选择、填空题的解题方法与技巧

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选择题
选择题是高考数学试卷的三大题型之一． 选择题的分数一般占全卷的40%
左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1)绝大部分数 学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主
要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的 体现和应用，并且因为它还有相对
难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以 选择题已成
为具有较好区分度的基本题型之一．
(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广 、小巧灵活及有一定的综合性和深
度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学 生的思维
层次及观察、分析、判断和推理能力．
目前高考数学选择题采用的是一元选择题( 即有且只有一个正确答案)，由选
择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法． 解选择题
的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的
各种 信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出 发考虑，探求结果；二
是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．
解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特
例检验法、排除法、逆向思维 法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解
题的有效手段．
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．
目前高考数学 选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选
择题的结构特点，决定了解选择题除常规 方法外还有一些特殊的方法．解选择题
的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干 和选项)提供的
各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一 般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二
是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否 满足题干条件．
解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特
例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解

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题的有效手段．
视角一 直接法
例1 设定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(< br>x
)·
f
(
x
＋2)＝13，若
f
(1)＝ 2，则
f
(99)
等于( )
A．13 B．2 C.
13

2
D.
2

13
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题
设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分
析条件得到f(x)是周 期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
1
变式训练1 函数
f
(
x
)对于任意实数
x
满足条件
f
(
x
＋ 2)＝，若
f
(1)＝－5，
f
(
x
)
则
f
(
f
(5))的值为 ( )
A．5 B．－5
1
C.
5

1
D．－
5
x
2
y
2
例2 设双曲线
2
－
2
＝1的一条渐近线与抛物线
y
＝
x
2
＋1只有一个公共点 ，则双
ab
曲线的离心率为

5
A.
4

( )
B．5 C.
5

2
D.5
探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本
题即是利用渐近 线与抛物线相切，求出渐近线斜率．
x
2
y
2
变式训练2 已知双 曲线
C
：
2
－
2
＝1(
a
>0，
b
>0)，以
C
的右焦点为圆心且与
C
的
ab
渐近 线相切的圆的半径是 ( )
A．
a
B．
b
C.
ab
D.
a
2
＋
b
2

视角二 概念辨析法
概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或 推理，
直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念
或性质， 这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，
同时在审题时要多加小心，准确 审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算
量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者 设置的“陷阱”．

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例3 已知非零向量
a
＝(
x
1
，
y
1< br>)，
b
＝(
x
2
，
y
2
)，给出下 列条件，①
a
＝
kb
(
k
∈R)；
222
②
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0；③(
a
＋3
b
)∥(2
a
－
b
)； ④
a·b
＝|
a||b
|；⑤
x
2
1
y< br>2
＋
x
2
y
1
≤2
x
1
x
2
y
1
y
2
.
其中能够使得
a∥b
的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线
向量的定义以 及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的
数量积、向量的模以及夹角等)有机地 联系起来，能够从不同的角度来理解共线
向量．
变式训练3 关于平面向量
a
，
b
，
c
，有下列三个命题：






视角三 数形结合法
“数”与“形 ”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互
①若
a·b
＝
a ·c
，则
b
＝
c
.
②若
a
＝(1，k
)，
b
＝(－2,6)，
a
∥
b
，则
k
＝－3.
③非零向量
a
和
b
满足|
a
|＝|
b
|＝|
a
－
b
|，则
a
与a
＋
b
的夹角为60°.
则假命题为 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相 转化，而数形结合法正是在
这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意 ，
做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结
论．
例4 用min{
a
，
b
，
c
}表示
a
，
b
，
c
三个数中的最小值．设
f
(
x< br>)＝min{2
x
，
x
＋
2,10－
x
}(
x
≥0)，则
f
(
x
)的最大值为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
22
?
?
xy
变式训练4 (2010·湖北）设集合
A
＝
?
(
x
，
y
)
?
＋＝1
?
416
?

