2009浙江省高中数学竞赛-辽宁高中数学教材有多少本
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(1)
集合的基本运算
1.
6 解析：由题意得A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，故A∪B中元素的个数为6.
2.
{－1，0，1} 解析：由题意得M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，所
以M∩N＝{－1，0，1}．
3. {x|－1≤x≤3} 解析：因为B＝{x|x<－1或x>
4}，所以?
U
B＝{x|－1≤x≤4}，所以
A∩?
U
B＝{x
|－1≤x≤3}．
4. {7，9} 解析：由题意得，?
U
A＝{2，4，6，
7，9}，?
U
B＝{0，1，3，7，9}，所以?
U
A∩?
U<
br>B
＝{7，9}．
?
a<－1，
?
5. (－3，－1)
解析：由题意得S＝{x|x<－1或x>5}．因为S∪T＝R，所以
?
解
?
?
a＋8>5，
得－3
7. {－4，－3，0，1，2} 解析：由题意
得x－3＝－3或2x－1＝－3，解得x＝0或x＝
－1.当x＝0时，A＝{－3，0，1}，B＝
{－3，－1，1}，A∩B＝{－3，1}不符合题意；当x
＝－1时，A＝{－3，1，0}，B＝
{－4，－3，2}，符合题意，故A∪B＝{－4，－3，0，1，
2}．
1
??
8.
?
0，1，－
2
?
解析：
因为P∪M＝P，所以
??
?
1
?
意；当k≠0时，M＝
?
－
k
?
.因为P＝{－1，2}，
??
当k＝0，M＝{x
|1＝0}＝，符合题
11
，所以－＝－1或－＝2，解得k＝1
kk
1?
1
?
或k＝－，故实数k的值所组成的集合为
?
0，1，－<
br>2
?
.
2
??
9. (1，＋∞)
解析：由题意得，A＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y>0}，故A∩B＝(1，＋
∞)．
11
??
10. {1，2} 解析：由题意得，B＝
?
1，
3
，
8
，2，4
?
，故A∩B＝{1，2}．
??
11. 6
解析：由题意得A*B＝{0，2，4}，0＋2＋4＝6，故集合A*B的所有元素之和为
6.
12. {x|x<3} 解析：由题意得A＝{x|x≥3或x≤0}，B＝{y|y>0}，所以A
∪B＝R，A∩B
＝[3，＋∞)，故A×B＝{x|x<3}．
11
13. 3
解析：当x＝－2时，＝M，所以－2不是和谐集中的元素；当x＝－1时，
1－x
3
111111
＝∈M，当x＝时，＝2∈M，当x＝2时，＝－1∈M，所以－1，，2可以
2
2
1－x
2
1－x1－x
112211
作为和谐集中的元素；当x＝
－时，＝∈M，当x＝时，＝3，当x＝3时，＝
23
1－x
3
1－x1－x
1121
－∈M，所以－，，3可以作为和谐集中的元素；当x＝0时，＝1∈M，但当x＝1
223
1－x
1
?
1
?
12
时，无意义，
所以0，1不是和谐集中的元素，故和谐集有
?
－1，
2
，2
?，{－，，3}，
23
??
1－x
<
br>π
<
br>1 <
br>a ＋a
112
??<
br>?
－1，，2，－，，3
?
三个．
223
??
14. 6 解析：当a＝1时，没有符合条件的有序数组；当a＝2时，
b＝1，c＝4，d＝3或
b＝3，c＝1，d＝4；当a＝3时，b＝1，c＝4，d＝2或b＝1，
c＝2，d＝4或b＝2，c＝1，d
＝4；当a＝4时，b＝1，c＝3，d＝2，故符合条件的有序
数组(a，b，c，d)的个数是6.
15. 解析：(1)
由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x
2
＋3x＋2＝0}，即N＝{－1，
－2}，所以M∩N＝，M∪N＝{－1，－2，2}．
. (2)
因为M∩N＝M，所以
因为M＝{2}，所以2∈N，
所以10＋m＝0，m＝－10，
所以N＝{2，－5}．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(2)
命题和逻辑联结词
1.
x∈R，x
2
＋(a－1)x＋1≥0是真命题，2. [－1，3] 解析：由题意
得，原命题的否定为
所以Δ＝(a－1)
2
－4≤0，解得－1≤a≤3，故实数a的
取值范围是[－1，3]．
2π
3. 假 解析：命题p：函数y＝sin2x的最小正周期
是T＝＝π，是假命题；命题q：函
2
π
数y＝cosx的图象关于直线x＝不对称，
是假命题，故“p∧q”为假命题．
2
4. ①③ 解析：①“若x＋y＝0，则x，y互为
相反数”的逆命题为“若x，y互为相反
数，则x＋y＝0”是真命题；②“全等三角形的面积相等”的
否命题为“不全等的三角形的
面积不相等”是假命题；③“若q≤－1，则x
2
＋x＋
q＝0有实数根”的逆否命题为“若x
2
＋
1
x＋q＝0没有实根，则q>－
1”，所以Δ＝1－4q<0，即q>，所以为真命题；④“不等边三
4
角形的三个内角相等”
是假命题，故它的逆否命题也是假命题，故①③正确．
5.
1
<0，所以
x－2
6. [2，3)
解析：因为p：x
2
－2x－3<0，所以－1
,为真，所以2≤x<3，故x的取值范围是[2，3)．
aa
7. ② 解析：命题p：“
a＝1”是“x>0，x＋≥2”的充要条件，若x>0，x＋≥2，则
xx
a≥1，所以必要
性不成立，故命题p是假命题；命题q：因为Δ＝1－4×(－2)＝9>0，所以
x
0
∈R，x
2
0
＋x
0
－2＝0是真命题．根据真值表可知，②正确
．
8. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
9. ①②③ 解析：一个命题的逆命题为
真，则它的否命题一定为真；一个命题为真，则
它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它
的逆否命题不一定为真，故①错误，
④正确；“a>b”与“a＋c>b＋c”等价，故②错误；“若a
2
＋b
2
＝0，则a，b全为0”的逆否命
题是“若a，b不全为0
，则a
2
＋b
2
≠0”，故③错误，故答案为①②③.
1
1
x＋
?
10. (－∞，2) 解析：因为x>0，所以x＋≥
2，当且仅当x＝1时等号成立，所以
?
?
x
?
x
1
＝2.因为x>0，a
min
11. －6 解析：因为“x∈[－1，1]，1＋2
x
＋a·4
x
<0”是假命题，所以它的否定
－1－2
x
1
?
2x
?
1
??
“x∈[－1，1]，1＋2＋a·4≥0”是真命题
，即x∈[－1，1]，得a≥＝－
?
2
?
－
?
2
?
4
x
xx
x
1
?
1
2
?
t＋
1
?
＋
1
，则a≥g(t)
min
＝－?
2＋
1
?
＋
1
＝－6，成立，令t＝
?，≤t≤2，g(t)＝－t－t＝－
?
2
?
2
?
2<
br>?
4
?
2
?
4
x22
故实数a的最小值为－
6.
12. (－2，2] 解析：当a＝2时，－4<0恒成立；当a≠2时，
?
?
a－2<0，
?
解得－2
?
?
Δ＝[2（a－2）]
－4×（a－2）×（－4）<0，
2]
．
13. [－22，22] 解析：因为“
“
，2x
2
－3ax
＋9<0”为假命题，所以它的否定
，2x
2
－3ax＋9≥0”为真命题，所以9a
2
－72≤0，解得－22≤a≤22，综上实数
a的取值范围是[－22，22]．
?
?
a>0，
14. 解析：命题p：因为对任意x，ax＋ax＋1>0恒
成立，所以a＝0或
?
解
2
?
Δ＝a
－4a<0，
?
2
1
得0≤a<4.命题q：因为关于x的方程x
2
－x＋a＝0
有实数解，所以1－4a≥0，解得a≤.
4
1
?
1
若p真q假，
则
?
4<
br>，4
?
.
4
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(3)
充分条件和必要条件
11
1. 充分不必要 解析：由2x
2
＋x
－1>0得x>或x<－1，所以“x>”是“2x
2
＋x－1>0”
22
的
充分不必要条件．
2. 充分不必要 解析：由不等式性质可知ac
2
>bc
2
可以推出a>b，当c＝0时，a>b推不
出ac
2
>b
c
2
，所以“ac
2
>bc
2
”是“a>b”成立的充分不
必要条件．
3. 充分不必要 解析：由x
2
－1>0得x>1或x<－1，所以“
x<－1”是“x
2
－1>0”的充
分不必要条件．
4. x＝0
解析：因为a⊥b，所以2(x－1)＋2＝0，解得x＝0，所以a⊥b的充要条件是x
＝0.
5. 必要不充分 解析：由log
2
M>log
2
N得M>N>0
，所以“M>N”是“log
2
M>log
2
N”成立的
必要不充分
条件．
1
6. 既不充分又不必要 解析：若0
a
11
立；若“b<”，当a<0时，ab>1，所以必要性也不成立，
故“0
又不必要条件．
x
2
y
2
7. k∈(－1，5)
解析：若方程＋＝1表示双曲线，则(k＋1)(k－5)<0，解得
k＋1k－5
－1
1
x
－1
2
2－11－2
x
2
x
－1
9. 充分不必要
解析：若a＝1，可得f(x)＝
x
，则f(－x)＝＝＝－＝
1
2＋11
＋2
x
1＋2
x
＋1
2
x
x
2
x
－a
－f(x)，所以f(x)是奇函数，即充分性成立；若f(x)＝
x
在
其定义域上为奇函数可得，
2＋a
1
x
－a
2
1
－a·2
x
a－2
x
f(－x)＝＝，解得a
2
＝1，即a
±1.当a＝－1时，函数f(x)的
x
＝－f(x)＝
x
1
1＋a
·22＋a
＋a
2
x
2
x
－a
定义域为{x|x≠
0}，所以“a＝1”是“函数f(x)＝
x
在其定义域上为奇函数”的充分
2＋a<
br>不必要条件．
10. 必要不充分 解析：由x
2
－x－2<0得－1
－x－2<0”的必要
不充分条件．
11.
(－2，－1] 解析：由题意得p＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，q：(x－1)(x＋a)>0.因为p是
q的充分不必要条件，所以p是q的真子集，所以1≤－a<2，解得－2
12. a＝－1 解析：由题意得，若l
1
∥l
2
，则1×3＝a·(a－2)，解得a＝－1或a＝3.当a＝
－1时，直线l1
为x－y＋6＝0，直线l
2
为－3x＋3y－2＝0，此时l
1∥l
2
；当a＝3时，直线l
1
为x＋3y＋6＝0，直线l
2
为x＋3y＋6＝0，l
1
与l
2
重合，不平行，故l
1<
br>∥l
2
的充要条件是a＝
－1.
1
0，
?
解析：13.
?
由题意得
?
2
?
：(x－a)(x－a－
1)≤0，解得a≤x≤a＋1.因为p是
1
?
?
a≤
2
，
1
1
0，
?
. 的充分不必要条件，所以
?
解得0≤a≤，故实数a的取值范围为
?
?
2
?
2
?
?
a＋1≥1，
14. ①② 解析：①原命题的否定是：“，x
2
－x＋1>0”，Δ＝1－4＝－3<0，所
以①为真命题；②原命题的否命题为“若x
2<
br>＋x－6<0，则x≤2”由x
2
＋x－6<0解得－3
1
(－∞，2]，所以②为真命题；③当A＝160°时，sinA<，故③为假命题；④若
2
f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即tan(－x＋φ)＝－tan(x＋φ
)＝tan(－x－φ)，所以－x＋φ＝
kπ
－x－φ＋kπ，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，④为假命题，故选①②.
2
15.
解析：由|f(x＋t)－1|<2，得－2
由题意得P是Q的真子集，所以－t≥3，解得t≤－3，故实数t的取值范围是(－∞，
－3]．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(4)
函数及其表示方法
1. ②③ 解析：①因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R，定义
域不
同，故①错误；②根据函数的定义，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点是1个或0个，<
br>即交点最多有1个，故②正确；③因为函数f(x)与g(t)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故③正确；④因为
?
1
??
＝f(0)＝1，故，所以f<
br>?
f
??
2
??
④错误，所以答案选②③.
2.
④ 解析：①f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一
函
数；②f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一函数；③f(x)
的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，故不是同一函数；④f(x)与g(x
)的定
3
义域都为R，且g(x)＝x
9
＝x
3
，对应关系
也一致，所以是同一函数．
?
1＋b＋c＝0，
?
b＝－4，
??
3. 8 解析：由
题意得
?
解得
?
所以f(x)＝x
2
－4x＋3，所以 <
br>??
?
9＋3b＋c＝0，
?
c＝3，
f(－1)＝1＋4＋
3＝8.
2
??
2
?
2
13213
?
4. 解析
：由题意得f(3)＝，所以f(f(3))＝f
?
3
?
＝
?
3
?
＋1＝.
939
?
a
2
－4a＝－2，
?
5. 4 解析：
由题意得，M＝N，所以
?
2
所以a，b是方程x
2
－4x＋2＝0
?
?
b－4b＋1＝－1，
的两个根，所以a＋b＝4.
6.
1或0
7. －2
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝
－log
2
(2＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2.
??
?
t<0，
?
t≥0，
8.
(－∞，3] 解析：令f(x)＝t，则f(f(x))≤3，即为f(t)≤3，即
?
2<
br>或
?
2
?
t＋2t≤3
?
?
－t≤3，?
??
?
x<0，
?
x≥0，
?
则－3≤t≤
0或t≥0，所以t≥－3，即f(x)≥－3，所以
2
或
?
解得x<02
?
?
x＋2x≥－3
?
?
－x≥－3，
或0
≤x≤3，所以x≤3，故不等式f(f(x))≤3的解集为(－∞，3]．
?
?
x＋1，－1≤x≤0，
9. f(x)＝
?
解析：根据函数f(x)的图象，可设f(x)＝
?
－x， 0
?
ax＋b，－1≤x≤0，
?
a＝1，
??
?
将(－1，
0)，(0，1)代入f(x)＝ax＋b中可得
?
将点(1，－1)代入f(x)
?
?
?
cx， 0
b＝1；
?
?
x＋
1，－1≤x≤0，
＝cx可得，c＝－1，故f(x)＝
?
?
－x， 0
10. 3或－5
解析：若m≥0，则m
2
＋1＝10，解得m＝3(负值舍去)；若m<0，则
－2m＝10，解得m＝－5，故m的值为3或－5.
11. －1
解析：由题意得2x＋1＝3，解得x＝1，所以f(3)＝1－2×1＝－1.
12. ④ 解析：
①因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，定义域不同，
故不是
同一个函数；②因为g(x)＝x
2
－4x＋4＝|x－2|，与f(x)的对应关系不同，值
域不相同，
故不是同一个函数；③f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为{x|x≠
±1}，定义域不同，故
不是同一个函数；④f(x)的定义域为R，g(x)的定义域也为R，且g(
x)＝log
a
a
x
＝x，与f(x)的对
应关系也一样，故这两个
函数表示同一个函数．
13. (1，＋∞) 解析：由题意得，－x
2
＋2x＝k
无解，所以4－4k<0，解得k>1，故k的
取值范围是(1，＋∞)．
14.
解析：(1) 由题意得，
1
当0≤x≤2时，S＝×2x＝x；
2
1
当2
1
当4
x，
0≤x≤2，
?
?
所以S＝f(x)＝
?
2，
2
?
?
6－x，
4
(2)
因为f(3)＝2，所以f(f(3))＝f(2)＝2.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(5)
函数的解析式和定义域
1. [0，2]
解析：由题意得2x－x
2
≥0，解得0≤x≤2.
2. {x|－3
>0，解得－3
8
3. 8或－ 解析：因为m≠0.当m>0时，2－m<2，2＋m>2，
所以3(2－m)－m＝－(2
3
＋m)－2m，解得m＝8；当m<0时，2－m>2，2＋
m<2，所以－(2－m)－2m＝3(2＋m)－m，
88
解得m＝－，综上所述实数m的值
为8或－.
33
4. 9 解析：令y＝2x
2
＋1＝3，解得x＝±1；
令y＝2x
2
＋1＝19，解得x＝±3，所以函数
的定义域可能是{1，－3}，{
1，3}，{－1；－3}，{－1，3}，{－1，1，－3}，{－1，1，3}，
{－1，－3，
3}，{1，－3，3}，{－1，1，－3，3}共9种，所以“孪生函数”共有9种．
1
5. 2x－或－2x＋1 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为f(f(x))
＝4x－1，所以k(kx＋b)＋
3
?
?
k
2
＝4，?
k＝－2，
?
??
2
b＝4x－1，即kx＋(k＋1)b＝
4x－1，所以
?
解得
?
或故f(x)
1
?
??<
br>?
（k＋1）b＝－1，
?
b＝－
?
b＝1，
?3
1
＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
3
6.
x
2
－x＋1 解析：设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．因为f(
x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)
2
??
?
2a＝2，
?
a＝1，
?
＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x，化简得2ax＋a＋
b＝2x，即解得
?
又因为
?
a＋b＝0，
?
b＝－1.<
br>??
2
k＝2，
f(0)＝1，所以c＝1，故f(x)＝x
2
－x＋1.
7. (－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：由题意得8≥0，即≥2
3，即x
2
－2x≥3，
解得x≤－1或x≥3，故定义域为(－∞，－1]∪[3
，＋∞)．
?
?
x（x－1）≥0，
8. {x|x≥1}∪{0} 解析
：由题意得
?
解得x≥1或x＝0，故定义域为[1，
?
?
x≥0，
＋∞)∪{0}．
e
x
－e
x
－
9. 解析：
由题意得，f(－x)＋g(－x)＝e
x
.因为f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(
x)，
2
－
所以f(x)－g(x)＝e
x
.又因为f(x)＋g(
x)＝e
x
，两式相减可得－2g(x)＝e
x
－e
x
，所
以g(x)＝
－－
e
x
－e
x
.
2
－
5
0，
?
解析：由题意得－2≤x≤3，所以－1≤x＋1≤4，所以函数f(x)的定义域是 10.
??
2
?
5
[－1，4]．由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤.
2
2
?
11. (－∞，0) 解析：由题意得2－3>0，即2>3，即<
br>?
?
3
?
>1，解得x<0.
xxxx
x
0≤2x≤8，
?
?
f（2x）
12.
(0，1)∪(1，4] 解析：由题意得
?
x>0，
解得0
?
?
x≠1，
的定义域为(0，1)∪(1，4]
．
3x－4
2
0，
?
解析：13.
?
当m＝0时，f(x)＝，定义域为R；当m≠0时，Δ＝16m－12m<0，
?
4
?
3
3
3
0，
?
. 解得0
?
4
?
4
?
a＝－1，
?
＝4，
?
－
b
?
a
－3)，所以c＝－3.又因为
f(x)>0的解集为(1，3)，所以
?
解得
?
b＝4，
故f(x
)＝
c
?
＝3，
?
c＝－3，
a
?
?<
br>c＝－3，
BD.
因为AB是直径，所以∠ADB是直角，
所以Rt△ADE∽Rt△ABD，
x
2
所以AD＝AE·AB，即AE＝，
2R
2
14.
－x
2
＋4x－3 解析：设f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．因为
二次函数f(x)的图象过点(0，
a<0，
－x
2
＋4x－3.
15. 解析：由题意得AB＝2R，C，D在⊙O的半圆周上，作DE⊥AB，垂足为E，连结
x
2
所以CD＝AB－2AE＝2R－，
R
x
x
2R－
?
，即y＝－＋2x＋4R. 所以y＝2R
＋2x＋
?
R
??
R
2
2
?
x
?
>0，
解得0
2R
x
?
2R－
?
R
>0，
2
2
x>0，
2R，
x
2
所以y＝－＋2x＋4R，定义域为(0，2R)．
R
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(6)
函数的值域和最值
5
－，＋∞
?
解析：设t＝x＋1，t≥0，则x＝t
2
－1.因为函数y＝x－x＋1，所以1.
?
?
4
?
1
5155
t－
?
－，t≥0
，当t＝时，g(t)
min
＝－，g(t)≥－，故函数y＝x－x＋1g(t)＝t－t－
1＝
?
?
2
?
4244
2
2
5
－
，＋∞
?
. 的值域为
?
?
4
?
2. [0，2]
解析：由题意得4－x
2
≥0，解得－2≤x≤2，所以当x＝0时，4－x
2
取得最大
值4，当x＝±2时，4－x
2
取得最小值0，所以0≤4－x
2
≤2，故函数y＝4－x
2
的值域为[0，
2]．
x
2
＋3（x＋1）
2
－2（x＋1）＋4
3.
(－∞，－6]∪[2，＋∞) 解析：因为y＝＝＝(x＋1)
x＋1x＋1
＋
44
4
－2.又因为当x>－1时，x＋1>0，>0，所以(x＋1)＋－2≥2
x＋1x＋1x
＋1
4
（x＋1）×
x＋1
44
－2＝2，当且仅当＝x＋1，即x
＝1时，等号成立；当x<－1时，x＋1<0，<0，所
x＋1x＋1
以(x＋1)＋
4
－2≤－2
x＋1
44
（x＋1）×－2＝－6，当且仅当－(x＋1)
＝－，即x＝
x＋1x＋1
x
2
＋3
－3时，等号成立，综上所述，
y＝的值域为(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
x＋1
1
－∞，
?
解析：设t＝x，t≥0，则x＝t
2
.因为函数y＝x－x，所以g(t)＝－t
2
＋t4.
?
4
??
11
1111
t－
?
＋，t≥0，当t＝时，g(t)
max
＝，g(t)≤，故函数y＝x－x的值域为
?
－∞，
?
. ＝－
?
4
??
2
?
4
?
244
2
x
－1
22
5.
(－1，1) 解析：因为f(x)＝
x
＝1－
x
.又因为2
x>0，所以2
x
＋1>1，所以0<
x
2＋12＋12＋1
<2
，所以－2<－
22
<0，所以－1<1－
x
<1，即－1
x
2
3
0≤x≤
?
，6. 6 解析
：由题意得y＝x
2
－2x＋3＝(x－1)
2
＋2
?
y取
得最小值2；
2
?
当x＝1时，
?
当x＝0时，y取得最大值3，故
最大值与最小值的积为6.
7. (－∞，1] 解析：因为函数y＝2
x
在R上是
增函数，所以当x≤0时，函数y＝2
x
的值
域为(0，1]．因为函数y＝－x2
＋1在(－∞，0)上单调递增，(0，＋∞)上单调递减，所以当x>0
时，函数y＝
－x
2
＋1的值域为(－∞，1)．综上所述，此函数的值域为(－∞，1]．
8.
(－∞，2] 解析：由题意得4－x
2
>0，解得－2
≤4，所以log
2
(4
－x
2
)≤log
24＝2，故此函数的值域为(－∞，2]．
9. (－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：由题意
可得，当x>2时，f(x)>4＋a；当x≤2时，f(x)≤2
＋a
2
.因为f(
x)的值域为R，所以2＋a
2
≥4＋a，解得a≥2或a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
10. (－∞，－1)∪[1，＋∞) 解析：由题意可得，
当x≥0时，f(x)≥1；当x<0时，f(x)
1
－
＝－2
x
＝
－
x
<－1，故此函数的值域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
2
11.
[0，1] 解析：当a＝0时，y＝2x＋1.因为2x＋1≥0，所以y＝2x＋1≥0，符合题
?
?
a>0，
意；当a≠0时，
?
解得0
Δ＝4－4a≥0，
?
12.
1－5
解析：作出函数f(x)和函数g(x)的图象，由图象可知，在点B处，函数φ(x
)
2
－1＋5－5－1
取得最小值．由f(x)＝g(x)，即x
2
－1＝－x，解得x＝或x＝，所以函数φ(x)
22
－1＋51－5
的最小值为－，
即.
22
1
?
－x＋2
125
2
?
13. 解析：因为－
x＋2≤2，所以g(x)＝
?
2
?
≥.因为x>－1，p是正常数，所以<
br>644
pppp
x＋1>0，>0，所以f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2p－1
，当且仅当＝x＋1，
x＋1x＋1x＋1x＋1
125
即x＝p－1时等号成立．因
为函数f(x)与g(x)的值域相同，所以2p－1＝，解得p＝.
464
14. 1 解
析：①函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)的定义域为R，定义域不同，故
表示的不
是同一个函数，故①不正确；②若函数f(x)的定义域为[1，2]，则1≤x＋1≤2，解得
0≤x
≤1，所以函数f(x＋1)的定义域为[0，1]，故②不正确；③把函数f(x)的图象向左平移一
个单位长度可得函数f(x＋1)的图象，因此函数f(x＋1)的值域没有改变，故③不正确；④若函
数f(x)＝x
2
＋mx＋1是偶函数，则f(－x)＝f(x)，即x
2
－
mx＋1＝x
2
＋mx＋1，化简得mx＝0，对
任意实数x都成立，所以m＝0，所
以函数f(x)＝x
2
＋1，所以函数f(x)的减区间为(－∞，0]，
故④正确；
⑤函数的定义域为x
2
＋1＋x>0，解集为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝
1
??
＝－lg(x＋x
2
＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数
，故⑤不正lg(x
2
＋1－x)＝lg
?
2
?
?
x＋1＋x
?
确．
15. 解析：因为f(x)＝2＋log
3
x
的定义域为[1，9]，要使[f(x)]
2
＋f(x
2
)有意义，则1≤x
≤9
且1≤x
2
≤9，所以1≤x≤3，所以y＝[f(x)]
2
＋
f(x
2
)的定义域为[1，3]．
又y＝(2＋log
3
x)<
br>2
＋2＋log
3
x
2
＝(log
3
x＋3
)
2
－3.
因为x∈[1，3]，所以log
3
x∈[0，1]，
所以y
max
＝(1＋3)
2
－3＝13，y
min
＝(0＋3)
2
－3＝6，
所以函数y＝[f(x)]
2
＋f(x
2
)的值域为[6，13]．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(7)函数的单调性和奇偶性1. ① 解析：①函数y＝
c
osx的定义域为R，且cos(－x)＝cosx，是偶函数且有无数个零点，故①正确；②函数y＝sinx
的定义域为R，sin(－x)＝－sinx，是奇函数，不符合题意，故②不正确；③函数y＝lnx
的定
义域为(0，＋∞)，所以函数y＝lnx非奇非偶，不符合题意，故③不正确；④函数y＝x2
＋1
的定义域为R，x
2
＋1＝(－x)
2
＋1，但
没有零点，不符合题意，故④不正确．
2. (－∞，1]∪[3，＋∞) 解析：因为函数f(x)
是偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，f(1)
＝0，所以f(x－2)≥0等价于f(|x－2|)
≥f(1)，即|x－2|≥1，解得x≥3或x≤1，故f(x－2)≥0
的解集为(－∞，1]∪[
3，＋∞)．
3. (－∞，－1)，(－1，＋∞)
解析：由题意得，函数y＝
1，＋∞)，y＝
∞)．
－m
4. 13 解析
：由题意得，函数f(x)＝2x
2
－mx＋3的对称轴是直线x＝－2，所以－＝
4
－2，解得m＝－8，所以函数f(x)＝2x
2
＋8x＋3，所以f(1)＝2＋8
＋3＝13.
1－x
的定义域为(－∞，－1)∪(－
1＋x
2
1
－x
2
＝－1＋，画图可知，该函数的单调减区间是(－∞，－1)，(－1，＋
1＋
xx＋1
5. ①④ 解析：①因为f(x)是减函数，且f(x)>0，所以y＝1
是增函数，故①正确；
f（x）
②令f(x)＝t(t>0)．因为y＝2t
，t>0是增函数，f(x)＝t是减函数，所以y＝2
f(x)
在(0，＋∞
)上
单调递减，故②不正确；③令f(x)＝t(t>0)．因为y＝t
2
在(0，＋
∞)上单调递增，f(x)＝t是减
函数，所以y＝[f(x)]
2
是减函数，故③不
正确；④令f(x)＝t(t>0)．因为y＝
上单调递减，f(x)＝t是减函数，所以y＝是增函数
，故④正确．
在(0，＋∞)
3
?
3
6. 解析：由题意得，f
?
?
2
?
＝
2
3
??
1
?
13
＝x＋1，所以f
?
＝f＝＋1＝.
?
2
??
2
?
22
1
?
3
＝f(－＋2)＝f
?
?
2
?
.因为当x∈[0，1]时，f(x)
2
3
?
2
?
x＋
1
?
＋
3
≥
3.又因为f(x)在区间(0，＋∞)7. f(x＋x＋1)≤f
?
解析：因为x＋x
＋1＝
?
4
??
2
?
44
2
2
3
?
上是减函数，所以f(x
2
＋x＋1)≤f
?
?
4
?
.
8. －lg(1－x) 解析：当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞
)，所以f(－x)＝lg(－x＋1)．又
因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)
＝－lg(1－x)．
?
?
1－k>0，
1
?
1
?
1
?
9.
?
2
，1
?
解析：由题意
得
?
解得≤k<1，故实数k的取值范围是
?
?
2
，1?
.
2
?
1－k≤k，
?
1
10. 解析
：由题意得f(x)＝f(－x)，即ax
2
＋bx＝ax
2
－bx，解得b
＝0.又a－1＝－2a，
3
11
解得a＝，故a＋b＝.
33
11. 0 解析：由题意得f(a)＝a
5
＋sina＋1＝2，即a
5
＋sina＝1，f(－a)＝－a
5
－sina＋1＝
－(a
5
＋sina)＋1＝－1＋1＝0.
12. 0 解析：因为f(
x＋4)＝f(x)，所以f(8)＝f(0)．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(8)
＝f(0)＝0.
13. (1，2) 解析：令t＝2－ax，则y＝log
a
t
.若0
t是减函数，由题
设可知t＝2－ax为增函数
，则a<0，故此时无解；若a>1，则函数y＝log
a
t是增函数，则t＝
??
a>0，
2－ax为减函数，所以
?
解得1
2－a>0，
?
1ax＋11－2a
，＋∞
?
解析：14.
?
由题意得f(x)＝＝a＋.因为函数f(x)在区间(－2，＋∞)
?
2
?
x＋2x＋2
1
1
，＋∞
?
.
上是增函数，所以1－2a<0，解得a>，故a的取值范围是
?
2
??
2<
br>15. 解析：(1) 当a＝0时，f(x)＝x
2
是偶函数；当a≠0时，f(x)
既不是奇函数也不是偶函
数．
aa
x
1
－x
2
2
(2) 方法一：设x
2
>x
1
≥2，则f(x
1
)－f(x
2
)＝x<
br>2
＋－x－＝[xx(x＋x
2
)－a]．
1
x
1
2
x
2
x
1
x
2
121
由x2
>x
1
≥2，得x
1
x
2
(x
1<
br>＋x
2
)>16，x
1
－x
2
<0，x
1<
br>x
2
>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
只需
f(x
1
)－f(x
2
)<0，即x
1
x
2
(x
1
＋x
2
)－a>0恒成立，则a≤16.
a
方法
二：f′(x)＝2x－
2
，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，
f′(x)≥0
x
a
恒成立，即2x－
2
≥0，则a≤2x
3
∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)
x
上是增
函数．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(8)
函数的图象
4
1. ①
解析：由题意得，y＝x的定义域为R，且该函数为偶函数．又因为>1，所以函
3
数y＝x在
[0，＋∞)上单调递增，且增长速度较快，故选①.
2. ② 解析：①由抛物线可知a>0，由直
线可知a<0，故①不正确；②由抛物线可知a<0，
b
且由－>0，得b>0，由直线可知，
a<0，b>0，故②正确；③抛物线不过原点，故③不正确；
2a
④由抛物线可知a<0，由
直线可知a>0，故④不正确．
3. ③ 解析：函数y＝a
x
－a(a>0，a≠
1)的图象可以看成把函数y＝a
x
的图象向下平移a
个单位长度得到的．当a>1时
，函数y＝a
x
－a在R上单调递增，且图象过点(1，0)，故①②
错误；当0x
－a在R上单调递减，且图象过点(1，0)，故④错误．故填③.
4. 1 解析：由题意可知，当x≤1时，y＝x；当x>1时，y＝2－x，作出函数图象如下．由
??
?
y＝x，
?
x＝1，
?
解得
?则点A的坐标为(1，1)，所以函数y＝1－|1－x|的图象与x轴所围成
?
y＝2－
x，
?
y＝1，
??
4
3
4
3
1
的封闭图形的面积为×2×1＝1.
2
2
0，
?
解析：当a>1时，作出函数y＝|a
x
－2|的图象，如图1.若直线y＝3a与函数y5.
?
?
3
?
＝|a
x
－2|(a>0且a≠1)的图
象有两个公共点，由图象可知0<3a<2，此时无解；当0
x
－2|的图象，如图2.若直线y＝3a与函数y＝|a
x
－2|(a>0且a≠1)
的图象有两个
2
2
0，
?
. 公共点，由图象可知0<3a<2，解
得0
?
3
?
3
图1<
br>
图2
4
x
＋a
6. －1 解析：因为函数y＝
x
的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)是R上的奇函
2
4
x
＋aa4
x
＋14
x
＋a
数，所以f(－x)＝
－
x
＝＝－
x
，解得a＝－1.
2
x
2
2
－
??
?
log
a
b＝1，
?
a＝
3，
7. 27 解析：由图象可知
?
解得
?
所以a
b＝3
3
＝27.
?
log
a
（b－2）＝0，
?
b＝3，
??
8. x＝－1 解析：因为f(－1－x)＝log
2<
br>|－1－x＋1|＝log
2
|x|，f(－1＋x)＝log
2
|－
1＋x＋1|
＝log
2
|x|，故函数y＝log
2
|x＋1|的
图象关于直线x＝－1对称．
9. a＝b＝0
解析：若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，即b＝0，所以f(x)＝x|x＋a|.又因为
f(
－x)＝－f(x)，所以－x|－x＋a|＝－x|x＋a|.当x≠0时，|－x＋a|＝|x＋a|恒成立
，则a＝0，
所以函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a＝b＝0.
10. 2 解析：由题意得，a
x
－|log
a
x|＝0，即a<
br>x
＝|log
a
x|，0
和y＝
|log
a
x|
的图象，由图象可知f(x)＝a
x
－|loga
x|的零点个数为2.
11. (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由
题意可知f(1)＝2－4＝－2.当a>0时，f(a)＝2
a
－4，
由f(a)>
f(1)可得2
a
－4>－2，即a>1；当a<0时，f(a)＝－a－3，由f(a)>f
(1)可得－a－3>－2，
即a<－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
＋＋
12. y＝2
x1
＋1 解析：将函数y＝2
x
的图
象向左平移一个单位长度，得到函数y＝2
x1
＋＋
的图象；再将y＝2
x1
向上平移一个单位长度得到图象对应的解析式为y＝2
x1
＋1.
13.
(－∞，22－1) 解析：方法一(函数法1)：依题意可知3
2x
－(k＋1)·3
x
＋2>0恒成立，
2
即k＋1<3
x
＋
x
恒成
立，故k＋1<
3
22
设t＝3
x
，则t∈(0，＋∞)
，则y＝3
x
＋
x
＝t＋≥22，当且仅当t＝2时取得最小值22，
3t
所以k＋1<22即k<22－1.
