，若函数
f
(
x
)在
x
x
2
∈[2，＋∞ )上为增函数，则
a
的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)设全集
U
为R，
A
＝{
x|
x
2
＋
px
＋12＝0}，
B
＝{
x
|
x
2
－5
x
＋
q
＝0}，若(?U
A
)∩
B
＝{2}，
A
∩(?
U
B
)＝{4}，求
A
∪
B
.
17．(本小题满分12分)( 2012·广州高一检测)(1)不用计算器计
算：log
3
27＋lg25＋lg4 ＋7
2
log7
＋(－9.8)
0

11
2
(2)如果
f
(
x
－)＝(
x
＋)，求
f
(
x
＋1)．
xx
18．(本小题满分12分)已知函数
f(
x
)＝
x
，
2－1
x
3
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(1)求
f
(
x
)的定义域；
(2)判断
f
(
x
)的奇偶性；
(3)求证：
f
(
x
)>0.
19．(本小题满分12分 )已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，
并且当
x∈(0，＋∞)时，
f
(
x
)＝2
x
.
1
(1)求
f
(log
2
)的值；
3
(2)求
f
(
x
)的解析式．
20．(本小题 满分13分)已知二次函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋< br>bx
＋
c
(
a
≠0)
和一次函数
g
(
x
)＝－
bx
(
b
≠0)，其中
a
，< br>b
，
c
满足
a
>
b
>
c
，
a
＋
b
＋
c
＝0(
a
，
b
，
c
∈R)．
(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；
(2)求证 ：方程
f
(
x
)－
g
(
x
)＝0的两个实 数根都小于2.
21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为
a
，计划每年砍伐
一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所
1
用时间是10年 ，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，
4
2
已知到今年为止，森林剩余面 积为原来的，
2
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1[答案]
B

[解析] 本题考查了集合运算、子集等，含有n个元素的集合的
所有子集个数是2
n
.
∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}，
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所以P的子集个数为2
2
＝4个．
2[答案]
B

[解析] ∵f(x)＝
log
a
x在(0，＋∞)上单调递增，
∴a>1，∴a＋1>2，
∴f(a＋1)>f(2)，故选
B
.
3[答案]
A

1
[解析] 函数y＝的定义域为(0，＋∞)，故选
A
.
x
4[答案] D
[解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题．
P
＝{
x
|
x
2
≤1}＝{
x
|－1≤
x
≤1}，
所以?
U
P
＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
5[答案] B
[解析] 令
f
(
x
)＝ln
x
＋2
x< br>－6，设
f
(
x
0
)＝0，
∵
f
(1)＝－4<0，
f
(3)＝ln3>0，
又f
(2)＝ln2－2<0，
f
(2)·
f
(3)<0，
∴
x
0
∈(2,3)．
6[答案] D
[解析] x
>0
?
?
由已知得
?
2－
x
>0< br>?
?
x
>2－
x

x
>0
??
?
?
x
<2
?
?
x
>1
，
∴
x
∈(1,2)，故选D.
7[答案] D
[解析] ∵
y
1
＝4
0.9
＝2
1.8
，
y2
＝8
0.48
＝(2
3
)
0.48
＝21.44
，
y
3
＝2
1.5
，
又∵函数
y
＝2
x
是增函数，且1.8>1.5>1.44.
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∴
y
1
>
y
3
>
y
2
.
8[答案] A
[解析] 3
b
＝5，
b
＝log
3
5，
log
3
11
30＝log
3
30＝log
3
(3×10)
22
1
＝(1＋log
3
10)
2
11
＝(1＋log
3
2＋log
3
5)＝(
a
＋
b< br>＋1)．
22
9[答案] A
[解析]
g
(－
x
)＝
f
(－
x
)·log
a
(－
x＋
x
2
＋1)＝
f
(
x
)·log
a
1

x
2
＋1＋
x
＝－
f
(x
)·log
a
(
x
＋
x
2
＋1)＝ －
g
(
x
)．
则
g
(
x
)是奇函数．
10[答案] D
[解析] ∵
a
⊕
b
＝
a
2
－
b
2
，
a
?
b
＝(
a
－
b
)
2
，
2⊕
x
2
2
－
x
2
4－
x
2
∴
f
(
x
)＝＝＝.
(
x
?2)－2
(
x
－2)
2
－2
|
x
－2|－2
∵－2≤
x
≤2且|
x
－2|－2≠0，即
x
≠0，
4－
x
2
4－
x
2
∴
f
(
x
)＝＝－，
x
∈[－2,0)∪(0,2]．
2－
x
－2
x
11[答案]
f
(
x
)＝
x


[解析] 设
f
(
x
)＝
x
，将(3，27)代入，
α
3
4
4
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3
4
得3
α
＝27＝3

