高中数学教育科研笔记-以前高中数学学什么
高一数学三角函数知识整理
一、正弦函数
图像
函数y=sin
x的定义域,值域,奇偶性,单调性,周期性
1、 函数y=sin
x的定义域是R,值域为[-1,1]
2、 当x∈{x| x=
2k
?
?
?
2
,k∈Z}时,y有最大值为1,当x∈{x|
3
x=
2k
?
?
?
,k∈Z}时,y有最小值为-1
2
3、
函数y=sin x的图像关于原点对称是奇函数,可以根据sin(-x)=-sin
x证明。
对称中心为(
k
?
,0)对称轴为x=
k
?
+(k∈Z)。
4、在[
2k
?
?
,
2k
?
?
]
k∈Z上单调递增,在[
2k
?
?
,
2k
?
??
]k
222
?
2
?
??
3
2
∈Z上单调递减。
5、函数y=sin x的周期为
2k
?
(k∈Z
且k
?
0),最小正周期为2π
注意有界性:
sinx?1
二、余弦函数
图像
函数y=cosx的定义域,值域,奇偶性,单调性,周期性
1、 函数y=cos
x的定义域是实数集R,值域是[-1,1]
2、 当x∈{x|
x=
2k
?
,k∈Z}时y有最大值为1,当x∈{x|
x=
2k
?
+
?
,k
∈Z}时,y有最小值为-1。
3、
函数y=cosx关于y轴对称是偶函数,可以通过诱导公式
cos(-x)=cosx证明。
对称中心[
k
?
?
,0],对称轴为x=
k
?
2
?
4、 在[
2k
?
?
?
,
2k
?
]上单调递增,在[
2k
?
,
2k
?
?
?
]上单调递减。
5、 函数y=cosx的周
期为
2k
?
(k∈Z且k
?
0)最小正周期为2π。
注意有界性:
cosx?1
三、正切函数
图像
函数y=tanx定义域,值域,奇偶性,单调性,周期性
1、 y=tan
x的定义域是{x| x∈R且x
?
k
?
?
,k∈Z}。因为定义域
不
2
?
连贯,所以当有题目说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的
(同样用
于其它所有函数)。值域是一切实数R
2、 y=tan
x的定义域关于原点对称是奇函数,根据诱导公式且
tan(-x)=-tan x可以证明。
对称中心:
?
?
k
?
?
,0
?
,(k?
Z)
2
??
3、 y=tan
x在(
k
?
?
,
k
?
?
)上单调递增
22
??
4、 函数y=tanx的周期是
k
?
(k∈Z且
k
?
0),最小正周期为π
5、 无最值
四、周期性
一般的,
对于函数
f(x)
,如果存在一个常数T(T
?
0),使得当x取
定
义域D内的任意值时,都有
f(x?T)?f(x)
成立,那么函数
f(x)
叫做
周期函数,常数T叫做这个函数的周期,对于一个周期函数来讲,如
果在所有周期里存在一
个最小正数,那么这个最小正数就叫做函数
f(x)
的最小正周期。
五、函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像与性质
图像变换法
(1)A称为振幅,A引起的是图像的纵向伸缩,
当0当A>1时,横坐标不变,各点纵坐标伸长为原来的A倍
当A<0时,把图像关于x轴翻折。
(2)
?
称为角频率,
?
引起的是图像的横向伸缩
当0<
?
<1时,函数的y值不变,x伸长为原来的
1
?
当
?
>1时,函数的y值不变,x缩短为原来的
1<
br>?
当
?
<0时,要利用诱导公式将负号放到三角符号的外面再做原来的
图像后,关于x轴翻折。
(3)
?
改变的是函数的初始位置,按照左加右减的原则将
函数整个函
数向左或者向右平移
?
个单位,所以
?
?
称作初
相。
1
?
(4)频率
f??
T2
?
(5)性质:定义域为R,值域为[-1,1]
奇偶性:当
?
?k
?
时,奇函数;
当
?
?k
?
?
当
?
?
?
2
时,
偶函数;
k
?