方法二(函数法2)：设t＝3
x
，则t∈(0，＋∞)，且y＝f(x)＝t
2
－(k＋1)·t＋2，依题意可知
y＝t
2
－(k＋1)·t＋2在t∈(0，＋∞)时恒大于0.
k＋1
①
当对称轴t＝≤0即k≤－1时，关于t的二次函数y＝t
2
－(k＋1)·t＋2在(0，＋
∞)
2
上单调递增，故有y>0－0＋2＝2>0成立；
k＋1
②当对称轴t＝>0即k>－1时，
2
k＋1
k＋1
?
关于t的二次函数y＝t
2
－(k＋1)·t＋2在对称轴t＝处取得最小值，依
题意须有
?
2
?
2
?
2
k＋1
－(k＋1
)·＋2>0，解得－1－22
综上可知k<22－1.
方法三(零点分布法)：设t＝3
x
，
则t∈(0，＋∞)，且y＝f(x)＝t
2
－(k＋1)·t＋2，依题意可
知t<
br>2
－(k＋1)·t＋2＝0没有正根，
而方程t
2
－(k＋1)·
t＋2＝0有正根的条件为(注意到t＝0时t
2
－(k＋1)·t＋2＝2)，
2
?
Δ＝（k＋1）
－8≥0，
?
?
k＋1
?
?
2
>0，
?
k≤－1－22或k≥－1＋22，
即
?
?
k>－1，
所以k≥－1＋22.
故方程t
2
－(k＋1)·t＋2＝0没有正根的条件为k<22－1.
故所求k的取值范围是k<22－1.
方法四(图象法)：设t＝3
x
，则
t∈(0，＋∞)，且y＝f(x)＝t
2
－(k＋1)·t＋2，
依题意可知，关
于t的二次函数y＝t
2
－(k＋1)·t＋2要么与x轴没有交点，要么与x轴的
交
点都在x轴的负半轴上．
①与x轴没有交点时，只需满足Δ＝(k＋1)
2
－8<0
，解得－1－22
2<
br>?
Δ＝（k＋1）
－8≥0，
?
?
k＋1
?
?
2
<0，
?
k≤－1－22或k≥－1＋22，
即
?
?
k<－1，
解得k≤－1－22.
综上可知k<22－1.
14. 解析：(1) 由图象可知方程f(x)＝g(x)的解的个数是3.
(2) 由图象可知，不等式f(x)>g(x)的解集为{x|－1
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(9)
二次函数
1. 0 解析：由题意得，b
2
＝ac，且ac>0，Δ＝b
2
－4ac＝－3ac<0，故函数y＝ax
2
＋bx＋c
的图象与x轴无交点．
2. 2 解析：由题意得(ax＋b
)
2
＋4(ax＋b)＋3＝x
2
＋10x＋24.即a
2
x
2
＋(2ab＋4a)x＋b
2
＋4b
a＝1，
?
?
?
a＝－1，
?
?
a＝1，
?
＋3＝x
2
＋10x＋24，所以
?
2ab＋4a＝10，
解得
?
或
?
所以5a－b＝2.
??
b＝－7b＝3，
??
?<
br>?
b
2
＋4b＋3＝24，
3. 5 1 解析：由题意得y＝x2
－2x＋a＝(x－1)
2
＋a－1，在区间[0，3]上，当x＝1时，取得最小值，所以a－1＝4，解得a＝5；当x＝3时，取得最大值，所以9－6＋a＝4，解得a
＝1.
2
a＋b
4. 6 解析：由题意得＝3，即a＋b＝6.
令f(x)＝|x－a－3|＋b，则f(3－x)＝f(3＋x)，
2
即|3－x－a－3|
＋b＝|3＋x－a－3|＋b，即|x＋a|＝|x－a|，所以a＝0，则b＝6.
5. > 解
析：由题意得，函数f(x)的对称轴为直线x＝2，且开口向上．因为|x
1
－2|>|x<
br>2
－
2|，所以x
1
比x
2
到对称轴的距离大，所以
f(x
1
)>f(x
2
)．
1
1
0，
?
解析：当m＝0时，y＝x＋5在R上单调递增，符合题意；当m>0时，－6.
?
?
4
?
2m
1
1
0，
?
. ≤－2，解得0
?
4
?
4
7. 8 解析：由题意得，Δ＝4a
2
－4(a＋6)≥0，解得a≥3或a≤－2
.又因为x＋y＝2a，xy
＝a＋6，所以(x－1)
2
＋(y－1)
2<
br>＝(x＋y)
2
－2xy－2(x＋y)＋2＝4a
2
－2(a＋6)
－4a＋2＝4a
2
－6a－
3
49
a－
?
－，所
以当a＝3时，取得最小值8. 10＝4
?
?
4
?
4
8.
[－4，5] 解析：f(x)＝x
2
－4x＝(x－2)
2
－4.因为x∈
[1，5]，所以当x＝2时，取得最
小值－4；当x＝5时，取得最大值5，故所求值域为[－4，5
]．
9. [2，4] 解析：由题意得函数f(x)＝x
2
－2x＝(x－1)<
br>2
－1，在x＝1时，取得最小值－1，
且f(－1)＝f(3)＝3.当a＝－1时，
因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以必有1∈[a，b]，所
以b≥1，且f(b)≤3，
解得1≤b≤3；当b＝3时，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以必
有1∈[a，b]，
故a≤1，且f(a)≤3，解得－1≤a≤1；所以b－a的最小值为2，最大值为4，
故b－a的取
值范围是[2，4]．
10. {a|a＝－1} 解析：由题可知，因为函数f(x)的定义域和值
域都为R，所以函数f(x)
2
?
?
a－2a－3＝0，
只能是一次
函数，所以
?
解得a＝－1，故a的取值范围是{a|a＝－1}．
?
a－
3≠0，
?
2
a
?
2
5
22
?
1
1. 或－5 解析：由题意得f(x)＝－4x＋4ax－4a－a＝－4
?
x－
2
?
－4a，所以函数f(x)
4
aa
的对称轴为直线x＝.当≤0，
即a≤0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以当x＝0
22
a
时，取
得最大值－5，即－4a－a
2
＝－5，解得a＝－5或a＝1(舍去)；当≥1，即a≥2时
，函
2
数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以当x＝1时取得最大值－5，即－4＋4
a－4a－a
2
＝－5，
aa
解得a＝±1(不符合题意，舍去)；当0<<
1，即0
55
4a＝－5，解得a
＝.综上所述，a的值为或－5.
44
163
12.
－x
2
－x－ 解析：因为f(x)与f(x)＋2x的二次项系数相等，所以f(x)＋2x
的二次
555
项系数为a.又因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，所以f(x)＋2
x＝a(x－1)(x－3)，a<0，所以f(x)
＝a(x
2
－4x＋3)－2x
＝ax
2
－(4a＋2)x＋3a.因为方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，所以ax
2
1
－(4a＋2)x＋9a＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(4a＋2)
2
－36a
2
＝0，解得a＝－或a＝1(舍
5
163
去)
，所以f(x)＝－x
2
－x－.
555
11
1<
br>－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
解析：若命题p为真，则Δ＝(a－1)
2
－4a
2
<0，解得a>或13.
?
2
??
3
??
3
1
a<－1；若命题q
为真命题，则2a
2
－a>1，解得a>1或a<－.又因为“p∨q”为真命题，所
2
11
以a>或a<－.
32
14. 解析：(1)
f(x)≥a恒成立，即x
2
＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a
2
－4(3－a)≤0，即a
2
＋4a－12≤0，
所以－6≤a≤2，故a的取值范围是[－6，2]．
a
a
x＋
?
＋3－. (2) f(x)＝x＋ax＋3＝
?
?
2
?
4
2
2
2
a7
①当－<
－2，即a>4时，f(x)
min
＝f(－2)＝－2a＋7.由－2a＋7≥a，得a≤，
所以a∈．
23
aa
2
a
2
②当－2≤－≤2，即－4≤
a≤4时，f(x)
min
＝3－.由3－≥a，得－6≤a≤2，所以－
2444≤a≤2.
a
③当－>2，即a<－4时，f(x)
min
＝f(2
)＝2a＋7.由2a＋7≥a，得a≥－7，所以－7≤a<－
2
4.
综上，a的取值范围是[－7，2]．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(10)
函数的应用
1. 15 解析：由题意得，乘客应付的车费为8＋(7.4－3)×1.5＝
14.6≈15，故应付车费为
15元．
?
?
1
－x>0，
11
1
??
1
1
2.
?
x|
4
?
解析：由题意得，矩形的宽
为－x，所以
?
2
解得
??
1
?
x>
?
2
－x，
11
?
域为
?
?
4
，
2
?
.
3. 1.5
解析：设每件降低0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出的商品件数为1
000
＋100x，故经济利益y＝(4－0.1x)(1
000＋100x)＝－10x
2
＋300x＋4
000＝－10(x－15)
2
＋6
250，所以当x＝15时，y
max
＝6
250，即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济利益．
4. 1 600
解析：设生产x件时，自产合算．由题意得，1.1x≥800＋0.6x，解得x≥1
600，
故决定此配件外购还是自产的转折点是1 600件．
5. 150
解析：设最低产量为x台，由题意得25x≥3
000＋20x－0.1x
2
，即x
2
＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量为150台．
6.
神州行 解析：设该用户每月通话时间为x分钟，使用“全球通”卡每月的手机费用
为y
1元，使用“神州行”卡每月的手机费用为y
2
元，则y
1
＝50＋0.4
x，y
2
＝0.6x.当费用为120
元时，解得x
1
＝175，x
2
＝200，x
1
，当预算为120元时，“神州行
”卡通话的时间长，故
购买神州行卡合算．
7. S＝h
2
＋2h 解析：
由题意得，下底为2m，上底为(2＋2h)m，高为hm，所以S＝(2＋2
x>0，
1
＋2h)×h×＝h
2
＋2h.
2
8. 2 500
解析：设广告费为x元，广告效益应为y元，则y＝kx－x.当x＝100时，kx
＝1 000，则
k＝100，所以y＝100x－x.令t＝x(t≥0)，则y＝－t
2
＋100t＝－(t
－50)
2
＋2 500，
所以当t＝50，即x＝2 500时，y有最大值2
500，故该企业应该投入2 500元广告费，才能
获得最大的广告效应．
9. 400
解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400)份报纸，每月获得的利润为y元，则依
题意，每月共
可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.1元，退回报社10(x－250)份，每份
亏
损0.15元，所以y＝0.1×(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋62
5.因为x∈[250，
400]，所以当x＝400时，y
max
＝825，故这个
摊主每天从报社买进400份，才能每月所获得的
利润最大．
?
－x
2＋32x－100，1≤x≤20，x∈N
*
，
?
10.
y＝
?
16
解析：由题意得，当1≤x≤20时，
*
?
－x＋160， x>20，x∈N?
y＝(33x－x
2
)－100－x＝－x
2
＋32x－10
0；当x>20时，y＝260－100－x＝－x＋160，所以y＝
2*
?
?－x＋32x－100，1≤x≤20，x∈N，
?
当1≤x≤20时，y＝－x
2
＋32x－100＝－(x－16)
2
＋156，
*
?
－
x＋160， x>20，x∈N.
?
当x＝16时，y
max
＝156；
当x>20时，y＝－x＋160<140，故当x＝16时，所得年利润最大．
11.
解析：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未
安装太阳能
供电设备时全企业每年消耗的电费．
k
由C(0)＝＝24，得k＝2 400，
100
2 4001 800
所以F＝15×＋0.5x＝＋0.5x，x≥0.
20x＋100x＋5
1 800
(2)
因为F＝＋0.5(x＋5)－2.5≥21 800×0.5－2.5＝57.5，
x＋5
1 800
当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，
x＋5
所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元．
12.
解析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
b
y＝(2a－x)(b＋0.01bx
)－0.4bx＝－[x
2
－2(a－70)x]＋2ab.
100
3a
依题意2a－x≥·2a，所以0
又140<2a<420，所以70
①当0
aa
②当a－70>，即140
综上，当70
司应裁员人，经济效益获得最大值．
2
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(11)
指数与对数
2
?
4
4
?
1. 4 解析：因为a＝，所以a＝
?
3
?
，所以
9
1
2
＝＝4.
1
51135355
log
3
2＋log
3
2
?
·
2. 解析：原式＝
?
(log3＋log3)＝log2×log3＝×＝.
2
232
2
??
24326264
1
?
6
11
?
3. 解析：因为log28＝6log
2
2＝6，所以原式＝
?2
?
＝.
6464
4. 2 解析：原式＝lg25＋lg2·(lg
50＋lg2)＝lg5
2
＋2lg2＝2(lg5＋lg2)＝2.
1
?
3
?
1
?
3
，c＝
?
1
?
3
.因为函数y＝
?
1
?
在R上单调递5. b
，b＝
?
2
??
2
??
2
??
2
?
421
减，>>，所以b
x－10＝3x，
?
?
2
6. x＝5 解析：lo
g
3
(x
2
－10)＝log
3
3＋log
3x，即log
3
(x
2
－10)＝log
3
3x，所以
?
x－10>0，
?
?
3x>0，
解得x＝5.
－－
7. 2e
lg31
解析：因为f(2)＝lg3<2，所以f(f(2))＝2e
lg31
.
11
8. －20 解析：原式＝lg÷＝－2×10＝－20.
10010
9. x＝log
2
3 解析：令2
x
＝t(t
>0)，则原式可化为t
2
－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)，
所以3
＝2
x
，x＝log
2
3.
10. [－2，1] 解析：原不等
式2x
2
＋x≤4可化成为2x
2
＋x≤2
2
，因为函数y
＝2
t
在R上
单调递增，所以x
2
＋x≤2，解得－2≤x≤1.
1111
11. 15 解析：由题意得a＝log
3
c，b＝log
5
c.因为＋＝2，所以＋＝2，即log
c
3
ablog
3clog
5
c
＋log
c
5＝2，即c
2
＝1
5.因为c>0，所以c＝15.
2x－1>0，
?
?
1
?
1
，2
解析：
由log
2
(2x－1)
(－x＋5)，得
?
－
x＋5>0，
12.
?
解得
2
?
2
?
?
2x－1<－x＋5，
1
?
求的解集为
?
?
2
，2
?
.
?
?
x－2≥0，
13. ②③ 解析：①因为若a<0，则(a)>0，a
<0，故①错误；②显然正确；③
?
?
3x－7≠0，
?
2
2
3
241
x
2
3
x≥2，
?
?
7
??
解得
?
7
故所求定义域为
?
x|x≥2且x
≠
3
?
，故③正确；④因为2
x
＝16＝2
4
，所
以x＝4；又
??
?
?
x≠
3
，
1
－因为3
y
＝＝3
3
，所以y＝－3，所以x＋y＝4－3＝1，故④错误
．
27
14. (－1，0)∪(1，＋∞) 解析：因为函数f(x)＝2
|x|
－2，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)
是偶函数，所以x[f(
x)＋f(－x)]＝2xf(x)>0，即xf(x)>0.当x>0时，xf(x)>0等价于2
|
x|
－2>0，
解得x>1；当x<0时，xf(x)>0等价于2
|x|
－
2<0，解得－1
（lg2
3
－lg2）＋（lg5
3
－lg5）lg4＋lg25
lg100
15. 解析：(1) 原式＝＝＝＝2×(－2)＝－4.
1
11
－1
－－
lg10
2
·lg10
22
3
2
1
－－
(2) 因为m＋m－＝4，所以m＋2＋m
1
＝16，即m＋m<
br>1
＝14.
1
＝
2
1
2
m－m－
2
1
2
m－m－
3
2
1
1
3
1－
（m）－（m－）（m
2
－m－）（m＋1＋m
1
）
22
－
＝＝m＋1＋m
1
＝14＋1＝15.
11
11<
br>m
2
－m－m
2
－m－
22
1
2
3
16. 解析：(1) 由a
x
－1>0得a
x
>1，
所以当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；
当0
所以函数f(x)的图象在y轴的一侧．
(2) 设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y2
)是函数f(x)图象上任意两点，且x
1
，则直线A
B的斜率k
＝
y
1
－y
2
，
x
1
－x
2
ax
1
－1
y
1
－y
2
＝log
a
(ax
1
－1)－log
a
(ax
2<
br>－1)＝log
a
，当a>1时，由(1)知0
，
ax
2
－1
所以1
，所以0
－1
－1，
ax
1<
br>－1
所以0<<1，所以y
1
－y
2
<0.
ax<
br>2
－1
又x
1
－x
2
<0，所以k>0；
当0
<0，
所以ax
1
>ax
2
>1，所以ax
1
－1>ax
2
－1>0，
ax
1
－1
所以>1，所以y
1
－y
2
<0.
ax
2
－1
又x
1
－x
2<
br><0，所以k>0，
所以函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(12)
幂函数、指数函数与对数函数
1.
[0，＋∞) 解析：由题意得2
a
＝4，解得a＝2，故f(x)＝x
2
，
所以函数f(x)的单调增区
间为[0，＋∞)．
?
?
x>0，
2. (0，1]
解析：由题意得
?
解得0
1－x≥0，
?
3.
2
解析：因为0
x在定义域上单调递减，所以f(x)
max
＝f(a)
＝log
a
a
4
12
＝1，f(x)
min
＝f(2a)＝log
a
2a＝1＋log
a
2.由最大值是最小值
的3倍得，1＋log
a
2＝，解得a＝.
34
4. (－∞，－3] 解
析：由题意得，函数f(x)是单调增函数，要使函数f(x)的图象不经过
第二象限，则只需f(0)
≤0，即3＋t≤0，解得t≤－3.
?
f（0）＝0，
?
5. 3 解析
：当a>1时，函数f(x)在定义域上单调递增，所以
?
解得
2
?
f（2）＝a－1＝2，
?
?
?
f（0）＝2，
a＝3；当0
无解，综上，
2
?
f（2）＝a－1＝0，
?
实数a的值为3.
2x－1≥0，
?
?
1
?
6.
?
?
2
，＋∞
?
解析：由题意得函数f(x)在[0，＋
∞)上单调递增，所以
?
3x≥0，
解得
?
?
2x－1<3
x，
1
1
，＋∞
?
.
x≥，则x的取值范围是
?
?
2
?
2
7. (0，0.5)
解析：因为函数y＝(log
0.5
a)
x
在R上为增函数，所以log0.5
a>1，解得0
即a≥3.故实数a的取值范围是[
3，＋∞)．
9. [－1，＋∞) 解析：因为3－4x－x
2
＝－x
2
－4x－4＋7＝－(x＋2)
2
＋7，所以3－4x－
x
2
∈(0，7]，所以log
1
(3－4x－x
2
)∈[－1，＋∞)．
7
121212
10. (4，＋∞) 解析：由题意得>0，解得a>1，所以lo
g
a
<1等价为
a
2
－a－1
2>0，解得a>4.
11. ① 解析：由①③中y＝a
x
的图象可知a>1，所
以函数y＝log
a
x是增函数，则y＝－
log
a
x为减函数，并
且与函数log
a
x的图象关于x轴对称，故①正确，③错误；由②④中y＝
a
x
的图象可知，0
x是减函数，则y＝－log<
br>a
x为增函数，并且与函数
log
a
x的图象关于x轴对称，故②④均
错误．
1
22
?
0，
1
?
，
－∞，－<
br>?
解析：12.
?
因为x∈所以2x＋x∈(0，1)．又因为函数f(x
)＝log
a
(2x
22
????
1
0，
?
内恒有f(x)>0，所以0
?
2
?
1
－∞，－
?
.又因为2x
2
＋x>0，求函数f(x)的单调增区间，只需求2x
2
＋x的减区间，即x∈<
br>?
4
??
11
解得x<－或x>0，故函数f(x)的单调增区间为(
－∞，－)．
22
13. (2，2) 解析：因为函数y＝a
x
恒过定点
(0，1)，所以令x＝2，可得y＝a
22
＋1＝2，
所以恒过定点(2，2)．
－
14. (－2，－3)∪(2，4) 解析：因为函数f(x)＝log
(a2<
br>－
3)
(ax＋4)在[－1，1]上是单调增函
数，所以①若a
2<
br>－3>1，即a>2或a<－2，ax＋4是增函数，所以－a＋4>0，即a<4，所以2
－3<1，即－2
－2
15. 解析：(1) 由题意得，3－ax>0对一切x∈[0，2]恒成立．
因为a>0且a≠1，所以g(x)
3
＝3－ax在[0，2]上是减函数，从而g(2)＝3
－2a>0得a<，
2
3
1，
?
.
所以a的取值范围为(0，1)∪
?
?
2
?
(2) 假设存在这样的
实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，
3
则f(1)＝1
，即log
a
(3－a)＝1，所以a＝，此时f(x)＝
2
没有意义，故这
样的实数a不存在．
1－3
x
?
11
?
16.
解析：(1) 因为f(x)－f(－x)＝x(
x
＋
－
x
＋1)＝
x
?
x
＋1
?
＝0，所以f(x)＝
3－13－1
?
3－1
?
f(－x)．
又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)是偶函数．
11
1111
(2) 当x>0时，3
x
>1，所以
x＋>，所以f(x)＝x
?
3
x
－1
＋
2
?<
br>>x>0.
??
2
3－1
22
由(1)知，f(x)是偶函
数，所以当x<0时，f(x)>0，所以函数f(x)在定义域上恒大于0.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(13)
函数与方程
1. ②③④ 解析：因为
f(2)·f(3)<0；f(3)·f(4)<0；f(4)·f(5)<0，故区间[2，3]，[3，4]
，[4，
5]上有零点，故填②③④.
1a
2. 0或 解析：由题意得3a＋b＝
0，即b＝－3a，bx
2
＋ax＝0，解得x＝0或x＝－＝
3b
－
a11
＝，所以函数g(x)的零点为0或.
3
－3a
3
，当x＝2时，函数f(x)
3.
(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：由题意知，m≠0，所以函数f(x)是单调函数，所以f(－
2)·f(1)≤0，即(－4m＋4)(2m＋4)≤0，解得m≥1或m≤－2.故实数m的取值范围是(－
∞，
－2]∪[1，＋∞)．
4. 1 解析：由题意知，x>0，所以函数f(x)在(0
，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在区间
(k，k＋1)上存在唯一的零点，由f(1)＝ln
1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0可知，k
＝1.
1
1
x＋
?
＋a－，所以函数f(x)在区间(0，1)上5.
(－2，0) 解析：因为f(x)＝x＋x＋a＝
?
?
2
?
42
2
单调递增，所以函数f(x)在区间(0，1)上有唯一的零点，所以f(0)·f(
1)<0，即a(2＋a)<0，解得
－2
2
－3x＋2)g(x)＋3x－4＝(x
－1)(x－2)g(x)＋3x－4.令x＝1，
则f(1)＝3－4＝－1<0.令x＝2，则f(
2)＝2×3－4＝2>0，所以f(1)·f(2)<0，由零点的存在定理
可知，在区间(1，2)
内必有实数根．
7. 1＋2和1 解析：若x≥2或x≤－1，则g(x)＝x
2
－x－1－x，所以x
2
－2x－1＝0，
解得x＝2＋1或x＝1－2(舍去)；若
－1
8. 1 解析：令f(x)＝0，即2
x
＋x
3<
br>－2＝0，则2
x
－2＝－x
3
.在同一坐标系分别画出y＝2
x
－2和y＝－x
3
的图象．由图象可知，两个图象在区间(0，1)上只有一个交
点，所以函数f(x)
＝2
x
＋x
3
－2在区间(0，1)上有1个
零点．
9. {a|a≥2} 解析：由题意得，a>0且a≠1.因为l
og
a
x＋log
a
y＝3，所以log
a
xy＝3，即a
3
2
a
a
3
a
3
a
2
2
??
＝xy，所以y＝，所以y＝在[a，2a]上单调递减，所以y∈
?
2
，a
?
，所以≥a，解得a≥2，
xx2
故a的取值集合为{a|a
≥2}．
10. (－2，－1) 解析：由题意得，函数f(x)＝log
2
x＋
a在区间(2，4)上单调递增，所以函
数f(x)在区间(2，4)上存在唯一的零点，所以f(2)
·f(4)＝(log
2
2＋a)(log
2
4＋a)＝(1＋a)(2＋a
)<0，
解得－2
x＋5a＋5x＋5
＝1＋.因为函数y＝在(－1，＋
∞)上单
x－ax－ax－a
?
?
a＋5>0，
调递减，所以
?
解得－5
a≤－1，
?
1
2
0，
?
解析：原方程可化为(lgm＋lgx)·12.
?
(lgm＋2lgx)＝4，即2(lg
x)＋3lgxlgm＋
100
??
(lgm)
2
－4＝0.令lg
x＝t>0，则2t
2
＋3tlgm＋(lgm)
2
－4＝0的解都是正数，
所以
Δ＝（3lgm）
2
－8[（lgm）
2
－4]≥0，
?
?
3lgm
?
－
4
>0，
?
?
（lgm）－4>0.
2
解得lgm<－2，
1
1
0，
?
. 所以0
100
?
100
13. (0，1)
解析：画出函数f(x)的图象，由图象可知0
1
?
14.
[－1，0) 解析：由题意可知，函数y＝
?
?
2
?
1
?
＝
?
?
2
?
|1－x|
|1－x|
与y＝
－m的图象有公共点．作出y
的图象如图，由图象可知当0<－m≤1，即－1≤m<0时符合题意，故
m的取值范围
是[－1，0)．
15. 解析：(1)
由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根．
3
?
11
11
13
－t
>0，f(0)＝1－2t＝2
?
－t
?
<0，f
??
＝＋(2t(2) 当
?<
br>4
??
2
??
2
?
4224
1
3<
br>0，
?
上各有一个实数根． －1)＋1－2t＝－t>0，所以方程f(x)＝0在区
间(－1，0)及
?
?
2
?
4
16. 解析：(1) 由题
意得f(－x)＝f(x)，所以log
4
(4
－
－
x
＋1
)－kx＝log
4
(4
x
＋1)＋kx，即
4
x
＋1
1
－
log
4
x
＝2kx，所以log
44
x
＝2kx，所以－x＝2kx对x∈R恒成立，所以k＝－.
2
4
＋1
4
x
＋11
1
2
x
＋
x
?<
br>.因为2
x
(2) 由f(x)－m＝0得m＝f(x)＝log
4
(
4＋1)－x，所以m＝log
4
x
＝log
4
?
2
??
22
x
1
111
，＋∞
?
. ＋
x
≥2，当且仅当2
x
＝
x
，即x＝0时等号成立，所以m≥，故m的
取值范围是
?
?
2
?
222
高考数学一轮复习基础夯滚天天
练(14)
导数的概念及运算
f（2）－f（1）
1
1. －，－2 解
析：函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝
2
2－1
1
?
1
?
1＋－（1＋1）
f（1）－f
2
?
2
?<
br>1
?
1
，1
上的平均变化率为＝－；函数f(x)在区间
?<
br>＝
?
2
?
121
1－
2
1＋1－（1＋2）
＝－2.
1
2
2. 3
解析：由题意得f′(x)＝x
2
＋2，所以f′(1)＝1＋2＝3.
2xsinx－x
2
cosx
3.
sin
2
x
π
?
π
3
4. 33x＋6y－3π－3＝0 解析：由题意得f
′(x)＝－sinx，f′
?
＝－sin＝－，即切线
?
3
?32
的斜率k＝－
π
1
?
313
?
π
?
，
，
x－
，.又因为切点坐标为
?
则所求的切线方程为y
－＝－整理得
?
32
?
222
?
3
?
33
x＋6y－3π－3＝0.
77
?
3－0
，
解析：由题意得k
AB
＝5.
?
＝－3，因为曲线上一点P处的切线恰好与
AB平
?
24
?
3－4
77
?
77
?7
?
2
7
行，所以y′＝4－2x＝－3，解得x＝，则y＝4×－?
2
?
＝，故点P的坐标为
?
?
2
，
4
?
.
224
11
6. ln 2－1
解析：由题意得y′＝＝，解得x＝2，所以切点为(2，ln2)，代入直线方程
x2
11
y＝x＋b，得ln2＝×2＋b，解得b＝ln2－1.
22
11
7. y＝－ 解析：由题意得y′＝e
x
＋xe
x
，令y′＝0，可得x＝－1，所以y＝－，所以函
ee
1
1
－1
，－
?
处的切线方程为y＝－.
数y＝xe
x
在其极值点
?
e
??
e
8.
y＝－3x＋2 解析：由题意得切线斜率存在，设切点坐标为(x
0
，y
0
)，y′＝－3x
2
，所以
y
0
－2
?2
?
－3x＝，
0
x
0
切线的斜率为－3x
2
.又因为过点(0，2)，所以解得x
0
＝1，所以切线的斜率为
?
0
?
?
y
0
＝－x
3
0
，
－3，
所以切线方程为y＝－3x＋2.
9. 3 解析：由题意得k＋1＝3，解得k＝2，所以y＝2x
＋1.又因为y′＝3x
2
＋a.当x＝1
时，y′＝2，所以3＋a＝2，解得a＝
－1，所以y＝x
3
－x＋b，把点(1，3)代入得1－1＋b＝3，
即b＝3.
10. 12x＋3y＋8＝0 解析：设切线的斜率为k，k＝f′(x)＝x
2
－
2x－3＝(x－1)
2
－4.当x＝1
20
20
1，－
?
，所以切线方程为y＋＝－4(x－1)，化简得时，k有最小值为－4，所以切点为
?
3
??
3
12x＋3y＋8＝0.
ππ
?
π
11. 2x－y－＝0 解析：由题意得y′＝1＋sinx，所
以曲线y＝x－cosx在点
?
?
2
，
2
?
处的<
br>2
π
πππ
x－
?
，即2x－y－＝0. 切线的斜率为1＋
sin＝2，所以切线方程为y－＝2
?
22
?
2
?
21
12. － 解析：由题意得y′
1
＝3ax
2
－12x＋1
2，y′
2
＝e
x
，在x＝1处的切线斜率分别为
3e
11
k
1
＝3a－12＋12＝3a，k
2
＝e.因为两条切线互相垂直
，所以3a＝－，解得a＝－.
e3e
71
13. 解析：(1)
方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
42
b1
2a－
＝，
22
b
又f′(x)＝a＋
2
，则
x
b7<
br>a＋＝，
44
?
?
?
?
?
a＝1，
3
解得
?
故f(x)＝x－.
x
?
?
b＝3，
3
(2) 设P(x
0
，
y
0
)为曲线上任意一点，由题意得y′＝1＋
2
，
x
3
1＋
2
?
·所以曲线在点P(x
0
，y
0
)处的切线方程为y－y
0
＝
?
?
x
?
(x－x<
br>0
)，
0
33
x
0
－
?
＝
?
1＋
2
?
(x－x
0
)． 即y－
?
x
??
x
??
00
6
6
0，－
?
. 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为
?
x
0
??<
br>x
0
令y＝x得y＝x＝2x
0
，从而得切线与直线y＝x的交点坐标
为(2x
0
，2x
0
)，
6
1
－
?·所以点P(x
0
，y
0
)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角
形的面积为
?
|2x
0
|＝6.
2
?
x
0
?
故曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定
值，
此定值为6.
14. 解析：(1) y′＝
1－ln
x
，当x＝1时，y′＝1，因此切线l的方程为y＝x－1.
x
2
(2) 只需要证明
ln
x
x>0且x≠1时，x－1>.
x
1
（2x＋1）（x－1）
设f(x)＝x(x－1)－ln
x，x>0，则f′(x)＝2x－1－＝.
xx
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在x＝1处取得极小值，
也是最小值，所以f(x)>f(1)＝0(x≠1)，因此除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的
下方．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(15)
导数在研究函数中的简单应用
1. (－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：由题意得f′(x)＝3－3x
2
，令
f′(x)<0，即3－3x
2
<0，解
得x>1或x<－1，故函数f(x)的单调
减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
3π
0，
?
解析：由题意得，
y′＝e
x
(cosx＋sinx)．令y′≥0，即e
x
(cosx＋si
nx)≥0，即2.
?
4
??
π
3π
?
0，3π
?
.
x＋
?
≥0，解得0≤x≤，故函数y＝e
x
·sin
?
sinx在区间[0，π]上的单调增区间为
4
??<
br>4
??
4
3. [0，π] 解析：由题意得，y′＝1＋cosx.令y′＝
0，即1＋cosx＝0，解得x＝π，所以在
[0，π]上，y′≥0，所以函数y＝x＋sinx在
区间[0，π]上单调递增，所以值域为[0，π]．
4. 3，－17 解析：由题意得f′(x)
＝3x
2
－3，令f′(x)＝0，即3x
2
－3＝0，解得x＝±1.当<
br>x<－1时，f′(x)>0；当－1
极小值为f(1)＝－1.又因为f(－3)＝－17，f(0)＝
1，所以函数f(x)的最大值为3，最小值为－
17.
5. (－∞，2ln 2－2]
解析：由题意得f′(x)＝e
x
－2，令f′(x)＝0，即e
x
－2＝0
，解得x＝ln2.
当x>ln2时，f′(x)>0；当x
取值范围是(－∞，2ln2－2]．
6. (－∞，－1) 解析：由题意得f′(x)＝e
x
＋a，则e
x＋a＝0有大于0的实根．由e
x
＝－a，
得a＝－e
x
.因为
x>0，所以e
x
>1，所以a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)．
π
0，
?
7. 0 解析：由题意得f′(x)＝－xsinx.令f′(x
)＝0，即－xsinx＝0，解得x＝0.因为x∈
?
?
2
?
π<
br>0，
?
上单调递减，时，f′(x)<0，所以函数f(x)＝xcosx－sinx在
区间
?
所以当x＝0时，函数f(x)
?
2
?
取得最大值，
f(0)＝0.
4
8. (0，＋∞) 解析：由题意得y′＝－4x
2
＋
a.因为函数y＝－x
3
＋ax有三个单调区间，所
3
以y′＝－4x
2
＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝－4×(－4)×a>0，解得a>0，故a的取值
范围是(0，＋∞)．
9. 78 解析：设剪成两段中的其中一段为xcm(0
52－x
2
52－x
x
2
3
个矩形的面积之和为S.由题意得S＝(×××)＋(×××)＝＋(52－x
)
2
，
323252521850
1313
所以S′＝x－(52－
x)．令S′＝0，即x－(52－x)＝0，解得x＝27.当x＝27时，S取得极
925925<
br>小值也是最小值，S＝78，故两个矩形的面积之和的最小值为78 cm
2
.
π
0，
?
，则h＝40sinθ，AB＝40＋80cosθ，所以S＝1
600(110. 解析：设∠BAD＝θ，θ∈
?
?
2
?
＋cosθ)sinθ，则S′＝1
600(cosθ＋cos2θ)．令S′＝0，得θ＝，
3
πππ
0，
?
时，S′>0；当θ∈
?
，
?
时，S′<0，所以函数S＝1 60
0(1＋cosθ)sinθ在区间当θ∈
?
?
3
??
32
?
?
0，
π
?
上为增函数，在区间
?
π
，
π
?
上为减函数，所以当θ＝
π
时，S取得最大值1
2003，此
?
3
??
32
?
3
时AB＝80.