?
?
，
B
＝
?< br>{
(
x
，
y
)|
y
＝3
x
}
，则
A
∩
B
的子集的个数是 (
A．4 B．3
)
D．1 C．2
例5 函数
f(
x
)＝1－|2
x
－1|，则方程
f
(
x< br>)·2
x
＝1的实根的个数是

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( )
A．0 B．1 C．2 D．3
探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及 根的范围问题，要多考
虑利用数形结合法．方程
f
(
x
)＝0的根就 是函数
y
＝
f
(
x
)图象与
x
轴的交点横 坐
标，方程
f
(
x
)＝
g
(
x
) 的根就是函数
y
＝
f
(
x
)和
y
＝
g
(
x
)图象的交点横坐标．利用
数形结合法解决方程根的问题的前提是涉 及的函数的图象是我们熟知的或容易
画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可 以先对方程
进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
变式训练5 函数
y
＝|log
1

x
|的定义域为[
a
，
b
]，值域为[0,2]，则区间[
a
，
b
]
2
的长度
b
－
a
的最小值是 ( )
A．2
3
B.
2
C．3
3
D.
4
视角四 特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值 法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替
题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验， 从而做出正确的选择．常
用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、
某种关系恒成立 ”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种
特殊情况下不真，则它在一般情况下也不 真”，利用“小题小做”或“小题巧
做”的解题策略．
例6 已知
A
、< br>B
、
C
、
D
是抛物线
y
＝8
x上的点，
F
是抛物线的焦点，且
FA
＋
FB
＋
→→→→→→
FC
＋
FD
＝0，则|
FA
|＋|
F B
|＋|
FC
|＋|
FD
|的值为
A．2 B．4
(

)
D．16
1
2
→→
C．8
变式训练6 已知
P
、
Q
是椭圆3
x
2
＋5
y
2
＝1上满足∠< br>POQ
＝90°的两个动点，则
＋
1
等于 ( )
OP
2
OQ
2

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8

15
34

225
A．34 B．8 C. D.
例7 数列{
a
n
}成等比数列的充要条件是 ( )




A．
a
n
＋1
＝< br>a
n
q
(
q
为常数)
B．
a
2< br>n
＋1
＝
a
n
·
a
n
＋2
≠0
C．
a
n
＝
a
1
q
n
－1
(
q
为常数)
D．
a
n
＋1
＝
a
n
·
a
n
＋2

a
2
n
4
n
－1
S
2
n
变式训练7 已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，若＝，则的值为
a
n
2
n
－1
S
n


( )
B．3 C．4 D．8 A．2
视角五 筛选法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符
合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供
的信息或通过 特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
例8 方程
ax
2
＋2
x
＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )


A．0<
a
≤1
C．
a
≤1














B．
a
<1
D．0<
a
≤1或
a
<0
变式训练8 已知函数
f
(
x
)＝
mx
2
＋(
m
－3)
x
＋1的图象与
x
轴的交点至少有一个在
原点右侧，则实数
m
的取值范围是( )


A．(0,1)











B．(0,1]
D．(－∞，1] C．(－∞，1)
视角六 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，
不必进行准确的计 算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出
正确的判断，这就是估算法．估算法往往可 以减少运算量，但是加强了思维的层
次．

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?
x
≤0
例9 若
A
为不等式组
?
y
≥0
?
y
－
x
≤2
3
A.
4

表示的平面区域，则当
a
从－2连续变化到
1时，动直线
x
＋
y
＝
a
扫过< br>A
中的那部分区域的面积为 (
B．1
7
C.
4



)
D．2
变式训练9 已知过球面上
A
、
B
、
C
三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，< br>且
AB
＝
BC
＝
CA
＝2，则球面面积是( )
A.
16
π
9


8
B.π
3
64
D.π
9
C.4π
规律方法总结
1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但
大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点
灵活运用上述一 种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文
章，切忌盲目地采用直接法．
2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误
入“陷阱”，应该从正反 两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大
胆跳跃．
3．作为平时训练，解完一道 题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，
并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的 能力.
小练
1．已知集合
A
＝{1,3,5,7,9}，
B＝{0,3,6,9,12}，则
A
∩(?
N
B
)等于 ( )


A．{1,5,7}
C．{1,3,9}


















B．{3,5,7}
D．{1,2,3}
2．已知向量
a
，
b
不共线，
c
＝
ka
＋
b
(
k
∈R)，
d
＝
a
－
b
.如果
c
∥
d
，那么 ( )


A．
k
＝1且
c
与
d
同向
C．
k
＝－1且
c
与
d
同向


B．
k
＝1且
c
与
d
反向
D．
k
＝－1且
c
与
d
反向

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?
ππ
?
3．已知函数
y
＝tan ω
x
在
?
－，
?
内是减函数，则( )
2
??
2


