高一数学必修四平面向量知识与题型归类

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（1）
一．向量有关概念：
1、向量的概念：既有大小又有方向的量，
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：
0
，注意零向量的方向不确定；
3、①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；
②
a
的单位向 量：与
a
同方向且长度等于1的向量，记作
u
a
ur
ur
a
ur
a
0
并且
0
?
r
a
；
r
③与
a
共线的单位向量：与
a
方向相同或相 反且长度等于1的向量，可表示为
?
a
r
a
。
4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；
5、平行向量（也叫共线向量） ：向量的基线平行或重合，称为向量共线或平行，记作：
a
∥
b
；
即共线的向量方向相同或相反；规定：零向量和任意向量平行。
6、相反向量：长度相等方向 相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是－
a
。
二．向量的表示方法：
1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如
AB
，注意起点在前，终点在后； < br>2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如
a
，
b
，
c
等；
3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
，
j
为基底，则平
面内的任一 向量
a
可表示为
r
a?xi
r
?y
r
j?
?
x,y
?
，称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标，
a
＝
?
x,y
?
叫做向量
a
的
坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三．向量的运算：
1．几何运算：
（1）向量加法运算：
①三角形法则的特点：首尾相连．
②平行四边形法则的特点：共起点．
（2）向量的减法：三角形法则的特点：共起点，方向指向被减向量

C



a
r


?


b
r


?

a
r
?b
r
?
u
?
uu
C
r
?
u
??
uur
?
u
?
u
C
ur

2、向量的数乘运算：
实数
?
与向量
a
的积是一个向量， 记作
?
a
，它的长度和方向规定如下：
①
?
r
a?
?
r
a,

②当?
>0时，
?
a
的方向与
a
的方向相同，当
?
<0时，
?
a
的方向与
a
的方向相反，当
?
＝0时，
?
r
a?
r
0
，
3、向量的坐标运算 ：设
r
a?(x
r
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
，则：
①向量的加减法运算：
r
a? b
r
?(x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
)
。
②实数与向量的积：
?
r
a?
?
?
x
1
,y
1
?
?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
。
③若
A(x (x
uuur
1
,y
1
),B
2
,y
2< br>)
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y< br>2
?y
1
?
，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的
终点坐标减去起点坐标。
④向量的模：
|
r
a|?x
2
?y
2
,

r
a
2
?|
r
a|
2
?x
2
?y
2

四．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量
a
，
b
，作
u
OA
uur
?
r
a ,
u
OB
uur
?b
r
，
?AOB?
?< br>?
0?
?
?
?
?
称为向量
a
，b
的
夹角，记作
r
a,
r
b
，当
?< br>＝0时，
a
，
b
同向，当
?
＝
?
时 ，
a
，
b
反向，当
?
＝
?
时，
a
，
b
垂直。
2．平面向量的数量积：如果两个非零向量
a
，
b
，它们的夹角为
?
，我们把数量
|
r
2

a||
r
b|cos
?
叫做
a
与
b
的
数量积（或内积或点积），记作：
a
?
b
，即
a
?
b
＝
r
ab
r
cos
?
。规定：零向 量与任一向量的数量积是0，
注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．
a在
b
方向上的正射影的数量为
|
r
a|cos
r
a,
r
b
=
r
r
ag
a
r
g< br>r
b
r
ag
r
b
a
r
b
?
r
b
，它是一个实数，但不一定大于0。
4．向量数量积的性质：设两个非 零向量
a
，
b
，其夹角为
?
，则：
①
r
a?
r
b?
r
a?
r
b?0
；
②当
a
，
b
同向时，
a
?
b
＝
r
a
r
b
，特别地，
r
a
2
?
r< br>a?
r
a?
r
a
2
,
r
a?
r
a
2
；当
a
与
b
反向时，
a
?
b
＝－
r
a
r
b
；
③
|r
a?b
r
|?|
r
a||b
r
|
。
④
?
为锐角
?
a
?
b
＞0，且
r
a、 b
r
不同向，；
?
为钝角
?
a
?
b
＜0，且
r
a、 b
r
不反向；