2a
11. 解析：(1) 因为f(x)＝ln x＋，
x
12a
所以f′(x)＝－
2
.
xx
因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
12a
所以f′(x)＝－
2
≥0在[2，＋∞)上恒成立，
xx
x
即a≤在[2，＋∞)上恒成立．
2
x
令g(x)＝，则a≤g(x)
min
，x∈[2，＋∞)．
2
x
因为g(x)＝在区间[2，＋∞)上是增函数，
2
所以g(x)
min
＝g(2)＝1，
所以a≤1，
所以实数a的取值范围为(－∞，1]．
(2)
由(1)得f′(x)＝
x－2a
，x∈[1，e]．
x
2
1
①若2a<1，即a<，则x－2a>0，
2
即f′(x)>0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上是增函数，
3
所以f(x)
min
＝f(1)＝2a＝3，解得a＝(舍去)；
2
②若1≤2a≤e，令f′(x)＝0，得x＝2a.
当1
当2a
所以f(x)在(2a，e)上是增函数，
e
2
所以f(x)
min
＝f(2a)＝ln2a＋1＝3，解得a＝(舍去
)；
2
③若2a>e，则x－2a<0，
即f′(x)<0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上是减函数，
2a
所以f(x)
min
＝f(e)＝1＋＝3，所以a＝e.
e
综上所述，a的值为e.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(16)
同角三角函数的关系及诱导公式
20π
120π2π1
－
?
＝cos＝cos＝－. 1. － 解
析：cos
?
?
3
?
2332
1cosα
?
（1＋cosα）（1－cosα）
＋
2. sinα
解析：原式＝
?
(1－cosα)＝＝sinα.
?
sinαsinα
?
sinα
3.
－
＝－
3π
311
，2π
?
，所以sinα 解析：cos
(π＋α)＝－cosα＝－，所以cosα＝.因为α∈
?
2
??
222<
br>13
1－＝－.
42
（m－3）
2
＋（4－2m）
2
4. 0 解析：由题
意得＝1，解得m＝0或m＝8.因为θ在第四象
（m＋5）
2
限，所以sinθ<0
，cosθ>0，所以m＝0.
π
22
?
π
，π
?
，
π
－α∈
?
7π
，
13π
?
，
?
π
－α
?
－π，－
?
，5. － 解析：因为α∈?
所以－α∈cos
2
???
2
?
12
?1212
??
12
?
3
＝－
1
?
22
1－
?
＝－.
?
3
?
3
sinα－co
sαtanα－1
＝＝1＋2，所以tanα＝－2－1，所以tan2α＝
sinα＋cos
αtanα＋1
2
6. 1 解析：因为
2×（－2－1）
＝1.
1－（2＋1）
2
7.
1111
解析：因为sinα－cosα
＝，所以(sinα－cosα)
2
＝1－2sinαcosα＝，所以sinαcosα1624
31311
＝，sin
3
α－cos
3
α＝(
sinα－cosα)(1＋sinαcosα)＝
×(1＋)＝.
82816
1＋
sinαsinα－1sinα－1sin
2
α－1
sinα－1
8. －k
解析：·＝k·，等式左边＝＝－1，所以＝
2
cosαcosαcosαcos
α<
br>cosα
1cosα
－，所以＝－k.
k
sinα－1
7π
?
πππ
1
π
1
－α
＝sin
?
π＋
?
－α
??
＝－sin
?
－α
?
＝s
in
?
－
?
－α
??
＝sin(α－)＝. 9. 解析
：sin
?
?
6
???
6
???
6
???
6
??
363
10. 1 解析：由题意得f(2 017)＝asin(2
017π＋α)＋bcos(2
017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－
1.所以asinα＋bcosβ＝1，则f(2
018)＝asinα＋bcosβ＝1.
3π
?
π
5π1
π5π
＋α
＝sinα＝.又因为α是三角形的一个内角，所以α＝或. 11. 或
解析：cos
?
?
2
?
66266
12.
π?
ππ
26
πππ
＋x
＝sin[－(－x)]＝cos
?
－x
?
.因为x∈
?
0，
?
，所以－ 解析：
sin
?
?
4
??
4
??
2
?
5
244
126
1－＝.
255
πππ
－，
?
，
所以cos
?
－x
?
＝x∈
?
?
44
??
4
?
2π12π3
1313
13.
?
－，
?
解析：由题意得x
Q
＝cos＝－，y
Q
＝sin＝，所以点Q
?
－，
?
.
3232
?
22
??
22
?
π
?
33
ππ
＋
α
＝－sinα＝，所以sinα＝－.因为|α|<，所以α＝－，14. －3 解析：cos?
?
2
?
2223
π
所以tanα＝－tan＝－3.
3
124
15. 解析：(1)
(sinx＋cosx)
2
＝1＋2sinxcosx＝，所以2sinxcosx＝－. <
br>2525
49
所以(sinx－cosx)
2
＝1－2sinxcos
x＝.
25
π
－，0
?
，所以sinx－cosx<0，
因为x∈
?
?
2
?
7
所以sinx－cosx＝－.
5
?
4
(2) 因为
?
所以cosx＝.
57
sinx－cosx＝－，
?
5
11
＝
2
＝
cosx－sinx2cos
2
x－1
2
1
sinx＋co
sx＝，
5
1125
＝＝.
16167
2×－12×－1
2525
16. 解析：(1)
因为sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα，
lg
1
3
10
11
＝lg 10－＝－，
33
11
所以－sinα＝－，即sinα＝.
33
因为cos(π－α)＝－cosα>0，即cosα<0，
22
所以cosα＝－，
3
22
－＋1
3
cosα＋1
故＝＝3－22.
sinα1
3
π
?
3π
22
?
?
1
?
7
＋α
－cos
2
?
＋α
?
＝cos
2
α－sin
2
α＝
?
－
(2)
sin
?
－＝.
?
2
??
2
?
?
3
?
?
3
?
9
2
22
高考数学一轮复习
基础夯滚天天练(17)
三角函数的图象
π
5π
2kπ＋，2kπ＋
?
，k∈Z
解析：由题意得sinx－cosx≥0，解得1.
?
44
??
π5π2kπ＋，2kπ＋
?
，k∈Z.
x∈
?
44
??
2. 1＋
21
解析：y＝＝
2
2＋sinx＋cosx
12
，y
max
＝＝1＋.
π<
br>2
2－2
x＋
?
＋22sin
?
?
4
?
1
3. 3 解析：由题意得sinx＝tanx，化简得tanx(cosx－1)＝0
.因为x∈[0，2π]，所以x＝0，
π，2π，故交点有3个．
ππ
4. 2
解析：根据图象得A＝2，T＝8，所以ω＝，f(x)＝2sinx.结合图象可得原式＝
44
f(1)＝2.
π
4π
π13ππ
5.
解析：由题意得2×＋θ＝＋kπ，k∈Z，θ＝kπ－，k∈Z，所以|θ|
min
＝.
63266
ππ
1
πππ
ω＋
?
＝1，6. 解
析：由题意得函数f(x)在x＝时，取得最大值，则sin
?
所以
ω＋
＝<
br>?
33
?
2333
π
11
2kπ＋(k∈Z)，解得
ω＝6k＋.因为ω>0，所以ω的最小值为.
222
7.
－
3π
2383π
π
＋φ
?
＝1， 解析：由题意得T＝2
，T＝，所以ω＝.f(1)＝sin
?
所以φ＝－，
?
4
?
24344
3π
π
?
2
－
＝－.
f(2)＝sin
?
?
24
?
2
2πT
8. 2
解析：函数f(x)的周期T＝＝4，由题意可得|x
1
－x
2
|
m
in
＝＝2.
π
2
2
2ππ
9.
[6k，3＋6k]，k∈Z 解析：由题意得T＝8－2＝6，所以ω＝＝.由函数f(x)与直线
6
3
ππ
y＝b的第一个，第二个交点可得直线x＝3是函数f(x)的一条对称轴，所以×3＋
φ＝＋
32
ππππππ
kπ(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)，可令φ＝－，则f
(x)＝Asin(x－)＝－Acosx，所以2kπ≤x≤2kπ
223233
＋π，k∈
Z，解得6k≤x≤6k＋3，k∈Z，故函数f(x)的单调增区间为[6k，3＋6k]，k∈Z.
π
T5π
ππ
10. 解析：由题意得＝－＝π，所以ω＝1，f(x)＝
sin(x＋φ)．因为直线x＝是函
42444
πππ
数f(x)的一条对称轴，所
以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又因为φ∈(0，π)，所
424
π
以φ＝.
4
11.
6T7π
ππ
解析：由题意得＝－＝，所
以ω＝2，A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．因
241234
π
?πππ
6
为f
?
＝0，根据五点作图法可得2×＋φ＝π，解得φ＝，所
以f(0)＝2sin＝.
?
3
?
3332
1a
?
sin
2x＋cos2x
?
12. －1 解析：由题意得f(x)＝a＋1·＝a
2
＋1·sin(2x＋
?
a
2
＋1
?
2
a＋1<
br>??
2
π
ππ
－
?
＋φ＝＋kπ，
φ)，且
tanφ＝a.因为直线x＝－
是函数f(x)的一条对称轴，所以2×
?
k∈Z，<
br>?
8
?
82
3π3π3π
即φ＝＋kπ，k∈Z，可令φ＝，
所以a＝tan＝－1.
444
π
π
x－
?
，沿x轴向右
平移a个单位长度后，得y＝13. 解析：y＝sinx－3cosx＝2sin
?
?3
?
6
πππππ
2sin(x－a－)．因为所得图象关于y轴对称，
所以－a－＝＋kπ，k∈Z，即a＝－－－kπ
33232
5ππ
＝－kπ－，k∈
Z.又因为a>0，所以a的最小值为.
66
π
1
π
x＋
?
＝[1＋cos(2x＋)]，依题意得直线x＝x
0
是函数f(x)图象14.
解析：(1) f(x)＝cos
2
?
?
12
?
26
ππ
1
的一条对称轴，所以2x
0
＋＝kπ，k∈Z，即2
x
0
＝kπ－，k∈Z，所以g(x
0
)＝1＋sin2x
0
＝1
662
1
π
＋sin(kπ－)．
26
π
31
－
?
＝； 当k为偶数时，g(x
0<
br>)＝1＋sin
?
2
?
6
?
4
π
?
51
当k为奇数时，g(x
0
)＝1＋sin
?
＝.
2
?
6
?
4
(2) h(x)＝f(x)＋g(x)
1
?
2x＋
π
??
＋1＋
1
sin2x
＝
?
1＋cos
6
???
2
?
2
1
?
2x＋
π
?
＋sin2x
?
＋
3
＝
?
cos
6
??
22
??
1
3
3
1
＝
?
cos2x＋sin2x
?
＋
2
?
22
?
2
π
31
2x＋
?
＋. ＝si
n
?
3
?
22
?
πππ5ππ
当2kπ－≤2x＋
≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数h(x)是增函
2321212
5ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z.
数，所以函数h(x)的单调增区间为
?
1212
??
15. 解析：(1)
由图可知，A＝2，T＝2π，故ω＝1，
所以f(x)＝2sin(x＋φ)．
2π??
2π
＋φ
?
＝2，且－
π
<φ<
π
，故φ＝－
π
， 又f
?
＝2sin
?
3
??<
br>3
?
226
π
x－
?
. 所以f(x)＝2sin<
br>?
?
6
?
π
33
α－
?
＝.
(2) 由f(α)＝，得sin
?
?
6
?
42
π
π
π
2α＋
?
＝sin
?
2
?
α－
6
?
＋
?
sin
?
6
?
??
2
?
??
?
α－
π
??
＝1－2sin
2
?
α－
π
?
＝－
1
. ＝cos
?
2
??
6
???
6
?
8
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(18)
三角函数的性质(1)
??
1
k
π
＋kπ，k∈Z
?
解析：由题意得2sinx－1≠0，sinx≠，所以x≠ 1.
?
x|x≠（－1）·<
br>6
2
??
π
(－1)
k
·＋kπ，k∈Z.
6
2π
π
2. 6 解析：由题意得T＝＝，且k>0，所以k＝6.
k3
π
5π
?
π
5π
，
解析：结合图象可知，当x∈
?
，
?
时，sinx>cosx. 3. ?
?
44
??
44
?
π
T2π
T
π
4. 解析：由题意可得相邻两条对称轴之间的距离为，T＝＝π，所以＝.
22222
ππ
＋2kπ，π＋2kπ
?
，k∈Z 解析：f(x)
＝3sinx－cosx＝2sin
?
x－
?
.因为f(x)≥1，所以5.
?
?
3
??
6
?
π
1
ππ5ππ
sin(x－)≥，所以＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
626663
π
π
1
π
7π
π
ωx－?
＝－1，sin(ωx－)＝－，可令ωx－＝，ωx－＝6. π 解析：由题意得2sin<
br>?
5
??
52565
61π41π
?
π
11
π41π61π
，解得x＝和x＝，所以
?
?
30ω
－
30
ω
?
＝
3
，则|ω|＝2，T＝π.
6
30ω30ω
7. －2 解析：因为f(－x)＋f(x)＝a(－x)
3
＋bsin(－x)＋1＋ax
3
＋bsinx＋1＝2，所以f(－
5)
＋f(5)＝2，f(－5)＝2－f(5)＝2－4＝－2.
π
7π
?
?
2
?
x＋
π
?
－
π
?
＝sin<
br>?
2x＋
π
?
.当
π
，
解析：8. ?
设函数g(x)的图象是C，则g(x)＝sin
2
3
?
2<
br>?
1212
??
?
?
4
?
6
?π
3π
π7π
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，即kπ＋≤x≤＋kπ，k
∈Z时，函数g(x)单调递减．又因
321212
π7π
?
为x∈[0，π
]，所以函数g(x)在[0，π]上的减区间是
?
?
12
，
12<
br>?
.
3π
π
kπ－，kπ＋
?
，9.
?
f(x)＝2cosx·(sinx＋cosx)＝sin2x＋cos
2x＋1＝2sin(2x
88
?
k∈Z 解析：
?
ππππ3ππ
＋)＋1.当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x
)单
424288
调递增．
10.
5π
??
2π
??
π
??
π
?
3
π
3
－
＝f
＝sin＝. 解析：由题意得f
?
＝f＝f
?
3
??
3
??
3
??
3
?
232
ππ
22
22
2x－
?
＋2(sinx－cosx)
?
sinx＋cosx<
br>?
＝cos
?
2x－
?
＋11. π 解析：f(x)＝co
s
?
3
?
3
???
22
2
?
2<
br>?
1
2
1
131331
sinx－cos
2
x
?
＝cos2x＋sin2x＋sin
2
x－cos
2
x
＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x－2
?
2
?
2
?
222222
π
2π
2x－
?
，所以T＝＝π. co
s2x＝sin
?
6
??
2
π
ππππ
－，0?
解析：12.
?
f(x)＝sinx－3cosx＝2sin(x－)，当
2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
?
6
?
3232
π5π
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0]，所以函数f(x)
的
66
π
－，0
?
.
增区间是
?
?
6
?
11
13. 2 解析：令t＝sinx
，且t∈(0，1]，则y＝1＋，易得函数y＝1＋在(0，1]上单调
tt
递减，所以y<
br>min
＝1＋1＝2.
14. ①②④ 解析：因为f(－x)＝cos
2<
br>(－x)＋sin(－x)＝cos
2
x－sinx≠f(x)，所以①正确；
f(x＋2π)＝cos
2
(x＋2π)＋sin(x＋2π)＝cos
2
x
＋sinx＝f(x)，所以②正确；令f(x)＝1－sin
2
x＋sinx
1－5
1＋5
＝0，解得sinx＝或sinx＝(舍去)．又因为x∈[－π，0]，所以函数f(x)在[
－π，
22
π
5π
?
0]上有2个零点，故③错误；
f′(x)＝2cosx·(－sinx)＋cosx＝cosx(1－2sinx)，因为x∈
??
2
，
6
?
，
1
?
?
π，
5π
?
上恒成立，所以④正确；
，1
，所以sin∈
?
所以1－2sinx<0，cosx<0，所以f′(x)>0在
?
2
?<
br>?
26
?
5
15
－1，
?
，f(x)＝co
s
2
x＋sinx＝－(sinx－)
2
＋，因为sinx∈[－1，1]，
所以f(x)∈
?
综
4
?
故⑤错误．
?
24
上，真命题是①②④.
π
π
2×＋φ
?
＝±15.
解析：(1) 因为y＝f(x)图象的一条对称轴为直线x＝，所以sin
?
?
8<
br>?
1，所
8
πππ
以＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z
.
424
3π
因为－π<φ<0，所以φ＝－.
4
3π
2x－
?
， (2) 由(1)得f(x)＝sin
?
4
??
π3πππ5π
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ＋
≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，
24288
π5π
kπ＋，kπ＋
?
，k∈Z. 所以函数f(x)的单调增区间为
?
88
??
3π
2x－
?
∈[－2，2]，所以y＝f(x)的图象的切线斜率的范围是[－2
，2]，(3) 因为y′＝2cos
?
4
??
5
而直线5x－2y
＋c＝0的斜率是[－2，2]，所以直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)不相切．
2
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(19)
三角函数的性质(2)
πππ
ππ
－＋kπ，＋kπ
?
(k∈Z) 解析：y＝3sin2
x＋cos2x＝2sin
?
2x＋
?
.当2kπ－≤2x＋1.
?
66
??
3
??
26
πππ
≤2kπ＋，k∈Z
，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数单调递增．
236
3π
π
π3π
－＋kπ，＋kπ
?
(k∈Z)
解析：当2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ2.
?
8
?<
br>8
?
48
π
＋，k∈Z时，函数单调递增．
8
π
π
2（x＋φ）＋
?
＝3. 右 解析：设向左平移
φ个单位长度，则平移后的函数，y＝sin
?
3
??
6
π
ππππ
2x＋
?
的图象向右平移sin(2x＋2φ＋)＝sin2x，所以2φ＝
－，φ＝－，所以将函数y＝sin
?
3
??
3366
个单位长度可
得到y＝sin2x的图象．
4. ③ 解析：由题意可得α在第一或第三象限，所以①②错误；因为
sinα
>0，所以
cosα
π
sinαcosα>0，所以可得s
in2α>0，故③正确；举例，若α＝，满足tan α＝3>0，但cos
2α＝
3
1
－<0，故④错误．
2
3
ππ
2kπ
π
2kπ
π
0，
?
解析：当2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，即－≤x≤＋，k∈Z时，5.
?
?
2
?
22
ω
2ω
ω
2ω
ππ
≤－，
2ω3
ππ
??
ππ
?
3
?
－，－，
函
数f(x)单调递增．令k＝0，所以
?
34
??
2ω2ω
?
，即解得ω≤，所
2
ππ
≥，
2ω4
?
?
?－
3
0，
?
.
以ω的取值范围是
?
?
2
?
π
6. kπ＋，k∈Z 解析
：因为函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，
2
π
所以cosφ＝0，φ＝＋kπ，k∈Z.
2
7.
ππππ
3π
π
x＋
?
＋sin2x.因为x∈
?
，
?
，所以
x＋∈
?
，
?
，2＋1 解析：f(x)＝2sin
?
?<
br>4
??
42
?
4
?
24
?
π
?
πππ
π
π
，π
，所以y＝2sin
?
x＋<
br>?
在区间
?
，
?
上单调递减，y＝sin2x在区间
?
，
?
上单调2x∈
?
?
2
??
4
??
42
?
?
42
?
ππ
?
π
ππ
，
上单调递减，所以f(x)
max
＝f
??
＝2si
n＋sin＝2＋1. 递减，所以函数f(x)在区间
?
?
42
??
4
?
22
ππ
8. 解析：y＝3cos2x－sin2x＝－2sin
(2x－)，平移后的函数设为g(x)，则g(x)＝－
63
π
πππ
kπ
2x＋2t－
?
.因为函数g(x)是奇函数，2sin[2(x＋t)－]＝－2s
in
?
所以2t－＝kπ，t＝＋，k∈Z，
3
??
3362
π
且t>0，所以t的最小值为.
6
5π5π
π
ππ
－
?
＝－f
??
＝－f(＋)＝－f
??
＝－1. 9.
－1 解析：由题意得f
?
?
6
??
6
??
3?
23
π
T2π2π
π
10.
解析：由题意得＝2，所以T＝＝4，所以ω＝＝.
22
ω
42
3
－，3
?
解析：由题意得函数f(x)与函数g(x)的最小正周期相同，T＝π，所以ω＝11.
?
?
2
?
ππ
5π
π
1
ππ
0，
?
，所以2x－∈
?
－，
?
，所以sin
?
2x－<
br>?
∈
?
－，1
?
，2，f(x)＝3sin(2x－)．因为
x∈
?
6
??
2
??
2
??
66
?
66
?
3
－，3
?
.
所以f(x)∈
?
?
2
?
12.
π
?
3T2π
πππ
解析：由题意得＝－＝，所以ω＝2，f(x
)＝sin(2x＋φ)．因为f
?
＝sin(＋
?
6
?
2
23623
ππ
ππππππ
3
2x＋
?
，所以f
??
＝sin(＋)＝.
φ)＝1，且|φ|<
，所以＋φ＝，φ＝，所以f(x)
＝sin
?
6
???
4
?
2326262
T
ππ
13. 4 解析：由题意得＝，T＝，所以ω＝4.
242
223
14. 解析：由题意得6cosx＝5tanx，即6cos
2
x＝5sinx，解得sinx＝或sinx＝－(舍去)，
332
2
所
以P
1
P
2
＝sinx＝.
3
15.
解析：(1) 由图可知，f(0)＝f(x
0
)＝
即cosφ＝
33
，cos(πx
0
＋φ)＝.
22
3
，
2
π
π
5
0，
?
，x
0
>0，所以φ＝，x
0
＝. 又φ∈
?
?
2
?
63
π
πx＋?
. (2) 由(1)可知f(x)＝cos
?
6
??
11<
br>πππ
－，
?
，所以－≤πx＋≤， 因为x∈
?
?
23
?
362
π
1
ππ
1
所以当πx＋＝0，即x
＝－时，函数f(x)取得最大值1；当πx＋＝，即x＝时，函
66623
数f(x)取得最
小值0.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(20)
和差倍角的三角函数
1.
2
解析：cos(110°－x)＝cos[90°＋(20°－x)]＝－sin(20°
－x)＝－sin[－(x－20°)]＝
2
2
.
2
sin(x－
20°)，所以原式＝sin(65°－x＋x－20°)＝sin45°＝
211
－ 326
1
π
1
π
α＋
?
＝tan[(α＋β)
－(β－)]＝2. 解析：tan
?
＝＝.
?
4
?
842148
1＋×
323
3.
2＋3
π
??
π
?
解析：y＝sin
?
?
2
＋x
?
cos
?
6
－x
?
4
31
cosx＋sinx)
22
＝cosx(
＝
＝
＝
3
2
1
cosx＋sinxcosx
22
1
13
?
1
cos2x＋
?
＋sin2x
2
?
42
?
2
313
cos2x＋sin2x＋
444
π
13
2x＋
?
＋， ＝sin
?
3
?
42
?
13
2＋3
所以y
max
＝＋
＝.
244
4.
π
120512
0，
?
，所以
sinα＝1－cos
2
α＝
，所以sin2α＝ 解析：因为cosα＝，α∈?
?
2
?
1691313
120
2sinαcosα＝
.
169
π
444334
5. 解析：由题意得cosα＝，sinβ＝
，所以cos(α＋β)＝×－×＝0，所以α＋β
2555555
π
＝.
2
?
1＋
6. 1 解析：原式＝sin50°
?
＝
＝
＝
3sin10°
?
cos10°
?
sin50°cos10°＋3sin10°sin50°
cos10°
sin50°（cos10°＋3sin10°）
2sin50°cos
50°
＝
cos10°cos10°
sin100°
＝1.
cos10°
cos10°－3sin10°
2sin20°
7. 4
解析：原式＝＝＝4.
sin10°cos10°1
sin20°
2
8.
－
ππ
?
31
，
，所以cosθ
＝1－2sinθcosθ＝1－2× 解析：因为θ∈
?
?
4
2
?
28
33
＝，所以cosθ－sinθ＝－.
42
9.
π
63443
0，
?
.因为α∈(0，
解析：因为tanβ＝，β∈(0，π)，所以sinβ＝，cosβ＝，且β∈
?
?
2
?
65355
3π
π
5π
51
0，
?<
br>.因为sin(α＋β)＝<，所以α＋β∈
?
0，
?
或α＋β∈?
，π
?
.又因为
π)，所以α＋β∈
?
2
?
??
6
??
6
?
132
ππ
?
5π
412
，
，所以α＋β∈
?
，π
?
，cos(α＋β)＝
－.sinα＝sin(α＋β－β)tanβ＝>1，所以β∈
?
?
42
?
?
6
?
313
5312463
＝×＋×＝.
135135
65
sinα
1＋
cosα
cosα＋sinα1＋tanαsin2α＋1
1
10. 2 019 解析：＝＝＝2
2α＋＝＝
sinαcos2αcos2α
1－tanαcosα－sinα
1－
cosα
（sinα＋cosα）
2
cosα＋sinα
＝＝2
019.
（cosα＋sinα）（cosα－sinα）cosα－sinα
11. 锐角
解析：因为tanAtanB>1，所以tanA，tanB同号．当tanA<0，tanB<0时，A，π
?
sinAsinB
，π
，B∈
?
不符合，所以ta
nA>0，tanB>0，即角A，B为锐角．因为tanAtanB>1，所以
?
2
?
cosAcosB
sinAsinB－cosAcosB－cos（A＋B）－cos（π－
C）
cosC
－1>0，>0，>0，>0，>0，所以
cosAcosBcosAc
osBcosAcosBcosAcosB
cosC>0，即角C为锐角，所以△ABC是锐角三角形．
2
π
?
π
??
1
ππ
1
3
??
???
12. － 解析：sin
?
2α＋
6
?＝sin[2(α－)＋]＝cos
?
2
?
α－
6
??
＝2×－1＝－.
3623
?
3
?
ππ
πααα
α
0，
?
，所以∈
?
0，
?
.因为4tan＝1－
tan
2
，解得tan＝5－13. 解析：因为α∈
?
?
6?
42
?
12
?
222
2（5－2）
α
1
2或tan＝－2－5(舍去)，所以tanα＝＝.因为3sinβ＝sin(2α＋β)，所以
3sin(α
2
1－（5－2）
2
2
1
＋β
－α)＝sin(α＋β＋α)，所以sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，所以tan(
α＋β)＝2tanα＝2×
2
π
2π
π
0，
?
，
所以α＋β∈
?
0，
?
，所以α＋β＝.
＝1.又因为β∈
?
3
??
2
??
4
14.
①②③④ 解析：f(－x)＝cos(－x)sin(－2x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，所以函
数f(x)是
奇函数；f(x＋2π)＝cos(x＋2π)·sin[2(x＋2π)]＝cosx·
sin(4π＋2x)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函
数，故①正确；f(π－x)＝cos(
π－x)·sin[2(π－x)]＝(－cosx)·(－sin2x)＝f(x)，所以函数f(x)的图<
br>π
象关于直线x＝对称，故②正确；令t＝sinx，t∈[－1，1]，所以f(t)＝2t－
2t
3
，f′(t)＝－6t
2
2
1
11
－1，－
?
上单调递减，在区间
3
??
33
1
1
?
－
1
，
1
?<
br>上单调递增，在区间
?
，1
?
上单调递减，所以函数f(t)在t＝时
取得极大值．又
33
???
3
?
3
＋2.令f′(t)>0
，解得－
因为f
?
间
?
－
1
?
4343<
br>＝，f(－1)＝0，所以函数f(x)的最大值为，故③正确；由③得函数f(t)在区
9?
3
?
9
11
ππ
1111
，
?上单调递增，当x∈
?
－，
?
时，sinx∈
?
－，<
br>?
.又因为
?
－，
?
?
66
??
2
2
??
22
?
33
??
11
?
－
1
，
1
?
，
－，
?
上单调递增，所以函数f(t)
在区间
?
故④正确．综上，正确的是①②③④.
?
22
?
33
??
15. 解析：由题意知，sinA＝－
2cosBcosC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，等式两
tanB＋t
anC
边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－2.又tan(B＋C)＝＝－1＝－t
anA，即
1－tanBtanC
π
tanA＝1.又因为A为△ABC的内角，所以
A＝.
4
B＋C
π
A
16. 解析：由A＋B＋C＝π，得＝－，
222
B＋C
A
所以cos＝sin，
22
B＋C
A
所以cosA＋2cos＝cosA＋2sin
22
AA
＝1－2sin
2
＋2sin
22
A1
3
sin－
?
＋. ＝－2
?
?
22
?
2
A
π
因为0
A
所以0
B＋C
A1
π<
br>3
所以当sin＝，即A＝时，cosA＋2cos取得最大值为.
22322
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(21)
正弦定理和余弦定理
1. 0 解析：原式＝
2aaa
－－＝0.
sinAsinAsinA
2
sin30°·102
2.
105°或15° 解析：由正弦定理可得sinC＝＝，所以C＝45°或135°，所以
2
52
B＝105°或15°.
2π
1×sin
3
1
π
5π
π
3. 1
解析：由正弦定理可得sinB＝＝，所以B＝或(舍去)，所以A＝，所
2666
3
以a＝b＝1.
πa
2
＋b
2
－c
2
3ab3<
br>π
4. 解析：cosC＝＝＝，所以C＝.
62ab2ab26
b
2
＋c
2
－a
2
b
2
＋12b
2
－（3bc＋b
2
）
π
5. 解析：由正弦定理可得c＝23b，cos
A＝＝＝
62bc2bc
13b
2
－3b·23b－b
2
6
b
2
3
π
＝
2
＝
2
，所以A＝
6
.
2b·23b43b
sinA
sin（π－2B）
6. 50
解析：由题意可得A为顶角，B为底角，所以A＝π－2B，所以＝
sinBsinB
1
BC
2
sin2B11
＝＝2cosB＝，所以cosB＝.又因为cosB＝，
所以AB＝AC＝20，所以△ABC的
sinB24AB
周长为50.
7.
2π
解析：由题意得最大角与最小角所对应边的长分别为8，5，设边长为7所对应
3
64＋25－49
1
π
2π
的角为α，则cosα＝＝，所以α＝
，所以最大角与最小角之和为.
233
2×8×5
256503
8.
60°或120° 解析：由正弦定理可得＝，所以sinB＝，所以B＝60°或120°.
sinBsin45°2
3
9. 解析：如图，过点E，F分别作EM⊥BC于点M
，FN⊥BC于点N，可设AC＝
4
BC＝3a，因为E，F是AB的三等分点，所以FN＝a
，EM＝2a，CM＝a，CN＝2a，tan∠ECM
EMFN13
＝2，tan∠FCN＝
＝，所以tan∠ECF＝tan(∠ECM－∠FCN)＝＝.
CMCN214
1＋2×
2
1
2－
2
＝
8sin45°
10.
4(3－3) 解析：由题意得A＝75°，根据正弦定理，所以AB＝＝8(3－1)．因
sin75
°
3－1
→
3－1
→
为BD＝·BC，所以BD＝×8＝4(3－1
)．在△ABD中，AD
2
＝AB
2
＋BD
2
－
2
2
1
2AB·BDcos B＝16(3－1)
2
＋64(3－1)
2
－2×4(3－1)×8(3－1)×＝48(3－1)
2
，所以AD
2<
br>＝4(3－3)．
11333153
11. 7 解析：S
△
ABC
＝AC·AB·sin120°＝b·3×＝b＝，所以b＝
2
＝25
＋
22244
9－2×5×3×cos120°＝49，所以BC＝7.
a
2
＋b
2
－c
2
1＋4－c
2
1151
1
2. 解析：cosC＝＝＝，所以c
2
＝4，所以c＝2.因为cosC＝，
42
ab44
2×2
15bsinC
，所以sinB＝＝
4c
2×
15
4
15
＝.
24
所以sinC＝
π
1
13. 解析：a
2
＝
b
2
＋c
2
－2bc·cosA＝5c
2
－2c·2c·＝
3c
2
，所以a＝3c.根据正弦定理得
62
3
c×
21csinA
π
5π
sinC＝＝＝，所以C＝或(舍去)．
a66
3c
2
14. 2＋5 解析：设BD＝x，则CD＝2x.在△AB
D中，AB
2
＝x
2
＋2＋22×x×
＋2x＋2.在△ADC中，
AC
2
＝2＋4x
2
－22×2x×
2
2
＝x2
2
＝4x
2
－4x＋2.因为AC＝2AB，所以AC
22
＝2AB
2
，所以4x
2
－4x＋2＝2(x
2＋2x＋2)，解得x＝2±5(负值舍去)，所以BD＝2＋5.
221
15.
解析：(1) 因为锐角三角形ABC，所以A＋B＋C＝π，sinA＝，所以cosA＝，
33<
br>B＋C
2
B＋C
AA
tan
2
＋sin
2<
br>＝＋sin
2
222
B＋C
cos
2
2<
br>sin
2
＝
＝
1－cos（B＋C）
1
＋(1－co
sA)
1＋cos（B＋C）
2
1＋cosA
17
＋＝.
1－cosA
33
1122
(2)
因为S
△
ABC
＝2＝bcsinA＝bc·，
223
所以bc＝3.
3
?
1
由余弦定理a＝b＋c－2
bccosA得，2＝b＋
?
－2×3×，化简得b
4
－6b
2＋9＝0，
?
b
?
3
22222
2
所以b＝3
.
16. 解析：设CD＝x，则AD＝BD＝5－x.
（5－x）
2
＋
4
2
－x
2
31
在△CAD中，由余弦定理可知cos∠CAD＝＝
，解得x＝1.
32
2×（5－x）×4
ADCD
在△CAD中，由正弦定理可知＝， sinC
sin∠CAD
AD
所以sinC＝·1－cos
2
∠
CAD
CD
＝4
31
?
37
1－
?
?<
br>32
?
＝
8
，
2
113157所以S
△
ABC
＝AC·BC·sinC＝×4×5×7＝.
2284
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(22)
三角函数及解三角形
1. 1 解析：原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋7
5°)＝sin90°＝1.
π
ππ
kπ
π
－，0
?
，2. － 解析：由题意
得2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.因为x
0
∈
?
?
2
?
6326
π
所以x
0
＝－.
6
3π<
br>?
3π
56
π
π
3π
，π
，所以α＋β∈<
br>?
，2π
?
，β－∈
?
，
?
，所以cos(
α3. － 解析：因为α，β∈
?
?
4
??
2
?
654
?
24
?
＋β)＝
π
94
β－
?<
br>＝－1－＝，cos
?
?
4
?
255
12
?
5
?
α＋
π
?
＝cos
?
（α＋β）－<
br>?
β－
π
??
＝1－
?
＝－.cos
?13
??
4
???
4
??
13
2
4<
br>?
5
??
3
?
1256
×
?
－13
?
＋
?
－
5
?
×＝－.
51365
4.
π
172
ππ
?
α＋
π
?
＝
4
，
2α＋
?
＝sin[2(α＋)－]．
解析：sin
?
因为α为锐角，cos
12
???
6
?5
所以sin(α
5064
π
3
?
α＋
π??
＝2×
4
×
3
＝
24
，cos
?
2
?
α＋
π
??
＝2×
16
－1＝
7
，sin[2(α＋
π
)－
π
]＋)＝，所以sin
?
2
??
6
????
6
??
65552525256
4
24272172
＝×－×＝.
25225250
sin
2θ＋sinθcosθ－2cos
2
θ
tan
2
θ＋tanθ－
2
4＋2－2
44
5. 解析：原式＝＝＝＝.
