线性代数试题及答案3培训讲学

线性代数试题及答案
3

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线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或
未选均无分。
1.设行列式
A. m+n
a
11
a
21
a
12
a
22
=m，
a
13
a
23
a
11
a
21
=n，则行列式
a
11
a
2 1
a
12
?a
13
a
22
?a
23
等于（ D ）
B. -(m+n) C. n-m D. m-n
A
-1
等于（ B ）
?
?
0
?
?
2
?
0
0
?
D
?
?
1< br>?
?
0
?
?
2
?
?
?
1< br>?
0
?
?
1
?
0

3
?< br>01
?
?
?
0
?
100
?
??2.设矩阵A=
?
020
?
，则
??
?
003
?
?
1
?
?
3
A.
?
0< br>?
?
0
?
?
0
1
2
0
?< br>?
0
?
?
1
?
?
?
0
B
?
0
?
?
1
?
?
?
0
?
?
?
0
1
2
0
?
?
1
0
?
?
?
3
0
?
C
?
0?
?
?
0
1
?
?
?
3
??
0
1
0
3.设矩阵
?
3?12
?
??
A=
?
10?1
?
，A
*
是
???
?214
?
A的伴随矩阵，则A
*
中位于（1，2）的元素是
（ B ）
A. –6 B. 6 C. 2 D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）
A. A =0 B. B
?
C时A=0 C. A
?
0时B=C D. |A|
?
0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A
T
）等于（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.设两个向量组α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
s
均线性相关，则（ D ）
A.有不全为0的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
使λ
1
α
1
+ λ
2
α
2
+…+λ
s
α
s
=0和λ
1
β
1
+λ
2
β
2
+…λ
s
β
s
=0
B.有不全为0的数λ
1
，λ
2
，… ，λ
s
使λ
1
（α
1
+β
1
）+λ
2
（α
2
+β
2
）+…+λ
s
（α
s< br>+β
s
）=0
C.有不全为0的数λ
1
，λ
2
，…，λ
s
使λ
1
（α
1
-β
1
）+λ
2
（α
2
-β
2
）+…+λ
s
（α
s
-β
s
）=0
D.有不全为0的数λ
1
， λ
2
，…，λ
s
和不全为0的数μ
1
，μ
2
，…，μ
s
使λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
s
α
s
=0和μ
1
β
1+μ
2
β
2
+…+μ
s
β
s
=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η
1
，η
2
是其任意2个解 ，则下列结论错误的是
（ A ）
A.η
1
+η
2
是Ax=0的一个解 B.
η
1
+
η
2
是Ax=b的一个解
1
2
1
2
C.η
1
-η
2
是Ax=0的一个解 D.2η
1
-η
2
是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）
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2

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A.秩(A)10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值
C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ
1
，λ
2< br>，λ
3
是A的3个互不相同的特征值，α
1
，α
2
， α
3
依次是A的属于λ
1
，λ
2
，λ
3
的 特征向量，则α
1
，α
2
，α
3
有可能线性相关
11.设λ
0
是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ
0
的线性无关的特征 向量的个数
为k，则必有（ A ）
A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）
A.|A|
2
必为1 B.|A|必为1 C.A
-1
=A
T
D.A的行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C
T
AC.则（ D ）
A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）
?
23
?
A.
??
?
34
?

?
34
?
B.
??
?
26
?
< br>?
100
?
??
C.
?
02?3
?
??
?
0?35
?
?
111
?
??
D.
?
120
?
??
?
102
?