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（2）
5、平面向量数量积的坐标运算：
设两个非零向量
a
r
?
?
x
，
b
r
1
,y
1
?
?
?
x
2
,y
2
?
，则
①
a
r
?b
r
?x
1
x
2
?y
1
y2
．
②若
a
r
?
?
x,y
?
，则
a
r
2
?x
2
?y
2
，或
a
r
?x
2
?y
2
．
③设
a
r
?
?
x,y
r
,y
r
r
11
?< br>，
b?
?
x
22
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
④设
a
r
、
b
r
都是非零向量，
a
r
?
?
x
r
r
r
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?< br>是
a
与
b
的夹角，则
r
r
cos
?
?
a
x
1
x
2
?y
1
y
a
r
?b
b
r
?
2
x
2
?y222
．
11
x
2
?y
2
五．向量的运算律：
1．交换律 ：
r
a?
r
b?
r
b?
r
a
，< br>?
?
?
r
a
?
?
?
??
?
r
a
，
r
a?
r
b?
r
b?r
a
；
2．结合律：
r
a?
r
b?
r
c?
?
r
a?
r
b
?
?
rc,
r
a?
r
b?
r
c?
r
a??
b
r
?
r
c
?
，
?
?r
a
?
?
r
b?
?
?
r
a?
r
b
?
?
r
a?
?
?
r
b
?
；
3．分配律：
?
?
?
?
?
r
a?
?
r
a?
?
r
a,
?
?
r
a?
r
b
?
?
?
r
a?
?
r
b
，
?
r
a?
r
b
??
r
c?
r
a?
r
c?b
r
?
r
c
。
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等 式，可以移项，两边平方、两边
同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除 以一个向量，即两边不能约去一
个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a(b?c)?(a?b)c
。
六、向量共线与垂直的条件
①平行向量基本定理：若
r
a?
?r
b?
r
a
r
b
，反之，若
r
ar
b(
r
b?
r
0)?
r
a?
?r
b
（其中
?
是唯一的实数）
②向量共线的坐标表示：设两个 向量
a
r
?
?
x
r
1
,y
1?
，
b?
?
x
2
,y
2
?

则
r
a
r
，
b?x
1
y
2
?y
1
x
2
?0

③三点共线：不重合的三点
A 、B、C
共线
?
u
AB
uur
?
?
uAC
uur

?
存在实数
?
、
?
使得
uu
PA
ur
?
?
uu
PB
ur
?
?
uuu
PC
r
且
?
?
?
?1
.
④向量垂直的条件：
r
a?
r
b?
r
a?
r
b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
七、平面向量的基本定理：如果
u
e
r
和
u
e
ur
r
1
2
是同一平面内的两个不共线向 量，那么对该平面内的任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
、
?
rur
＋
?
uururuur
uruur
1
2< br>，使
a?
?
1
e
12
e
2
。其中不 共线向量
e
1
,e
2
叫做一组基底，记作
?
e1
,e
2
?
。
八、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）
||r
a|?|
r
b||?|
r
a?
r
b|?|< br>r
a|?|
r
b|
，特别地，前面等号成立的条件是
r
a、 b
r
同向或有
r
0
；后面等号成立的条
件是
r
a、 b
r
反向或有
r
0

（3）在
?ABC
中，
①重心：中线的交点且重心将中线分成2：1两段； 外心：中垂线的交点；
垂心：高线的交点； 内心：角平分线的交点。
②
u
PA
uur
?
u
PB
uur
?
u
PC
uur
?
r
0?P
为
?ABC
的 重心；
③
u
PA
uur
?
u
PB
uur
?
u
PB
uur
?
u
PC
uur
?
u
PC
uur
?
u
PA
uur
?P为
?ABC
的垂心；
④
u
PA
uur
2?
u
PB
uur
2
?
u
PC
uur< br>2
?P为?ABC的外心
;
u
uuur
⑤若向量
u
AP
uur
=
?
(
AB
uur
|
u
AB
uur
|
?
|
u
AC
AC
uur
|
)(
?
?0)
,则点P的轨迹一定过
?ABC的内心；

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（3）
经典题型：
一、 基本概念
判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）若
r
a
与r
b
不共线，则
r
a
与
r
b
都不是零 向量。
（5）若A、B、C、D四点构成平行四边形，则
u
AB
uur?
u
CD
uur
。
（6）若
u
AB
uur
?
u
CD
uur
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（7）若
r
a?
r
b
，则
r
a?b
r
。 （8）若
r
a?
r
b,
r
b?
r
c
，则
r
a?
r
c
。
（9）若
r
a
r
b,
r
b
r
c< br>，则
r
a
r
c
rr