55
sin2
θ＋cos
2
θ
tan
2
θ＋1
4＋16.
?
值域为
?
?
1－21＋
?
2
，
2
2
?
π
11112
2x－
?
＋，所以
sin2x＋－cos2x＝sin
?
?
解析：由题意得y＝
2
·
4
?
2
?
222
?
?
1－21＋2
?
.
?
?
2
，
2
?
π
1π
7. 向右平移个单位长度 解析：设将函数f(x)＝sin(－x－)的图象向左平移φ个单
位
326
1
π
1
11
π
1
π
－（
x＋φ）－
?
＝sin(－x－
φ－
)＝sin
?
－x?
，所以－
φ＝
，所以φ长度，则f(x)＝sin
?
6
??
2
?
2
?
22626
1
π
ππ－x－
?
的图象向右平移个单位长度可得到函数g(x)的图象．＝－，所以将函数f(x
)＝sin
?
?
26
?
33
ππ
3－，
?
上的最小值为－2，所以ωx＝8. 解析：因为函数f(x)＝2sinωx(
ω>0)在区间
?
?
34
?
2
ππ
ππππ
3
－，
?
.要求ω的最小值，所以－＝－，ω＝. －，x＝－∈
?
2
2ω
?
34
?
2ω
32
tan＋tan
?
?
A＋C＝2B，
22
AC
π
AC
＋
?
＝3 解析：由题意得
?
所以B＝，＋＝
?
?
22
?
322AC
?
?
A＋B＋C＝π，
1－tan·tan
22
AC
9.
π
ACAC
＝tan＝3，所以tan＋t
an＝3(1－tan·tan)，所以原式＝3.
32222
π
10. 解析：两式平方相加得9＋16＋24(si
nA·cosB＋cosAsinB)＝37，24sin(A＋B)＝12，
6
15π
π
11
所以sin(A＋B)＝，所以A＋B＝或.又因为4sinB＝1－3cosA>0
，所以cosA<<，所以
26632
π
5π
π
A>，所以A＋B＝
，则C＝.
366
11.
27π
解析：设三角形三边长为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cos A＝
5
b
2
＋c
2
－a
2
12
2
＋12
2
－6
2
71511315
＝＝，所以sin
A＝.由(a＋b＋c)r＝bcsin A得r＝，所以S
2bc8225
2×12×12<
br>8
内切圆
27π
＝πr
2
＝.
5
12.
3＋3
1111
解析：由题意得S＝acsinB＝ac·＝，所以ac＝2.因为
a，b，c成等差数
32222
2222
a
2
＋c
2
－b
2
4b
2
－4－b
2
3
列，所以a＋c＝2
b，所以a＋c＝4b－2ac＝4b－4.因为cosB＝＝＝，
2ac42
23＋4（3＋
1）
2
3＋3
所以b＝＝，所以b＝.
333
2
13.
2πbsinBcosB
解析：由题意得－＝－＝，所以－sinBcosC＝2sinAc
osB
3
2a＋c2sinA＋sinC
cosC
1
＋cosBsi
nC，－sin(B＋C)＝2sinAcosB，－sinA＝2sinAcosB，因为sin
A≠0，所以cosB＝－，
2
2π
所以B＝.
3
π
a<
br>1
（1－3）
1311
2x＋
?
解析：由题意得，S
3
＝14. f(x)＝3sin
?
＝，所以a＝，所以
a＝
13
6
??
333
1－3
π
πππ
2
×＋φ
?
＝1，则＋φ＝×9＝3，所以函数f(x)在x＝处取得最大值3，所以A＝3，且
sin
?
?
6
?
632
π
π
2x＋
?
. ＋2kπ(k∈Z)．又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin
?
6
??
6
15. 解析：(1) 根据正弦定理得2a
2
＝
(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a
2
＝b
2
＋c
2
＋
bc.由余弦定理
1
得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccosA，故cosA＝－.又A∈(0°，180°)，故A＝120°.
2
(2) 由(1)得sin
2
A＝sin
2
B＋sin<
br>2
C＋sinBsinC.
3
又sinB＋sinC＝1，所以sin
2
A＝1－2sinBsinC＋sinBsinC＝1－sinBsinC＝，所以sinBsin
C
4
11
＝，所以sinB＝sinC＝.
42
因为0°
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(23)
一元二次不等式
??
?
（x＋2）（1－x）≥0，
?
－
2≤x≤1，
?
1. {x|－2≤x<1} 解析：由题意得
2
解得不等式
?
所
?
x－2x＋1>0，
?
x≠1，
??
3
以不等式组的解集是{x|－2≤x<1}．
1
11
－∞，－
?
解析：由题意得a≠0且a<0，判别式Δ＝1－4a
2
<0，解得a<－或a>2.
?
2
??
22
1
－∞，－
?
.
(舍去)，所以实数a的取值范围是
?
2
??
3.
(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：由题意得x
2
－2x>0，解得x<0或x>2.
4.
717
解析：解不等式－4<2x－3<4，得－
＋px＋q<0的解集为
1222
p＝－3，
?
?
?
?
177
所以
?
q＝－
7
，
4
?
?
q＝－
2
×
2
＝－
4
，
?71
－p＝－＝3，
22
17
2
?
－
1
，
7
?
，所以－和是方程x＋px＋q＝0的两个根，则
?
22<
br>?
22
7
－
4
7q
所以＝＝.
p
－3
12
4
5. {x|x>2} 解析：由题意得函数f(x)
的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－>0，2x
2
－2x
x
－
4>0，(x＋1)(x－2)>0，所以x>2或x<－1(舍去)．
2
??
2
6.
?
x|x<
3
且x≠0
?
解析：当x＝0时，显然不成立
；当x>0时，x(2－3x)>0，解得0
??
2
??
当x<0时，－x(2－3x)>0，解得x<0，综上
?
x|x<
3
且x≠
0
?
.
??
?
?
m＝－4，
7.
?
解析：由题意得－5和1是方程x
2
－mx＋n＝0的两个根，则x1
＋x
2
＝m
?
n＝－5
?
＝－5＋1＝－4
，x
1
x
2
＝n＝－5，所以m＝－4，n＝－5.
8. 9 解
析：因为函数f(x)＝x
2
＋ax＋b的值域为R，所以Δ＝a
2
－4b＝
0，即a
2
＝4b.又因
为f(x)－c<0的解集为(m，m＋6)，所以m和m＋
6是方程x
2
＋ax＋b－c＝0的两个根，所以
x
1
＋x
2
＝－a＝2m＋6，x
1
x
2
＝b－c＝m(m＋6)，所以a＝
－(2m＋6)，b＝m(m＋6)＋c，则(2m＋
6)
2
＝4m(m＋6)＋4c
，化简得4c＝36，所以c＝9.
9. (－∞，－3] 解析：因为m≤x
2
－
4x在区间[0，1]上恒成立，即m≤(x
2
－4x)
min
，x∈[0，
1]．因为函数y＝x
2
－4x在区间[0，1]上单调递减，所以y
min
＝1－4＝－3，所以m≤－3.
4
10. (－∞，4] 解析：由题意得x2
－ax＋4≥0在x∈[1，3]上恒成立，即a≤x＋在x∈[1，
x
43]上恒成立．因为y＝x＋在区间[1，2]上单调递减，在区间[2，3]上单调递增，所以x＝2x
时，y有最小值，所以y
min
＝2＋2＝4，所以a≤4.
11.
[－1，＋∞) 解析：当x>2时，f(x)＝x(x－2)＝(x－1)
2
－1，此时函数
单调递增；当
x≤2时，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)
2
＋1，此时函数在
区间(－∞，1]上单调递增，在区间(1，2)
上单调递减，所以f(x)
max
＝
f(1)＝1，所以f(2－x)≤1，在区间(－∞，2]上恒成立．当x>2
时，f(x)＝(x－
1)
2
－1＝1，x＝2＋1，结合图象可得2－x≤2＋1，所以x≥－1.
1
a
－1，－
?
解析：设函数f(x)＝x
2
－
ax＋2a，则f(0)＝2a<0，且对称轴为直线x＝12.
?
3
??
2
f（－1）<0，
?
?
<0，在y轴的左侧，所以集合A中
的两个整数为－1和0，所以联立方程组
?
f（－2）≥0，
解
?
?
f（1）≥0，
1
得－1≤a<－.
3
13.
解析：设每件售价定为x元，依据题意，得
?
?
（x－20）[400－（x－30）×20]>4 000，
?
解得30
x>30，
?
间，
才能使每月的利润在4 000元以上．
14. 解析：(1) 函数f(x)＝ax
2－3ax＋1(a∈R)，有f(－1)f(2)<0，即(4a＋1)(－2a＋1)<0，
11
11
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
. 即(4
a＋1)(2a－1)>0，解得a<－或a>，故a的取值范围为
?
4
??
2
??
42
(2) 当a＝0时，不等式即1>0，满足条件．
?
?
a>0，
当a≠0时，要使不等式ax－3ax＋1>0对一切x∈R恒成立，需
?
解得
2
?
Δ＝9a
－4a<0，
?
2
4<
br>4
0，
?
. 0
?
9
?
9
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(24)
简单的线性规划
1. (－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：由题意得(a－1－2a－1)(3a－2－2a－1
)<0，即(－a
－2)(a－3)<0，解得a<－2或a>3.
3
－，6
?
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由z＝3x－y可得y＝3x2.
?
?2
?
－z，则－z为直线y＝3x－z在y轴上的截距，截距越大，z越小．结合图形可知
，当直线y
?
?
4x－y＝－1，
1
?
＝3x－z平移到点
B时，z最小，平移到点C时z最大．由
?
可得点B
?
?
2
，3
?
，
?
2x＋y＝4，
?
?
x＋2y＝2，<
br>?
33
z
min
＝－；由
?
可得点C(2，0)，z
max
＝6，所以－≤z≤6.
22
?
?
2x＋y＝4，
?
?
x＝－2，
?
?
x＝－1，
?
3.
13 解析：由题意得
?
??
y＝0，y＝0或±1，
??
???
?
x＝0，
?
x＝1，
?
x＝2，
???
所以区域内整点(x，y)的个数为1＋3＋5＋3＋1＝
?
y＝0或±
?<
br>y＝0或±
?
y＝0，1或±2，
?
1，
??
13.
1
－，0
?
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．其中点A(0，1)，B(1，4.
?
?<
br>3
?
0)，C(－1，0)．因为y＝kx－3k过定点D(3，0)，所以当y＝kx
－3k过点A(0，1)时，得到k
1
＝－，当y＝kx－3k过点B(1，0)时，得到k＝
0.又因为直线y＝kx－3k与平面区域M有公
3
1
共点，所以－≤k≤0.
3
74
5. 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中直线
y＝kx＋经过定点
33
?
0，
4
?
.因为不等式组表示的
平面区域被直线y＝kx＋
4
分为面积相等的两部分，所以直线y＝
?
3?
3
?
?
x＋3y－4＝0，
?
?
x＝1，<
br>4
kx＋经过线段AC的中点D.由
?
得
?
即点A(1，1)
．因为点C(0，4)，所
3
??
3x＋y－4＝0，y＝1，
??
15
?
1457
，
，所以k＋＝，解得k＝.
以线段AC的中点D的坐标为
?
?
22
?
2323
6. 8 解析：作出不等式所表示的平面区域，如图所示，x
2
＋y
2表示平面区域内一点(x，
y)到原点(0，0)的距离的平方，则(x
2
＋y<
br>2
)的最小值即为原点(0，0)到直线x－y＋4＝0的距离
|4|
?
2
?
的平方，即
??
＝8.
?
1＋1
?
x1
y＋4
1
7.
(4，2) 解析：作出△ABC所围成的区域，ω＝，则＝，表示区域内一点
ω
x
ω
y＋4
1
(x，y)与点(0，－4)的连线的斜率，且斜率存在，要求ω的最大值，
即求的最小值，结合图
ω
42
象可知，当点P为点B时，斜率最小，此时ω＝＝，点P
的坐标为(4，2)．
4＋2
3
5
5
，＋∞
?
解析：集合A表示以点(1，2)为圆心，为半径的圆内(包括圆上)的所有8.
?
?
2
?
2
x＋2y－5－a≤0，
x≥1，y≥2，
?
?
x－2y＋3－a≤0， x≥1，y<2，
点．集
合B化简为
?
表示区域为正方形，且中心为(1，2)．联
－x－2y＋5－a≤0，
x<1，y<2，
?
?
－x＋2y－3－a≤0， x<1，y≥2，
?<
br>?
?
?
x－2y＋3－a＝0，
a
??
1，2－立方程组
?
解得
?
所以正方形的一个顶点A的坐标为.
a
2
??
?
－x－2y＋5－a＝0，
y＝2－，
?
??
2
点A到直线－x＋2y－3－a＝0的距离即为正方形的边长，d＝
又因为集
合B＝{(x，y)||x－1|＋2|y－2|≤a}，所以a>0.又因为
5
解得a≥.
2
9. 6 解析：根据题意作出不等式组所表示的区域，如图所示，其中点A(0，3)，B
(4，
a＋b＋3a＋1＋b＋2b＋2b＋2
0).＝＝1＋，表示区域内一点P(a，b)
与点C(－1，－2)的连线的
a＋1a＋1a＋1a＋1
3＋2
＝
1
x＝1，
?
－1＋2
?
2－
a
?
－3－a
?
??
2
??
25|a|
5
＝
5
.d5125a5
，所以≥，×≥，
22252
斜率．结合图象可知当点P为点A时
，与点C连线的斜率达到最大，即
＝5，所以＝1＋5＝6.
10. 500 解
析：设每袋35kg的化工原料购买x袋，每袋24kg的化工原料购买y袋，花
费z＝140x＋12
0y.由题意得35x＋24y≥106(x∈N，y∈N)，当x＝0时，y＝5，此时z＝600；
当x＝1时，y＝3，此时z＝500；当x＝2时，y＝2，此时z＝520；当x＝3时，y＝1，此时z<
br>＝540；当x＝4时，y＝0，此时z＝560，综上可得，当x＝1，y＝3时，花费最少为500元
．
11. －4 解析：作出不等式组所表示的区域，如图所示，当目标函数过点A时，取得最
??
?
x－y＝0，
?
x＝2，
大值，联立方程组
?解得
?
所以点A(2，2)，所以z
max
＝2＋6＋m＝4，解
?
x－2y＋2＝0，
?
y＝2，
??
得m＝－4.
12. (0，6] 解析：命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边
界)，命题q表示的范围
是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分．因为p是q的充分不必要
条件，所以只需A，
k>0，
?
?
4
?
B，C三点都在圆内
(或圆上)即可．由题知B
?
?
k，4－
3
k
?
，
则
?
（k－3）
2
＋
16
（3－k）
2
≤
25，
?
9
?
解得0
13.
解析：作出不等式组所表示的区域，如图所示．
??
?
4x＋y＋10＝0，
?
x＝－1，
?
由得
?
所以点A(－1，－6)．
?<
br>7x－5y－23＝0，
?
?
y＝－6，
?
?
?7x－5y－23＝0，
?
?
x＝4，
由
?
得
?
所以点B(4，1)．
?
x＋7y－11＝0，
?
y＝1，??
?
?
4x＋y＋10＝0，
?
?
x＝－3，
?
由得
?
所以点C(－3，2)．
?
x＋7y－11＝0，
?
?
y＝2，
?
(1)
y＋7y＋7
表示区域内一点(x，y)与点(－4，－7)连线的斜率，结合图象可知在点A
(－
x＋4x＋4
y＋7
?
1
?
1，－6)处取得最小值，
在点C(－3，2)处取得最大值，所以∈
，9
.
x＋4
?
3
?
(2) x
2
＋y
2
表示区域内一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方，结合图象可知，在点A(－1，
－6)处
，有最大值，在原点处有最小值，所以(x
2
＋y
2
)
max
＝37，(x
2
＋y
2
)
min
＝0.
→→
(3) 由题意得OM·OP＝(2，1)·(x，y)＝2x＋y，令z＝2x＋y，则
y＝－2x＋z，z为直线y
＝－2x＋z在y轴上的截距，截距越大，z越大，所以当直线过点B(4
，1)时，2x＋y取得最
大值为9.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(25)
基本不等式及其应用
1
1. 3－23 解析：因为x>0，所以y
＝3－(3x＋)≤3－2
x
1
3x×＝3－23，当且仅当
x
1<
br>13
3x＋
?
的最大值为3－23.
3x＝，即x＝时等号成立，故函数y＝3－
?
x
??
x3
2.
42 解析：因为a＋b＝3，且2
a
>0，2
b
>0，所以2
a<
br>＋2
b
≥22
a
×2
b
＝22
ab
＝42，
当且仅当a＝b时取等号，故所求最小值为42.
511
3. 1 解析：
因为x<，所以4x－5<0，所以y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－
4
4x－54x－
5
＋
1
(5－4x＋)≤3－2
5－4x
故所求最大值为1. 11
（5－4x）×＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，
5－4x5－4x<
br>2
2
4. [0，22] 解析：因为0≤x≤2，所以2x>0，8－2x>0，所以
f(x)＝x（8－2x）＝
2x（8－2x）≤
28
×＝22，当且仅当2x＝8－
2x，即x＝2时等号成立．又因为f(x)≥0，
22
所以函数f(x)的值域为[0，22
]．
3
331313
－2，＋∞
?
解析：因为x<，所以x－<0.x＋5.
?
＝x－＋＋＝－
?
2
?
222
?
3
?
2
2x－3
2
?
x－
2
?
?
3
－x＋
1
?
3
3<
br>?
?
＋≤
?
2
2
?
?
2
－x
?
?
2
?
－2
?
3
－x
?<
br>·
1
＋
3
＝－2＋
3
，
?
2?
?
3
?
22
2
?
2
－x
?
1
3－2
313
当且仅当－x＝，即x＝时等号成立，a≥
?
x＋
2x－3
?
＝－2，故a的
23
?
2
??<
br>max
2
－x
2
?
?
2
?
3
－2，＋∞
?
. 取值范围是
?
?
2
?
3＋x＋
x
2
（1＋x）
2
－（1＋x）＋3
3
6. 3－1 解析
：由题意得y＝＝＝(1＋x)＋－
1＋x1＋x1＋x
1≥23－1，当且仅当1＋x＝3
时等号成立，解得x＝3－1.
1＋x
1
?
2
1
?
7. 22 解析：由题意得a
>0且x＝－时，不等式对应的方程等于0，即a×
?
－
a
?
＋a
1a＋b（a－b）＋2ab
12
－
?
＋b＝0，2×
?
化简得b＝，即ab＝1.因为a>b，所以＝＝(a－b)＋
?
a
?<
br>a
a－ba－ba－b
a
2
＋b
2
≥22，当且仅当
a－b＝2时取等号，故的最小值为22.
a－b
8.
210
解析：由
题意得4x
2
＋y
2
＋xy≥5xy，当且仅当4x
2
＝y
2
时等号成立．因为4x
2
5
222
18
＋y2
＋xy＝1，所以5xy≤1，xy≤.因为(2x＋y)
2
＝4x
2
＋y
2
＋4xy＝1＋3xy≤，所以2x＋
55
y
≤
210
.
5
33
9. 16 解析：由＋＝1，可化为xy＝8
＋x＋y，因为x，y均为正实数，所以xy
2＋x2＋y
＝8＋x＋y≥8＋2xy，当且仅
当x＝y时等号成立，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即
xy≥16.故xy的最小值为16
.
a
2
－3a＋16（a－3）
2
＋3（a－3）＋16
10. 11 解析：因为a>3，所以a－3>0，所以＝＝
a－3a－3
1616
(a－3)＋＋3≥8＋3＝11，当且仅当a－3＝，即a＝7时等号成立，故所求的最小值
a－3a
－3
为11.
32y
2
2
11. 解析：因为x>0，且x＋＝
1，所以2x
2
＋y
2
＝2，所以x1＋y
2
＝
4
2
22
22
2x＋y＋1
32
22
·2x（1＋y）≤×＝
，当且仅当2x
2
＝1＋y
2
时取等号，故x1＋y
2
的<
br>2224
32
最大值为.
4
x＋2y
9y
12.
解析：因为正数x，y满足2x＋y－2＝0，所以2x＋y＝2，即x＋＝1，所以
22xy
12
12
??
y
?
x1yyx559yx2
＋
·<
br>x＋
＝＋＋2＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝y＝时等＝＋＝
?
yx<
br>?
yx
??
2
?
y2xxy222xy3
x＋2y<
br>9
号成立，故的最小值为.
xy2
13. 20
解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y万元．由题意得y＝
4x≥2
1
600
＋
x
1 6001 600
×4x＝160，当且仅当＝4x，即x＝
20时，等号成立．故当x＝20时，一
xx
年的总运费与总存储费用之和最小．
14. 解析：(1) 设BC的长为y.
因为(x－4)(y－2)＝800，所以y＝
792＋2x
，
x－4
（792＋2x）x
.
x－4
所以试验田ABCD的面积S＝xy＝
3 2003 200
(2)
令x－4＝t，t>0，则S＝2t＋＋808≥968，当且仅当2t＝时，t＝40，即x
tt＝44，此时y＝22.
故试验田ABCD的长与宽分别为44 m、22
m时，占地面积最小为968 m
2
.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(26)
直线的斜率和直线的方程
x
1. x＋y－1＝0 解析：因为过点A(1，0)，
B(0，1)，所以根据直线方程的截距式可得＋
1
y
＝1，即x＋y－1＝0.故直
线AB的方程是x＋y－1＝0.
1
1
?
2.
(－∞，－1)∪
?
?
2
，＋∞
?
解析：设直线l的斜率
为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
221
所以在x轴上的截距为1－.令－3<1－
<3，解得k<－1或k>，故斜率的取值范围是(－∞，
kk2
1
－1)∪(，＋∞
)．
2
1－y1－y
3. (0，－2) 解析：设点B的坐标为(0，y)．由题
意得＝tan120°，即＝－3，
－3－0－3
解得y＝－2，故点B的坐标为(0，－2)
．
333
4. y＝±x＋2 解析：设直线l的斜率为k.因为直线l的倾斜角的正弦值是
，所以k＝或
454
333
k＝－.又因为直线l过点A(0，2)，所以直线l的方
程为y－2＝±x，即y＝±x＋2.
444
5. 1或－2 解析：若a＝0，则直线l：
y＝2，不符合题意；若a≠0，令x＝0，则y＝2
2＋a2＋a
＋a，令y＝0，则x＝，
由题意得2＋a＝，解得a＝1或a＝－2，故a的值为1或－
aa
2.
3
0，
?
解析：由题意得，当直线l过点A且与x轴平行时，直线斜率取最小值为0；6.
?
?
2
?
3
3
0，
?
. 当直线
l过点A(2，3)，O(0，0)时，直线斜率取最大值，所以直线l斜率的取值范围是
?
?
2
?
2
7. 8x＋3y＋12＝0或2x＋3y－6＝0 解析：由题意知
直线m的斜率存在，设直线m的
4
方程为y－4＝k(x＋3)．令y＝0，则x＝－－3；令
x＝0，则y＝3k＋4，由题意得|xy|＝6，
k
4
282
－－3
?
(3k＋4)|＝6，即|
?
解得k＝－或k＝－.当k＝－时，直线m的方程为
2x＋3y－6＝0；
?
k
?
333
8
当k＝－时，直线m
的方程为8x＋3y＋12＝0，故直线m的方程为8x＋3y＋12＝0或2x＋
3
3y－6
＝0.
1
8. － 解析：设点P的坐标为(a，1)，点Q的坐标为(7，b)．因为线段
PQ的中点坐标
3
a
＝1，
?
7＋
?
2
?
a＝－5，
为(1，－1)，所以
?
解得
?
所以点P(－5
，1)，Q(7，－3)，故直线l的斜
?
1＋bb＝－3，
?
＝－1，?
2
1＋3
1
率为＝－.
3
－5－7
33＋
6
?
x＝，
?
2＋3k
y＝kx－3，
?
ππ?
9.
?
联立方程组
?
解得
?
因为两条直线
的交点
?
6
，
2
?
解析：
?
2x＋3y
－6＝0，
6k－23
y＝
?
?
2＋3k
.
33＋6
?
?
2＋3k
>0，
33
ππ
在
第一象限，所以
?
解得k>.设直线l的倾斜角为θ，所以tanθ>，所以
<θ<<
br>.
3362
6k－23
?
?
2＋3k
>0，
ππ
?
故直线l的倾斜角的取值范围是
?
?
6
，
2
?
.
1
10. 2 解析：设该直线的方程为y－1＝k(x－2)，k<
0.令y＝0，则x＝2－；令x＝0，则
k
15－3
2
2－
?(1－2k)＝10，y＝1－2k.由题意得xy＝10，即
?
化简得4k＋6k＋1＝
0，解得k＝或
?
k
?
4
－5－3
k＝，k均小于0，故这
样的直线有2条．
4
11. 45 解析：因为y＝x
2
＋9＋x
2
－8x＋41＝（x－0）
2
＋（0－3）
2
＋
（x－4
）
2
＋（0－5）
2
，所以函数y可以看作点P(x，0)与两定点A(0，
3)，B(4，5)的距离
之和，如图所示，所以PA＋PB≥PA′＋PB＝A′B.点A′的坐标为
(0，－3)，所以A′B＝
（0－4）
2
＋（－3－5）
2
＝45
，所以PA＋PB≥45，即y＝x
2
＋9＋x
2
－8x＋41的最小
值为45.
12. 解析：(1) 直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0，可化
为a(x－2y－1)＋y＋1＝0，所以
?
x－2y－1＝0，
?
x＝－1
，
??
?
解得
?
所以直线l过定点(－1，－1)．
??
y＋1＝0，y＝－1，
??
a－1
1
(2) 由题意
得a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0，则x＝；令x＝0，则y＝
2a
a－1a－1
a－1
1
，所以＝，解得a＝1或a＝.
a3
1－2a1－2a
1
故实数a的值为1或.
3
111
(3)
①当a＝时，直线l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时，直线l不经过第一象限；
222
②当a＝0时，y＝－1，直线l也不经过第一象限；
－aa－1
1
③当a≠且a≠0时，直线l的方程可化为y＝x＋.
2
1－2a1－2a
因为直线l不经过第一象限，
－a
<0，
1－2a
1
所以解得0
a
－1
<0，
1－2a
?
?
?
?
?
0，
?
. 综上所述，当直线l不经过第一象限时，实数a的取值范围是?
?
2
?
13. 解析：(1) 当a＝－1时，直线l：y＋3＝0，
不符题意；当a≠－1时，令x＝0时，y
a－2
＝a－2；令y＝0时，x＝.
a＋1
a－2
由条件知a－2＝，解得a＝0或2.
a＋1
故直线l的方程为x＋y＋2＝0或3x＋y＝0.
(2)
当a＝－1时，直线l的方程为y＝－3，不经过第二象限；
?
?
a－2<0，
当a≠－1时，只要
?
?
－（a＋1）>0，
?
即a<－1时，直线l不经过第二象限，
故实数a的取值范围为(－∞，－1]．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(27)
两条直线的位置关系
a
a＋1
0
1. －2
解析：由题意得，＝≠，解得a＝－2.
213a
2. (1，2)或(2，－1) 解析：
由题意，设点P的坐标为(a，5－3a)．因为点P到直线x－y
|a－5＋3a－1|
－1
＝0的距离为2，所以＝2，解得a＝1或a＝2，所以点P的坐标为(1，2)
2
或(2，－
1)．
3. 5x＋12y＋8＝0或5x＋12y－18＝0 解析：由题意可得所求直线的方程为
5x＋12y＋b
|b＋5|
＝0(b≠－5)，由两平行线的距离公式可得
2
＝1，解得b＝－18或b＝8.故所求直线的
5＋12
2
方程是5x＋12y＋8
＝0或5x＋12y－18＝0.
3
4. y＝－(x－1) 解析：设直线l
1<
br>的倾斜角为θ，直线l
2
的斜率为k.由题意得tanθ＝3，k
4
3
3
＝tan2θ＝－.又因为直线l
2
过点(1，0)，所以直线l
2
的方程为y＝－(x－1)．
44
?
x＝
2
，
?
x－3y＋1＝0，
5. 1 解析：联立方程组
?
解得
?
所以直
线x－
3
?
3x＋y－3＝0，
y＝
?
2
，
1
3y＋1＝0和直
1
13
线3x＋y－3＝0的交点为
?
，
?
.①若所求直线斜率不存在，则x＝，不符合题意；②若
2
?
22
?
所求直线斜率存在，设该直线的方程为y－
|3－k|
3
?<
br>1
?
＝k
?
x－
2
?
，即2kx－2y＋3
－k＝0.因为直线
2
到原点的距离为1，所以
3
＝1，解得k＝－，所以满
足题意的直线只有1条．
3
4k
2
＋4
－1
a2
6. 充分不必要 解析：
若直线l
1
与直线l
2
平行，则＝≠，解得a＝1或a＝－2，
1<
br>a＋1
4
故a＝1能推出两直线平行；两直线平行不能推出a＝1，故填充分不必要．
a＝－2，
?
?
?
2
7. － 解析：设点
M(a，1)，N(x，y)．由题意得
?
1＋y
解得
?
x＝4，<
br>所
3
＝－1，
?
2
?
y＝－3，
?
x－y－7＝0，
00
00
0
00
a＋x
0
＝1，
2
－3－1
2
以点M(－2，1)，N(4，－3)，所以直线l的斜率为＝
－.
3
4＋2
8. [0，10] 解析：根据约束条件画出可行区域，是图中的一
条线段AB，联立
??
?
4x＋3y＝0，
?
4x＋3y＝0，?
解得A(－6，8)，联立
?
解得B(3，－4)．由图可知当点P在点A?
x－y＝－14，
?
x－y＝7，
??
时，距离最大，为6<
br>2
＋8
2
＝10；当点P在原点时，距离最小为0，所以点P到坐标原点距离<
br>的取值范围是[0，10]．
9. 5 解析：因为x＋y＝（x－0）＋（y－0
），所以x
2
＋y
2
的最小值可以看作
|5|
22
直线2x＋y＋5＝0上的一点到原点的距离，所以
22
＝5，故x＋y的最小值为5.
2＋1
2222
10. (5，6) 解析：易知点A(4，－1)，B(3，4)在
直线l：2x－y－4＝0的两侧，作点A
关于直线l的对称点A′(0，1)．当A′，B，P共线时
距离之差最大，直线A′B的方程为y＝x
??
?
y＝x＋1，
?
x
＝5，
?
＋1，联立方程组解得
?
即点P的坐标为(5，6)．
?
?
?
2x－y－4＝0，
?
y＝6，
11
－，－
?
解析：因为点P所在的直线x＋2y－1＝0，与点Q所在的直线x＋2y11.
?
5
??
2
|－1－m|
＋3＝0平行，所以可设PQ的中点M(x
0
，y
0
)所在直线的方程为x＋2y＋m＝0，所以
5
＝
|3－m|
，解得m＝1，所以PQ的中点M(x
0
，y
0
)所在直
线方程为x＋2y＋1＝0.联立方程组
5
5
1y
0
＝－.令＝k，
因为
ON
5x
0
?
x＝－
3
，
?
?
x＋2y＋1＝0，
51
?
－，
?
，所以k解得
?
所以点N的坐标为
?
?
33
?
1
?
y＝
x＋2，
?
?
y＝
3
，
11
－，－
?. 是
?
5
??
2
11y
0
PQ的中点为M(
x
0
，y
0
)满足x
0
＋2y
0
＋1＝0
且y
0
≥x
0
＋2，所以－
0
y－2
1
12. y＝x－1 解析：由题意得直线l<
br>2
过点(4，－2)，(2，2)两点，所以直线l
2
的方程为
2－2－2
＝
x－2
，即y＝－2x＋6.因为直线l
1
绕点P旋
转90°后得到直线l
2
，所以l
1
⊥l
2
，且直线l1
过
4－2
11
点P(2，2)，所以直线l
1
的方程
为y－2＝(x－2)，即y＝x＋1.因为直线l向上平移2个单位
22
11
长度后
，得到直线l
1
，所以直线l的方程为y＝x＋1－2，即y＝x－1.
22
13. 解析：设点A(－1，－4)关于直线l
1
：y＝－1的对称点
为A
1
(x
1
，y
1
)，则点A
1
的坐<
br>标为(－1，2)．设点A(－1，－4)关于直线l
2
：x＋y＋1＝0的对称点为A
2
(x
2
，y
2
)．
y＋4
?
?
x＋1
＝1，
?
?
x＝3，
所以
?
解得
?
?
y＝0，
x－1y－4
?
?
?2
＋
2
＋1＝0，
2
2
2
2
2
2
所以点A
2
的坐标为(3，0)．
y－0x－3
因为点A1
(－1，2)，A
2
(3，0)在边BC所在的直线上，所以直线BC的方程为
＝，
2－0－1－3
即x＋2y－3＝0，故边BC所在直线的方程为x＋2y－3＝0.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(28)
圆的方程
1.
(x＋1)
2
＋(y－1)
2
＝5 解析：设圆心坐标为(x
0，2x
0
＋3)．由圆心到圆上任意一点的距
离都相等得，
（x
0
－1）
2
＋（2x
0
＋3－2）
2
＝（x0
＋2）
2
＋（2x
0
＋3－3）
2
， 解得x
0
＝－1，所以圆心坐标为(－1，1)，圆的半径为5，所以圆的方程为(x＋1
)
2
＋(y
－1)
2
＝5.
2.
(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2 解析：令x＝0，则y＝2；令x＝2，
则y＝0，所以点A(0，2)，
1
B(2，0)，所以圆心坐标为(1，1)，半径为（0－
2）
2
＋（2－0）
2
＝2，所以圆的方程为(x
2
－1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
3.
(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝4 解析：由题意知，所求的圆是以点(1，
2)为圆心，2为半径的圆，
所以圆的方程为(x－1)
2
＋(y－2)
2<
br>＝4.
4. π 解析：因为直线ax＋by＝1过点A(b，a)，所以2ab＝1，OA＝
b
2
＋a
2
，所以圆的
面积为π(b
2
＋a
2
)≥2πab＝π，当且仅当a
2
＝b
2
时等号成立，所以最小
值为π.
5. (x＋2)
2
＋y
2
＝5 解析：因为A是Rt△
ABC的直角顶点，所以AC
2
＋AB
2
＝BC
2
，所以<
br>4
2
＋2
2
BC
1＋1＋(a＋4)＋(2－a)＝(a＋5
)＋(1－a)，解得a＝－1，所以圆的半径＝＝5，
22
2222
圆心为(－2，
0)，所以△ABC的外接圆的方程为(x＋2)
2
＋y
2
＝5.
x
2
＋y
2
11
6.
x＋y＋2x－3＝0 解析：由题意得＝，即＝，化简
22
（x－3）＋y
4
（x－3）
2
＋y
2
2
22
x
2
＋y<
br>2
得x
2
＋y
2
＋2x－3＝0，故点M的坐标满足的关系为
x
2
＋y
2
＋2x－3＝0.
?
3
－a
?
?
3
?
7.
(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1 解析：由题意可设圆心的坐标为(1，a
)，a>0，所以
2
?
3
?
＋1
?
3
?<
br>＝1.解得a＝3，所以圆心的坐标为(1，3)，所以圆的方程为(x－1)
2
＋(y
－3)
2
＝1.
