高考专题高中数学微课题研究性精品教程专题6.：两类等差数列的证明问题的研究与拓展

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专题6.13：两类等差数列的证明问题的研究与拓展
【探究拓展】

探究 1：若已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
?
(a
1
?a
n)n
，求证：数列
?
a
n
?
为等差数列.
2

*
变式：已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
2
?3,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
(n?N).
（1）证明：数列
?
an?1
?a
n
?
是等比数列；（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式；

（3）若数列
?
b
n
?
满足
4
1
4
b?1b
2
?1
...4
b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n
( n?N
*
),
证明
?
b
n
?
是等差数列.

（消两次中项法证明等差数列问题）
2
探究2：已知数列
{a< br>n
}
的各项都为正数，且对任意
n?N*
，都有
a
n ?1
?a
n
a
n?2
?k
(
k
为常数)．
2
（1）若
k?(a
2
?a
1
)
，求证：
a
1
,a
2
,a
3
成等差数列；
（2） 若k=0，且
a
2
,a
4
,a
5
成等差数列，求< br>a
2
的值；
a
1
（3）已知
a
1
?a,a
2
?b
(
a,b
为常数)，是否存在常数
?
，使得
a
n
?a
n?2
?
?
a
n?1< br>对任意
n?N*
都成立？
若存在．求出
?
；若不存在，说明理 由．（特殊到一般的数学思想方法）
信达

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22
*
变式1：（1）已知各项均为正数的无穷数列
?
a
n
?
满足：
a
n
a
n?2
?a
n?1
?k
（
k?N,k
为正常数），且
a
2
?a
1< br>?k,
求证：数列
?
a
n
?
为等差数列；
2
（2）已知
a
1
?1,a
2
?3,a
n
a
n?2
?a
n?1
?2
,
b
1
?1,b
2
?3,b
n?2
?4b
n?1
?b
n
;
2
c
n?1
?2c
n
?3c
n
?2
,
c
1
?1
,求证：对任意的
n?N
*
,
a
n
?b
n
?c
n

（3）若已知
b< br>1
?1,b
2
?2?3,b
n?2
?4b
n?1?b
n
，求数列
?
b
n
?
的通项公式.
信达

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变式2：设
p,q(q?0)
是实数，方程
x?px?q?0
有两个实数根
?
，
?
，数列
?
a
n
?
满足：
2
a
1
?p,a
2
?p
2
?q,a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
（
n?3,n?N
*
）
（1）若
p?1,q?
1
?
1
?
*
，证明：数列
?
a
n?1
?a
n
?
(n?N)
是等比数列；
2< br>?
4
?
?
n?1
?
?
n?1
（2） 若
?
?
?
，求数列
?
a
n
?
的通 项公式（用
?
，
?
表示）
a
n
?

?
?
?
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
信达