第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2 分，共20分）不写解答过程，将正确的
答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15.
111
356?
6 .
92536
?
1?11
?
?
?
11?1
?
16.设A=?
，B=
?
?
123
?
?
?
?1?2 4
?
.则A+2B=
?
?
337
?
?
?
?1?37
?
.
17.设A=(a
ij
)
3
×
3
，|A|=2 ，A
ij
表示|A|中元素a
ij
的代数余子式（i,j=1,2,3）,则
(a
11
A
21
+a
12
A
22
+a
13
A
23
)
2
+(a
21
A
21
+a
22
A
22
+a
23
A
23< br>)
2
+(a
31
A
21
+a
32
A
22
+a
33
A
23
)
2
= 4 .
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= -10 .
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η
1
，η
2
为非齐次线 性方程组Ax=b的2个不同
的解，则它的通解为 η
1
+c(η
2< br>-η
1
)（或η
2
+c(η
2
-η
1
)），c为任意常数
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(含有解的个数为 n-1 .
21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= -
5 .
22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为
-2 .
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3

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23.设矩阵
?
0106
?
??
A=
?
1?3?3
?
??
?
?2108
?
?
2
?
??
，已知α=
?
?1
?
??
?
2
?
是它的一个特征向量，则α所对应的特征值
为 1 .
24.设实二次型f(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为
222< br>z
1
?z
2
2
?z
3
?z
4
.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设
?< br>120
?
??
A=
?
340
?
??
?
?121
?
，B=
?
?
23?1
?
?< br>?
?240
?
.求（1）AB
T
；（2）|4A|.
26.试计算行列式
31?12
?513?4
201?1
1?53?3.
27.设矩阵
?
423
?
??
A=
?110
?
??
?
?123
?
，求矩阵B使其满足矩阵方 程AB=A+2B.
?
1
??
3
??
0
?
?
?2
?
????????
1
?
?3
?
0
?
?1
????
28.给定向量组α
1
=
??< br>，α
2
=
??
，α
3
=
??
，α< br>4
=
?
.
?
4
?
22
0
??????
??
?
4
??
?1
??
9
?
?
3
?
试判断α
4
是否为α
1
，α
2
，α
3
的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵
?
1?2?1
?
?242
A=
?
?
2?10
?
33
?
3
02
?
?
6?6
?
.
23
?
?
34
?
求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组 的一个最大线性无关组。
30.设矩阵
?
0?22
?
??
A=
?
?2?34
?
??
?
24?3
?
的 全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵
D，使T
-1
AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形
22
?2x
2
f(x
1
,x
2
,x
3
)=
x
12
?3x
3
?4x
1
x
2
?4x
1
x
3
? 4x
2
x
3
，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A
3
=0，试证明E- A可逆，且（E-A）
-1
=E+A+A
2
.
33.设η
0
是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ
1
，ξ
2
是其导出组 Ax=0的一个基
础解系.试证明
（1）η
1
=η
0
+ξ
1
，η
2
=η
0
+ξ
2
均是Ax=b的解 ；
（2）η
0
，η
1
，η
2
线性无关。
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4

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答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A
14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 616.
?
?
337
?
?
?
?1?37
?
12.B 13.D
17. 4 18. –10 19. η
1
+c (η
2
-η
1
)（或η
2
+c(η
2
-η
1
)），c为任意常
数
222
?z
2
20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24.
z
12
?z
3
?z
4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
?
120
??2?2
?
????
25.解（1）AB
T
=
?
340
??
34
?
????
?
?121
??
?10
?
?
86
?
??
=
?
1810< br>?
??
?
310
?
.
（2）|4A|=4
3
|A|=64|A|，而|A|=
3
?5
2
1
1
1
0
?5
?12
3?4
1
3
?1
?35
?11
0
?5
1
1
0
?5
120< br>340??2
.所以|4A|=64·（-2）=-128
?121
5
?5
1
?5
1
0
511
?62
?30?10?4 0.

?5?5
26.解
?
?11
3?1
1< br>3
?1
0
0
=
?111?1
=
?620?< br>?5?50
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
?
223
?
??
（A-2E）
-1
=
?
1?10
?
??
?
?121
?
?
1?4?3
?
??< br>?
?
1?5?3
?
.

??
?
?1 64
?
?
1?4?3
??
423
??
3?8?6< br>?
??????
所以 B=(A-2E)
-1
A=
?
1?5?3
??
110
?
=
?
2?9?6
?.