8.
(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝5 解析：设所求圆的方程为(x－a)2
＋(y－b)
2
＝r
2
.由题意得，圆x
2
＋y
2
＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1，3)．AM的中垂线方程为x－y－2＝0.
直线MC的方程
?
x－y－2＝0，
?
?
x＝3，
?
为x＋2y－5＝0.由
?
得
?
即a＝3，b＝1，r＝（3－1）
2
＋（1－2）
2
＝5，
??
?
x＋2y－5＝0
?
y＝1，
所以所求圆的方程为(x－3)
2
＋(y－1)
2＝5.
9. 3 解析：由圆x
2
＋y
2
＋2x＋4y－3＝
0化为标准方程得(x＋1)
2
＋(y＋2)
2
＝8，所以圆心
|－
1－2＋1|
坐标为(－1，－2)，圆的半径为22.因为圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为＝2，
2
所以过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0
的距
离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，故共有3个交点．
10. x＋y－2＝0
解析：由题意可知，过点P与圆心和点P连线垂直的直线，将圆形区
域分成两部分，这时这两部分的面积
之差最大，所以此时的斜率为－1，所以直线的方程为y
－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
|a－1|
11. (x－3)
2
＋y
2
＝4 解析：设圆
心坐标为(a，0)，a>0.圆心到直线y＝x－1的距离为，
2
|a－1|
?2
?
半径为|a－1|，所以由题意得
?
＋2＝(a－1)
2<
br>，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆心为(3，
?
?
2
?
0)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x－3)
2
＋y
2
＝4.
12. (x－3)
2
＋y
2
＝2 解析：设圆C的方程为(x－a
)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
.
?
－1<
br>?
b
＝－1，
由题意知
?
a－2
|a－b－1|?
?
2
＝r，
2.
（4－a）
2
＋（1－b
）
2
＝r
2
，
?
a＝3，
?
解得
?
b＝0，
所以圆C的方程为(x－3)
2
＋y
2
＝
?
?
r＝2，
|a＋2a－1|
13. 解析：设圆心的坐标为(a，a)
．因为圆与直线x＋2y－1＝0相切，所以半径r＝
1＋2
2
2
|3a－1
|
222
（3a－1）
＝.因为圆截y轴所得的弦长为2，所以1＋a＝r，即1＋a
＝，解得a＝2
5
5
1
或a＝－.
2
当a＝2时，圆心为
(2，2)，半径为5，所以圆的方程为(x－2)
2
＋(y－2)
2
＝5；
11
?
1
?
2
?
1
?2
515
??
当a＝－时，圆心为
?
－
2
，－
2
?
，半径为，所以圆的方程为
?
x＋
2
?
＋
?
y＋
2
?
＝，
224
11
5x＋
?
＋
?
y＋
?
＝. 综上所述，圆的方程为(x－
2)＋(y－2)＝5或
?
?
2
??
2
?
4
22
22
14. 解析：(1)
依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝
＝2，
所以圆O的方程为x
2
＋y
2
＝4.
(2) 不妨设点A
(x
1
，0)，B(x
2
，0)，x
1
由x
2
＝4得点A(－2，0)，B(2，0)．
设点P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得
（x＋2）
2
＋y
2
·（x－2）
2
＋y
2
＝x
2
＋y2
，
即x
2
－y
2
＝2.
→→
P
A·PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x
2
－4＋y
2
＝2(
y
2
－1)．
22
?
?
x＋y<4，
由于点P在
圆O内，故
?
22
?
x－y＝2.
?
4
1＋3
由此得0≤y
2
<1.
→→
所以PA·PB的取值范围为[－2，0)．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(29)
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.
45 解析：由x
2
＋y
2
－6x－2y－15＝0得(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝25，所以圆心(3，1)到直
|3＋2|
线x＋
2y＝0的距离为＝5，所以弦长为2×25－（5）
2
＝45，故所截得的线段长
5
为45.
2. (2，＋∞) 解析：由x
2
＋y
2
＋2
ax－4ay＋5a
2
－4＝0得(x＋a)
2
＋(y－2a)
2<
br>＝4.因为曲线C
上所有的点均在第二象限内，所以a>0，且|－a|>2，即a>2，所以a
的取值范围是(2，＋∞)．
3. 充分不必要 解析：若直线y＝x＋2与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝2相切，则圆心(a，b)到
|a－b＋2|
直线
的距离d＝＝2，即|a－b＋2|＝2，即a－b＋2＝2或a－b＋2＝－2，即a＝b或
2
a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝2相切”的充分不必要条
件．
4.
?
－
?
33
?
解析：由题意得圆心(2，3)，半径为2
，圆心到直线y＝kx＋3的距离为
，
33
?
4k
2
33<
br>4－
2
≥23，解得－≤k≤，故k的取值范围是
33
k＋1
|2k|
.因为MN≥23，所以2
k
2
＋1
?
－
3
，
3
?
.
?
33
?
5.
(1，11) 解析：圆C
2
化为标准方程为(x＋3)
2
＋(y－4)2
＝36，因为两圆有两个公共点，
所以|m－6|<（－3－0）
2
＋
（4－0）
2
<6＋m，解得1
2
＋y
2
－2ay＝0得x2
＋(y－a)
2
＝a
2
，所以圆心为(0，a)，半径为
|a－1|
a.因为直线x＋y＝1与圆x
2
＋y
2－2ay＝0没有公共点，所以>a，解得－2－1
1.又因为a>0，所以
0
2
＋(y－3)
2
－x
2
－y
2
＝2
0－10，化简得x＋3y＝0，
即直线AB的方程为x＋3y＝0.
8. [－6，4]
解析：由x
2
＋y
2
－2ax＋4y＋a
2
－12＝0得，
(x－a)
2
＋(y＋2)
2
＝16，所以圆
|4a＋6－2|心为(a，－2)，半径为4.因为直线与圆总有交点，所以≤4，解得－6≤a≤4.故实数
4<
br>2
＋3
2
a的取值范围是[－6，4]．
9.
7
或1 解析：由题意知，直线l斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
23
y－3＝k(x－5)，即kx－y－5k＋3＝0.因为OA⊥OB，所以圆心到弦AB的距离为
2，所以
|－5k＋3|
77
＝2，解得k＝1或k＝，故直线l的斜率为1或.
2323
k
2
＋1
4
10. 解析：由x
2＋y
2
－8x＋15＝0得(x－4)
2
＋y
2
＝1，
所以圆C的圆心为(4，0)，半径
3
为1.因为直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该
点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
|4k－2|
44
所以
2
≤2，解得0≤k≤，所以k的最大值为.
33
k＋1
a
，－1
?
.因为圆x
2
＋11. y
2
＋4x－4y＋8＝0 解析：圆x<
br>2
＋y
2
－ax＋2y＋1＝0的圆心为
?
?
2?
1
y
2
－ax＋2y＋1＝0与圆x
2
＋y
2
＝1关于直线y＝x－1对称，所以＝－1，解得a＝2，所以
a
－
2<
br>点C(－2，2)．设点P(x
0
，y
0
)．因为过点C(－2，2)
的圆P与y轴相切，所以
（x
0
＋2）
2
＋（y
0
－2）
2
＝|x
0
|，化简得y
2
故圆心P的轨迹方程为y
2
＋4x
0
＋4x
0
－4y
0
＋8＝0，
－4y＋8＝0.
12. (x－2)
2
＋(y－32)
2
＝4或(x＋2)
2
＋(y＋32)
2
＝4 解析：由题意可设圆心C的坐
|a－3a|
标为(a，3a)，圆心到直线y＝x的距离为＝2|a|，因为圆C与直线y＝
x相切，所以r
1＋1
＝2|a|.又因为圆C被y轴截得的弦长为22，所以(2a)
2
＝a
2
＋(2)
2
，解得a＝±2，所以
所求圆的方程
为(x＋2)
2
＋(y＋32)
2
＝4或(x－2)
2
＋(
y－32)
2
＝4.
13. 解析：已知圆的方程化为(x－1)
2
＋y
2
＝1，其圆心P(1，0)，半径为1.
设所求圆的圆心为C(a，b)，
则半径为（a－3）
2
＋（b＋3）
2
.
因为两圆外切，所以PC＝1＋（a－3）
2
＋（b＋3）
2
，
从而（a－1）
2
＋b
2
＝1＋（a－3）
2
＋（
b＋3）
2
.①
又所求圆与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)，
所以直线CM⊥l，k
CM
·k
l
＝－1，
1
b
＋3
于是
?
－
?
×＝－1，即b＝3a－43.②
3
?
a－3
?
将②代入①化简，得a
2
－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
当a＝0时，b＝－43，所求圆的方程为x2
＋(y＋43)
2
＝36；
当a＝4时，b＝0，所求圆的方程为(x－4)
2
＋y
2
＝4.
14. 解析：(1) 因为圆M与x轴交于两点A(－5，0)
，B(1，0)，所以圆心在直线x＝－
2上．
?
x＝－2，
?
x
＝－2，
??
由
?
得
?
??
x－2y＋
4＝0y＝1.
??
即圆心M的坐标为(－2，1)，半径r＝3
2
＋12
＝10，所以圆M的方程为(x＋2)
2
＋(y－
1)
2＝10.
(2) 由C的坐标可知点C在圆M上，
1
由k
CM
＝得切线的斜率为－3，
3
故过点C(1，2)的圆M的切线方程为3x＋y－5＝0.
(3)
设点Q(x，y)，P(x
0
，y
0
)．
因为ADQP为平行四边形，所以其对角线互相平分，
＋x
，
?
－
5
2
＋x
＝
－3
2
?
?
x＝x－2，即
?
解得
?
?
y＝y－4.
y
4＋
y
?
?
2
＝
2
，
0
0
00
又点P在圆M上，代入圆的方程得(x－2＋2)
2
＋(y－4－1)
2
＝
10，所以顶点Q在圆x
2
＋
(y－5)
2
＝10上运动．因为x<
br>2
＋(y－5)
2
＝10交直线AD于点(－1，8)和(－3，4)，当点Q
与这
两个点重合时，不能构成平行四边形，所以所求轨迹方程为x
2
＋(y－5)2
＝10，除去点(－1，
8)和(－3，4)．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(30)
直线与圆的综合运用
1.
[1－2，1＋2] 解析：由题意得x
2
＋(y＋1)
2
＝1的圆心为(0
，－1)，半径为1，直线
|－1＋a||－1＋a|
到圆的距离为，因为直线与圆有公共点，
所以≤1，解得1－2≤a≤1＋2，
22
故实数a的取值范围是[1－2，1＋2]．
|－23|
π
2. 解析：直线y＝－3(x－2)即3x＋y－23＝0，直线到
圆心的距离d＝＝3.
3
3＋1
θ
d3
θ
设直线y＝－3(
x－2)截圆x
2
＋y
2
＝4所得的劣弧所对的圆心角为θ，则cos＝＝，
所以
2r22
πππ
＝，所以θ＝，故所求的圆心角为.
633
3. 3x－2y－3＝0 解析：圆x
2
＋y
2
－
2x－3＝0的圆心为(1，0)．由题意可知弦AB的垂
23
直平分线过圆心，且与直线AB
垂直．因为k
AB
＝－，所以所求直线的斜率为，所以直线
32
3
方
程为y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0.
2
4.
(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 解析：由题意得
|m＋1＋n＋1－2|
（m＋1
）＋（n＋1）
22
＝1，整
t
?
m＋n
?
理得m＋n＋1＝mn，所以m＋n＋1＝mn≤
?
，令m＋n＝t，所以t＋1≤<
br>?
?
2
?
，解得t≥2
?
2
?
＋2
2或t≤2－22，故m＋n的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．
3
5. (x－1)
2
＋y
2
＝1 ± 解析：圆心(0，
0)向右平移一个单位长度后，变成(1，0)，故圆
3
的方程为(x－1)
2
＋y
2
＝1；设直线l的方程为y＝k(x－3)即kx－y－3k＝0.因为直线l和圆C
|k－0－3k|
33
相切，所以＝1，解得k＝±.故直线l的斜率为±.
33
k
2
＋1
6. 相交 解析：由圆C：x
2
＋
y
2
－4x＝0得(x－2)
2
＋y
2
＝4.将点P代入圆
C得(3－2)
2
＋0
2
＝1<4，所以点P在圆C的内部，所以直线l与圆
C的位置关系是相交．
7. 42＋2 解析：由圆C：x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0得(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1，所以圆心C(
1，
1)，半径为1.因为PA，PB是圆C的切线，所以CA⊥PA，CB⊥PB，所以PA＝PB＝
PC
2
－r
2
＝PC
2
－1，所以四边形PACB的周长＝
2PC
2
－1＋2.当PC垂直于直线l时，PC取得最小
|3＋4＋8|
2
值，所以PC＝
22
＝3，所以四边形PACB的周长的最小值为23－1＋2＝42
＋2.
3＋4
31
→→→→→→→→→→→
－，
?
解析：OA·8.
?
BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|
OC|·cos∠AOC
?
22
?
π
1
→→
－|O
A||OB|cos∠AOB＝cos∠AOC－cos＝cos∠AOC－.因为C是圆O上的任意一点，所以
32
→→
?
31
?
∠AOC∈[0，π]，所以cos∠A
OC∈[－1，1]，所以OA·BC＝
?
－
2
，
2
?.
22
9. 相离 解析：因为点M(x
0
，y
0
)
在圆x
2
＋y
2
＝a
2
的内部，所以x
2
0
＋y
0
2
|a
2<
br>2
0)到直线x
0
x＋y
0
y＝a的距离d＝
22<
br>>＝a＝r，所以直线与圆的位置关系是相离．
x
0
＋y
0
a
22
322
??
232
?
10.
?
－
∪ 解析：由题意可得圆：(x－a)
2
＋(y－a)
2
＝4与圆x
2
＋
，－，
2
??
22
??
2
y
2
＝1相交，两圆心间的距离为（a－0）
2
＋（a－
0）
2
＝2|a|.因为两圆相交，所以2－1<2
|a|<2＋1，即
－<
br>23232223232
<|a|<，解得－
2
?
232
?
)∪.
2
?
2
，
2
?
53
?
2
11.
?
?
12
，
4
?
解析：若关于x的方程4－x－
kx－3＋2k＝0有且只有两个不同的实根，
则函数y＝4－x
2
的图象与y＝kx
＋3－2k的图象有且只有两个交点．因为函数y＝kx＋3－
2k的图象恒过点(2，3)，故在同一
坐标系中画出函数y＝4－x
2
的图象与y＝kx＋3－2k的图
象如图所示．设过点
(2，3)与半圆相切的直线斜率为k，则该直线方程为y－3＝k(x－2)，即
|－2k＋3|5
kx－y－2k＋3＝0，所以＝2，解得k＝；当直线过点(－2，0)时，满足题意，此时<
br>12
k
2
＋1
3－0
3
53
?
k＝
＝，所以k的取值范围是
?
?
12
，
4
?
.
2＋2
4
12. 4 解析：由题意，从直线上的点向圆上
的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时
为最大的角．因为∠BAC＝60°，所以OA＝4，故问题
转化为在直线上找到一点，使它到点O
2
的距离为4.设点A(x
0
，4－x
0
)，则x
2
0
＋(4－x
0
)＝16，解得x<
br>0
＝0或x
0
＝4，所以横坐标的最
大值为4.
13.
解析：(1) 设圆心M的坐标为(a，b)，
3
?
2
22
??
?
?
2
r
?
＋a＝r，
22
由题意
可知
?
a>0，
?
?
（a＋4）＋b＝a＋（b＋2），
2
2
2
1
?
?
a＝
2
r，
解得
?<
br>
?
?
b＝r＋3，
1
x－r
?
＋(y－r
－3)
2
＝r
2
.
所以圆M的方程为
?
?
2
?
(2) 假设存在直线l与动圆相切．
①当定直线斜率不存在时，不合题意；
r
|k×－r－3＋b|
2
②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，则不动行＝r对任意r恒
1＋k
2
成立．
k
?
k
－1
r＋b－3|＝r1＋k
2
，
得
?
－1
?
r
2
＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)<
br>2
＝(1＋k
2
)r
2
， 由|
?
?
2
??
2
?
2
所以
?
k
－1
?
＝1＋k
2
，
?
?
?
2
?
22
?
（k－2）（b－3）＝0，
?
?
（b－3）＝
0，
4
?
?
?
k＝0，
?
k＝－
3
，
解得
?
或
?
?
b＝3
?
?
?
b＝3，
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M相切．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(31)
椭圆(1)
87977a
2
4
22
9
2
1. y＝±
解析：由题意得a＝4，b＝，所以c＝4－＝，所以c＝，所以＝
74442c
7
2
＝
8787
，所以准线方程为y＝±.
77
2. 8
解析：由题意得a
2
＝m－2，b
2
＝10－m，c
2
＝a
2
－b
2
＝2m－12.因为2c＝4，所以
c＝2，所以2m－12＝4，解得m＝8.
2k－1>0，
?
?
3. (1，＋∞)
解析：由题意得
?
k－1>0，
解得k>1.
?
?
2k－
1≠k－1，
4－m
1
m－4
11616
4. 3或
解析：由题意得＝或＝，所以m＝3或m＝.
32223
m
1b
2
→
5. 解析：如图，因为BF垂直
于x轴，所以x
B
＝－c，y
B
＝.设P(0，t)，因为AP＝
2
a
b
2
c1
→
2PB，所以(－a，t)＝2(－c，－t)，所以
a＝2c，e＝＝.
aa2
6. 8 解析：根据椭圆的定义可得F
1<
br>A＋F
2
A＝F
1
B＋F
2
B＝2×5＝10，所以
F
1
A＋F
2
A＋
F
1
B＋F
2
B＝20.因为F
2
A＋F
2
B＝12，所以F
1
A＋F<
br>1
B＝8，所以AB＝8.
7. 7 解析：由题意得F
1
(－3，
0)，F
2
(3，0)．设点P的坐标为(x，y)，线段PF
1
的中点为<
br>?
x－3
，
y
?
.因为线段PF的中点在y轴上，所以
x－3
＝0，所以x＝3，y＝±
3
.根据椭圆的对
1
22
2
??
2
3
称性，不妨取P
?
3，
?
，
则PF
1
＝
2
??
3
，所以PF
1
＝7P
F
2
.
2
55
75
－，0
?
，F
2
?
，0
?
.因为PF
1
＋PF
2
8.
6 解析：由题意得a＝，b＝6，c＝，所以F
1
?
?
2
??2
?
22
22
＝2a＝7，且PF
1
∶PF
2
＝4∶3，所以PF
1
＝4，PF
2
＝3，所以PF
2所以△PF
1
F
21
＋PF
2
＝25＝F
1<
br>F
2
，
2
3
?
73
?
（3＋3）＋
＝，PF
2
＝
2
?
2
?
2
2
3<
br>??
（3－3）＋＝
?
2
?
2
1
是以角P为
直角的直角三角形，所以S△PF
1
F
2
＝PF
1
·PF<
br>2
＝6.
2
x
2
y
2
9. 4 解析：由
题意得椭圆的方程为＋＝1，则a＝5，所以MF
1
＋MF
2
＝2a＝10.
因为
259
1
MF
1
＝2，所以MF
2
＝8.因为
N是MF
1
的中点，O为F
1
F
2
的中点，所以ON＝MF
2
＝4.
2
10. 2 解析：由题意得a
2
＝m
2
，b
2
＝m
2
－1，则a＝m，2m＝2a＝3＋1
＝4，即a＝m＝2，
1c1
所以b
2
＝m
2
－1＝3，所
以c＝a
2
－b
2
＝1.设点P到右准线的距离为d，则＝＝，即d＝2.
da2
11. 2 解析：设PF
1
＝m，PF
2
＝n，则
m＋n＝2a＝42，m
2
＋n
2
＝(2c)
2
＝16，所
以mn＝
（m＋n）
2
－（m
2
＋n
2
）
＝8，所以m，n是一元二次方程x
2
－42x＋8＝0的两根，Δ＝(42)
22
－4×8＝0，故此方程有一个实根，根据椭圆的对称性可知椭圆上存在2个点P
满足PF
1
⊥PF
2
.
12.
2
解析：设正
方形ABCD，ECFG的边长分别为6k，4k，则D(3k，6k)，G(7k，
2
9k<
br>2
36k
2
＋
2
＝1，
a
2
b22
22
?
9364916
4k)，所以
?
所以＋＝＋
，所以a＝2b，所以a＝2(a－c)＝2a－
abab
49k16k
?
a
＋
b
＝1，
2222
222222
c2
2c
2
，所以a
2
＝2c
2
，所以e＝＝.
a2
13. 解析：由题设可知2a＝4，所以a＝2，
x
2
y
2
则所求椭圆方程为＋
2
＝1.
4b
3
1，
?
在椭圆上， 因为点M
?
?
2
?
19
所以＋
2
＝1，所以b
2
＝3，
44b
x
2
y
2
所以椭圆方程为＋＝1，焦点坐标为(－1，0)
，(1，0)．
43
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(32)
椭圆(2)
y
2
x
2
y
2
x
2
1. ＋＝1
解析：设椭圆的方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0)，则
a
2
－b
2
＝c
2
，
解得
3627ab
??
?
?
?
c＝3，
c1
＝，
a2
?<
br>a＝6，
?
y
2
x
2
?
b＝33，
所以椭圆的标准方程为
36
＋
27
＝1.
?
?
c
＝3，
25339
??
25339
?
25
2.
?
－，
或
－，－
解析：设点P的坐标为(x，y)，椭圆的左、
右
4
??
44
?
4
?
4
c4
焦点
为F
1
，F
2
.由题意得a＝10，b＝6，c＝8，所以e＝＝.因为3P
F
1
＝PF
2
，PF
1
＋PF
2
＝2a<
br>a5
PF
1
425
＝20，所以PF
1
＝5，PF<
br>2
＝15.设点P到左准线的距离为d，则e＝＝，所以d＝，所以
d54
a<
br>2
2510025339
25339
?
x＝d－＝－＝－，所以y＝±
，所以点P的坐标为
?
－，
或
c4844
4
??
4
?
－
25
，－
339
?
.
4
??
4
3. (－3，0)
解析：由题意得3m＋12>－m>0，解得－3
2
y
2
x
2
y
2
4. ＋＝1
解析：设椭圆的方程为
2
＋
2
＝1(a>b>0)，则c＝2，且2a＝106ab
?
5
＋2
?
＋
?
－
3?
＋
?
2
??
2
?
22
?
5
－2
?
＋
?
－
3
?
＝210，解得a＝1
0，所以b
2
＝a
2
－c
2
＝10－4＝6，
?<
br>2
??
2
?
22
x
2
y2
所以椭圆的方程为＋＝1.
106
x
2
y
2
5. 0 解析：因为椭圆的方程为x＋2
y＝4，所以＋＝1，所以c＝2，所以F
1
(－2，
42
22
→→
→→
0)，F
2
(2，0)，所以BF
1
＝(－2，－2)，BF<
br>2
＝(2，－2)，所以BF
1
·BF
2
＝0.
→→
2
6. 3 解析：因为PF
1
＋PF
2
＝2
a，所以PF
2
PF
2
＝4a
2
.因为PF
1⊥PF
2
，所以PF
2
1
＋PF
2
＋2PF<
br>1
·
1
1
22
＋PF
2
PF
2＝4(a
2
－c
2
)＝4b
2
，所以PF
1<
br>·PF
2
＝b
2
，所以b
2
＝9，所以b
2
＝F
1
F
2
＝4c，所以2PF
1
·
2<
br>＝3.
x
2
y
2
7. ＋＝1 解析：因为点P在椭圆上，
所以2a＝PF
1
＋PF
2
＝6，所以a＝3.在Rt△PF
1F
2
94
中，F
1
F
2
＝
1.
x
2
y
2
8. ＋＝1 解析：由题意得圆的方程为x
2<
br>＋y
2
＝b
2
.因为直线x－y＋2＝0与圆相切，
32所以d＝
2c3
＝b，则b＝2.因为e＝＝，即a＝3c.因为a
2
＝
b
2
＋c
2
，所以a＝3，c＝1，
a3
2
22<
br>PF
2
－PF
1
＝2
x
2
y
25，所以c＝5，所以b＝a－c＝4，所以椭圆的方程为＋＝
94
222
x2
y
2
所以椭圆方程为＋＝1.
32
→
9. －9
解析：设点P的坐标为(5cosθ，4sinθ)．由题意得A(－5，0)，F(3，0)，则PA＝(－<
br>→→→→
1
→→
5－5cosθ，－4sinθ)，PF＝(3－5cosθ，
－4sinθ)，AF＝(8，0)，所以PA·PF＋PA·AF＝(－5－
4
→→
1
→→
5cosθ)(3－5cosθ)＋16sin
2
θ＋2(－5－5c
osθ)＝9cos
2
θ－9＝－9sin
2
θ≥－9，所以PA
·
PF＋PA·AF
4
的最小值为－9.
10.
12774
解析
：因为cos∠F
1
BF
2
＝，所以2cos
2
∠OBF<
br>1
－1＝，所以cos∠OBF
1
＝，
2525255
2y
D
－by
D
＋by
2
b4c3b
2
bbc
D
－b
即＝，所以e＝＝.因为k
BD
·k
CD＝·＝
2
＝－
2
＝－·k
CD
，所以k
CD<
br>＝
2
＝
a5a5x
D
x
D
x
Daca
12
.
25
11.
?
3
?
解析：由题意得O、P、A、B四点共圆，因为∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO
?
2<
br>，1
?
b1
＝，所以OP＝2b，所以b
2
＝30°.在Rt△OAP中，∠AOP＝60°，所以cos∠AOP＝
222222c
2
33
所以2b≤a，所以4b≤a，即4(a－c)≤a，所以3a≤4c，
即
2
≥，所以e≥.又0
所以
3
3
≤e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围是
?
，1
?
.
2?
2
?
13
x
2
4y
2
，
2
所以椭圆的方程为＋＝1.
1313
39
222
，
2
(2)
若直线l的斜率不存在，则EF＝2b＝13，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋
13
.
2
?
?
?
b＝
12. 解析：(1) 由题意得
?
解得
?
4a＝413，
?
?
a＝b＋c，
?
c＝
c3
e＝＝，
a2
a＝13，
?
?
y＝kx
＋
13
，
413k
2
联立
?
消去y并整理得(1＋
4k
2
)x
2
＋413kx＝0，所以x
1
＝0，x
2
＝
2
.
1＋4k
?
?
x
2
＋4y
2
＝13，
由EF＝1＋k
2
|x
1
－x<
br>2
|，
得
426413|k|
＝1＋k
2
×， <
br>5
1＋4k
2
214
解得k
2
＝1或k
2<
br>＝，即k＝±1或k＝±，
77
所以直线l的方程为y＝x＋
3
或y＝－x＋或y＝x＋或y＝－x＋.
227272
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(33)
双曲线
151
1. 5 解析：因为4x
2
－y
2
＝1，所以a<
br>2
＝，b
2
＝1，所以c
2
＝a
2
＋b2
＝，所以a＝，c
442
＝
5c
，所以e＝＝5.
2a
45111
2. x＝± 解析：由题意得渐近线的斜率为－，所以＝，即a＝2
，所以双曲线的方
52a2
x
2
2
445
程为－y＝1，所
以a＝2，b＝1，c＝5，所以双曲线的准线方程为x＝±＝±.
45
5
3.
x
2
－y
2
＝1 解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，c＝2，2a＝2
，则a＝1，b
2
＝c
2
－a
2
＝1，所以双曲线的方程为
x
2
－y
2
＝1.
2
4. y＝±x 解析：由题意得2
b＝2，2c＝23，所以b＝1，c＝3，所以a＝c
2
－b
2
＝
2
b22
2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
a22
3
5. 5 解析：由题意得＝3，即a＝1，所以PF
1
－
PF
2
＝2a＝2，所以PF
1
＝PF
2
＋2＝5.
a
y
2
x
2
81
6. －1 解析：由题意得双曲
线的方程为－＝1，c＝3，所以－－＝9，解得k
81kk
－－
kk
＝－1
.
c＝5，
?
?
b4
xy
7. －＝1 解析：由题意得
椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，所以双曲线中
?
a
＝
3
，
916
?
?
a＋b＝c，
22
222
2
?
?
a＝9，
x
2
y
2
所以
?
2
所以双曲线的方程为－＝1.
916
?
b＝16，
?
8. 4 解析：由题意得双曲线的渐近线方
程为y＝±2x，圆x
2
＋y
2
－6x－2y＋1＝0可化为
(x－
3)
2
＋(y－1)
2
＝9，则圆心为(3，1)，半径r＝3，所以点(3
，1)到直线y＝2x的距离为d＝
|2×3－1|
＝5，所以弦长为2r
2
－d
2
＝4.因为点(3，1)到直线y＝－2x的距离为d＝
2
2＋12
|（－2）×3－1|
75
2
y
＝>r，此时直线与圆相离，
所以双曲线x－＝1的渐近线被圆x
2
＋y
2
－
2
54（－2）＋1
6x－2y＋1＝0所截得的弦长为4.
9. 6 解析：由题意得a2
＝64，b
2
＝36，则c
2
＝64＋36＝100，即F<
br>2
(10，0)，渐近线方程
|30|
为3x±4y＝0，所以点F
2
到渐近线的距离为
2
＝6.
3＋4
2
10. 2 解析：
因为m
2
＋4>0，所以双曲线的焦点在x轴上，所以a
2
＝m>0，b2
＝m
2
＋4，
c
则c
2
＝a
2＋b
2
＝m
2
＋m＋4.因为e＝＝5，所以c
2
＝5
a
2
，即m
2
＋m＋4＝5m，解得m＝2.
a
x
2
y
2
11. 2 解析：设双曲线的方程为
2
－
2
＝1(a>b>0)，则AB＝BM，∠ABM＝120°，过
ab<
br>点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN＝60°.在Rt△BMN中，BM＝AB＝2a，∠MBN＝
60°，则BN＝2acos60°＝a，MN＝2asin60°＝3a，所以点M的坐标为M(2a
，3a)，代入双
4a
2
3a
2
c
曲线方程得
2<
br>－
2
＝1，则a
2
＝b
2
，即c
2
＝a
2
＋b
2
＝2a
2
，所以e＝＝2.
aba
12. 3 解析：设准线与x轴交于点A.在Rt△PF
1
F
2
中，因为PF
1
·PF
2
＝F
1
F
2
·PA，所以
22
4ab2ab4a
2
b
2
?a
??
a
?
c
2
PA＝＝.因为PA＝F
1<
br>A·F
2
A，所以
2
＝
?
c－
c
?
?
c＋
c
?
，所以c
2
＝3a
2
，所以e
＝＝3.
2ccca
a
2
1b
13.
解析：由题意得＝，＝tan60°＝3，
c2a
所以c＝2a
2
，b
2
＝3a
2
.
又a
2
＋b
2
＝c
2
，
所以4a
2
＝4a
4
，所以a
2
＝1，b
2
＝3，
y
2
所以双曲线的方程为x－＝1.
3
2
14.
解析：(1) 由题意知a＝23，
b
因为一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
a
所以由焦点到渐近线的距离为3，得
2
|bc|
＝3，
b
2
＋a
2
x
2
y
2
所以b＝3，所以双
曲线的方程为－＝1.
123
(2) 设M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y
2
)，D(x
0
，y
0
)，
则x
1
＋x
2
＝tx
0
，y
1<
br>＋y
2
＝ty
0
.
3x
2
y
2<
br>将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x
2
－163x＋84＝0，
3123
则x
1
＋x
2
＝163，y
1＋y
2
＝
43
＝，
?
x
y3
所以?
xy
?
12
－
3
＝1，
0
0
2
0
2
0
3
(x＋x)－4＝12，
3
12
?
x
0
＝43，
所以
?
?
y
0
＝3，
所以t＝4，点D的坐标为(43，3)．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(34)
抛物线
p
1. (－2，0)
解析：由题意得2p＝－8，则＝－2，所以焦点坐标为(－2，0)．
2
16
2.
x
2
＝y 解析：因为抛物线的对称轴为y轴，所以设抛物线的方程为x
2
＝
2py.因为抛
5
816
物线过点(－4，5)，所以16＝10p，所以p＝，所以
抛物线的方程为x
2
＝y.
55
1111
3. 解析：抛物线的
方程可化为x
2
＝y，则2p＝，即p＝，所以抛物线的焦点到准
4224
1
线的距离为.
4
4. 4 解析：由题意得双曲线的焦点坐标为F(1，0)，准线
方程为x＝－1，过点A作准线
的垂线，垂足为A
1
，过点B作准线的垂线，垂足为B
1
，过点M作准线的垂线，垂足为M
1
.
因为AB＝8，所以AA<
br>1
＋BB
1
＝8，所以MM
1
＝4，即AB的中点M到抛物线
的准线的距离为
4.
5.
y
2
＝20x或x
2
＝－12y 解析：因为焦点在直线3x－5y－15＝
0上，且抛物线的顶点在
原点，所以焦点F的坐标为(0，－3)或(5，0)．设抛物线方程为y2
＝2px，则p＝10，所以y
2
＝20x.设抛物线方程为x
2＝－2py，则p＝6，所以x
2
＝－12y.
y
2
x
2
3
6. 3 解析：椭圆4x＋y＝1的方程可化
为＋＝1，则椭圆的焦点坐标为
?
0，±
?
，
11
2
??
4
22
p3
所以＝，所以抛物线的焦点到准线的距离p＝3.
22
p
p
0，
?
，准线方程为y＝－，联立
?
2
2
7. 6 解析：抛物线的焦点坐标为
?
?
2
?
2
xy
?
?
p
y＝－，
2
消去y
－＝1，
33
x
2
p
2
并整理得－＝1，解得x＝±
312
2
p
?
p＝3x＝3
?
?
3＋
4
?
，解得p＝6.
22
p
2
3＋.因为△ABF为等边三角形，所以p2
＋x
2
＝2|x|，即
4
8. 8 解析：抛物线的方程可化
为x
2
＝4y，设A(x
1
，y
1
)，B(x
2<
br>，y
2
)．因为AB中点的纵
坐标为3，所以y
1
＋y
2
＝6，所以AB＝y
1
＋y
2
＋p＝6＋2＝8.
1
－，1
?
解析：由题意得F(－1，0)，准线方程为x＝1.设点P到准线的距离为d，9.
?
?<
br>4
?
过点P作PM垂直于准线，垂足为M，则d＝PM，所以PA＋PF＝PA＋PM，
所以当点A，P，
1
M共线时，PA＋PF取得最小值，AM＝2＋1＝3，将y＝1代入y<
br>2
＝－4x得x＝－，所以点
4
1
－，1
?
. P的
坐标为
?
?
4
?
1AFOA
1
x
A
10. 解析：如图，作AA
1
⊥x轴，BB
1
⊥x轴，则AA
1
∥OF∥BB
1
，所以＝＝|
3FBOB
1
x
B
AFx
A
3p
|.因为x
A
<0，x
B
>
0，所以＝－.因为直线的倾斜角为30°，所以直线AB为y＝x＋，
FBx
B
32
?
?
y＝
3
x＋
p
，
32
消去y
并整理得x
2
－
23
px－p
2
＝0，所以x
A<
br>＋x
B
＝
23
p，x
A
·联立
?
x
B
＝－p
2
，
33
2
?