，则
α
＝.∴
f
(
x
)＝
x

.
4
12[答案] {
x
|－3<
x
<2}
[解析] 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，
注意填定义域(集合)．
由6－
x
－
x
2
>0，
得
x
2
＋
x
－6<0，
即{
x
|－3<
x
<2}．
13[答案] －1
[解析] ∵
f
(－
x
)＝
f
(
x
)对任意
x
均成立，∴(－
x
)·(
e
－
x＋
ae
x
)
＝
x
(
e
x
＋< br>ae
－
x
)对任意
x
恒成立，
∴
x
(－
ae
x
－
e
－
x
)＝
x
(
e
x
＋
ae
－
x
)，∴
a
＝－1 .
1
14[答案]
2
1
[解析] ∵
f
(< br>x
)＝log
2
x
＝log
2
x
6
，
6
6
3
4
3
4
1
∴
f
(
x
)＝log
2
x
，
6
111
3< br>∴
f
(8)＝log
2
8＝log
2
2＝.
662
15[答案] (－∞，16]
[解析] 任取
x
1
，
x
2
∈[2，＋∞)，且
x
1
<
x
2
，
aa
2
则
f
(
x
1
)－f
(
x
2
)＝
x
＋－
x
2
－
x
1
x
2
2
1
(
x
1
－
x
2
)
＝[
x
1
x
2
(
x
1
＋
x
2
)－
a
]，
x
1< br>x
2
要使函数
f
(
x
)在
x
∈[2 ，＋∞)上为增函数，需使
f
(
x
1
)－
f
(x
2
)<0
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恒成立．
∵
x
1
－
x
2
<0，
x
1
x
2
>4>0，∴
a< br><
x
1
x
2
(
x
1
＋
x< br>2
)恒成立．
又∵
x
1
＋
x
2
> 4，∴
x
1
x
2
(
x
1
＋
x2
)>16，∴
a
≤16，
即
a
的取值范围是(－∞，16]．
16[解析] ∵(?
UA
)∩
B
＝{2}，
A
∩(?
U
B
) ＝{4}，
∴2∈
B,
2?
A,
4∈
A,
4?< br>B
，根据元素与集合的关系，
2
?
?
4＋4
p＋12＝0
可得
?
2
?
2－10＋
q
＝0?

?
?
p
＝－7，
，解得
?
?q
＝6.
?


∴
A
＝{
x
|
x
2
－7
x
＋12＝0}＝{3,4}，
B
＝{
x
|
x
2
－5
x
＋6＝0}＝
{2,3} ，经检验符合题意．
∴
A
∪
B
＝{2,3,4}．
17[解析] (1)原式＝log
3
3

＋lg(25×4)＋2＋1
313
＝＋2＋3＝.
22
11< br>2
(2)∵
f
(
x
－)＝(
x
＋)
3
2
xx
＝
x
＋
2
＋2＝(
x
＋
2
－2)＋4
2
1
2
1
xx
1
＝(
x
－)
2
＋4
x
∴
f
(
x
)＝
x
2
＋4 ∴
f
(
x
＋1)＝(
x
＋1)
2
＋4
＝
x
2
＋2
x
＋5.
18[解析] (1)由2
x
－1≠0，即2
x
≠1，得
x
≠0，
所以函数
f
(
x
)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)因为
f
(1)＝1，
f
(－1)＝2，所以
f
( －1)≠
f
(1)，且
f
(－1)
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≠－
f
(1)，所以
f
(
x
)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)由于函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为当
x
>0时 ，2
x
>1,2
x
－1>0，
x
3
>0，所以f
(
x
)>0；
当
x
<0时，0<2
x<1,2
x
－1<0，
x
3
<0，所以
f
(< br>x
)>0.
综上知
f
(
x
)>0.本题得证．
19[解析] (1)因为
f
(
x
)为奇函数，且当
x∈(0，＋∞)时，
f
(
x
)
＝2
x
， 1
所以
f
(log
2
)＝
f
(－log
2
3)＝－
f
(log
2
3)
3
＝－2
log2
3
＝－3.
(2)设任意的
x
∈(－∞，0)，则－
x
∈(0，＋∞)， 因为当
x
∈(0，＋∞)时，
f
(
x
)＝2
x
，所以
f
(－
x
)＝2
－
x
，
又因为
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，则
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
所以
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝－2
－
x
，即当< br>x
∈(－∞，0)时，
f
(
x
)＝－
2
－< br>x
；
又因为
f
(0)＝－
f
(0)，所以
f
(0)＝0，
?
综上可知，
f
(
x
)＝
?
0，
x
＝0
?
?
－2
x
，
x
<0
－
x
2
?
，
x
>0

.
20[解析] (1)若
f
(
x
)－
g
(
x
)＝0，则
ax
2
＋2
bx
＋
c< br>＝0，
∵
Δ
＝4
b
2
－4
ac
＝ 4(－
a
－
c
)
2
－4
ac

3
2
＝4[(
a
－)＋
c
]>0，
24
2
c
故两函数的图像交于不同的两点．
(2)设
h< br>(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)＝
ax
2
＋2
bx
＋
c
，令
h
(
x
)＝0可得
ax
2
＋
2
bx
＋
c
＝0.由(1)可知，
Δ
>0.
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∵< br>a
>
b
>
c
，
a
＋
b
＋< br>c
＝0(
a
，
b
，
c
∈R)，∴
a
>0，
c
<0，
∴
h
(2)＝4
a
＋4
b
＋
c
＝4(－
b
－
c
)＋4
b
＋
c
＝－3
c
>0，
2
b
－
ba
＋
cc
－＝＝＝1＋<2，
2
aaaa
?
a
>0
?
即有
?
h
(2)>0
?
－
2
b
<2
?
2
a
Δ
>0

1
10
，结合二次函数的图像可知，
方程
f
(
x
)－
g
(
x
)＝0的两个实数根都小于2 .
21[解析] (1)设每年砍伐的百分比为
x
(0<
x
<1)．
11
1 0
则
a
(1－
x
)＝
a
，即(1－
x)＝，
22
10
1
解得
x
＝1－()

.
2
(2)设经过
m
年剩余面积为原来的
则
a< br>(1－
x
)
m
＝
2
a
，
2
1
2
2
，
2
1
10
1
m
1
即()

＝()

，＝，
22102
解得
m
＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了
n
年，
2
则
n
年 后剩余面积为
a
(1－
x
)
n
，
2
21 2
nn
令
a
(1－
x
)≥
a
，即(1－< br>x
)≥，
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1
10
1
n
3
()

≥()

，≤，解得
n
≤15.
22102
故今后最多还能砍伐15年．
n
3
2
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