宁远舜德学校2016届高考培训部

④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取< br>值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知在
?ABC
中,角
A,B,C< br>所对的边分别为
a,b,c
.
若
?ABC?
2
?< br>3
,
b?7,c?2
,
D
为
BC
的中点.
（I）求
cos?BAC
的值. （II）求
AD
的值.


18．(本小题满分12分)
某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情
况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取
了100名学生的体检表，并得到如 图的频率分布直
方图．
（I）试估计该校高三学生视力在5．0以上的人数；
（I I）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组
成员进行分层抽样，在视力
4.2?4.4 和
5.0?5.2
的学生中抽取
9
人，并且在这
9
人中任取
3
人，记
视力在
4.2?4.4
的学生人数为
X< br>，求
X
的分布列
和数学期望．



19．(本小题满分12分)
已知：矩形
A
1
ABB
1< br>中，
AB=AA
1
=4
，
C
1
,C
分
别是
A
1
B
1
、
AB
的中点，
D
为
C
1
C
中点，将
矩形
A
1
ABB
1
沿着直线
C
1
C
折成一个
60
的二
面角，如图所示.
（Ⅰ）求证 平面
ABC
⊥平面
BB
1
C
1
C

（Ⅱ）求
AB
1
与平面
A
1
B
1
D所成角的正弦值.



20.(本小题满分12分)
已知以
A
为圆心的圆
(x?2)?y?64
上有一个动点
M
，B(?2,0)
，线段
BM
的垂直平
分线交
AM
于点< br>P
，点
P
的轨迹为
E
．
22
B
B
1
o
AA
1
C
C
1

（Ⅰ） 求轨迹
E
的方程；
（Ⅱ）过
A
点作两条相互垂直的直线
l
1
,l
2
分别交曲线
E
于
D,E,F,G
四个点，求
DE?FG
的取值范围．


21．(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?lnx?
（Ⅰ）实数
a
的值；
（Ⅱ） 若在
?
1,e
?
（
e?2.718...
）上存在一点x
0
，使得
x
0
?
a
，
a?R
,且函数
f(x)
在
x?1
处的切线平行于直线
2x?y?0．
x
1
?mf(x
0
)
成立，求实数
m的
x
0
取值范围.

本题有(22)、(23)、(24)三 题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，
先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对 应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲
如图，已知
AB
为圆
O
的一条直径，以端点
B
为圆心的圆交直线
AB
于CD
两点，交圆
O
于
E,F
两点，过点
D
作垂 直于
AD
的直线，交直线
AF
于
H
点．
（Ⅰ）求证：
B,D,H,F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AC?2,AF?22
，求
?BDF
外接圆的半径．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中， 圆
C
的极坐标方程为：
?
?4
?
(cos
?
?sin
?
)?6
.若以极点
O
为原
点，极轴所在直线为
x
轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求圆
C
的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点
P(x,y)
是圆
C
上动点，试求
x?y
的最大值，并求出此时
点
P
的直角坐标.



（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
m,n
都是实 数，
m?0
，
f(x)?x?1?x?2
.
(I)若
f(x)?2
，求实数
x
的取值范围；
(II) 若
2
m?n?m?n?mf(x)
对满足条件的所有
m,n
都成立， 求实数
x
的取值范围．

理科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且
只有一个答案 是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B B D C B B C B A D B

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13．
?
3
14．9 15.(0,3)16.①③④
11
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)解：（I）在
?ABC
中,由余弦定理得
AC
2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcos?ABC
???1分
1
?7?4?a
2
?2?2?a?
?
?a?3
??
a?1
?
?0
解得
a?3
(a??1
已舍去）
2
AB
2
?AC
2
?BC
2
4?7?97
?cos?BAC?
????6分
??
2AB?AC
2?2?7
14
（II）：
?
A D?
2
1
1
AB?AC
?AD?AB?AC
2
4< br>??
?
?
?
?
1
?
AB
4
?
222
?AC?2AB?AC
?
?
?