?
x＝2
py，
x
A
＋x
B
2
x
A
?
2<
br>3
2
x
A
x
A
2
?
所以x
A
·x
B
＝－p＝－()＝－(x
A
＋x
B
＋2x
A
x
B
)，所以3
?
x
?
＋10×＋3＝
0，所以＝
4x
B
x
B
B
23
3
2
x
A
123x
A
AFx
A
1
－3或＝－.因为x
A
＋x
B
＝p>0，所以x
A
>－x
B
，
所以>－1，所以＝－＝.
x
B
33x
B
FBx
B
3
p
x－
?
.① 11. 1 解析：设A(x，y)，由题意得直线AF的方
程为y＝3
?
?
2
?
p
1
x＋
?
y＝3.② 因为△ABF的面积为3，所以
?
2
?
2
?
因
为A为第一象限内的点，所以y
2
＝2px.③
3
联立①②③解得p＝1，x＝，y＝3.
2
12.
解析：设y
2
＝2px(p>0)，点A(x
0
，－3)．
pp
由AF＝x
0
＋＝5，得x
0
＝5－，
22
p
5－
?
，解得p＝1或p＝9， 所以9＝2p
?<
br>?
2
?
所以y
2
＝2x或y
2
＝18x.
13. 解析：由题意可设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与抛物线y
2
＝4x相交于点
A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
2
?
?
y＝4x，
联立
?
消去y并整理得k
2
x
2
＋(2km－4)x＋m
2
＝0
，
?
?
y＝kx＋m，
所以Δ＝(2km－4)
2
－4k
2
m
2
＝16－16km>0，即km<1，
4－
2km
m
2
x
1
＋x
2
＝，x
1
x
2
＝
2
.
k
2
k
由y
2
＝4x得焦点为F(1，0)，
→
→
由AF＝2FB，得(1－x
1
，－y
1
)＝2(x
2<
br>－1，y
2
)，
?
?
1－x
1
＝2x2
－2，
所以
?
?
－y＝2y，
?
12
则x
1
＋2x
2
＝3，x
1
＋2x
2
＝－
3m
，所以m＝－k.
k
由AF＝2FB，得x
1
＋1＝2(x
2
＋1)，
所以x
1
－2x
2
＝1.
?
?
?
1
?
x
1
－2x
2
＝1，
联立
?
解得
?
1
?
x＋2x＝3，
x＝
?
1
2
?
2
，
?
2
4－2km
5
所以x
1
＋x
2
＝＝，
k
2
2
即
4－2k（
－k）
5
＝，解得k＝±22，满足mk＝－8<1，所以直线AB的方程为y＝±22
k
2
2
x＝2，
(x－1)．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(35)圆锥曲线1. 线段MN
解析：由题意得MN＝4
＝PM＋PN，所以点P在线段MN上．
2.
＝
23
解析：抛物线y
2
＝8x的焦点坐标为(2，0)，所以m
＋1＝4，即m＝3，所以e
3
2223
＝＝.
3
m3
1y
2
x
2
22
3. ± 解析：
双曲线y－x＝2化为－＝1，则双曲线的焦点在y轴上，且a
2
＝b
2
＝2
，
822
1
所以c＝a
2
＋b
2
＝2，所以焦点坐
标为(0，2)或(0，－2)，抛物线y＝ax
2
化为x
2
＝y，则焦点<
br>a
1
111
0，
?
，所以＝2或＝－2，所以a＝±.
坐标为F
?
?
4a
?
4a4a8
4. (0，3) 解析：
由题意得直线y＋3＝0为抛物线x
2
＝12y的准线，由抛物线定义知圆
心P到直线
y＝－3的距离与到点F(0，3)的距离相等，所以动圆恒过定点(0，3)．
5. 3＋1 解析
：由题意得三角形的顶点在y轴上，坐标为(0，3c)或(0，－3c)，所
c
2
3
c
2
c3c
??
以正三角形的边与双曲线的交点就是边的中点
，，代入双曲线方程得
2
－
2
＝1，联
4a4b
?
22
?
立b
2
＝c
2
－a
2
，得e4
－8e
2
＋4＝0，解得e＝3＋1.
x
2
y
2
x
2
y
2
6.
＋＝1或＋＝1 解析：设短轴的一个端点为P，左、右焦点为F
1
、F
2
.
因为
129912
△PF
1
F
2
为正三角形，所以OP＝<
br>3
F
1
F
2
，所以b＝3c，即a
2
－c<
br>2
＝3c.因为椭圆的焦点到
2
椭圆上点的最短距离为3，所以a－c＝3，所
以a＝23，c＝3，b＝a
2
－c
2
＝3，所以a
2
x
2
y
2
x
2
y
2
＝12，b
＝9，所以椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
129912
2
x
2
y
2
7. ＋＝1 解析：由题意得O
1
(－
1，0)，r
1
＝1，O
2
(1，0)，r
2
＝5，设动圆
C的圆心
43
C(x，y)，半径为R，所以O
1
C＝R－1，O
2
C＝5－R，所以O
1
C＋O
2
C＝5－1＝4>O
1O
2
＝2，
x
2
y
2
所以动点C的轨迹为椭圆
，设椭圆C的方程为
2
＋
2
＝1，则2a＝4，2c＝2，所以a
2
＝4，c
2
ab
x
2
y
2
＝1，b＝a－
c＝3，所以动圆圆心C的轨迹方程为＋＝1.
43
222
a
2
－
b
2
a
2
＋b
2
8. x±2y＝0 解析：由题意得曲线
C
1
的离心率为，曲线C
2
的离心率为，
aa
a
2
－b
2
a
2
＋b
2
b
?
2
1b32
?
所以·＝，所以
?
a
?
＝，＝，所以曲线C<
br>2
的渐近线方程为x±2y＝0.
aa22a2
9.
43
解析：由椭圆和双曲线的定义可设PF
1
＝r
1
，PF
2
＝
r
2
，且r
1
>r
2
，F
1
F
2
＝2c，椭圆
3
π
2222
和双曲线的离心率分别为e
1<
br>，e
2
.因为∠F
1
PF
2
＝，所以4c
2
＝r
2
1
＋r
2
－r
1
r
2，即r
1
＋r
2
－r
1
r
2
－4c<
br>3
r
1
432c
22
＝0，看作是r
2
的一
元二次方程，则Δ＝r
2
.因为e
1
＝，e
1
－4(r1
－4c)≥0，所以≤
c3
r
1
＋r
2
2<
br>＝
2c11r
1
4343
，所以＋＝≤，即所求最大值为.
e
1
e
2
c33
r
1
－r
2
10
. 解析：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离是2c，
所以抛物线的方程为y
2
＝4cx，
3
，6
?
，
因为抛物线过点
?
?
2
?
3
所以6＝4c×，所以c＝1，
即a
2
＋b
2
＝1.①
2
（6）
2
96
因为
2
－＝1，所以
2
－
2
＝1.②
2
ab4ab
13
由①②可得a
2
＝，b
2
＝， <
br>44
4
所以所求抛物线的方程为y
2
＝4x，双曲线的方程为4x2
－y
2
＝1.
3
11. 解析：(1)
由题意得2a·2b＝8，
?
?
ab＝2，
x
2
22所以
?
2
解得a＝2，b＝1，所以a＝4，b＝1，所以椭圆C
1的标准方程为＋
2
4
?
a－b＝3，
?
?
3<
br>?
?
2
?
2
y
2
＝1.
c
2
b
2
(2)
因为e＝
2
＝1－
2
，
aa
2
1b
2<
br>11b
2
2
所以≤1－
2
≤，所以≤
2
≤.
3a22a3
11a
2
2
因为
2
＋
2＝2，所以b＝
2
，
ab
2a－1
11256
所以≤
2
≤，解得≤a≤， 2
2a－1
322
所以5≤2a≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(36)
向量的概念与线性运算
→→→→→→→→→→
1. AF
解析：AB＋DF＋CD＋BC＝AB＋BC＋CD＋DF＝AF.
2. 必要不充分 解析：若a∥
b，则a与b共线，但a＋b＝0不一定成立，即若a∥b，
则a＋b＝0为假命题；若a＋b＝0成立
，则a与b反向，则a与b一定共线，即若a＋b＝0，
则a∥b为真命题，故“a∥b”是“a＋b＝
0”的必要不充分条件．
3. 7 3 解析：船的实际速度最大为船速加河水的流速为5＋2＝7(
kmh)，最小为船速减
河水的流速为5－2＝3(kmh)．
4. ① 解析：根据零向量
的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模
→→
相等，但方向不一定相同，故
两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与向量BA的模
相等，方向相反，故③错误．
1
5. － 解析：因为a＝(2，3)，b＝(－1，2)，所以a－2b＝(2，3)－(
－2，4)＝(4，－1)，
2
2m－n3m＋2n
ma＋nb＝(2m－n，3m＋
2n)．因为a－2b与非零向量ma＋nb共线，所以＝，
4
－1
m1
解得
14m＝－7n，即＝－.
n2
6.
6
解析：将b＝3e
1<
br>－2e
2
，c＝2e
1
＋3e
2
代入a＝mb＋nc
得a＝m(3e
1
－2e
2
)＋n(2e
1
＋
13
1
m＝，
?
3m＋2n＝1，
13
?
3e
2
)＝e
1
＋e
2
.则3me
1
－2me
2
＋2ne
1
＋3ne
2
＝e
1
＋e
2<
br>，所以
?
解得所以m
5
?
3n－2m＝1，
?
n＝，
13
?
?
?
6
＋n＝.
13
→→→
2
→
2
→→→→→
7. 0 解析：因
为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)．因为CD＝rAB＋sAC，所以
33
2
2
r＝，s＝－，所以r＋s＝0.
33
→→→→→→→→→
8. 2 解
析：由|BC|
2
＝16，得|BC|＝4，因为|AB＋AC|＝|AB－AC|＝|CB|
＝4，|AB＋AC|
→→
＝2|AM|，所以|AM|＝2.
→→→→→→→→→→
9. 3∶5 解析：由5AM＝AB＋3AC，得2A
M＝2AD＋3AC－3AM，即2(AM－AD)＝3(AC
→→→→
3
→
－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝DC，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故
5S
△
ABM
∶S
△
ABC
＝3∶5.
→→→→→→→→→→→
10. ② 解析：因为BC＋BA＝2BP，所以BC－BP＝BP
－BA，所以PC＝AP，所以PC－AP
→→
＝0，所以PC＋PA＝0.
122
→
1
→
2
→→→
2
→
1
→
2
→→
1
→
11. b－a 解析：MN＝MC＋CN＝BC＋CA＝(A
C－AB)－AC＝－AB＋AC＝－
333333333
1
a＋b.
3
4
→→
12. 解析：因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD
，BC的中点，所以AC＝AD
3
→→→→→→→
1
→→→→→
1<
br>→
＋DC＝AD＋AB，AE＝AD＋DE＝AD＋AB，AF＝AB＋BF＝AB＋AD. <
br>22
→
1
→→
1
→
→→→→→→
AD＋AB
?
＋μ
?
AB＋AD
?
＝因为AC＝λAE＋μAF，其中
λ，μ∈R，所以AC＝AD＋AB＝λ
?
2
??
2
??
→
?
1
→
?
λ＋
1
μ
?
AD
λ＋μ
?
AB
， ＋
?
2
??
2
?1
λ＋μ＝1，
2
4
所以所以λ＋μ＝.
3
1
λ＋μ＝1，
2
?
?
?
→→→
13.
解析：因为AB＝OB－OA＝tb－a，
21
→→→
AC＝OC－OA＝－a＋b，
33
→→
若A，B，C三点共线，则AB＝λAC，
21
所以tb－a＝－
λa＋λb，
33
?
－1＝－3
λ，
1
所以
?
所以t＝，
2
1
t
＝
λ，
?
3
1
即当t＝时，A，B，C三点共线．
2
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(37)
平面向量的基本定理与坐标运算
1. (1，－11) 解析：2a－3b＝(4，－2)－(3，9)＝(1，－11)．
→→
2. (2，2) 解析：设D(x，y)，由题意得AD＝BC，所以(x＋2，y－1
)＝(4，1)，所以x＝
2
2，y＝2，所以D(2，2)．
1
→
4
→→→→→→→→→
3. －AB＋AC 解析：由题意得A
D＝AB＋BD＝AB＋4CD＝AB＋4(AD－AC)，所以
33
1
→
4
→→→→→
3AD＝－AB＋4AC，所以AD＝－AB＋AC.
33
4.
(－4，－2) 解析：设a＝(x，y)，因为a与b的方向相反，所以a＝λb＝(2λ，λ)(λ<0)．
因
为|a|＝25，所以5λ
2
＝20，解得λ＝－2，所以a＝(－4，－2)．
??
?
3x－4y＝6，
?
x＝6，
5. 3
解析：由题意得
?
解得
?
所以x－y＝3.
?
2x－3y＝3，
?
y＝3，
??
1
6. 解
析：因为a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)＝ta＋
2?
?
λ＝t，
1
2tb，所以
?
解得λ＝.
2
?
?
1＝2t，
7. 相反 解析：因为ka＋b＝(k－3，2
k＋2)，a－3b＝(10，－4)，ka＋b与a－3b平行，
104
1
－，?
＝所以(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－，所以ka＋b＝(k－3
，2k＋2)＝
?
?
33
?
3
11
－(10，－4
)＝－(a－3b)，所以ka＋b与a－3b反向．
33
7
→→→
－6，－
?
解析：设点P(x，y)，则MP＝(x＋3，y＋2)，MN＝(9，1)．因为MP＝－8.
?<
br>3
??
1
x＋3＝－×9＝－3，
3
7
1
→
7
－6，－
?
. MN，所以所以x＝－6，y＝－，所以点P的坐标为?
3
??
33
11
y＋2＝－×1＝－，
33
?
?
?
21
→→→→→→→
2
→→
2
→→
9. 解析：因为AC＝2CB，所以OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA
＋
9333
2
→
122
→→
OB＝mOA＋nOB，所以m
＝，n＝，所以mn＝.
3339
m
m，＋sinα
?
，所以λ－
cos
2
α＝m＋
10. [－2，2] 解析：由题意得(λ＋2，λ－cos2
α)＝2
?
2
??
2sinα，且λ＋2＝2m，所以λ－m
＝cos
2
α＋2sinα＝－sin
2
α＋2sinα＋1＝－(sinα
－1)
2
＋2，所以
当sinα＝1时，λ－m有最大值2，当sinα＝－1时，λ
－m有最小值－2，所以λ－m的取值范
围为[－2，2]．
21DFDE
11.
a＋b 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以△DEF∽△BEA，所以＝
33BABE1
→
1
→
＝，作FG∥BD交AC于点G，所以FG∶DO＝2∶3，C
G∶CO＝2∶3，所以GF＝b.因为AG
33
→→
2
→
2
→→→
21
＝AO＋OG＝AC＝a，所以AF＝AG＋GF＝a＋b.
3333
211
12. － 解析：因为a＝e
1
＋2e
2
，b＝－e
1
＋e
2
，所以3e
2
＝a＋b，所以e
2
＝(a＋b)，
333
122121
代入b＝－e
1
＋e
2
得e
1
＝a－b，所以e
1
＋e
2
＝a－b＝ma＋nb，所以m＝，n＝－.
333333
13. 4 解析：以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系
(设每个小正
方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝(－1，
1)，b＝(6，2)，c＝(－1，
－3)．
?
?
－1＝－λ＋6μ，
因为c＝λa＋μb，所以
?
<
br>?
－3＝λ＋2μ，
?
λ＝－2，
?
?
λ
－
2
解得
?
1
所以
μ
＝
1
＝4.
?
－
?
μ＝－
2
，
2
→→→→→
14. 解析：(1) AD＝AB＋BC＋CD＝(e
1
－e<
br>2
)＋(2e
1
－8e
2
)＋(3e
1
＋3
e
2
)＝6e
1
－6e
2
＝6AB，
→→
所以AB∥AD，故A，B，D三点共线．
(2)
因为λe
1
－e
2
与e
1
－λe
2
共线，
所以λe
1
－e
2
＝t(e
1
－λe
2<
br>)，
所以λ
2
＝1，即λ＝±1.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(38)
平面向量的数量积
3＋3
a·b3
1. 30°
解析：cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为30°.
|a||b|2
2×2
2. －45 解析：5a·3b＝15a·b＝15(3i＋
2j)·(i－3j)＝15(3|i|
2
－9i·j＋2i·j－6|j|
2
)＝15×(3－6)
＝－45.
1
→→→
1
→
?→
1
→
?
→→
1
→→
1
→
2
3. － 解析：由题意得AD·BE＝(AB＋BC)·BC＋AB·CA＋|BC|
?BC＋
3
CA
?
＝AB·
4232
1
→→11111
＋BC·CA＝－－＋－＝－.
6262124
?
b＝2x
－5y＝0，
?
a·
?
4. (5，2)或(－5，－2)
解析：设b＝(x，y)，由题意得
222
2
?
x＋y＝2＋（－
5）＝29，
?
?
?
x＝5，
?
?
x＝－5，解得
?
或
?
??
y＝2y＝－2.
??
5. 8 解析：由题意得a＋b＝(4，m－2
)，所以(a＋b)·b＝(4，m－2)·(3，－2)＝12－2(m
－2)＝0，解得m＝8.
π
→→→→
6. 解析：如图，设OA＝a，OB＝b，则BA＝a
－b，OC＝a＋b，由|a|＝|b|＝|a－b|得由
6
a，b两个向量为邻边组成的四边
形为菱形，菱形的一条对角线，与菱形的边相等，所以△OAB
πππ
为正三角形，∠AOB＝
，∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
366
→→
7. 4 解析：因
为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD⊥BC，所以AD＝4sin30°＝2，所以AD·AC
1
→→→→→→→→→
＝AD·(AB＋BC)＝AD·AB＋AD·BC＝AD·AB＝2×
4×＝4.
2
π
8. 解析：由题意得(a－2b)·a＝0，即a
2<
br>＝2a·b，即|a|＝2a·b，(b－2a)·b＝0，即b
2
3
a·b1
π
＝2a·b，即|b|＝2a·b，所以cos〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为.
|a|·|b|23
9. 2 解析：由题意得c＝ma＋b＝m(1，2)＋(4，2)＝(
m＋4，2m＋2)，所以c·a＝m＋4
＋2(2m＋2)＝5m＋8，c·b＝4(m＋4)＋2(
2m＋2)＝8m＋20，|a|＝5，|b|＝4
2
＋2
2
＝25.因为<
br>5m＋88m＋20
c与a的夹角等于c与b的夹角，所以＝，即5m＋8＝4m＋10，解得m
＝2.
525
10. 6 解析：因为|a－b|
2
＝|a|
2<
br>－2a·b＋|b|
2
，|a＋b|
2
＝|a|
2
＋
|b|
2
＋2a·b，所以|a－b|
2
＋|a
＋b|
2<
br>＝2|a|
2
＋2|b|
2
.因为|a|＝1，|b|＝2，|a－b
|＝2，所以2
2
＋|a＋b|
2
＝2×1＋2×2
2
＝1
0，所以|a
＋b|
2
＝6，所以|a＋b|＝6.
1
→→
3
11. 2 解析：S
△
ABC
＝|AB
|·|AC|·sinA＝2sinA＝3，所以sinA＝.因为△ABC为锐角
22
π1
→→→→
三角形，所以A＝，所以AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝4×1
×＝2.
32
→→→
12. (4，2) 解析：因为OP＝(2，1)，M为OP
上的点，所以设OM＝(2λ，λ)，则MA＝(1
→→→
－2λ，7－λ)，MB＝(5－2
λ，1－λ)，所以MA·MB＝(1－2λ)(5－2λ)＋(7－λ)(1－λ)＝5λ
2
－20λ
→→→
＋12＝5(λ－2)
2
－8，所以当λ＝2时，MA·MB
取得最小值，此时OM＝(4，2)．
5
13. 解析：在菱形ABCD中，∠BAD＝1
20°，则∠ADC＝60°，以D为原点，DC所
6
在直线为x轴，建立如图所示的平面直角
坐标系，则A(1，3)，B(3，3)，C(2，0)，D(0，
→→→→
0)．因为BE＝
λBC，DF＝μDC，所以F(2μ，0)，设E(x，y)，则(x－3，y－3)＝λ(－1，－3)，<
br>即x－3＝－λ，y－3＝－3λ，所以x＝3－λ，y＝3－3λ，所以E(3－λ，3－3λ)．因<
br>→→
为AE·AF＝1，所以(2－λ，－3λ)·(2μ－1，－3)＝1，所以(2－λ)(
2μ－1)＋3λ＝1，即2λ＋2μ
322
→→
－λμ＝.因为CE·CF＝－，所
以(1－λ，3－3λ)·(2μ－2，0)＝－，所以(1－λ)(2μ－2)＝－
233
22
，即λ＋μ－λμ＝.联立
33
?
5
解得λ＋μ＝
.
?
6
3
?
2λ＋2μ－λμ＝
2
，
2
λ＋μ－λμ＝
，
3
→→→→→
14. 解析：(1)
由题意得AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，BC＝(x，y)．
→→
因为AD∥BC，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，即x＋2y＝0.
→→→→→→
(2)
由题意AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)．
→→
因为AC⊥BD，
所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
即x
2
＋y
2
＋4x－2y－15＝0.
?
?
x＋2y＝0，
联立
?
22
?x＋y＋4x－2y－15＝0，
?
?
?
x＝2，
?
?
x＝－6，
?
解得或
?
?
y＝－1
?<
br>?
y＝3.
?
?
x＝2，
?
→→
当
?
时，AC＝(8，0)，BD＝(0，－4)，
?
?
y＝－1
1
S
四边形
ABCD
＝×AC×BD＝16；
2
?
?
x＝－6，
1
→→
当
?
时，AC＝(0，4)，BD＝(
－8，0)，S
四边形
ABCD
＝×AC×BD＝16.
2
?
y＝3
?
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(39)
平面向量的应用
1. 6 解析：由题意得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|
a|
2
－8a·b＋3ka·b－12|b|
2
＝2k－12＝0，
解得k＝6.
2.
2π
解析：由题意得m·n＝3sinAcosB＋3sin
B·cosA＝3sin(A＋B)＝3sinC，又m·n
3
π
1
π5π<
br>C＋
?
＝，所以C＋＝，所以＝1＋cos(A＋B)＝1－cosC，所以3sinC
＝1－cosC，即sin
?
?
6
?
266
2π
C
＝.
3
→→→→→
3. 等腰 解析：取BC的中点D，连结AD，则AB＋AC＝
2AD，所以2AD·BC＝0，所
以AD⊥BC，所以AB＝AC，所以△ABC为等
腰三角形．
4. [－16，9] 解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直
线为y轴建立平面
3
→
直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，3)，
设G(x，y)为BC上一点，则y＝－(x－4)，AG
4
3
9
→→→－（x－4）
?
＝－4x－(x－4)＝(x，y)，BC＝(－4，3)，所以AG·B
C＝－4x＋3y＝－4x＋3
?
?
4
?
4
25
→
→
＝－x＋9.因为0≤x≤4，所以－16≤AG·BC≤9.
4
5.
－3 解析：由题意得|a|＝|b|＝|c|＝2，所以a·b＋b·c＋c·a＝(2)
2
×cos 120°×3＝
－3.
π
1
6. 解析：由题意得a·b＝s
in2θ－cos
2
θ＝2sinθcosθ－cos
2
θ＝0，因为0<θ
<
，所以
22
1
cosθ≠0，所以2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝
.
2
7. [2，3] 解析：曲线C：x＝－4－y
2
表示以原点为圆心
，2为半径的半圆，x
P
∈[－2，
6＋x
P
→→
0]，由
AP＋AQ＝0，得A是PQ的中点，x
Q
＝6，则m＝∈[2，3]．
2
3
8. － 解析：因为a＋c＝3，所以a
2
＋c
2
＋2ac＝9.因为a，b，c成等比数列，所以b
2
2
333
＝a
c.因为cosB＝，所以b
2
＝a
2
＋c
2
－2acco
sB＝a
2
＋c
2
－ac，所以b
2
＝9－2ac－ac，
又b
2
422
3
→→
＝ac，所以ac＝2，AB·BC＝acco
s(π－B)＝－accosB＝－.
2
13321
→→
9. 解析：因
为AB·AC＝bccosA＝tanA，所以bc＝，即bc＝，则S
△
ABC
＝b
csinA
62332
1211
＝××＝.
2326
→→→
10. 6 解析：在△ABC中，因为GA＋GB＋GC＝0，所以
点G是△ABC的重心，由重
1
→
21
→→
1
→→→
1
→
1
→→
心的性质可得CG＝×(CA＋CB)＝(CA＋CB)．又因
为CH＝CG＝(CA＋CB)＝(a＋b)，
323266
1
→
1
→→
1
1
→
1
→
?
1
→
1
→
CP＋CQ
＝CP＋CQ.因为Q，H，P三点共线，所以a＝CP，b＝CQ，所以CH
＝
?
n
?
6mmn6
?
m
6n
1111<
br>＋＝1，所以＋＝6.
6m6nmn
→
1
→→
11. 90° 解析：因为
AO＝(AB＋AC)，所以O是△ABC中边BC的中点，所以BC为直
2
→→
径，
所以AB⊥AC，所以AB与AC的夹角为90°.
12.
5π
解析：因为m∥
n，所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(3a＋c)．由正弦定理得(a＋
6
b)(b－a)＝c(3a＋c)，即a
2
＋c
2
－b
2
＝
－3ac.由余弦定理知2accosB＝－3ac，所以cosB＝
－
3
5π
.因为B∈(0，π)，所以B＝.
26
13. 4 解析：由题意得A，B两点在x轴上
，圆的方程可化为(x－4)
2
＋(y－4)
2
＝1，所以
→→圆心为(4，4)，半径r＝1，设点P的坐标为(4＋cosθ，4＋sinθ)，由PA·PB＝0，得
PA⊥PB，
4＋sinθ4＋sinθ
所以PA，PB斜率之积为－1，即·＝－1，化简得
26＋10sin(θ
4＋cosθ＋m－14＋cosθ－1－m
＋φ)＝m
2，当sin(θ＋φ)取得最小值－1时，m取最小值，则正实数m的最小值为4.
14.
解析：(1)
m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC，所以sinC＝sin2C.
1
又sinC≠0，所以cosC＝.
2
π
又0
(2)
因为三边a，c，b成等差数列，
所以2c＝a＋b.①
→→→
因为CA·(AB－AC)＝18，
→→
所以CA·CB＝18，即b·acosC＝18，
即ab＝36.②
a
2
＋b
2
－c
2
1
π
因为C＝，所以
cosC＝＝，
32ab2
即(a＋b)
2
－2ab－c
2
＝ab，③
由①②③得c＝6.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(40)
复数的概念、几何意义及运算
1＋i
11111
1.
解析：z＝＝＝＋i，所以z的虚部为.
22
1－i（1－i）（1＋i）
22
2. 5 解析：z＝(2－i)2
＝4＋i
2
－4i＝3－4i，所以|z|＝3
2
＋4
2
＝5.
a＋i（a＋i）（1－i）a－ai＋i＋1a＋1
3. －1
解析：＝＝，所以＝0，即a＝－1.
22
1＋i（1＋i）（1－i）
2－i（2
－i）（3＋4i）6＋8i－3i＋4
2i2i2i
4. －
解析：z＝＝＝＝＋，所以z＝－.
55255555
3－4i（3－4i）（3＋4i）
1－i
2
019
（1－i）（2－i）2－i－2i－1
18
5. 四 解析：＋i＝－i＝－
i＝－i，所以复数对应
555
2＋i（2＋i）（2－i）
的点在第四象限．
6. －2 解析：由题意得a≠2，且a
2
－4＝0，所以a＝－2.
7. 一 解析：由题意得z＝i＋5，则复数对应点在第一象限．
8.
直线 解析：设z＝a＋bi，则由题意得|a＋(b－1)i|＝|a＋3＋bi|，所以a
2
＋(b－1)
2
＝(a
＋3)
2
＋b
2
，所以3
a＋b＋4＝0，所以对应点的轨迹为直线．
22
??
a－b＝0，
??<
br>a＝1，
222
?
9. 充分不必要 解析：若(a＋bi)＝2i，则a－b
＋2abi＝2i，所以解得
?
??
?
2ab＝2，
?
b＝
1
?
?
a＝－1，
或
?
所以a＝b＝1是(a＋bi)2
＝2i的充分不必要条件．
?
b＝－1，
?
10.
－1或4 解析：由题意m
2
－3m－4＝0，m
2
－5m＋6≠0，所以m
＝－1或4，所以
m的值为－1或4.
a＋i（a＋i）（1－i）（a＋1）＋（1－a）i
11. 0
解析：＝＝，所以a＋1＝1－a，所以a
2
1＋i（1＋i）（1－i）
＝0.
12. 2－2i 解析：由题意得b
2
＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，所以b2
＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，所以
2
?
?
b＋4b＋4＝
0，
?
?
a＋b＝0，
?
?
?
b＝－2
，
解得
?
所以z＝a＋bi＝2－2i.
?
a＝2，
?
y
13. 3 解析：由题意得(x－2)
2
＋y
2
＝3，表示圆(x－2)
2
＋y
2
＝3上的
点与原点连线的斜
x
率，所以当圆上的点与原点的连线与圆相切时，斜率取最大，设切线方程为
kx－y＝0，则
|2k|y
＝3，解得k＝±3，所以的最大值为3.
x
k
2
＋1
2
?
?
m＋5m＋6＝2，
14.
解析：(1) 根据复数相等的充要条件得
?
2
解得m＝－1.
?
m－2m－15＝－12，
?
2
?
?
m＋5m＋6＝12，
(2) 根据共轭复数的定义得
?
2
解得m＝1.
?
m－2m－15＝－16，
?
(3)
根据复数z对应的点在x轴上方可得m
2
－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
15. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意得
z＋2i＝x＋(y＋2)i，
x＋yi（x＋yi）（2＋i）2x－y＋（x＋2y）i
z
＝＝＝，
55
2－i2－i
??
?
y＋2＝0，
?
y＝－2，
则
?
解得
?
??
x＋2y＝0，x＝4，
??
所以(z＋ai)
2
＝[4＋(a－2)i]
2
＝16＋8(a－2
)i－(a－2)
2
＝12＋4a－a
2
＋8(a－2)i，
2<
br>?
?
12＋4a－a>0，
所以
?
解得2
8（a－2）>0，
?
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(41)
数列的概念
1. 7 解析：由题意条件得25＝20＝3n－1，所以n＝7.
－
（－1）
n1
2. 解析：数列的分子是1，奇数项为正数，偶数项为负
数，分母为n(n＋1)，
n（n＋1）
所以对应的通项公式为a
n
＝(－1
)
n
－
1
（－1）
n1
1
·＝.
n（n＋1）n（n＋1）
－
（n＋1）
61
3. 解析：由a<
br>1
·a
2
·a
3
·…·a
n
＝n
2
，得a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n
·a
n
＋
1
＝(n＋1)
2
，所a
n
＋
1
＝，
16n
2
92592561
所以a
3
＝，a
5
＝，所以a
3
＋a
5
＝＋＝.
41641616
4. 10 解析：由题意得a
n
＝
11
＝，所以n(n＋2)＝120，解得n＝10或n＝－
n（n＋2）
120
2
1
12(舍去)，所以是这个数列的第10项．
120
3
5. －1 解
析：由题意得数列{a
n
}是首项为，公差为4的等差数列，所以a
1
＋a<
br>2
＋…＋
2
3
n（n－1）
11
a
n
＝S
n
＝n＋×4＝2n
2
－n＝an
2
＋bn，所以a
＝2，b＝－，所以ab＝－1.
2222
81132538
6. 解析：a2
＝1＋＝2，a
3
＝1＋＝，a
4
＝1＋＝，a
5<
br>＝1＋＝.
51223355
171717
n－＋a＋a＋
221
2
17n＋a
17
－∞，－
?
解析：7.
?
a＝＝＝＋，由题意得a＋<0，
n
2
??
17
?2
?
17
?
2
2n－17
?
2
?n－
2
?
2
?
n－
2
?
17
即a<－.
2
8.
解析：由题意得－＝3，所以－＝3，－＝3，－＝
3，－＝3，…，
28a
2
a
1
a
3
a
2
a
4
a
3
a
5
a
4
a
n
＋
1
a
n
11111
－＝3，对递推式叠加得－＝27，故
a
10
＝.
a
10
a
9
a
10
a
1
28
?
2， n＝1，
?
n
9.
?
n
－
1*
解析：当n＝1时，S
1
＝a
1
＝2；当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－1
＝2
?
?
2， n≥2，n∈N
?
?
2，
n＝1，
＝1，所以a
n
＝
?
n
－
1*
?
2， n≥2，n∈N.
?
－2
n
－
1
＝2
n
－
1
，当n＝1时，2
n
－
1
1
0. 99 解析：a
n
＝
1
n＋n＋1
＝
1
n＋
n＋1
×
n－n＋1
n－n＋1
＝n＋1－n，所以S
n
＝
a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝2－1＋3－2＋4－3＋…＋n
＋1－n＝n＋1－1＝9，所以n＝99.
－
11. 2
n1
解析：由
a
n
＝a
0
＋a
1
＋…＋a
n
－
1
得a
n
＋
1
＝a
0
＋a
1
＋…
＋a
n
，所以a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
，所
以a
n
＋
1
＝2a
n
，a
1
＝a
0
＝1，所以数列{a
n
}是首项为1，公比为2的等比数
列，所以当n≥1时，
－－
a
n
＝1×2
n1
＝2
n1
.
12. ①②③ 解析：①中数列{a
n
}的前4项
分别为2，0，2，0符合；②中数列{a
n
}的前4
项分别为2，0，2，0符合；
③中数列{a
n
}的前4项分别为2，0，2，0符合；④中数列{a
n
}<
br>的前4项分别为2，0，4，6不符，所以符合条件有的①②③.
1
?
111
11
?
11
1
1＋＋＋…＋
13. ≥(＋＋＋…＋) 解析：据观
察三个已知不等式知
2n－1
?
n2462n
n＋1
?
35
第n个不等式的左边是两个因式的乘积，第一个因式是第n＋1个正整数的倒数，第二个因式
是
前n个奇数倒数的和，据观察三个已知不等式知第n个不等式的右边也是两个因式的乘积，
其中第一个因
式是第n个正整数的倒数，第二个因式是前n个偶数倒数的和，故第n个不等
111111111
式为(1＋＋＋…＋)≥(＋＋＋…＋)．
352n
n＋12n－1
n246
14. 1 解析：由题意得a
1
＝1，a
2
＝2，a
3
＝1，a
4
＝－1，a5
＝－2，a
6
＝－1，a
7
＝1，a
8
＝2
，…，
所以数列{a
n
}的周期为6，所以a
2
019
＝a
3
＝1.
15. 解析：(1)
令n(n＋2)＝80，得n
1
＝8，n
2
＝－10(舍去)，
故80是数列{a
n
}中的第8项；
令n(n＋2)＝90，此方程无正整数解，
故90不是该数列中的项．
(2)
由a
99
＝99×101<10
000，而a
100
＝100×102>10
000，又{a
n
}为递增数列，
故从第100项开始，该数列中的项大于10
000.