A．0<ω≤1
C．ω≥1












B．－1≤ω<0
D．ω≤－1
4．已知函数
f
(
x
)＝2
mx
2
－2(4－
m
)x
＋1，
g
(
x
)＝
mx
，若对于任一实数< br>x
，
f
(
x
)与
g
(
x
) 的值至少有一个为正数，则实数
m
的取值范围是 (


A．(0,2)
C．(2,8)




















)


B．(0,8)
D．(－∞，0)
→→→
5．已知向量
OB
＝(2,0)，向量
OC
＝(2,2)，向量
CA
＝(2cos α，2sin α)，则
→→
向量
OA
与向量
OB
的夹角的取值范围是
π
A．[0，]
4
C．[
π5π
，]
412



( )
B．[
5ππ
，]
122
π5π
，]
1212
D．[
6．设函数
y
＝
f
(
x
)在(－∞，＋∞) 内有定义，对于给定的正数
K
，定义函数
f
K
(
x
)
?
f
(
x
)，
f
(
x
)≤K
，
＝
?
?
K
，
f
(
x)>
K
.
区间为 ( )


A．(－∞，0)







B．(0，＋∞)

1
取函数
f
(
x
)＝2
－|
x
|
，当
K
＝时，函数
f
K
(
x
) 的单调递增
2
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
7．设
x，
y
∈R，用2
y
是1＋
x
和1－
x
的等比中 项，则动点(
x
，
y
)的轨迹为除去
x
轴上点的 ( )


A．一条直线





B．一个圆
D．一个椭圆 C．双曲线的一支
8．设
A
、
B
是非空数集，定义
A
*
B
＝{x
|
x
∈
A
∪
B
且
x
∈A
∩
B
}，已知集合
A
＝{
x
|
y< br>＝2
x
－
x
2
}，
B
＝{
y
|
y
＝2
x
，
x
>0}，则
A
*
B
等于


A．[0,1]∪(2，＋∞)
C．(－∞，1]




( )
B．[0,1)∪(2，＋∞)
D．[0,2]
x
2
2
9．若点
O
和点
F
(－2,0)分别为双曲线
2
－
y
＝1(
a
>0)的中心和左焦点，点
P
为
a

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→→
双曲线右支上的任意一点，则
OP
·
FP
的取值范围为


A．[3－23，＋∞)
7
C．[－，＋∞)
4







( )

B．[3＋23，＋∞)
7
D．[，＋∞)
4
10 ．已知等差数列{
a
n
}满足
a
1
＋
a
2
＋?＋
a
101
＝0，则有 ( )


A．
a
1
＋
a
101
>0
C．
a
3
＋
a
99
＝0












B．
a
2
＋
a
102
<0
D．
a
51
＝51
1
11．在等差数列{
an
}中，若
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＋
a
8
＋
a
10
＝80，则
a
7
－
a
8
的值为 ( )
2
A．4 B．6 C．8 D．10
11
ba
12．若<<0，则下列不等式：①
a
＋
b
<
ab
；②|
a
|>|
b
| ；③
a
<
b
；④＋>2中，
abab
正确的不等式是
A．①②
( )
B．②③ C．①④ D．③④
13.如图，质点
P
在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为
P
0< br>(2，－2)，
角速为1，那么点
P
到
x
轴距离
d< br>关于时间
t
的函数图象大致为 ( )



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?
x
?
－
a
?
＋4
a
的最小值等于3，则实数a
的值等于 ( 14．若函数
f
(
x
)＝
?
2
?
x
＋1
?


)
3
A.
4
B．1
3
C. 或1
4
D．不存在这样的
a

2
15．已知sin θ＝
A.
m
－34－2
m
πθ
，cos θ＝(<θ<π)，则tan等于 ( )
m
＋5
m
＋522
B．|
m
－3

9－
m
m
－3
|
9－
m

1
C.
3
D．5 16．已知函数
y
＝
f
(
x
)，
y
＝
g
(
x
)的导函数的图象如下图，那么
y
＝
f(
x
)，
y
＝
g
(
x
)
图象 可能是( )


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填空题
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它
只要求写出结果而 不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般
为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有 所不同．
1．填空题的类型
填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决 问题的能
力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而
只需要 写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是
定性填写．
2．填空题的特征
填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，
解答时有不受诱误干 扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往
往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的 一些内容 (既可以是条件，也可以
是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．
从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数
值准确、形式规范 、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在
“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需 要写出具体的推理、计算过程，因此
要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准 确”，则必

- 10 -

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须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
3．解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．解填空
题的常用方法有：直接法、数 形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情
推理法等．
视角一 直接法
直 接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，
通过变形、推理、计算等，得出 正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，
自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．
例1 在等差数列{
a
n
}中，
a
1
＝－3,11
a
5
＝5
a
8
－13，则数列{
a
n}的前
n
项和
S
n
的最
小值为________．
变式训练1 设
S
n
是等差数列{
a
n
}的前n
项和，已知
a
2
＝3，
a
6
＝11，则S
7
＝________.