1
?
7
?
13
??
?
??11分
?AD?
13
??12分
?
?
4?7?2?2?7?
4
?
14
?
2
?
4
18．(本小题满分12分) 解：（I）设各组的频率为
f
i
(i?1,2,3,4,5,6)
，
f
1
?0.03,f
2
?0.07,f
3
?0.27,f
4
?0.26,f
5
?0.23
，
所以视力在
5 .0
以上的频率为
1?(0.03?0.07?0.27?0.26?0.23)?0.14< br>，
估计该校高三学生视力在5．0以上的人数约为
1000?0.14?140
人． ???4分
（II）依题意9人中视力在
4.2?4.4
和
5.0?5.2
的学生分别有3人和6人，
X
可取0、1、2、3
21
3
C
6
C
3
45
C
6
20
，
P(X?1)?
，
?
P(X?0)?
3
?
3
84
C
9
C< br>9
84
12
3
C
6
C
3
18
C
3
1
，
P(X?2)??
P(X?3)??
3
3
84
84

C
9
C
9
X
的分布列为




X
的数学期望
E(X)
X

0 1 2 3
P

20

84
45

84
18

84
1

84
?0?
2045181
?1??2??3??1
．???????12分
84848484

19．(本小题满分12分)
（Ⅰ）解连结
AB
、
A
1
B
1
，
∵
C
1
,C
分别是矩形
A
1
ABB1
边
A
1
B
1
、
AB
的中点，
∴
AC?CC
1
，
BC?CC
1
，
AC?BC?C
∴
CC
1
?面ABC

又
CC
1
平面
BB
1
C
1
C，
∴平面
ABC
⊥平面
BCC
1
B
1
，-- ---5分
（Ⅱ）解： 由（1）知
?ACB
为二面角
A?CC
?
?A
?
的平面角，∴
?ACB?60
O

∴
?ABC
为正三角形， 取
BC
中点
O
，连结
AO
则
AO?BC
， ∵平面
ABC
⊥平面
BCC
1
B
1
，
< br>∴
AO
⊥平面
BCC
1
B
1
取
B< br>1
C
1
中点
O
1
，以
O
为原点，< br>OB，OO
1
，OA
的方向为
x,y,z
轴的正
方向 建立空间直角坐标系，则
B(1,0,0)
，
D(?1,1,0)
,
A(0,0,3)
,
A
1
(0,2,3)
,
B
1< br>(1,2,0)
则
?????????
AB
1
?(1,2?3 )
，
A
1
D?(?1,?1,?3)
，
??????? ??
AB
1
?A
1
D?(?1,?1,?3)?(1,2?3)?? 1?2?3?0
，
?????????
∴
AB
1
?A
1
D
．
1
D
∴
AB
1
⊥
A
设平面
B1
A
1
D
的法向量为
n?(x,y,z)

∵
A
1
B
1
?(1,0,?3)
，
A
1D?(?1,?1,?3)

∵
n?A
1
B
1
,
n?A
1
D

?
??
?
n.A
1
B
1
?0
?
x?3z?0,
?
y??23z,< br>∴
?
∵
?
∴
?

?
??< br>?
?x?y?3z?0,
?
x?3z
?
n.A
1D?0
????
?
令
z?1
得
n?(3,?23,1 )
为平面
B
1
A
1
D
的一个法向量.又
A B
1
?(1,2,?3)

????
n·AB
1
?
=
AB
1
与平面
A
1
B
1
D所成角的正弦值
?
????
|n|AB
1
|
3?43? 343
6
?
=.
22.482
4
AB
1
与平面
A
1
B
1
D
所成角的正弦值为
6
． ????????????????12分
4
21.(本小题满分12分)
解（Ⅰ ）连接
PB
，依题意得
PB?PM
，所以
PB?PA?PM?8
所以点
P
的轨迹
E
是以
A,B
为焦点，长轴 长为
4
的椭圆，

x
2
y
2
??1
．????4分 所以a?4
，
c?2
，
b?23
所以
E
的轨迹方程 式
1612
(Ⅱ) 当直线
l
1
,l
2
中有一条直 线的斜率不存在时，
DE?FG?6?8?14

当直线
l
1
的斜率存在且不为
0
时，设直线
l
1
的方程
y?k(x? 2)
，设
D
(x
1
,y
1
)
，
E (x
2
,y
2
)

