《普通高中数学课程标准》的核心内容-1985高中数学竞赛试题
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项
:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类
型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题
卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作
答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑;如需要改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢
笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然
后再写上新答案;
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题
共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。 1.已知集合
A
={
x
|
x
<1},
B
={
x
|
3
x
?
1
},则
A.
AIB?{x|x?0}
C.
AUB?{x|x?1}
B.
AUB?R
D.
AIB??
2.如图,正
方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分
关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率
是
A.
1
4
B.
π
8
C.
1
2
D.
π
4
3.设有下面四个命题
1
p
1
:若复数
z满足
?R
,则
z?R
;
z
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p
2
:若复数
z
满足
z
2
?R
,则
z?R
;
p
3
:若复数z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
?
R
,则
z
1
?z
2
;
p
4
:若复数
z?R
,则
z?R
.
其中的真命题为
A.
p
1
,p
3
B.
p
1
,p
4
C.
p
2
,p
3
D.
p
2
,p
4
4.记
S
n
为
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和.若
a
4<
br>?a
5
?24
,
S
6
?48
,则
{
a
n
}
的公差为
A.1 B.2 C.4 D.8 <
br>5.函数
f(x)
在
(??,??)
单调递减,且为奇函数.若
f(1)??1
,则满足
?1?f(x?2)?1
的
x
的取值范围
是
A.
[?2,2]
6.
(1?
B.
[?1,1]
C.
[0,4]
D.
[1,3]
1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1?x)
2
x
B.20 C.30
D.35 A.15
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成,
正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10 B.12
nn
C.14
D.16
和两个空白框中,8.右面程序框图是为了求出满足3
?2
>1000的最
小偶数
n
,那么在
可以分别填入
A.
A
>1
000和
n
=
n
+1
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B.
A
>1 000和
n
=
n
+2
C.
A
?
1 000和
n
=
n
+1
D.
A
?
1 000和
n
=
n
+2
9.已知曲线
C
1
:
y
=cos
x
,
C
2
:
y
=sin
(2
x
+
2π
),则下面结论正确的是
3
A.把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
单位长
度,得到曲线
C
2
B.把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来
的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
单位长度,得到曲线
C
2
C
.把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
单位长度,得到曲线
C
2
D.把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
个单位长度,得到曲
线
C
2
π
个
6
π
个
12
1
π
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个
26
1
π
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
212
10.已知
F
为抛物线<
br>C
:
y
=4
x
的焦点,过
F
作两条互相垂直
的直线
l
1
,
l
2
,直线
l
1
与
C
交
于
A
、
B
两点,直线
l
2<
br>与
C
交于
D
、
E
两点,则|
AB
|
+|
DE
|的最小值为
A.16 B.14 C.12
D.10
2
11.设
xyz
为正数,且
2
x
?<
br>3
y
?
5
z
,则
A.2
x
<3
y
<5
z
B.5
z
<2
x
<3
y
C.3
y
<5
z
<2
x
D.3
y
<2
x
<5
z
12.几位大学生响应国
家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解数学题获取软件激活
码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4
,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项
是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是2,2
,2,依此类推.求满足如下条
件的学科网&最小整数
N
:
N
>10
0且该数列的前
N
项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码
是
A.440
B.330 C.220 D.110
001012
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量
a
,
b
的夹角为60°,|
a
|=2,|
b
|=1,则|
a
+2
b
|= .
?x?2y?1
?
14.设
x
,
y
满足约束条件
?
2x?y??1
,则
z?3x?2y
的最小值为 .
?
x?y?0
?
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x<
br>2
y
2
15.已知双曲线
C
:
2
?
2
?1
(
a
>0,
b
>0)的右顶点为
A
,以
A
为圆心,
b
为半径做圆
A
,
ab
圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两
点。若∠
MAN
=60°,则
C
的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为
O
,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点,△
DBC
,△
ECA
,△
FAB<
br>分别是以
BC
,
CA
,
AB
为底边的等腰三角形。<
br>沿虚线剪开后,分别以
BC
,
CA
,
AB
为折痕折起
△
DBC
,△
ECA
,△
FAB
,使得
D
、
E
、
F
重合,得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时,所
得三棱锥体积(单位:cm)的最大值为
_______。
3
三、解答题
:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必
须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
a
2
△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,已知△
ABC
的面积为
3sinA
(1)求sin
B
sin
C
;
(2)
若6cos
B
cos
C
=1,
a
=3,求△
ABC
的周长.