??????
?
?164
??
?123
? ?
?2129
?
?
?2130
??
0?53?2
? ?
1
?????
1?30?11?30?10
?
?
?
???
?
??
?
28.解一
?
?
0224< br>??
0112
??
0
?????
?
34?19
??
013?112
??
0
0
1
5
??
1
??
2
?
0
???
?
?
0088
?
??
0?14?14
??
0
3
1
035
?
?
112
?

011
?
?
000?
?
1
?
?
0
???
?
0
?
?
0
?
002
?
?
101
?
,< br>所以α
4
=2α
1
+α
2
+α
3
， 组合系数为（2，1，1）.
?
011
?
000
?
??
?2x
1
?x
2
?3x
3
?0
?< br>x?3x??1
?
2
解二 考虑α
4
=x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3< br>，即
?
1

2x?2x?4
23
?
?< br>?
3x
1
?4x
2
?x
3
?9.
方 程组有唯一解（2，1，1）
T
，组合系数为（2，1，1）.
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29.解 对矩阵A施行初等行变换
?
1?2?1
?
000??
?
A
?
?
032
?
?
09602
?
2
??
1?2?10
?
1?2?1
?? ??
6?2
?
0328?3032
?
????
?
? ?
?
?
000
?
0008?2
?
6?2
?
????
3?2
??
000?217
??
000
0 2
?
?
8?3
?
=B.
3?1
?
?00
?
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B 的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第
1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关 组，故A的第1、2、4
列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ
1
=（2，-1，0）
T
， ξ
2
=（2，0，1）
T
.
?
255
??
2515
?
????
经正交标准化，得η
1
=
?
?55
?
，η
2
=
?
4515
?
.λ=- 8的一个特征向量为ξ
?
0
??
53
?
????
?
1
?
??
3
=
?
2
?
??
?
?2
?
，
?
2552151513
?
?13
?
??
??
经单位化得η
3
=
?
23
?
.
所求正交矩阵为 T=
?
?55451523
?
??
?
053?23
?
?
?23
?
??< br>.

?
100
?
??
对角矩阵 D=
?
010
?
.
（也可取
??
?
00?8
?< br>?
2552151513
?
??
T=
?
0?5323
?
.）
?
55?4515?23
?
??
31.解 f(x
1
，x
2
，x
3
)=（x
1
+2x
2
-2x
3
）
2
-2x
2
2
+4 x
2
x
3
-7x
3
2

=（x
1
+2x
2
-2x
3
）
2
-2（x
2
-x
3
）
2
-5x
3
2
.
?
y
1
?x
1
?2x
2
?2x
3
?
x
1
?y
1
?2y
2
?
?
?
x< br>2
?x
3
， 即
?
x
2
?y
2< br>?y
3
设
?
y
2
?
?
?
x ?y
3
?
3
?
y?x
3
?
3
，因 其系数矩阵
?
1?20
?
??
C=
?
011
?
可
??
?
001
?
逆，
故此线性变换满秩。 经此变换即得f(x
1
，x
2
，x
3
)的标准形y
1
2
-2y
2
2
-5y
3
2
.
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A
2
）=E-A
3
=E，
所以E- A可逆，且
（E-A）
-1
= E+A+A
2
.
33.证 由假设Aη
0
=b，Aξ
1
=0，Aξ
2
=0.
（1）Aη
1
=A（η
0
+ξ
1
）=Aη
0
+Aξ
1
=b，同理Aη
2
= b，
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6

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所以η
1
，η
2
是Ax=b的2个解。
（2） 考虑l
0
η
0
+l
1
η
1
+l
2
η
2
=0，
即 （l
0
+l
1
+l
2
）η
0
+l
1
ξ
1
+l
2ξ
2
=0.
则l
0
+l
1
+l
2< br>=0，否则η
0
将是Ax=0的解，矛盾。所以
l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
=0.
又由假设，ξ
1
，ξ
2
线性无关，所以l
1
= 0，l
2
=0，从而 l
0
=0 .
所以η
0
，η
1
，η
2
线性无关。
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7