?
y?k(x?2)
?
联立
?
x
2
，整理得
(3?4k
2
)x< br>2
?16k
2
x?16k
2
?48?0
????6分
y
2
?1
?
?
?
1612
16k
2
?48
16k
2
x
1
?x
2
?
，
x
1
x
2
?
所以
2
2
3?4k
3?4k
DE?
24(1?k
2
)
(1?k)(x
1
?x
2
)
?1?k?(x
1
?x
2
)? 4x
1
x
2
?
????8分设
3?4k
2
22
22
24(1?k
2
)
1
直线
l
2< br>的方程为
y??(x?2)
，所以
FG?
所以
2
k< br>4?3k
168(k
2
?1)
2
?9分
DE?FG ?
22
(4?3k)(3?4k)
2
设
t?k?1
，所以< br>t?1
，所以
DE?FG?
168

t?1
12?< br>2
t
因为
t?1
，所以
0?
t?1196
? [,14)
．???12分 ，所以的取值范围是
DE?FG
4
7
t
2
1a
?
，函数
f(x)
在
x?1
处的切 线平行
xx
2
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
f(x)
的定义域为
(0,??)
， ∵
f< br>?
(x)?
于直线
2x?y?0
．∴
f
?
( 1)?1?a?2
∴
a??1
????4分
（Ⅱ）若在
?
1,e
?
（
e?2.718...
）上存在一点
x
0
，使得
x
0
?
构造函数
h(x)?x?
1
?mf (x
0
)
成立，
x
0
11m
?mf(x)?x? ?mlnx?
在
?
1,e
?
上的最小值小于零.
xxx< br>1mmx
2
?mx?m?1(x?1)(x?m?1)
h
?
( x)?1?
2
??
2
??
???6分
22
xxx xx
①当
m?1?e
时，即
m?e?1
时，
h(x)
在
?
1,e
?
上单调递减，所以
h(x)
的最小值为h(e)
，

e
2
?1e
2
?1
1?m
?m?0
可得
m??e?1
，所以由
h(e)?e?
，因为
e
e?1e?1
e
2
?1
m?
； ??????10分
e?1
②当
m?1?1
，即
m?0
时 ，
h(x)
在
?
1,e
?
上单调递增，所以
h(x )
最小值为
h(1)
，由
h(1)?1?1?m?0
可得
m ??2
； ??11分
③当
1?m?1?e
，即
0?m?e?1
时， 可得
h(x)
最小值为
h(1?m)
，
因为
0?ln( 1?m)?1
，所以，
0?mln(1?m)?mh(1?m)?2?m?mln(1?m)? 2

e
2
?1
此时，
h(1?m)?0
不成立. 综上所述:可得所求
m
的范围是：
m?
或
e?1
m??2< br>. ?12分．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲
证明:(I) 为圆的一条直径
?AB
O
?BF?FH,DH?BD?B,D,H,F
四点共圆 ????4分
解：(II)
AH
与圆< br>B
相切于点
F
，由切割线定理得
AF
2
?AC?AD
，即
?
22
?
2
?2?AD
，解得
AD? 4
，所以
BD?
1
?
AD?AC
?
?1,BF?B D?1
，又
2
?AFB??AD
，则
H
外接圆直径，
BH?
DHAD
?
，得
DH?2
，连接
BH
，由 （1）知
BH
为
?BDF
的
BFAF
BD
2
?DH
2
?3
，故
?BDF
的外接圆半径为
222
3
．??10分
2
（23）解：（Ⅰ）因为
?
?4
?< br>(cos
?
?sin
，所以
x?y?4x?4y?6?0
， 即
?
)?6
(x?2)
2
?(y?2)
2
?2为圆C的普通方程．??4分
?
?
x?2?2cos
?
所以所 求的圆C的参数方程为
?
(
?
为参数) ．????6分
?
?
y?2?2sin
?
?
?
（Ⅱ）由 （Ⅰ）可得，
x?y?4?2(sin
?
?cos
?
)?4?2si n(
?
?)
当
?
?
4
4
时，即 点
P
的直角坐标为
(3,3)
时，
x?y
取到最大值为6.?10分

（24）解：(I)所求实数x
的取值范围为
(??,)?(,??)
.??5分（II）
[,].??10分
1
2
5
2
15
22