18.(12分)
如图,在四棱锥
P-ABCD
中,<
br>ABCD
,且
?BAP??CDP?90
o
.
(1)证明:平面
PAB
⊥平面
PAD
;
(2)若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
,
?APD?
90
,求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机
抽取16个
零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布
N(
?
,
?
2
).
(1)假设生产状态正常,记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
o
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之外的零件数,求
P(X?1)
及
X
的数学期望;
(2)
一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在
(
?
?3
?
,
??3
?
)
之外的零件,就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了
异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96
9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13
10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
?9.97
,
s?
经计算得
x?
(x
i
?x)?(
?
x
i
?16x
2
)
2
?0.212
,
?
?
16
i?1
16
i?1
16
i?1
其中
x
i<
br>为抽取的第
i
个零件的尺寸,
i?1,2,???,16
.
?
,用样本标准差
s
作为
?
的估计值
?
用样本平均
数
x
作为
?
的估计值
?
?
,利用估计值
?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外的学科网数据,用剩下判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除
(
?的数据估计
?
和
?
(精确到0.01).
附:若随机变量Z
服从正态分布
N(
?
,
?
2
)
,则
P(
?
?3
?
?Z?
?
?3
?
)
?0.997 4
,
0.997 4
16
?0.959
2
,
0.008?0.09
.
20.(12分)
3
x<
br>2
y
2
已知椭圆
C
:
2
?
2
=1
(
a
>
b
>0),四点
P
1
(1,
1),
P
2
(0,1),
P
3
(–1,
),
P
4
(1,
2
ab
3
)中恰有三点在椭圆
C上.
2
(1)求
C
的方程;
(2)设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
,
B两点.若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的
斜率的和为
–1,证明:
l
过定点.
21.(12分)
已知函数
(fx)?
a
e+(
a
﹣2)
e﹣
x
.
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)若
f(x)
有两个零点,求
a
的取值范围.
(二)
选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
?
x?3cos
?<
br>,
在直角坐标系
xOy
中,曲线
C
的参数方程为
?<
br>(
θ
为参数),直线
l
的参数方
y?sin
?
,
?
2
xx
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程为
?
x?a?4t,
(t为参数)
.
?
y?1?t,
?
(1)若
a
=?1,求
C
与
l
的交点坐标;
(2)若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
,求
a.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数
f
(
x
)=–
x
+
ax
+4,
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
(1)当
a
=
1时,求不等式
f
(
x
)≥
g
(
x
)的解
集;
(2)若不等式
f
(
x
)≥
g
(
x
)的解集包含[–1,1],求
a
的取值范围.
2
2017年新课标1理数答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
13.
23
14.
?5
15.
23
3
16.
415
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1a
21a
17.解:(1)由题设得
acsinB?
,即
csinB?
.
23sinA
23sinA
1sinA
.
sinCsinB
?
23sinA
2
故
sinBsinC?
.
3
由
正弦定理得
(2)由题设及(1)得
cosBcosC?sinBsinC??,
,即
cos(B?C)??
所以
B?C?
1
2
1
.
2
2π
π
,故
A?
.
3
3
1a
2
由题设得
bcsinA?
,即
bc?8
.
23
sinA
2
由余弦定理得
b
2
?c
2
?bc?9<
br>,即
(b?c)?3bc?9
,得
b?c?33
.
故
△ABC
的周长为
3?33
.
18.解:(1)由已知
?BAP??CDP?90?
,得
AB
⊥
AP
,
C
D
⊥
PD
.
由于
AB
∥
CD
,故
AB
⊥
PD
,从而
AB
⊥平面
PAD
.
又
AB
?
平面
PAB
,所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.
(2)在平面
PAD
内做
PF?AD
,垂足为
F
,
由(1)可知,
AB?
平面
PAD
,故
AB?PF
,可得
PF?