16. 解析：(1)
令n＝1，则T
1
＝2S
1
－1.
因为T
1
＝S
1
＝a
1
，所以a
1
＝2a
1
－1，所以
a
1
＝1.
(2) 当n≥2时，T
n
－
1
＝2
S
n
－
1
－(n－1)
2
，
则S
n＝T
n
－T
n
－
1
＝2S
n
－n2
－[2S
n
－
1
－(n－1)
2
]＝2(S
n
－S
n
－
1
)－2n＋1＝2a
n
－2
n＋1.
因为当n＝1时，a
1
＝S
1
＝1也满足上式，
所以S
n
＝2a
n
－2n＋1(n≥1)．
当n≥2时，
S
n
－
1
＝2a
n
－
1
－2(n－1)＋
1，
两式相减得a
n
＝2a
n
－2a
n
－
1
－2，
所以a
n
＝2a
n
－
1
＋2(n≥2)，
所以a
n
＋2＝2(a
n
－
1
＋2)．
因为a
1
＋2＝3≠0，
所以数列{a
n
＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
－－
所以a
n
＋2＝3×2
n1
，所以a
n
＝3×2
n
1
－2，
当n＝1时也成立，
－
所以a
n
＝3×2
n1
－2.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(42)
等差数列
1. 9 解析：因为{a<
br>n
}为等差数列，所以a
9
＝a
3
＋6d＝3＋6d＝15，
则d＝2，所以a
6
＝a
3
＋3d＝3＋6＝9.
2. 13 8
解析：由题意得d＝a
3
－a
2
＝2，所以a
8
＝a
3
＋5d＝3＋10＝13，a
1
＝1－2＝－1，
4×3
S4
＝－1×4＋×2＝8.
2
8
?
8
，3
解析：由题意得a
9
＝－24＋8d≤0，a
10
＝－24＋9d>0，所以
?
3
?
3
4. 105 解析：由题
意得3a
2
＝15，则a
2
＝5，所以a
1
a
3<
br>＝(5－d)(5＋d)＝16，所以d＝3，
所以a
12
＝a
2＋10d＝5＋30＝35，所以a
11
＋a
12
＋a
13＝3a
12
＝35×3＝105.
5. 6 解析：设等差数列
{a
n
}的公差为d，因为a
1
＋a
9
＝a
4＋a
6
＝－6，且a
1
＝－11，所以
a
9
＝
5，从而d＝2，所以S
n
＝－11n＋n(n－1)＝n
2
－12n，所以
当n＝6时，S
n
取最小值．
6. 505 解析：因为a
1
中有
一个数，a
2
中有两个数，a
3
中有三个数，…，a
9
中有
九个数，
所以前九项一共有1＋2＋3＋…＋9＝45个数字，所以a
10
＝46＋4
7＋48＋…＋55＝505.
7. －30 解析：在等差数列{a
n
}中，a<
br>1
－a
4
－a
8
－a
12
＋a
15
＝－a
8
＝2，则a
8
＝－2，所以
S
15
＝15a
8
＝－30.
8. 36 解析：由题意得a
1
＋a<
br>2
＋…＋a
7
＝48，a
1
＋a
2
＋…＋a
14
＝60，所以a
8
＋a
9
＋a
10
＋
…
＋a
14
＝12，所以a
15
＋a
16
＋…＋a
21
＝－24，所以a
1
＋a
2
＋…＋a
21＝60－24＝36.
9. 5 解析：由题意得a
m
＝S
m
－S
m
－
1
＝2，a
m
＋
1
＝S
m
＋
1
－S
m
＝3，所以d＝a
m
＋
1<
br>－a
m
＝1，
所以S
m
＝
m（a
1
＋a
m
）
＝0，所以a
1
＝－a
m
＝－2，所以a
m
＝－2＋(m－1)×1＝m－3＝2，即
2
m＝5.
10.
8 解析：因为数列{a
n
}是等差数列，且a
7
＋a
8
＋
a
9
＝3a
8
>0，所以a
8
>0.又a
7
＋a
10
＝a
8
＋a
9
<0，所以a
9
<0，故当n＝8时，其前n项和最大．
9（a
1
＋a
9
）
2
9×2a
5
9a
5
a
5
5S
9
11. 9
解析：由题意得＝，所以＝＝＝＝9.
a
3
1S
5
5（a
1
＋a
5
）5×2a
3
5a
3
2
S
n
12. 55 解析：由等差数列的性质知S
n
＝A
n
2
＋Bn，则＝An＋B是关于n的一次函数，
n
?
S
n
?
S
15
S
7
7571S
1
所以数列?
n
?
是等差数列，设该数列的公差为d，则8d＝－＝－＝4，所以d＝，＝<
br>15715721
??
20×19
1S
7
?
S
n
?
－6d＝1－3＝－2，所以数列
?
n
?
的前20项
和为T
20
＝－2×20＋×＝55.
722
??
1
13. 解析：设数列{a
n
}公差为d，
首项为a
1
，因为数列{a
n
}，{S
n
}都是等差数列，
且
4
公差相等，所以2S
2
＝S
1
＋S
3
，即22a
1
＋d＝a
1
＋3a
1
＋3d，所以4(2a<
br>1
＋d)＝a
1
＋3a
1
2
＋3d＋2a
1
（3a
1
＋3d），所以4a
1
＋d＝2a
1
（3
a
1
＋3d），所以16a
2
1
＋8a
1
d＋d＝
4a
1
(3a
1
＋3d)，
2
所以4a
1
－4a
1
d＋d
2
＝0，所以d＝2a
1
.因为两数列公差
相等，所以S
2
－S
1
＝a
2
－a
1
＝d
＝2a
1
，
11
即2a
1
＋2a
1
－a<
br>1
＝2a
1
，解得a
1
＝或a
1
＝0(舍去
)，所以a
1
＝.
44
112
x
14. 32 解析：因
为f(x)＝
x
，所以f(1－x)＝
1
－
x
＝，所以f(
x)
2＋22＋22（2
x
＋2）
＋f(1－x)＝
22
，
所以f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝×6＝32.
22
15. 解析：(1)
由已知得a
6
＝a
1
＋5d＝23＋5d>0，
2323
a
7
＝a
1
＋6d＝23＋6d<0，解得－
又d∈Z，所以d＝－4.
(2)
因为d<0，所以{a
n
}是递减数列．
又a
6
>0，a
7
<0，
所以当n＝6时，S
6
取得最大值，
6×5
S
6
＝6×23＋×(－4)＝78.
2
n（n－1）
25
(3) S
n
＝23n
＋×(－4)>0，整理得－n(2n－25)>0，所以0
，
22
所以所求n的最大值为12.
1
?
x
1
?
16. 解析：(1)
因为f(1)＝a＝，所以f(x)＝
?
3
?
.
3
1
a
1
＝f(1)－c＝－c，
3
2
a
2
＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
9
a
3
＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－
又数列{a
n<
br>}成等比数列，
4
81
21
所以a
1
＝＝＝－＝－c，所以c＝1.
a
3
233
－
27
a
2
2
a
2
1
又公比q＝＝，
a
1
3
1
?
n
2
?
1
?
n－1
?
所以a
n
＝－×
?
3
?
＝－2×
?
3
?
，n∈N
*
.
3
因为S
n
－S
n
－1
＝(S
n
－S
n
－
1
)(S
n＋S
n
－
1
)＝S
n
＋S
n
－
1
(n≥2)，
又b
n
>0，S
n
>0，所以S
n
－S
n
－
1
＝1，
所以数列{S
n
}是首项为1，公差为1的等差数列，S
n
＝1＋(n－1)×1＝n，即S
n
＝n
2
.
当n≥2，b
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝n
2
－(n－1)
2
＝2n－1，
当n＝1时，b
1
＝2×1－1＝1，符合，
所以b
n
＝2n－1(n∈N
*
)．
11111111
(2) T
n
＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
b1
b
2
b
2
b
3
b
3
b4
b
n
b
n
＋
1
1×33×55×7（2n－
1）（2n＋1）
1
1
11
111111111n
1－
?<
br>＋
?
－
?
＋(－)＋…＋(＝
?
－)＝(1－)＝.
3
?
2
?
35
?
2572
?
2<
br>2n－12n＋1
2
2n＋12n＋1
n1 0001
000
由T
n
＝>，得n>，
9
2n＋1
2
009
1 000
所以满足T
n
>的最小正整数为112.
2
009
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(43)
等比数列
1. 2 解析：由题
意得a
5
＝a
1
q
4
＝q
4
＝4，所以q
2
＝2，所以a
3
＝a
1
q
2
＝2.
2. ±1 解析：由题意得等比中项的平方为(2＋1)(2－1)＝1，所以等比中项为±1.
111
－
3. 9 解析：因为a
3
＋a
6
＝3
6，a
4
＋a
7
＝18，所以a
1
＝128，q＝，所以a
n
＝a
1
q
n1
＝，
222
所以n＝9.
3
?
?
a
1
q－a
1
q＝6，
q
2
4. ±4 解析：设等比数列{a
n
}的公比为q(q≠0)，
?
4
两式相除，得
2
＝，
1＋q
5
?
a
1
q－a
1
＝15，
?
2
.
27
1
＝－16，
?
?
a＝1，
?
?
1
1
即2q
2
－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，所以
?
或
?
1
故a
3
＝4或a
3
＝－4.
2<
br>?
q＝2
q＝，
?
?
?
2
1
5.
1或－ 解析：若q＝1，则S
3
∶S
2
＝3a
1
∶2a<
br>1
＝3∶2，满足题意；若q≠1，由等比数
2
a
1
（1－q
3
）a
1
（1－q
2
）
列的求和公式可得S
3
∶S
2
＝∶＝3∶2，化简可得2q
2
－q－1＝0，解得1－q1－q
11
q＝－，综上q＝1或－.
22
6.
31
解析：显然公比为q≠1，由S
6
＝S
3
＋q
3
S
3
且S
6
＝9S
3
，所以S
3＋q
3
·S
3
＝9S
3
，故
16
?<
br>1
?
1
?
1
?
q
3
＝8，解得q＝
2，则数列
?
a
?
是以1为首项，为公比的等比数列，所以数列
?<
br>a
?
的前5项和
2
?
n
??
n
?<
br>31
为T
5
＝.
16
7. 4 解析：由题意得数列{lg
a
n
}的前8项和S
8
＝lga
1
＋lga
2＋…＋lga
8
＝lg(a
1
·a
2
·…·a
8
)＝
lg(a
1
·a
8
)
4
＝lg(a
4
·a
5
)
4
＝lg(2×5)
4
＝4.
13191
8. 18 解析：由题意得a
2 011
＝，a
2
012
＝，所以q＝3，所以a
2
013
＝×3
2
＝，a
2
014
＝×3
3
22222
27927
＝，所以a
2
013
＋a
2 014
＝＋＝18.
222
9. 70 解析：根
据等比数列前n项和的性质，S
10
，S
20
－S
10
，S
30
－S
20
是等比数列．因为
S
10
＝10，S
20
－S
10
＝20，所以S
30
－S
20
＝40，所以S
30
＝70.
a
1
（1－q
4
）
1－q
1－q
4
15S
4
S
4
－15
15
10.
解析：＝＝，因为q＝2，所以＝＝.
2a
2
a
1
q
a
2
－2
2
（1－q）q
11. 2
解析：由题意得b＝1，c＝2，又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.
1
－
12. (4
n
－1) 解析：因为S
n
＝2
n
－p，所以当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n－
1
＝2
n
－p－2
n1
＋p＝
3
2
202462n
2
n1
.因为数列{a
n
}为等比数列，所以a1
＝2
0
，所以a
2
1
＋a
2
＋…＋
a
n
＝2＋2＋2＋2＋…＋2
－－
2
1×（1－2
2n<
br>）4
n
－1
＝＝.
3
1－2
2
2a1
（1－q
9
）a
1
（1－q
3
）a
1
（1－q
6
）
1
13. 解析：由S
3
，S<
br>9
，S
6
成等差数列得＝＋，所
2
1－q1－q1－q
11a
8
以－2q
9
＝－q
3
－q
6
，
整理得2q
6
－q
3
－1＝0，解得q
3
＝－或q
3
＝1(舍去)，故q
3
＝－，所以
22
a
2
＋a
5
1
4
1a
1
qq
＝＝＝＝.
a
1
q＋a
1
q
4
1＋q
3
12
2
76
14. 2n 解析：设等比数列{a
n
}的公比
为q，则a
n
＝2q
n1
，因为数列{a
n
＋1}成等比数
列，
2
所以(a
n
＋
1
＋1)
2
＝(a<
br>n
＋1)(a
n
＋
2
＋1)，所以a
n
＋<
br>1
＋2a
n
＋
1
＋1＝a
n
a
n<
br>＋
2
＋a
n
＋a
n
＋
2
＋1，所以
a
n
＋a
n
＋
2
＝2a
n
＋
1<
br>，所以a
n
(1＋q
2
－2q)＝0，所以q＝1，即a
n<
br>＝2，所以S
n
＝2n.
15. 解析：(1) 由已知得a
1＝S
1
＝2a
1
－2，所以a
1
＝2，又a
1
＋a
2
＝S
2
＝2a
2
－2
2
，
所以a
2
－
＝6.
＋
(2) S
n
＝2a
n
－2
n
，S
n
＋
1
＝2an
＋
1
－2
n1
，两式相减得a
n
＋
1
＝S
n
＋
1
－S
n
＝2a
n
＋
1
－2a
n
－2
n
，
所以a
n
＋
1
－2a
n
＝2
n
，即c
n
＝2
n
，
c
n
＋
1
2
n1
所以＝
n
＝2(常数)，又c
1
＝2≠0，
c
n
2
＋<
br>所以{c
n
}是首项为2，公比为2的等比数列．
16. 解析：(1)
依题意S
n
＝4a
n
－3(n∈N
*
)，
当n＝1时，a
1
＝4a
1
－3，解得a
1
＝1.
当n≥2时，a
n
＝S
n
－S
n
－
1＝4a
n
－4a
n
－
1
，
4
整理得a
n
＝a
n
－
1
.
3
4
又a
1
＝1≠0，所以{a
n
}是首项为1，公比为的等
比数列．
3
4
?
(2)
由(1)知a
n
＝
?
?
3
?
n－1
， <
br>*
n－1
4
?
由b
n
＋
1
＝an
＋b
n
(n∈N)，得b
n
＋
1
－b
n
＝
?
?
3
?
，
4
?
1－<
br>?
?
3
?
n－1
n－1
可得b
n
＝
b
1
＋(b
2
－b
1
)＋(b
3
－b2
)＋…＋(b
n
－b
n
－
1
)＝2＋
当n＝1时也满足上式，
1－
3
?
4
?
＝3·
?
3
?
4
－1(n≥2)．
?
4
?
所以
数列{b
n
}的通项公式为b
n
＝3·
?
3
?n－1
－1(n∈N
*
)．
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(44)
等差数列与等比数列
n
2
－n＋2
1.
，n∈N
*
解析：由题意得a
2
－a
1
＝1，a
3
－a
2
＝2，a
4
－a
3
＝3，a
5<
br>－a
4
＝4，…，
2
n（n－1）n（n－1）
a
n
－a
n
－
1
＝n－1，各式累加得a
n
－a
1
＝1＋2＋…＋n－1＝，所以a
n
＝＋1
22
n
2<
br>－n＋2
＝，n∈N
*
.
2
2. 35 解析：设数列{a
n
}，{b
n
}的公差为d
1
，d
2
，则
a
3
＋b
3
＝a
1
＋2d
1
＋b
1
＋2d
2
＝7＋2d
1
＋2d
2
＝21，所以2
d
1
＋2d
2
＝14，所以a
5
＋b
5
＝
a
3
＋2d
1
＋b
3
＋2d
2
＝21＋1
4＝35.
13（a
1
＋a
13
）
2
33a7
a
1
＋a
13
99A
13
3. 解析：＝
＝×＝.设A
n
＝(3n＋5)k，B
n
＝(n＋3)k，
13b<
br>5
b
1
＋b
9
9（b
1
＋b
9）
1313B
9
2
a
7
9×44
k
33
则A
13
＝44k，B
9
＝12k，则＝＝.
b
5
13×12k
13
4. 15 解析：因为4a1
，2a
2
，a
3
成等差数列，a
1
＝1，所
以4a
1
＋a
3
＝4a
2
，即4＋q
2
－
4q＝
1×（1－2
4
）
0，(q－2)＝0，所以q＝2，所以S
4
＝＝15.
1－2
2
n（a
1
＋an
）
5. 14 解析：由题意得4(a
1
＋a
n
)＝
40＋80＝120，所以a
1
＋a
n
＝30，所以S
n
＝
2
＝15n＝210，所以n＝14.
6. 24 解析：因为数列{a
n
}是等差数列，所以S
9
＝9a
5
＝72，即a
5
＝8，所以a
2
＋a
4
＋a
9
＝a
4
＋a
5
＋a
6
＝3a
5
＝24.
5
7.
31 解析：由题意得a
1
q·a
1
q
2
＝2a
1
，即a
1
q
3
＝2，所以a
4
＝2.因为a
4
＋2a
7
＝×2，所以
4
1
?
1－
1
?
16×
5
4
1
?
32
?a
1
（1－q）
11
a
7
＝，所以q
3
＝＝，即q＝，a
1
＝16，所以S
5
＝＝＝31.
42821
1－q
2
8. 12 －54 解析：因为S
1
＝S
5
，所以a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＝2(a
3
＋a
4
)＝0.因为a
3＝－6，所以
a
4
＝6，d＝a
4
－a
3
＝1
2，a
1
＝a
3
－2d＝－6－24＝－30，即数列通项公式为a
n
＝12n－42；当n≤3
3（a
1
＋a
3
）
时
，a
n
<0，当n≥4时，a
n
>0，所以数列前3项和最小为S
3
＝＝－54.
2
2
9. 10 解析：因为a
m
－
1
＋a
m
＋
1
－a
2
m
＝0，a
m
－
1
＋a
m
＋
1
＝2a
m
，
所以2a
m
－a
m
＝0，所以a
m
＝0
或a
m
＝2.若a
m
＝0，则S
2m
－
1
＝(2m－
1)a
m
不成立，所以a
m
＝2，所以S
2m
－
1
＝
（2m－1）（a
1
＋a
2m
－
1
）<
br>＝(2m－1)a
m
＝38，解得m＝10.
2
1
?
a
3
＝a
1
＋2a
2
，即a
3
＝a1
＋2a
2
，所以q
2
＝1＋2q，解得10. 3＋22 解
析：由题意得2×
?
?
2
?
a
9
＋a
10
a
1
q
8
＋a
1
q
9
q＝1±2
.因为a
n
>0，所以q>0，所以q＝1＋2，所以＝＝3＋22.
a
7
＋a
8
a
1
q
6
＋a
1
q
7
n
2
7n
11. －＋9 解析：由题意得a
2
－a<
br>1
＝4－6＝－2，a
3
－a
2
＝3－4＝－1，所以数列{
a
n
22
－a
n
}的公差为d＝(a
3
－a
2
)－(a
2
－a
1
)＝－1－(－2)＝1，所以数列{an
＋
1
－a
n
}的首项为－2，公
差为1，则a
n
＋
1
－a
n
＝n－3，则a
2
－a
1
＝－2，a
3
－a
2
＝－1，a
4
－a
3
＝0，…，a
n
－a
n
－
1
＝n－4，
＋
1
n
2
－7n＋18
累加得a
n
－a
1<
br>＝(－2)＋(－1)＋…＋(n－4)，所以a
n
＝(n∈N
*
)．
2
1
12. 解析：设等比数列{a
n
}的首项为a
1<
br>，公比为q，则由S
1
，2S
2
，3S
3
成等差数列
，
3
得4S
2
＝S
1
＋3S
3
，即4(a
1
＋a
1
q)＝a
1
＋3(a
1
＋a1
q＋a
1
q
2
)，整理得3q
2
－q＝0，
解得q＝0(舍去)
11
或q＝，所以q＝.
33
1
13. 或1
解析：因为{a
n
}是等差数列，设公差为d，则a
3
＝a
1
＋2d，a
4
＝a
1
＋3d.因为a
1
，
22
a
3
，a
4
是等比数列{b
n
}中的连续三
项，所以a
2
3
＝a
1
a
4
，即(a
1<
br>＋2d)＝a
1
(a
1
＋3d)，解得a
1
＝－4d
1
a
1
－a
1
2
a
3
1
或d＝0.当a
1
＝－4d时，数列{b
n
}的公比q＝＝＝；当d＝0时，
数列{b
n
}的公比q
a
1
a
1
2
a3
1
＝＝1，所以数列{b
n
}的公比为或1.
a
1
2
14. (－2)
n1
解析：因为在等比数列{a
n
}中，|a
1
|＝1，a
5
＝－8a
2
，a
5
>a
2
，所以a
1
＝±1.设
公比为q，当
a
1
＝1时，q
4
＝－8q，解得q＝－2，则a
5
＝(－
2)
4
＝16，a
2
＝－2，满足a
5
>a
2，
－
所以a
n
＝(－2)
n1
；当a<
br>1
＝－1时，－q
4
＝8q，解得q＝－2，则a
5
＝－(－
2)
4
＝－16，a
2
＝－(－
－
2)＝2，不满足a5
>a
2
，综上所述，a
n
＝(－2)
n1
.
－
?
?
2a
1
＋2d＝8，
15. 解析：(1)
设数列{a
n
}的公差为d，则由题意得
?
解得a
1
＝2，
d＝2，所
?
2a
1
＋4d＝12，
?
以a
n＝a
1
＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，所以a
n
＝2n.
(2) 由(1)可得
S
n
＝
（a
1
＋a
n
）n（2＋2n）n
＝＝n(1＋n)＝n
2
＋n，
22所以a
3
＝2×3＝6，a
k
＋
1
＝2(k＋1)，S
k
＝k
2
＋k.
因为a
3
，a
k
＋
1
，S
k
成等比数列，所以a
2
k
＋
1
＝a
3
S
k
，
所以(2k＋2)
2
＝6(k
2
＋k)，
即k
2
－k－2＝0，k∈N
*
，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，
所以k＝2.
16. 解析：(1)
设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5，
所以数列{b
n
}中
的b
3
，b
4
，b
5
依次为7－d，10，18＋d，
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)，
故数列{b
n
}的第3项为5，公比为2.
5
由b
3＝b
1
·2
2
，即5＝b
1
·2
2
，
解得b
1
＝，
4
55
n
－
1
－
所以数列{b
n
}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b
n
＝·
2＝5·2
n3
.
44
5
（1－2
n
）
4
55
－－
(2) 数列{b
n}的前n项和S
n
＝＝5·2
n2
－，即S
n
＋＝5·
2
n2
，
44
1－2
5
S
n
＋
1
＋
－
4
5·2
n1
55
所以S
1＋＝，＝
n
－
2
＝2，
425
5·2
Sn
＋
4
5
??
5
所以数列
?
S
n
＋
4
?
是以为首项，2为公比的等比数列．
2
??
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(45)
数列的通项与求和 2
d＝3，
?
S＝3a＋
3×
?
2
?
a＝－1，
1. 15 解析：由题意得
?
解得
?
所以a＝a＋8d
＝－1＋
?
6×5
?
d＝2，
?
S＝6a＋
2d＝24，
31
1
91
61
16＝15.
??
?
2a
1
＋7d＝24，
?
a
1
＝－2，
?
2. 4 解析：设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d
，则解得
?
所
?
6a
1
＋15d＝48，
?
d＝4，
??
以{a
n
}的公差为4.
3.
120 解析：a
n
＝
1
n＋n＋1
＝n＋1－n，所以2－1＋3
－2＋…＋n＋1－n
＝n＋1－1＝10，所以n＋1＝121，n＝120.
1
??
1－
8
128×
7
2
??
1
77?
＝1，得a
1
＝2＝128，所以S
8
＝4. 255
解析：由a
1
q＝a
1
×
?
＝255.
?
2
?
1
1－
2
5.
a
n
＝
3na
n
2n－3
解析：因为a
1
＝1且(2n＋1)a
n
＝(2n－3)·a
n
－
1(n≥2)，所以＝，所以
2n＋1a
n
－
1
2n＋1
2n－32n－52n－73×1
a
n
a
n
－
1
a
2
1
··…··a
1
＝×××…××1＝(n≥2)．当n
a
1
5
a
n
－
1
a
n
－
2
2n＋12n－12n－3（2n＋1）（2n－1）
331111
，所以S
n
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
n
＝(1－＋－＋－<
br>23355
（2n＋1）（2n－1）
＝1时也成立，所以a
n
＝1113n
＋…＋－)＝.
7
2n－12n＋12n＋1
6. 380
解析：由题意得a
20
＝a
19
＋2×19＝a
18
＋2×
18＋2×19＝a
17
＋2×17＋2×18＋
2×19＝…＝a
2
＋2×2＋2×3＋…＋2×19＝a
1
＋2×1＋2×2＋…＋2×19＝2×(1＋2＋
…＋19)
＝380.
7. 75 解析：由题意得d＝a
n
－a
n
－
1
＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2，所以a
n
＝a1
＋2(n－1)＝2n
n（n－1）
S
n
?
S
n
?
＋1，所以a
1
＝3，所以S
n
＝3n＋×2＝n<
br>2
＋2n，所以＝n＋2，所以数列
?
n
?
的前
2n
??
10项和为1＋2＋…＋10＋2×10＝75.
8.
21
解析：a
n
＝(a
n
－a
n
－
1
)＋(a
n
－
1
－a
n
－
2
)＋…＋(a
2
－a
1
)＋a
1
＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33
2
a
n
33
＝33＋n
2
－n，所以＝＋n－1.
nn
－33
33
设f(n)＝＋n－1，令f′(n)＝
2
＋1>
0，则f(n)在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)
nn
a
5
53
a
6
6321
上单调递减，因为n∈N
*
，所以当n＝5或6时，f
(n)有最小值．又因为＝，＝＝，
55662
a
n
a
6
2
1
所以的最小值为＝.
n62
1
9. －10 解析：由题意得a
1
＝1，a
2
＝－2，a
3
＝－1，a
4
＝，a<
br>5
＝1，a
6
＝－2，a
7
＝－1，
2
1<
br>1
1－2－1＋
?
×6＋1－2＝－10. a
8
＝，…，所
以数列{a
n
}的周期为4，所以S
26
＝
?
2
?
?
2
10. －200 解析：由a
n
＝(－1)
n1
·(
4n－3)得a
1
＝1，a
2
＝－5，a
3
＝9，a
4
＝－13，…，a
99
＝393，a
100
＝－397，所以S
100
＝(a
1
＋a
2
)＋(a
3
＋a<
br>4
)＋…＋(a
99
＋a
100
)＝－4×50＝－200.
11. 18 解析：因为S
n
＝324，S
n
－
6
＝144，所以S
n
－S
n
－
6
＝a
n
－
5
＋a
n
－
4
＋…＋a
n
＝180，所
－
以6(a
1
＋a
n
)＝36＋180＝216，所以a<
br>1
＋a
n
＝36，由S
n
＝
＋
n（a
1
＋a
n
）
＝18n＝324，所以n＝18.
2
12. 2
n1
－2 解析：因为a
n
＋
1－a
n
＝2
n
，所以a
n
＝(a
n
－
a
n
－
1
)＋(a
n
－
1
－a
n
－
2
)＋…＋(a
2
－a
1
)
1
＝2
n
－
1
＋2
n
－
2
2－2
n
＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2
n
－2＋2＝2
n
，所以{a
n
}是首项为2，公比为2
1－2
2
＋
2－2
n1
n
＋
1
的等比数列，所以S
n
＝＝2－
2.
1－2
?
S
13. －49 解析：设数列{a}的首项为a，公差为
d，则
?
?
S
n1
10
＝10a
1
＋解
15×14
d＝25，
15
＝15a
1
＋
2
10×9
d＝0，
2
a＝－3，
?
?
1
n
（n－1）
21
2
10110
得
?
2
所以S
n
＝－3n＋×＝n－n.令f(n)＝nS
n
＝n
3
－n
2
，则f′(n)＝n
2
233333
?
?
d＝
3
，
2020202020
－n.令f′(n)＝0，则n＝0或n＝，当n>时，f
′(n)>0，当0
时，f(n)取最小值．
因为n∈N
*
，f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取得最小值
－
49.
2
14. (－∞，－22]∪[22，＋∞) 解析：由题意得(5a<
br>1
＋10d)(6a
1
＋15d)＋15＝0，则2a
1
＋9
a
1
d＋10d
2
＋1＝0，所以关于a
1
的一元二次方程
有解，所以Δ＝(9d)
2
－4×2×(10d
2
＋1)＝
d
2
－8≥0，所以d≥22或d≤－22，所以d的取值范围是(－∞，－22]∪[22，＋∞)．
11
15. 解析：(1) 由a
n
＋
1
＝S
n<
br>，得a
n
＝S
n
－
1
(n≥2)，
22<
br>111
所以S
n
－S
n
－
1
＝a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
，
222
3
所以a
n
＋
1
＝a
n
(n≥2)．
2<
br>111
又a
1
＝1，a
2
＝S
1
＝a
1
＝，
222
13
所以数列{a
n
}从第二项起是以为
首项，为公比的等比数列，
22
3
?
所以a
n
＝a
2
×
?
?
2
?
n－2
1
?
3<
br>?
n－2
＝×
?
2
?
(n≥2)，
2
1， n＝1，
?
?
所以a
n
＝?
1
?
3
?
n－2
×， n≥2.
?
?
2
?
2
?
3
?
3
?
n－1
??
(2) b
n
＝log
3
(3a
n<
br>＋
1
)＝log
3
·
2
＝n，
??
2
??
22
1111
所以＝＝－，
b
n
b
n
＋
1
n（1＋n）
n
1＋n
所以
T
n
＝
1111
＋＋＋…＋
b
1
b
2<
br>b
2
b
3
b
3
b
4
b
n<
br>b
n
＋
1
11
?
11
??
11??
11
?
－
＋
－
＋
－
＋…＋
?
n
－
＝
?
1＋n
?
12
?
?
23
??
34
?
??
1n
＝1－＝.
1＋n1＋n
16. 解析：(1) 因为S
n
＝3
n
，所
以S
n
－
1
＝3
n1
，n≥2，
－
所以a
n
＝S
n
－S
n
－
1
＝
3
n
－3
n1
＝2×3
n1
，n≥2.
－
当n＝1时，2×3
11
＝2≠S
1
＝a
1
＝3，
－－
?
?
3，
n＝1，
所以a
n
＝
?
n
－
1
?
2×3， n≥2.
?
(2)
因为b
n
＋
1
＝b
n
＋(2n－1)，
所以b<
br>2
－b
1
＝1，b
3
－b
2
＝3，b
4
－b
3
＝5，…，b
n
－b
n
－
1<
br>＝2n－3.
（n－1）（1＋2n－3）
以上各式相加得b
n
－b
1
＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝＝(n－1)
2
.
2
因为b
1
＝－1，所以b
n
＝n
2
－2n.
?
－3， n＝1，
?
(3)
由题意得c
n
＝
?
n
－
1
?
?
2（n－2）×3， n≥2，
所以
T
n
＝－3＋2×0×3
1
＋2×1×3
2
＋2×2×3<
br>3
＋…＋2(n－2)×3
n1
，
所以3T
n
＝－
9＋2×0×3
2
＋2×1×3
3
＋2×2×3
4
＋…＋2
(n－2)×3
n
，
－
所以－2T
n
＝6＋2×3
2
＋2×3
3
＋…＋2×3
n1
－2(n－2)×3
n<
br>，
－
所以T
n
＝(n－2)×3－(3＋3＋3＋…＋3
当
n＝1时，T
1
＝－3，成立，
（2n－5）3
n
＋3
所以T
n
＝.
2
n23n
－
1
3
n
－3（2n－5）3
n
＋3)＝(n－2)×3－＝.
22
n
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(46)
数列综合题
1. 22 解析：因为S
8
－S
3
＝a4
＋a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＝10，由等差数列的性质可得5a
6
＝10，所
11（a
1
＋a
11
）
以a
6
＝2，由等差数列的求和公式可得S
11＝＝11a
6
＝22.
2
2.
1
解析：设等比数
列{a
n
}的公比为q，因为S
3
＝a
2
＋5a
1
，a
5
＝4，所以
4
2
?
?
a
1
（1＋q＋q）＝a
1
（q＋5），
1
?
4
解得q
2
＝4，所以a
1
＝.
4
?
a
1
q＝4，
?
3. －76 解析：因为S
n
＝1－5＋9－13＋…＋(－1)
n1
(4n－3)，所以S
1
5
＝1－5＋9－13
＋…＋49－53＋57＝－4×7＋57＝29，S
22＝1－5＋9－13＋…＋81－85＝－4×11＝－44，S
31
＝1－5＋9－13
＋…＋113－117＋121＝－4×15＋121＝61，所以S
15
＋S
22<
br>－S
31
＝－76.
－
4. 132
解析：b
n
＋
1
－b
n
＝lg
a
n
＋
1
－lg a
n
＝lg
?
?
b
1
＋2d＝18，
?
?
b
1
＋5d
＝12，
?
a
n
＋
1
＝lgq(常数)，所以{b
n
}为等差数列，所以
a
n
?
?
d＝－2，
所以<
br>?
由b
n
＝－2n＋24≥0，得n≤12，所以{b
n
}的
前11项为正，第12项为零，
?
b＝22.
?
1
从第13项起为负
，所以S
11
、S
12
最大且S
11
＝S
12＝132.
a
n
a
n
＋
1
2
a
4
5. ±(1－4
n
) 解析：因为q
2
＝＝4，所以
q＝±2.因为＝q
2
＝4，所以数列{a
n
a
n
＋
1
}
3a
2
a
n
－
1
a
n±2（1－4
n
）
2
是以±2为首项，4为公比的等比数列，所以a1
a
2
＋a
2
a
3
＋a
3
a
4
＋…＋a
n
a
n
＋
1
＝＝±(1
3
1－4
－4
n
)．
3
?
6.
?
?
2
?
n－1
解析：由S
n
＝2a<
br>n
＋
1
得S
n
＝2(S
n
＋
1－S
n
)，即3S
n
＝2S
n
＋
1
.
又因为a
1
＝1，所以S
n
≠0，
S
n
＋
1
3
3
?
n－1
3
?
则＝，所以{S
n<
br>}是以1为首项，为公比的等比数列，所以S
n
＝
?
2
?.
S
n
22
a
n
＋
2
＋
7. 64
解析：由已知得a
n
a
n
＋
1
＝2
n
，所
以a
n
＋
1
a
n
＋
2
＝2
n1<
br>，两式相除得＝2，所以a
1
，
a
n
a
3
，
a
5
，…成等比数列，a
2
，a
4
，a
6
，…成等比数列．因为a
1
＝1，a
2
＝2，所以a
10
＝
2×2
4
＝32，
a
11
＝1×2
5
＝32.又因
为a
n
＋a
n
＋
1
＝b
n
，所以b
10
＝a
10
＋a
11
＝64.