时,非奇非偶函数。
2
把
?
x?
?
看作一个整体考虑单调性和最值。
五点法作图:列表描点
1、画函数图像时要利用五点法作图,要列表、描点
2、通常是在一个周期里作图,x通常取0,
?
,π,
?
,2π。
3、当三角符号后面是复合函数时,将整个复合函数看作一个整体分
别取0,
?
,π,
?
,2π。5点作图。
4、当x前系数为负的时候,要利用诱导公式将函数化成一般形式作
图。即x前的系数一定为正
注:当函数既要伸缩又要平移的时候,应遵循先平移后伸缩的原则
1
2
3<
br>2
1
2
3
2
六、反三角函数
反正弦函数
函数
y?sinx
x?[?
??
,]
的反函数叫做反正弦函数,记作
22
y?arcsinx
,
x?[?1,1]
?
?,
定义域:[-1,1] 值域:
?
??
22
??
??
奇函数,即arcsin(-x)=-arcsinx,非周期函数
在
[?1,1]
上是增函数
反余弦函数
y=cosx
,
x?[o,
?
]
的反函数叫做反余弦函数,记作
x?[?1,1]
y?arccosx
,
定义域:[-1,1] 值域:
?
0,
?
?
非奇非偶函数,即
arccos(?x)?
?
?arccosx
在
[?1,1]
上单调递减
反正切函数
把函数y=tanx ,
x∈
(?
??
,)
的反函数记作,
y?arctanx
x?R
22
?
??
?
定义域:R
值域:
?
?,
?
?
22
?
奇函数,即<
br>arctan(?x)??arctanx
在R上单调递增
注:反三角函数后跟的数是一个值,反三角函数的值表示的就是这个
数所对应的角的弧度制数。
求反三角函数注意:
所有三角函数只有在特定的定义域上才具有反函数,即y=sinx
x?[?
??
,]
,y=cosx x
∈
[0,
?
]
,y=tanx
x?(?,)
。当三角<
br>2222
??
函数的定义域不在特定区间内,要利用诱导公式或者分段把定义域化
到特定区间内才能求反函数。
七、最简三角方程
定义:我们把含有未知数的三角
函数方程叫做三角方程,把所有
满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集。由于三角函数的周期性,因此一般的三角函数的解集含有无穷多个元素。
形如sinx=a
,cosx=a, tanx=a的方程叫做最简三角方程。
sinx=a
当
a?[?1,1]
,方程无实数根
当a=1或者a=-1时,方程的解集
为
{x|x?2k
?
?
?
2
,k?Z}
或者
3
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}
2
k
当a在(-1,1)内时x的解集为
{x|x?k
?
?(?1)arcs
ina,k?Z}
。
cosx=a
当
a?[?1,1]
时,方程无解
当a=1或a=-1时,方程的解集为<
br>{x|x?2k
?
,k?Z}
或
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}
,
当a在(-1,1)时方程的解集为
{x|x?2k
?
?arccosa,k?Z}
tanx=a
当x?R
时,解集为
{x|x?k
?
?arctana,k?Z}
注:在解
三角方程时,特别是正弦和余弦,要先注意a的范围,若不
在【-1,1】内,则方程无解,在{1,-
1}内的话在一个周期内只有一个
解,不能套用公式,并且要注意题给的x的范围,在求出解集后,选<
br>出符合题给范围的所有解,用列举法表示。
八、常用公式
y?Asin(
?
x?
?
)或y=Acos(
?
x+
?
)
周
期公式
T?
?
2
?
?
y?Atan(
?
x?
?
)
的周期公式
T?
?
arcsin(sinx)?x
x?[?,]
22
??
sin(arcsinx)?x
x?[?1,1]
arccos(cosx)?x
x?[0,
?
]
cos(arccosx)?x
x?[?1,1
]
arctan(tanx)?x
x?(?
??
,
)
22
tan(arctanx)?x
x?R
ar
csinx?arccosx?
arctanx?arccotx?
?
2
,<
br>x?[?1,1]
,
x?R
?
2
必须掌握假设角的思想
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