平面
ABCD
.
uuur
uuur
以
F
为坐标原点,
FA
的方向为
x
轴正方向,
|A
B|
为单位长,建立如图所示的空间直角坐
标系
F?xyz
.
由(1)及已知可得
A(
2
222
,1,0)
.
,0,0)
,
P(0,0,)
,
B(,1,0)
,
C(?<
br>2
222
uuuruuur
uuuruuur
22
22
,1,?)
,
CB?(2,0,0)
,
PA?(,0,?)
,AB?(0,1,0)
. 所以
PC?(?
22
22
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设
n?(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量,则
uuu
r
?
22
?
x?y?z?0
?
?
?
n?P
C?0
,即,
uuur
22
?
?
?
?
2
x?0
?
n?CB?0
?
可取
n?(0,?1,?2)
.
设
m?(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量,则
uuu
r
?
22
?
m?PA?0
?
x?z?0
?
,即,
uuur
?
?
22
?
?
y?0
?
m?AB?0
?
可取
n?(1,0,1)
.
则
cos
n?m3
,
??
|n||m|3
3
.
3
所以二面角
A?PB
?C
的余弦值为
?
19.【解】(1)抽取的一个零件的尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之内的概率为0.9
974,从而零件
的尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率为0.0026,故
X~B(16,0.0026)<
br>.因此
P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.9974?0.0408
.
X
的数学期望为
EX?16?0.0026?0.0416
.
(2
)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率只有0.0026,
一天内抽取的16个零件
中,出现尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?<
br>)
之外的零件的概率只有0.0408,
发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有
理由认为这条生产线在这一天的生产过程学
科&网可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,
可见上述监控生产过程的方法
是合理的.
?
?0.212
,由
?<
br>?9.97
,
?
的估计值为
?
(ii)由
x?9.9
7,s?0.212
,得
?
的估计值为
?
?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外,因此
需对当天的生产过程进样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
(
?
行检查.
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?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外的数据剔除
(?
9.22,剩下数据的平均数为
1
(16?9.97?9.22)?10.02
,因此
?
的估计值为10.02.
15
?
x
i?
1
16
2
i
?
?3
?
?
,
??
?3
?
?
)
之外的数据9.22,剩
?16?0.2
12
2
?16?9.97
2
?1591.134
,剔除
(<
br>?
下数据的样本方差为
1
(1591.134?9.22
2
?
15?10.02
2
)?0.008
,
15
因此
?
的估计值为
0.008?0.09
.
20.(12分)解:
(1)由于
P
3
,
P
4<
br>两点关于
y
轴对称,故由题设知
C
经过
P
3
,
P
4
两点.
又由
1113
知,
C
不经
过点
P
1
,所以点
P
2
在
C
上.
???
2222
aba4b
?
1
?1
?
?
a
2
?4
?
?
b
2
因此
?
,解
得
?
2
.
13
b?1
?
?
?
?
?1
22
?
4b
?
a
x
2
故
C<
br>的方程为
?y
2
?1.
4
(2)设直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率分别为
k
1,
k
2
,
4?t
2
如果
l
与
x
轴垂直,设
l
:
x
=
t
,由题设知
t
?0
,且
|t|?2
,可得
A
,
B
的坐标分别为(
t
,),
2
4?t
2
(
t
,
?<
br>).
2
4?t
2
?24?t
2
?2
???
1
,得
t?2
,不符合题设.
则
k
1
?k
2
?
2t2t
x
2
从而可设
l
:
y?k
x?m
(
m?1
).将
y?kx?m
代入
?y
2<
br>?1
得
4
(4k
2
?1)x
2
?8kmx
?4m
2
?4?0
由题设可知
?=16(4k
2
?m
2
?1)?0
.
4m
2
?4
8km
设
A
(
x
1<
br>,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),则
x
1
+
x
2
=
?
2
,
x
1
x
2
=.
4k
2
?
1
4k?1
y?1y
2
?1
而
k
1
?k<
br>2
?
1
?
x
1
x
2
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?
?
kx
1
?m?1kx
2
?m?1
<
br>?
x
1
x
2
2kx
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)
.
x
1
x
2
由题设
k
1
?k
2
??1
,故
(2k?1)x
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)?0
.
