高中数学的课程结构-高中数学人教材分析
ruize
课时达标训练(一) 正 弦 定 理
[即时达标对点练]
题组1 利用正弦定理解三角形
1.若△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则b的值为( )
A.3+1
C.26
B.23+1
D.2+23
abb
4
解析:选C 由正弦定理=,得=,所以b=26,故选C.
sin Asin Bsin 45°sin
60°
2.在△ABC中,A=60°,a=3,b=2,则B=( )
A.45°或135° B.60°
C.45° D.135°
ab
解析:选C 由正弦定理=,
sin Asin B
bsin
A
2sin 60°2
得sin B= ==.
a
2
3
∵a>b,∴A>B,
∴B=45°.
cos
Asin B
3.在△ABC中,
a
=
b
,则A=( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
sin Asin
Bcos Asin B
解析:选B ∵=,又=,
abab
cos Asin
A
∴
a
=
a
,
∴sin A=cos A,tan
A=1.
又0°∴A=45°.
4.在△ABC
中,c+b=12,A=60°,B=30°,则c=________,
b=________.
解析:因为A=60°,B=30°,所以C=90°,由正弦定理
b=12,
所以c=8,b=4.
★答案★:8 4
bc
1
=,得b=c.又c+
sin Bsin
C2
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a-2b+c
5.已知在△ABC中,A∶B∶C=
1∶2∶3,a=1,则=________.
sin A-2sin B+sin
C
解析:∵A∶B∶C=1∶2∶3,∴A=30°,B=60°,C=90°.
∵
∴
abc
1
====2,∴a=2sin A,b=2sin
B,c=2sin C.
sin Asin Bsin Csin
30°
a-2b+c
=2.
sin A-2sin B+sin
C
★答案★:2
6.已知b=10,c=56,C=60°,解三角形.
解:∵sin B=
bsin C
10·sin 60°2
==,
c
2
56
且b=10,c=56,b
bsin A
10·sin
75°
∴a===
sin Bsin
45°
10×
6+2
4
=5(3+1).
2
2
题组2 利用正弦定理判断三角形的形状
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+acos
C=b+c,则△ABC
的形状是________.
解析:∵acos B+acos
C=b+c,∴由正弦定理,得sin A·cos B+sin Acos C=sin B+sin
C=sin(A+C)+sin(A+B),化简得cos A·(sin B+sin
C)=0.又sin B+sin C>0,∴cos
A=0,
π
即A=,∴△ABC为直角三角形.
2
★答案★:直角三角形
ππ
-A
?
=bcos
?
-B
?
,判断△
ABC的形状. 8.在△ABC中,acos
?
?
2
??
2
?
π
?
π
-B
?
,
-A
?
=
b·解:法一:∵acos
?
cos
?
2
??
2
?
ab
∴asin A=bsin B.由正弦定理,得a·=b·,
2R2R
∴a
2
=b
2
,∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形.
ππ
-A
?
=bcos
?
-B
?
,
法二:∵acos
?
?
2
??
2
?
∴asin
A=bsin B.
由正弦定理,得2Rsin
2
A=2Rsin
2
B,
即sin A=sin B,
ruize
∴A=B(A+B=π不合题意,舍去).
故△ABC为等腰三角形.
9.在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,sin
2
A=sin<
br>2
B+sin
2
C,试判断△ABC的形状.
解:由sin
2
A=sin
2
B+sin
2
C及正弦定理,得a
2
=b
2
+c
2
,
∴△ABC是直角三角形,且A=90°.
∴B+C=90°,
∴sin B=cos C.
由sin A=2sin
Bcos C,得1=2sin
2
B,
∴sin B=
2
,
2
∴B=45°,
∴C=B=45°.
∴△ABC是等腰直角三角形.
[能力提升综合练]
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cos
A,
sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin
C,则角A,B的大小分别为( )
ππ
A.,
63
ππ
C.,
36
2ππ
B.,
36
ππ
D.,
33
π
解析:选C 因为m⊥n,所以3cos A-sin A=0,所以tan
A=3,则A=.由正弦
3
定理,得sin Acos B+sin B·cos
A=sin
2
C,所以sin(A+B)=sin
2
C,所以sin
C=sin
2
C.因为
ππ
0
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b
,c.根据下列条件解三角形,
其中有两解的是( )
A.a=30,b=50,A=36°
B.a=50,b=30,A=36°
C.a=30,b=60,A=30°
D.a=30,B=20°,A=136°
3
解析:选A 对于A,bsin A<50×=30=a5
1
a>b,这样的三角形只有一个.对于C,bsin A=60×=30=
a,这样的三角形只有一个.对
2
于D,∵A=136°,∴△ABC为钝角三角形,∵B=2
0°,A=136°,∴C=24°,∴这样的三
角形是唯一的.
ruize
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=3a,B=30°,那么
角C等于( )
A.120° B.105°
C.90° D.75°
解析:选A ∵c=3a,∴sin C=3sin
A=3sin(180°-30°-C)=3sin(30°+C)=
3
?
3
sin C+
1
cos C
?
,
2
?
2
?
即sin C=-3cos C,
∴tan
C=-3.又C∈(0°,180°),
∴C=120°.故选A.
sin?A-B?a<
br>2
-b
2
4.在△ABC中,若=,则△ABC的形状是__________
______.
sin?A+B?a
2
+b
2
sin?A-B?s
in
2
A-sin
2
B
解析:原式可化为=
?sin
2
A[sin(A-B)-sin(A+B)]+
sin?A+B?sin
2
A+sin
2
B
sin
2
B·[sin(A-B)+sin(A+
B)]=0?-sin
2
A·cos Asin B+sin
2
Bsin
Acos B=0?-sin 2A+
π
sin 2B=0,又∵02
形是等腰三角形或直角三
角形.
★答案★:等腰三角形或直角三角形
a
5.在锐角三角形ABC中,角A,
B,C所对的边分别为a,b,c,A=2B,则
b
的取值
范围是________.
B<90°,
?
?
,
解析:在锐角三角形ABC中,A,B,C都为
锐角,由题意,知
?
2B<90°
?
-3B<90°,
?
1
80°
所
asin Asin
2Ba
以30°b
===2cos
B∈(2,3),故
b
的取值范围是(2,
sin Bsin B
3).
★答案★:(2,3)
6.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a
=3,b=2,1+2cos(B
+C)=0,求边BC上的高.
13
解:由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A,得1-2cos
A=0,所以cos A=,sin A=.
22
再由正弦定理,得sin
B=
bsin A
2
=.
a
2
π
2
由b2
B=.
22
ruize
由上述结果知sin
C=sin(A+B)=
6+2
2
?
31
?
×=.
+
2
?
22
?
4
3+1
.
2
设边BC上的高为h,则有h=bsin
C=
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin C=3ccos
A.
(1)求A的大小;
ππ
(2)若b=2,且≤B≤,求c的取值范围.
43
解:(1)由题意得
由正弦定理,得
ac
=.
3cos A
sin C
sin Asin C
==1.
3cos
A
sin C
π
∴tan A=3.∵A∈(0,π),∴A=.
3
bcbsin C2sin
C
π
(2)∵b=2,A=,∴在△ABC中,由正弦定理=,得c===
3sin
Bsin Csin Bsin B
2π
?
2sin
?
?
3
-B
?
sin B
3cos B
3
+1=+1.
sin Btan B
=
ππ
∵≤B≤,∴1≤tan
B≤3,∴2≤c≤3+1,即c的取值范围为[2,3+1].
43
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