1
8. ±
解析：因为数列{a
n
}是等差数列，所以a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＋a
5
＋a
6
＋a
7<
br>＝7a
4
，则a
1
，
2
1
a
2，a
3
，a
4
，a
5
，a
6
，a7
的平均数为a
4
，所以a
1
，a
2
，a3
，a
4
，a
5
，a
6
，a
7
的方差为[(a
1
－a
4
)
2
＋
7
1<
br>(a
2
－a
4
)
2
＋(a
3
－a<
br>4
)
2
＋(a
4
－a
4
)
2
＋(a
5
－a
4
)
2
＋(a
6
－a4
)
2
＋(a
7
－a
4
)
2
]＝1，即(9d
2
＋4d
2
＋d
2
＋0＋d
2<
br>7
1
＋4d
2
＋9d
2
)＝4d
2
＝1，所以d＝±.
2
9.
9
解析：设正项等比数列{a
n<
br>}的公比为q.设正项等比数列{b
n
}的公比为p，则数列
19
n（
n－1）
{lg a
n
}是等差数列，公差为lg q，{lg
b
n
}是等差数列，公差为lg p，故S
n
＝nlg
a
1
＋
2
n－1
lg a
1
＋lg
q
2
n（n－1）
S
n
nlg a
5
lg
q，T
n
＝nlg b
1
＋lg p．又因为＝＝，所以logb
5
a
5
＝＝
2T
n
2n＋1
lg
b
5
n－1
lg b
1
＋lg p
2
lg
a
1
＋4lg q
S
9
9
＝＝.
lg
b
1
＋4lg p
T
9
19
1111n9
10.
－9 解析：数列的前n项和为＋＋…＋＝1－＝＝，
1×22×3n（n＋1）n＋1n＋1
10
所以n＝9，所以直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为
－9.
11. 15 解析：设每一秒通过的路程依次为a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，则数列{a
n
}是首项a
1
＝2，
n（n－1）
公差d＝2的等差数列，则有2n＋·2＝240，即n
2
＋n－240＝0，解得n＝15或n＝
2
－16(舍去)，故n＝15.
a
n
＋
1
a
n
＋
1
12. 1
280 解析：由log
2
a
n
＋
1
＝1＋log
2
a
n
可得log
2
a
n
＋
1
－
log
2
a
n
＝log
2
＝1，所以＝
a
n
a
n
2.又因为a
3
＝10，所以a
10
＝a<
br>3
×2
7
＝1 280.
?
1
??
1
?
13. 20 解析：由题意知，若{an
}为调和数列，则
?
a
?
为等差数列，所以由
?x
?
为调和数
?
n
??
n
?
列，可得
数列{x
n
}为等差数列，由等差数列的性质知，x
5
＋x
16＝x
1
＋x
20
＝x
2
＋x
19
＝…
＝x
10
＋
200
x
11
＝＝20.
10
7
14. － 解析：因为a
1
>1，由a
n
＋
1
－1＝a
n
(a
n
－1)(n∈N
*
)知，对所有n，a
n
>1，等式两边
2
1111111111
取倒
数，得＝＝－，得＝－，则＋＋…＋＝
a
n
a
n
－1a
n<
br>＋
1
－1
a
1
a
2
a
2 012<
br>a
n
＋
1
－1a
n
（a
n
－1）a
n
－1
a
n
2－a
1
2－a
1
1
1
－＝2，整理可得a
2 013
＝，a
2 013
－4a
1
＝－4a
1
＝2(3－2a
1
)＋
a
1
－1a
2 013
－13－2a
1
3－2a
1
111117
5
－≥2－＝－，当且仅当a
1
＝时，等号成立，所以a
2 013
－4a
1
的最小值为
224
2（3－2a
1
）
2<
br>7
－.
2
15. 解析：(1)
设{a
n
}的公比为q，则b
1
＝1＋a＝2，
b
2＝2＋aq＝2＋q，b
3
＝3＋aq
2
＝3＋q
2
.
由b
1
，b
2
，b
3
成等比数列得(2＋q)2
＝2(3＋q
2
)，
解得q
1
＝2＋2，q
2
＝2－2，
－－
所以数
列{a
n
}的通项公式为a
n
＝(2＋2)
n1
或a
n
＝(2－2)
n1
.
(2) 设{a
n
}的公比为q
，则由(2＋aq)
2
＝(1＋a)(3＋aq
2
)得aq
2
－4aq＋3a－1＝0，(*)
由a>0得Δ＝4a
2
＋4a>0，故方程(*)有两个不相等的实根．
1
由{a
n
}唯一，知方程(*)必有一个根为0，代入(*)得a＝.
3
16. 解析：(1)
由题意设该数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d，d≠0，
222
由a
2
2
＋a
3
＝a
4
＋a
5
知2a
1
＋5d＝0. ①
又因为S
7
＝7，所以a
1
＋3d＝1.②
由①②可得a
1
＝－5，d＝2，
所以数列{a
n
}的通
项公式为a
n
＝2n－7，S
n
＝n
2
－6n.
a
m
a
m
＋
1
（a
m
＋
2
－4）（a
m
＋
2
－2）
88
(2) 因为＝＝a
m
＋
2
－6＋为{a
n
}中的项，故为整数，
a
m
＋
2
a
m
＋
2
a
m
＋
2
a
m
＋
2
又由(1)知a
m
＋
2
为奇数，所以a
m
＋
2
＝2m－3＝±1，即m＝1，2，
经检验，符合题意的正整数只有m＝2.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(47)
平面的基本性质、空间两直线
1. ② 解析：如图所示，因为平面ABD，平面BCD，P
∈EF，P∈GH，所以
P在平面ABD和平面BCD的交线上．又因为平面ABD∩平面BCD＝BD
，所以P∈BD.
2. 1或3
解析：若三个平面经过同一直线，则有1条交线，若三个平面不过同一直线，
则有3条交线．
3. ③④ 解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但，①错；a∩β＝P时，②错；如图，
因为a∥b，P∈b，所以，所以由直线a与点P确定唯一平面α.又因为a∥b，由a与b
确定唯一
平面β，但β经过直线a与点P，所以β与α重合，所以，故③正确；两个平
面的公共点必在其交线上，
故④正确．
4. P∈l 解析：因为m∩n＝P，所以P∈m，P∈n.
又因为，，所以P∈α，P∈β，
所以P∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以P∈l.
5.
菱形 解析：因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，
11
EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，所以EF∥GH，EF＝GH，所以四边形EFGH为平行四边
22
11
形．又因为AC＝BD，EH＝BD，EF＝AC，所以EH＝EF，所以平行四边
形EFGH为菱形．
22
6. 垂直 解析：对于任意的直线l和平面α，分两种
情况：①l在平面α内，则l与m为
共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，若l⊥
α，则平面α内任意一条直线
都垂直于l；若l与α不垂直，则α内必存在直线m垂直于l；若l∥α，
则必存在直线 ，
使m⊥l.综上，平面α内必有直线 m，使m⊥l.
7. 0 解析：因
为平面具有无限延伸性，所以①错；四条边相等的四边形，若四条边不
在同一平面内，则②错；若两个平
面相交于一条直线，则在这条直线内有无数个公共点，则
③错；空间四点中任何三点不共线，则此四点可
能共面，如平行四边形，故④错．
8. ③ 解析：当两条直线异面时，根据异面直线的定义可得这对
异面直线不同在任何一
个平面内，故①不能确定；当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直
线和这个
点，故②不能确定；因为三角形3个顶点不共线，所以由这3点可以确定一个平面，故③可以确定；过共线的三个点，可以有无数个平面，故④不能确定．
9. 无数 解析：过A
1
D
1
作平面α交平面ABCD于直线MN，则MN∥A
1
D
1
，易知α与
EF总有公共点，设为K，连结NK.因为NK不平行于MN，，所以NK必与
A
1
D
1
相
交，从而这条直线满足条件，由作法可知这样的直线有无
数条．
10. 90° 解析：取AC的中点H，连结HE，HF，EF.因为E，F分别是AB，C
D的中点，
11
所以HE∥BC，HE＝BC＝1，HF∥AD，HF＝AD＝1，所以HE与
HF所成的角即为AD
22
与BC所成的角，在△EFH中，HF＝1，HE＝1，EF＝2，
所以三角形EFH为直角三角形，
所以HE⊥HF，即AD与BC所成角为90°.
11. 1 解析：①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点必共面；②不
正
确，从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，若A，B，C共线，则结论不正确；③不
正确，共面不
具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上．
12. 0 解析：若
a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误；
若a，b是异面直线，b，c
是异面直线，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故②
错误；若a和b相交，b和c相交，则a
和c可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误；
若a和b共面，b和c共面，则a和c可能共面，也
可能异面，故④错误．
13. 解析：(1)
因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
1
所以EH∥BD，FG∥BD且EH＝FG＝BD，
2
所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为AC⊥BD，HG∥AC，EH∥BD，
所以EH⊥HG，所以四边形EFGH为矩形．
(2) 因为AC，BD成30°角，所以F
G，GH成30°角．因为AC＝6，BD＝4，所以GH＝
3，FG＝2，所以四边形EFGH的面积
为GH·FG·sin30°＝3.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(48)直线与平面的位置关系1. 垂直 解析：因为C，
B分别是垂足和斜足，所以平面α，AC⊥平面α.因为平面α，所以AC⊥a.又因为
a⊥BC，AC
∩BC＝C，AC，平面ABC，所以a⊥平面ABC.因为平面ABC，所以
a⊥AB.
2. 平行或异面
解析：因为a∥α，，所以直线a与直线b可能异面，可能平行，不
可能相交．
3. ③ 解
析：若a⊥β，a⊥b，则或b∥β，故①错误；若a∥β，a⊥b，则b与β平
行或相交或，故②错误
；利用线面垂直的性质，可知若a⊥β，，则a⊥b，故③正
确；若a∥β，b∥β，则a与b相交，平
行或异面，故④错误．
4. 垂直 解析：因为PABC为正三棱锥，所以AB＝AC，PC＝PB.
又因为D是BC的中
点，所以AD⊥BC，PD⊥BC.又因为PD，平面PAD，PD∩AD＝D，所
以BC⊥平面PAD.
5. 1或5 解析：当A，B两点在平面α的同侧时，点M到平面α的距离为
5cm；当A，
B两点在平面α的异侧时，点M到平面α的距离为1cm.
6. ②③ 解析
：若l垂直于α内的两条平行线，则l与平面α垂直或相交，故①错误；
由线面垂直的定义可知，②正确
；由线面垂直的判定定理可知，③正确．
7. ①④ 解析：如果一条直线平行于平面内的无数条直线
，那么这条直线平行于这个平
面或这条直线在这个平面内，故①错误；垂直于三角形两边的直线，垂直于
三角形所在的平
面，所以必垂直于第三边，故②正确；如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上所
有
点到平面的距离都相等，故③正确；若A，B两点在平面的同侧，且PA∶AB＝1∶2，则A，B两点到平面的距离为1∶3；若A，B两点在平面的异侧，且PA∶AB＝1∶2，则A，B两
点
到平面的距离为1∶1，故④错误．
8. ②③ 解析：若l⊥α，m⊥l，则m∥α或，故①错误；
若l⊥α，m⊥α，则m∥l，
故②正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，故③正确．
9.
1或0 解析：不论是在平面里还是在空间中，过直线外一点，有且只有一条直线与
已知直线平行，所以
这n条直线中，最多只有一条直线与直线a平行，故答案为1或0.
10. 27 解析：当PP′⊥
AB时，PP′最小，作CP′⊥AB，垂足为P′，连结PP′.因为PC⊥
平面ABC，平面ABC
，所以PC⊥AB，所以AB⊥平面PCP′，所以AB⊥PP′.在直角三
1
角形ABC中，
C＝90°，AB＝8，B＝30°，所以BC＝43，AC＝4，则CP′＝BC＝23，在
2
直角三角形PCP′中，PP′＝P′C
2
＋PC
2
＝12＋16＝27，
故PP′的最小值为27.
11. ②④ 解析：若α∥β，，，则m∥n或m与n异面，故①错误；
若α⊥β，
m⊥α，n∥β，则m与n平行，相交或异面，故③错误，则真命题的序号为②④.
12. 解析：(1)
因为ABCA
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
所以BB
1
⊥平面ABC，所以BB
1
⊥CD.
因为AC＝BC，D是AB的中点，所以CD⊥AB.
因为AB，BB
1
平
面A
1
ABB
1
，AB∩BB
1
＝B，
所以CD⊥平面A
1
ABB
1
.
(2)
连结BC
1
，设BC
1
与B
1
C的交点为E，连结DE.
因为D是AB的中点，E是BC
1
的中点，
所以DE∥AC
1
.
因为平面CDB
1
，AC
1
平面CDB
1
，
所以AC
1
∥平面CDB
1
.
(3)
存在点M为B.证明如下：
由(1)知CD⊥平面A
1
ABB
1
，
又因为A
1
平面A
1
ABB
1
，
所以CD⊥A
1
B.
因为AC＝BC＝CC
1
，AC⊥BC，D是AB的中点，
所以A
1
A∶AB＝BD∶BB
1
＝1∶2，
所以A
1
B⊥B
1
D.
又CD∩B
1
D＝D，CD，B
1
平面CDB
1
，
所以A
1
B⊥平面CDB
1
.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(49)
平面与平面的位置关系
1.
相交或平行 解析：若a与b相交，则平面α与平面β平行；若a与b平行，则平面
α与平面β平行或相
交，故平面α与平面β的位置关系是相交或平行．
2. ①③④ 解析：由面面垂直的判定定理可得若
一个平面经过另一个平面的垂线，则这
两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与
另一个平面都平行，那么
这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空
间直线夹角
的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直<
br>线m，则另一条直线也与直线m垂直，故③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂
直，则
一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交
线不垂直的直线与另
一个平面也不垂直，故④正确．
3. 垂直 解析：设直线m为平面β中的一条直线，且m∥l.因为
m∥l，，，所
以直线l∥平面β.又因为l⊥α，所以m⊥α.又，所以平面α⊥平面β.
4. 必要不充分 解析：若a与b无公共点，则a与b所在的平面可能平行，也可能相交，
所
以“若a与b无公共点，则α∥β”为假命题；若α∥β，则a与b平行或异面，即a与b
没有公共点，
所以“若α∥β，则a与b没有公共点”为真命题，故p是q的必要不充分条件．
5. ② 解析：若
l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故①错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，
故②正确；若l⊥α
，l∥β，则α⊥β，故③错误；若α⊥β，l∥α，则l与β相交，平行或，
故④错误．
6. ③⑤ ②⑤ 解析：若，α∥β，则m∥β；若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
7.
平面PAB、平面PCD、平面ABCD 解析：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以PA⊥
AB.因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥AD.因为PA，平面PAD，PA∩AD
＝A，所以A
B⊥平面PAD.又因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD.因为AB⊥平面PAD，
平面PAB，所
以平面PAB⊥平面PAD.同理可得平面ABCD⊥平面PAD，平面PCD⊥平面PAD.
8.
①②④ 解析：由题意知AD
1
∥BC
1
，所以BC
1
∥平
面AD
1
C，所以BC
1
上任意一点到
平面AD
1
C的距离均相等，所以以P为顶点，三角形AD
1
C为底面的三棱锥AD
1
P
C的体积不
变，故①正确；连结A
1
B，A
1
C
1
，则A
1
C
1
∥AC.又因为AD
1
∥BC
1，所以平面BA
1
C
1
∥平面
ACD
1
，由线
面平行的定义得，②正确；因为DC⊥平面BCC
1
B
1
，所以DC⊥BC<
br>1
，若DP⊥BC
1
，
则BC
1
⊥平面DCP，所以
BC
1
⊥PC，则P为BC
1
的中点，与P为动点矛盾，故③错误；连结DB
1
，由DB
1
⊥AC，DB
1
⊥AD
1<
br>，AC∩AD
1
＝A，AC，AD
1
平面ACD
1
，
所以DB
1
⊥平面
ACD
1
.又因为DB
1
平面PDB
1
，所以平面PDB
1
⊥平面ACD
1
，故④正确．
9. ①②③ 解析：因为D，F分别是AB，AC的中点，所以BC∥DF.又因为平
面
PDF，平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为四面体PABC为正四面体，所
以PB＝PC，AB＝AC.又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，PE⊥BC.因为AE，平面
PAE，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故②正确；由②可知BC⊥平面PAE.又因为平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAE，故③正确；设
点O
是底面正三角形ABC的中心，则PO⊥底面ABC，而平面PDF，所以平面PDF
与平面ABC不垂
直，故④错误．
10. ② 解析：若m∥n，m⊥α，则n⊥α成立，故①正确；因为α∩β＝n，
所以
因为m∥α，所以m与n平行或异面，故②错误；垂直于同一直线的两个平面平行，故③正
确；根据面面垂直的判定定理可知，④正确．
11. ②④ 解析：若直线m⊥α，且α，β互相垂直
，则在平面β内，存在与直线m平行
的直线，故①错误；若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有
直线，设α∩β＝l，则m⊥l，
所以在平面β内存在无数条直线与直线l平行，即与直线m垂直，故②
正确；若直线，
则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误；④正确．
12.
④ 解析：在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，
所
以BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD.
又因为平面ABD，所以CD⊥AB.因为AD⊥AB，AD∩CD＝D，CD，平面ACD，
所以A
B⊥平面ADC.因为平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故④正确．
13. 解析：(1)
如图所示，连结NK，A
1
K.
在正方形ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
因为四边形AA
1
D<
br>1
D，DD
1
C
1
C都为正方形，
所以AA
1
∥DD
1
，AA
1
＝DD
1
，C
1<
br>D
1
∥CD，C
1
D
1
＝CD.
因为N，K分别为CD，C
1
D
1
的中点，
所以DN∥D
1
K，DN＝D
1
K，
所以四边形DD
1
KN为平行四边形，
所以KN∥DD
1
，KN＝DD
1
，
所以AA
1
∥KN，AA
1
＝KN，
所以四边形AA
1
KN为平行四边形，
所以AN∥A
1
K.
因为A
1
平面A
1
MK，平面A
1
MK，
所以AN∥平面A
1
MK.
(2) 如图所示，连结BC
1
.在正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，AB∥C
1
D
1
，AB＝C
1
D
1
.
因为M，K分别为AB，C
1
D
1
的中点，
所以BM∥C
1
K，BM＝C
1
K.
因为在正方体ABC
DA
1
B
1
C
1
D
1
中，
A<
br>1
B
1
⊥平面BB
1
C
1
C，BC
1
平面BB
1
C
1
C，
所以A
1
B
1
⊥BC
1
.
因为MK∥BC
1
，所以A
1
B
1
⊥MK.
因为四边形BB
1
C
1
C为正方形，
所以BC
1
⊥B
1
C.
所以MK⊥B
1
C.
因为A
1
B
1
平面
A
1
B
1
C，B
1
平面A
1
B
1
C，A
1
B
1
∩B
1
C＝B
1
，
所以MK⊥平面A
1
B
1
C.
又因为平面A
1
MK，
所以平面A
1
B<
br>1
C⊥平面A
1
MK.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(50)
柱、锥、台、球的表面积与体积
2π
1. 3 解析：圆锥筒的底面半径r＝＝1，故这个圆锥筒的高为l
2
－r
2
＝2
2
－1
2
＝3.
2π
2.
2
解析：由题意知正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长为
3
112
2，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为××2×2×2＝.
323
1
3. 解析：以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，
D重合于一点P，
3
得到一个四面体，如图所示．因为在折叠过程中，始终有AB⊥BE，AD
⊥DF，即AP⊥PE，
AP⊥PF.又因为PE∩PF＝P，PE，平面PEF，所以AP⊥平面EF
P，四面体的底面积为S
△
EFP
1111
＝PE·PF，高为AP＝2，所
以四面体AEFP的体积V
AEFP
＝××1×1×2＝.
2323
4. 43π 解析：球的内接正方体的表面积为24，所以正方体的棱长为2，正方体的体对
角线为23，所以球的半径为3，体积为43π.
5. 303 解析：正六棱锥的高为4cm，底面
最长的对角线为43cm，所以底面边长为
23cm，底面中心到边的距离为3cm，所以棱锥侧面的高
为4
2
＋3
2
＝5(cm)，则它的侧面积
1
为6××5×
23＝303(cm
2
)．
2
6. 4 解析：因为在四棱锥PABCD中
，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，
11
AD＝3，PA＝4，E为棱C
D上一点，所以S
△
ABE
＝×AB×AD＝×2×3＝3，所以三棱锥
22
11
EPAB的体积V
EPAB
＝V
PABE
＝×PA×S
△
ABE
＝×4×3＝4.
33
7. 4R
2
解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a，则a
2
2
?<
br>2
?
22
2
222
＋
a
＝R，所以a＝3
R，正方体的表面积为S＝6a＝4R.
?
2
?
8. 9 解析：设三棱锥的棱长为a，则
331
a＋a·＝26，解得a＝32，所
以三棱锥PABC
223
的高为
13
23
?
2
?
a－
·a
＝23，所以三棱锥PABC的体积V＝×23××(32)<
br>2
＝9.
34
?
32
?
2
9. 6π 解
析：可将三棱锥补充为一个长、宽、高分别是3，2，1的长方体，则外接球
的直径为d＝（3）
2
＋（2）
2
＋1
2
＝6，故外接球的面积为πd
2＝6π.
10. 272π 解析：因为圆台的上，下底面半径分别为3cm和6cm，高为3c
m，所以圆台
的母线长为3
2
＋（6－3）
2
＝32(cm)，所以
圆台的侧面积为S＝32π(3＋6)＝272π(cm
2
)．
1
11.
解析：设B
1
F＝x.因为AB
1
⊥平面C
1
DF，平面C
1
DF，所以AB
1
⊥DF.由已知
2
1
可得A<
br>1
B
1
＝2.设Rt△AA
1
B
1
斜边AB
1
上的高为h，则DE＝h.又因为2×2＝
2
233
h2＋（2）
，所以h＝，DE＝，在Rt△DB
1
E中，B
1
E＝
33
22
22
?
2
?
－
?
3
?
＝6
，
?
2
??
3
?
6
6
所以
有B
1
E·DF＝B
1
D·B
1
F，即
6
21
2
?
2
?
x＋＝x，解得x＝.
2
?
2
?
2
2
431
12. 解析：设
正四棱锥的底面边长为x，则体积V＝x
2
273
x
2
2
4
1－＝x（2－x
2
），
26
43243
记y＝t
2
(2－t)，t>0，利用导数可求得当t＝时，y
max
＝，此时V
ma
x
＝.
32727
3
13. 解析：因为点A，C到BD的距离之比为3
∶2，所以△BCD和△ABD的面积之
2
3
31AE
4
91
比为2∶3.因为AE＝AA
1
，CF＝CC
1
，所以＝＝.因为三棱锥E
BCD的体积V
1
＝
43CF143
3
1
S
△
BCD
·AE
1V
EBCD
V<
br>1
3
293
S
△
BCD
·AE，三棱锥FABD的体
积V
2
＝S
△
ABD
·CF，所以＝＝＝×＝.
3VFABD
V
2
1342
S
△
ABD
·CF3
14.
23
解析：设圆锥的底面半径为r，则高为r，母线长为2r.因为
侧面积为42π，
3
31
·(22)
2
＝23.设圆锥底面中心到截
面的距离为h，则由等体积可得·23h＝
43
所以πr·2r＝42π，解得r＝2.过圆锥
的两条母线作截面，截面为等边三角形，所以截面的
面积S＝
1123
··2·2·2
，所以h＝.
323
15. 解析：(1) 因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BC.
由底面ABCD为长方形，得BC⊥CD.
因为PD∩CD＝D，PD，平面PCD，
所以BC⊥平面PCD，而D平面PCD，
所以BC⊥DE.
因为PD＝CD，E是PC的中点，
所以DE⊥PC.
因为PC∩BC＝C，PC，平面PBC，
所以DE⊥平面PBC.
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四
面体E
BCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.
(2) 由已知得，PD是阳马PABCD的高，
11
所以V
1
＝S
ABCD
·PD＝BC·CD·PD.
33
由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BC⊥CE，
11
所以V2
＝S
△
BCE
·DE＝BC·CE·DE.
36
在
Rt△PDC中，因为PD＝CD，E是PC的中点，所以DE＝CE＝
1
BC·CD·PD
V
1
3
2CD·PD
于是＝＝＝4.
V
2
1CE·DE
BC·CE·DE
6
高考数学一轮复习基础夯滚天天
练(51)
空间线面关系的判断、推证与计算
1.
3π
解析：将△A
BC绕直线BC旋转一周，则形成的几何体是以ACD为轴截面的
2
2
CD，
2
圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．因为AB＝2，BC＝1.5，∠AB
C
155π
π
＝120°，所以AE＝ABsin60°＝3，BE＝ABcos60
°＝1，则V
1
＝
π·AE
2
·＝，V
2
＝·AE
2
·BE
3223
3π
＝π，所以所形成的几何体的体积是.
2
2. 2＋42 解析：因为一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面
上，所以正四
棱柱对角线的长为球的直径．因为正四棱柱的底面边长为1cm.设正四棱柱的高为h，所
以2r
＝1
2
＋1
2
＋h
2
＝2，解得h＝2cm
，所以该棱柱的表面积为(2＋42)cm
2
.
111111abc
3.
解析：设AB＝a，AD＝b，A
1
A＝c，则V
1
＝S
△
ABD
·A
1
A＝×ab×c＝，V
2
23232212
1
111abcV
1
1
＝S矩形ADD
1
A
1
·AB
＝×bc×a＝，所以＝.
32326V
2
2
4. ③
解析：因为b⊥β，α∥β，所以b⊥α.又因为
个充分条件．
，所以a⊥b，故③为a⊥b的一
5. ①③ 解析：对于②，若α⊥β，m∥
α，则m与β可能平行或相交，故②错误；对于
④，若m∥n，，则m∥α或，故④错误，正确的命题有
①③.
6. 12 解析：过A
1
作A
1
M⊥AE，垂足为M.因
为AD⊥平面AA
1
B
1
B，A
1
平面AA
1B
1
B，
所以AD⊥A
1
M.又因为平面AEFD，平面AEF
D，AD∩AE＝A，所以A
1
M⊥平面
AEFD.设∠BAE＝θ，则∠AA
1
M＝θ，所以AE＝
矩形
AB1
，A
1
M＝AA
1
cosθ，所以VA
1
AEFD＝S
cosθ3
1AB1
·AM＝××AD×AAcosθ＝AB·AD·AA
1
.因为四棱柱的体积V＝AB·AD
·AA
1
＝
AEFD11
3cosθ3
1
36，所以VA<
br>1
AEFD＝×36＝12.
3
7. ②④ 解析：平面MOB，故①错误；
由三角形中位线定理可得MO∥PA.又因为
平面PAC，平面PAC，所以MO∥平面PAC，故②正
确；因为OC与AC不垂直，
所以OC不垂直于平面PAC，故③错误；因为PA⊥平面ABC，平面A
BC，所以PA⊥BC.
因为AB为圆O的直径，点C在圆周上，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC
.又因为AC∩AP＝
A，AC，平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为平面PBC，所以平面PA
C⊥平面
PBC，故④正确．
8. 1 解析：因为正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长为2，侧棱长为3，所以底面三角形
1
B
1
DC
1
的面积为×2×3＝3.因为D为BC中点，AB＝AC，所以AD
⊥BC.又因为BB
1
⊥
2
平面ABC，平面ABC，所以BB
1<
br>⊥AD.又因为BB
1
∩BC＝B，BB
1
，平面BCC
1<
br>B
1
，
所以AD⊥平面BCC
1
B
1
，所以
三棱锥AB
1
DC
1
的底面B
1
DC
1
上
的高为AD＝3，所以三棱锥
1
AB
1
DC
1
的体积为V＝
×3×3＝1.
3
9. 解析：(1) 在正方形ABCD中，AB∥CD，
又平面CDE，平面CDE，
所以AB∥平面CDE.
(2)
因为AE⊥平面CDE，且平面CDE，
所以AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，且AE∩AD＝A，
平面ADE，平面ADE，
所以CD⊥平面ADE.
又平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ADE.
10. 解析：(1) 因为△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，所以S
△
BC
D
＝
1133
平面BCD，所以V
DABC
＝V
ABCD<
br>＝×AB×S
△
BCD
＝×a
2
×a＝a
3
.
33412
(2) 在底面三角形ABC中，取AC的中点H，连结BH.
因为AB＝BC，所以BH⊥AC.
11
因为CF＝AC，HC＝AC，
42
所以CF＝FH.
又因为CE＝EB，
所以EF∥BH，所以EF⊥AC.
3
2
a.因为AB⊥
4
因为AB⊥平面BCD，平面BCD，
所以AB⊥DE.
因为DC＝DB，BE＝CE，
所以BC⊥DE.
又因为AB∩BC＝B，AB，平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又因为平面ABC，所以DE⊥AC.
因为DE⊥AC，EF⊥AC，DE，平面DEF，DE∩EF＝E，
所以AC⊥平面DEF.
(3) 连结CM，设CM∩DE＝O，连结OF.
2
因为O为△BCD的垂心，所以CO＝CM.
3
13
因为CF＝CA，CN＝CA，
48
2
所以CF＝CN，所以OF∥MN.
3
又因为平面DEF，
所以MN∥平面DEF.
平面DEF，
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(52)
抽样方法与总体估计
11
1.
， 解析：每个个体被抽到的概率相等，所以这是一个等可能事件．“第一次被抽
66
1
取”包含6个基本事件，则个体a第一次被抽取的概率为；第二次被抽到表示第一次没有被
6
5
抽到且第二次抽到，这是一个相互独立事件同时发生的概率，第一次不被抽到的概率是，第
6
11
二次被抽到的概率为，所以个体a第二次被抽到的概率为.
56
1203
2. 36
解析：每个个体被抽到的概率为＝，由于高三年级的学生人数为600，故
2
00050
3
应在高三年级抽取的学生人数为600×＝36.
50
N
3. 0795
解析：系统抽样是先将总体按样本容量分成k＝段，再间隔k取样．因为总体
n
的个数N＝1
000，样本容量为50，所以k＝20，所以第40个号码为0015＋20×39＝0795.
4. 6
解析：抽样比例为
2011
＝，故动物类食品抽取的种数为30×＝6.
5
40＋10＋30＋20
5
x
5. 800
解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，所以x＝300，所以样本中A，C
3 000产品共有300－130＝170(件)．又因为A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，所以C3 000
产品的样本容量为80，C产品的数量为80×＝800.
300
6. 24 解析：由频率分布直方图知，底部周长小于100cm的频率为(0.01
5＋0.025)×10
＝0.4，所以底部周长小于100cm的频数为60×0.4＝24.
25＋3
14
7. 1 400 解析：由题意知，寿命不低于1
100h的频率为＝，则估计该批灯泡使
10050
14
用寿命不低于1
100h的只数是5 000×＝1 400.
50
8. 19 解析：设样本中还有一个职
工的编号为x，则由系统抽样抽出的四个职工的号码
从小到大排列为6，x，32，45，它们构成等差
数列，所以6＋45＝x＋32，解得x＝19，故样
本中还有一个职工的编号是19.
9.
50 解析：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为
111
1
.设中间一个小长方形面积为x，则x＝(1－x)，解得x＝，所以中间一组频数为300×＝
566
50.
10. 4，3 解析：因为x
1
，x
2
，…，x
5
的平均数为2，所以x
1
＋x
2
＋…＋x
5＝5×2＝10.
111
因为x
1
，x
2
，…，x5
的方差是，所以[(x
1
－2)
2
＋(x
2
－2)
2
＋…＋(x
5
－2)
2
]＝，所以3x
1
－2，
353
11
3x
2
－2，…，3x
5
－2的平均数为[(3x
1
－2)＋(3x
2
－2)＋…＋(3x
5
－2)]＝×(3×10－5×2)＝4，
55
19
方差为[(3x
1
－2－4)
2
＋(3x
2
－2－4)
2
＋…＋
(3x
5
－2－4)
2
]＝[(x
1
－2)
2＋(x
2
－2)
2
＋…＋(x
5
－2)
2]
55
＝3.
11.
mx
1
＋nx
2
＋px
3
解析：由题意知，所有
数据的和为mx
1
＋nx
2
＋px
3
，数据的总个数
m＋n＋p
mx
1
＋nx
2
＋px
3
为m＋n＋
p，所以这个样本的平均数为.
m＋n＋p
12. 1 000 解析：阅读时间在[50，
75)中的频率为0.004×25＝0.1，所以样本容量n＝
100÷0.1＝1 000.
13. 解析：(1)
n＝1－(0.02＋0.08＋0.4＋0.3＋0.16)＝0.04，m＝2，M＝50，N＝1.
(2) 略
(3) 从频率分布表看出，该样本中身高小于162.5
cm的频率为0.02＋0.08＋0.4＝0.5，故
可估计该校女生身高小于162.5
cm的约占50%.
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(53)算法的含义与流程图1. ① 2.
②
3. 处理框 起止框 输入输出框 判断框
4. ①③ 解析：输入、输出框可以在算
法中任何需要输入、输出的位置出现，故②错误；
判断框内的条件不是唯一的，故④错误．
5. 72，18，32 解析：输入的a，b，c分别是18，32，72，所以x＝a＝18，a＝
c＝72，
c＝b＝32，b＝x＝18，所以输出的a，b，c分别是72，18，32.
6. 计算1×3×5×7×…×99的值
7. x＝0 x>0 y←－1
8. s←s＋i i>100
9. i≤6或i<7
a
1
＋a
2
＋…＋a
6
10. 5 解析：因为
k
2
－5k＋4>0，所以k>4或k<1，则当k＝5时，循环终止，所以输出
的k
为5.
11. 2 400 解析：S＝0<2 000，继续循环；S＝0＋400＝400<2
000，继续循环；S＝400
＋400＝800<2 000，继续循环；S＝800＋400＝1
200<2 000，继续循环；S＝1 200＋400＝1
600<2
000，继续循环；S＝1 600＋400＝2 000＝2 000，继续循环；S＝2
000＋400＝2 000>2 400，
结束循环，输出S的值为2 400.
12.
22 解析：第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件，故T＝3；第二次
执行循环体后，
S＝8，不满足退出循环的条件，故T＝5；第三次执行循环体后，S＝17，满
足退出循环的条件，故
W＝S＋T＝17＋5＝22，故输出的结果为22.
13.
71
解析：第一次
执行循环体后，T＝，n＝3，不满足退出循环条件；第二次执行
122
57
循环体后
，T＝，n＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，T＝，n＝5，满
612
7<
br>足退出循环体的条件，故输出的结果是.
12
11
14. －1
解析：S＝1－＝，n＝1＋1＝2<8；
22
1
S＝1－＝－1，n＝2＋1＝3<8；
1
2
1
S＝1－＝2，n＝3＋1＝4<8；
－1
11
S＝1－＝，n＝4＋1＝5<8；
22
1
S＝1－＝－1，n＝5＋1＝6<8；
1
2
1
S＝1－＝2，n＝6＋1＝7<8；
－1
11
S＝1－＝，n＝7＋1＝8；
22
1
S＝1－＝－1，n＝8＋1＝9>8，退出循环，故输出S的值为－1.
1
2
高考数学一轮复习基础夯滚天天练(54)
基本算法语句
ab15
1. 2.5 解析：因为a＝2，b＝4，所以S＝＋＝2＋＝.
ba22
2. 4 解析：因为－4<0，所以a＝－(－4)＝4，则输出的数为4.
3. 4，1
解析：因为a＝1，b＝3，所以a＝1＋3＝4.又因为此时a＝4，b＝3，所以b＝4
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