视角二 特殊值法
特殊值法在 考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点
是简便易行．当暗示答案是一个“定值” 时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、
特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化， 把一般形式变为
特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．
例2 已知△
ABC
的三个内角
A
、
B
、
C
的对 边分别为
a
、
b
、
c
，且满足
(sin
A
－sin
C
)(
a
＋
c
)
b
＝sin
A
－sin
B
，则
C
＝_______.
探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，
我们就可以利用 填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求
值．在解决一些与三角形、四边形等平面 图形有关的填空题时，可根据题意，选
择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可 用直接法求解如
下：由
(sin
A
－sin
C
)(< br>a
＋
c
)
b
(
a
－
c
)(
a
＋
c
)
＝sin
A
－sin
B
可得
b
2
＝
a
－
b
， 22222
整理得，
a
－
c
＝
ab
－
b
，即
a
＋
b
－
c
＝
ab
.

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a
2＋
b
2
－
c
2
1
由余弦定理，得cos
C
＝＝，所以
C
＝60°.
2
ab
2
变式训练2 在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、c
，如果
a
、
b
、
c
成
cos
A
＋cos
C
等差数列，则＝________.
1＋cos
A
cos
C
例3 如图所示，在△
ABC
中,
AO
是
BC
边上的中线，
K
为
AO
上一点，且OA
＝2
AK
,
→→→
过点
K
的直线分别交直 线
AB
、
AC
于不同的两点
M
、
N
，若< br>AB
＝
mAM
，
AC
＝
nAN
，则
→
→→
m
＋
n
＝________.

变式训练3 设
O
是△
ABC
内部一点，且
OA
＋
OC
＝－2
OB
，则△
AOB
与△
AOC
的面
积之比为______．
视角三 图象分析法(数形结合法)
依据特殊数 量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，
→→→
称为图象分析型填空题 ，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求
写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形， 然后参照图形的形状、位置、性
质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得 出正确
的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅
显易懂， 又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础
知识的掌握程度及灵活处理问题的 能力，此类问题为近年来高考考查的热点内
容．
1
例4 已知方程(
x2
－2
x
＋
m
)(
x
2
－2
x
＋
n
)＝0的四个根组成一个首项为的等差数
4
列，则|
m
－
n
|的值等于________．
探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方

- 12 -

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法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点 ，充分挖掘其中的有用信
息，寻求最简捷的解法．
变式训练4 已知定义在R上的奇函数f
(
x
)满足
f
(
x
－4)＝－
f< br>(
x
),且在区间[0,2]
上是增函数，若方程
f
(
x
)＝
m
(
m
>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x
1
，
x
2
，
x
3
，
x4
，则
x
1
＋
x
2
＋
x
3< br>＋
x
4
＝________.
例5 函数
y
＝f
(
x
)的图象如图所示，其定义域为[－4,4]，那么不等式
的解集 为__________________________________．
f
(
x
)
≤0
sin
x

变式训练5 不等式（|
x
|-
为
视角四 等价转化法
将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模
?
）·sin
x
<0，
x
∈[-π,2π］的解集
2

式．通过 转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的
问题，从而得出正确的结果．
?
x
－4
x
＋6，
x
≥0
例6 设函 数
f
(
x
)＝
?
?
3
x
＋4，
x
<0
2

，若互不相等的实数
x
1
，< br>x
2
，
x
3
满足
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)＝
f
(
x
3
)，则
x
1
＋
x
2
＋
x
3< br>的取值范围是________．
探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化 的目标．本题转化
的关键就是将研究
x
1
＋
x
2
＋
x
3
的取值范围问题转化成了直线
y
＝
m
与曲线< br>y
＝
f
(
x
)
有三个交点的问题，将数的问题转化成 了形的问题，从而利用图形的性质解决．
变式训练6 已知关于
x
的不等式
则
a
的值为________．

- 13 -
ax
－11
<0的解集是(－∞,－1)∪(－，＋∞)，< br>x
＋12

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视角五 构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模
型，从而简化推理与计算过程 ，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于
对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理 中进行提炼概括，积极联
想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率 、
几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
2sin(
x
＋
例7 函数
f
(
x
)＝
________.