4m
2
?4?8km
即
(2k?1)?
2
?(m?1)?
2
?0
.
4k?14k?1
m?1
解得
k??
.
2
当且仅
当
m??1
时,
??0
,欲使
l
:
y??
所以
l
过定点(2,
?1
)
21.解:(1)
f(x)
的定义域为
(??,??)
,
f
?
(x)?2ae
2x
m?1m?1
x?m
,即
y?1??(x?2)
, <
br>22
?(a?2)e
x
?1?(ae
x
?1)(2e
x
?1)
,
(ⅰ)若
a?0
,则
f
?
(
x)?0
,所以
f(x)
在
(??,??)
单调递减.
(
ⅱ)若
a?0
,则由
f
?
(x)?0
得
x??ln
a
.
当
x?(??,?lna)
时,
f
?
(x)
?0
;当
x?(?lna,??)
时,
f
?
(x)?0,所以
f(x)
在
(??,?lna)
单调递减,在
(?lna
,??)
单调递增.
(2)(ⅰ)若
a?0
,由(1)知,
f(x)
至多有一个零点.
(ⅱ)若
a?0
,由(1)知,当
x??lna
时,
f(x
)
取得最小值,最小值为
f(?lna)?1?
1
?lna
. a
①当
a?1
时,由于
f(?lna)?0
,故
f(x
)
只有一个零点;
②当
a?(1,??)
时,由于
1?
③
当
a?(0,1)
时,
1?
又
f(?2)?ae
?4
1
?lna?0
,即
f(?lna)?0
,故
f(x)
没
有零点;
a
1
?lna?0
,即
f(?lna)?0
.
a
?(a?2)e
?2
?2??2e
?2
?2?0
,故
f(x)
在
(??,?lna)
有一个零点.
设正整数
n
0
满足
n
0
?ln(?1)
,则
f(n
0
)?e
0
(ae
0
?a?2)?n
0
?e0
?n
0
?2
0
?n
0
?0
. 由于
ln(?1)??lna
,因此
f(x)
在
(?lna,?
?)
有一个零点.
综上,
a
的取值范围为
(0,1)
.
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3
a
nnnn
3
a
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22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
x
2
?y
2
?1
.
解:(1)曲线
C<
br>的普通方程为
9
当
a??1
时,直线
l
的普通方程为
x?4y?3?0
.
21
?
x??
?
x?4y?
3?0
?
x?3
?
?
?
2
25
由
?
x
解得
?
或
?
.
2
?
y?0
?
y?
24
?
?y?1
?
9
?
2
5
?
从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
,
(?
2124
,)
.
2525
(2)直线
l<
br>的普通方程为
x?4y?a?4?0
,故
C
上的点
(3cos
?
,sin
?
)
到
l
的距离为
d?
|3cos
?
?4sin
?
?a?4|
. <
br>17
当
a??4
时,
d
的最大值为
a?9a?9?17
,所以
a?8
;
.由题设得
1717
?a?1
?a?1
?17
,所以
a??16
.
.由题设得
1717
当
a??4
时,
d
的最大值为
综上,
a?8
或
a??16
.、
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
解:
(1)当
a?1
时,不等式
f(x)?g(x)
等价于
x?x?|x
?1|?|x?1|?4?0
.①
当
x??1
时,①式化为
x2
?3x?4?0
,无解;
当
?1?x?1
时,①式化为x
2
?x?2?0
,从而
?1?x?1
;
当
x?1
时,①式化为
x
2
?x?4?0
,从而
1?x?2
?1?17
.
2
所以
f(x)?g(x)
的解集为
{x|?1?x?
(2)当
x?[?1,1]
时,
g(x)?2.
?1?17
}
.
2
所以
f(x)?g(x)的解集包含
[?1,1]
,等价于当
x?[?1,1]
时
f(x
)?2
.
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又
f(x)
在
[?1,1]
的最小值必为
f(?1)
与
f(1)
之一
,所以
f(?1)?2
且
f(1)?2
,得
?1?a?1
.
所以
a
的取值范围为
[?1,1]
.
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