探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构
造思维的一种应用．注意到分式类函 数的结构特征，借助分式类函数最值的处理
方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最 大值和最小值的问
题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻
理解．
变式训练7 已知函数
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
＋
的值等于________．
例8 已知
a
、
b
是正实数，且满足
ab
＝
a
＋b
＋3，则
a
＋
b
的取值范围是__________．
变式训练8 若抛物线
y
＝－
x
2
＋
ax
－2总在直线
y
＝3
x
－1的下方，则实数
a
的取
值范围是________．
规律方法总结
1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外， 对于带有一般性命题的填空题可
采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常 常需要
几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．
2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的 唯一标准，因此解
填空题时要注意如下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；
sin
x
1
＋3，若
f
(lg
a
)＝4，则
f
(lg )
cos
xa
π
)＋2
x
2
＋
x
4
的最大值为
M
，最小 值为
m
，则
M
＋
m
＝
2
x
2＋cos
x

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(3)要重视对所求结果的检验.
小练
1．设全集
U
＝R，A
＝{
x
|
x
－1
>0}，?
U
A< br>＝ [－1，－
n
]，则
m
2
＋
n
2
＝________.
x
＋
m
2．在各项均为正数的等比数列{
a
n
}中，若
a
5
·
a
6
＝9，则log
3
a
1
＋log
3
a
2
＋?＋
l og
3
a
10
＝________.

3．在数列{
a
n
}中，若
a
1
＝1，
a
n
＋1＝2
a
n
＋3(
n
≥1)，则该数列的通项
a
n
＝________.
4．设非零向量
a
，
b
，
c
满足|
a
|＝|
b
|＝|
c
|，
a< br>＋
b
＝
c
，则cos〈
a
，
b
〉＝ ________.
5．设等差数列{
a
n
}，{
b
n< br>}的前
n
项的和分别为
S
n
与
T
n
，若＝
________.
→→→→
6．△
ABC
的外接圆的圆心 为
O
，两条边上的高的交点为
H
，
OH
＝
m
(
OA
＋
OB
＋
OC
)，
则实数
m＝____.
7．若数列{
a
n
}满足：对任意的
n
∈N
*
，只有有限个正整数
m
使得
a
m
<
n
成立，记这
样的
m
的个数为{
a
n
}
*
，则得到一个新数列{(
a
n
)
*
}．例如，若数列{a
n
}是1,2,3，?，
S
n
2
na
n，则＝
T
n
3
n
＋1
b
n
n
，?，则数列{(
a
n
)
*
}是0,1,2，?，
n
－1，?.已知对任意的
n
∈N
*
，
a
n
＝n
2
，则
(
a
5
)
*
＝______ __，((
a
n
)
*
)
*
＝________.
1
8．直线
y
＝
kx
＋3
k
－2与直线< br>y
＝－
x
＋1的交点在第一象限，则
k
的取值范围
4
是________．
9.已知四面体
ABCD
的一条棱长为
x< br>，其余棱长都为1，则
x
的取值范围是
________．

10．观察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，?，根据上
述规律，第五个 等式为________________________________．
11．圆
x
2
＋
y
2
＝1的任意一条切线
l
与圆
x< br>2
＋
y
2
＝4相交于
A
(
x
1，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y< br>2
)
两点，
O
为坐标原点，则
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝________.
12．已 知数列{
a
n
}的各项均为正数，
a
1
＝1.其前
n
项和
S
n
满足2
S
n
＝2
pa
2
n
＋
a
n
－
332,333233332
p(
p
∈R)，则{
a
n
}的通项公式为________． < br>13．已知
f
(
x
)＝
x
＋log
2
x
9－
x
，则
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＋?＋
f
(8)的值为________．

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14．在△
ABC
中，如果sin
A
∶sin
B
∶sin
C
＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的
余弦值是_________．
1 5．已知最小正周期为2的函数
y
＝
f
(
x
)，当
x
∈[－1,1]时，
f
(
x
)＝
x
2
， 则方程
f
(
x
)＝|log
5
x
|的解的个数为_ _______．


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