（10）
若agc?
r
bg
r
c,则
r
a ?
u
b
r
;

（11）若
ma
r
?mb
r
，则
r
a?b
r
。 （12）若
ma
r
?na
r
，则
m?n
。
??
（13）若
a?b?0
??
，则
a?0
或
b ?0
（14）若
|
r
a?
r
b|?|r
a?
r
b|
，则
r
a?
r
b
。
（15）
(a
r
?b
r
)
2
?a< br>r
2
?b
r
2

二、向量的运算
1、化简 ：①
u
AB
uur
?
u
BC
uur
?u
CD
uur
?
___；②
u
AB
uur?
u
AD
uur
?
u
DC
uur
?< br>____；③
(
u
AB
uur
?
u
CDuur
)?(
u
AC
uur
?
u
BD
uur
)?
_____
2、若O是
?ABC
所在平面内一点，且满 足
u
OB
uur
?
u
OC
uur
?
u
OB
uur
?
u
OC
uur
?2
u< br>OA
uur
，则
?ABC
的形状为____
3、若
D
为
?ABC
的边
BC
的中点，
?ABC
所在平面 内有一点
P
，满足
u
PA
uur
?
u
BP
uur
uuur
?
u
CP
uur
?
r0
，设
|AP
|
u
PD
uur
|
|< br>?
?
，
则
?
的值为___
4、若点
O是
△ABC
的外心，且
u
OA
uur
?
uOB
uur
?
u
CO
uur
?
r
0< br>，则
△ABC
的内角
C
为____
???
5、若M （-3，-2），N（6，-1），且
MP??
1
???
3
MN，则点P的坐标为_______
三、向量的夹角与数量积
???
1、△AB C中，
|AB|?3
??????
，
|AC|?4
，
|BC |?5
，则
AB?BC?
_________
2、已知
r
a?(1,
1
rrurrr
rur
2
),b?(0,?
1< br>2
),
r
c?
r
a?kb,d?a?b
，
c
与
d
的夹角为
?
4
，则
k
等于____
3、已知平面向量
a,b
满足
（
r
a?
r
b）g(2
r
a?
r
b)??4且
r
a?2，
r< br>b?4
且，则
a与b
的夹角为
4、已知
ra,b
r
是两个非零向量，且
r
a?
r
b?
r
a?
r
b
，则
r
a与
r
a?
r< br>b
的夹角为____
5、 设非零向量
a
、
b
、< br>c
满足
|a|?|b|?|c|,a?b?c
，则
?a,b??

6、已知
a?5,b?4，
a与b
的夹角
??
2
?
3
，则向量
b
在向量
a
上的正 射影的数量为
?
a|?3|
?
b|?5
????< br>7、已知
|
，，且
a?b?12
，则向量
a
在向量< br>b
上的正射影的数量为______
8、已知
r
i
与
r
j
为互相垂直的单位向量，
r
a?
r
i?2
r
j
，
r
b?
r
i?
?
r
j
且
r
a
与
r
b
的夹角为锐角，则实数
?
的取值范
围是_________
9、如图，等边△
ABC
中，
A B?2AD＝AC＝4AE＝4
，求
u
BE
uur
g
uCD
uur
．









10、如图，在矩形
ABCD
中，
AB?2 ，BC?2，
点
E
为
BC
的中点，点
F
在边
CD
uuuruuur
uuuru
上，若
AB?AF?2
，求AE?BF
uur
的值．

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（4）
四、向量共线与垂直
1、若向量
r
a?(x,1),b
r
?(4,x)
，当x
＝_____时
r
a
与
r
b
共线且方向相同
2、已知
a,b
不共线，
c?ka?b,d?a?b
，如果
c
∥
d
，那么k= ,
c
与
d
的方向关系是
3、
a?（1， 2）,b?(2,?3)，若向量c满足于（c?a）
∥
b
，
r
c? （
r
a?
r
b），则
r
c?______

4、设
u
PA
uur
?(k,12),
u
PB
u ur
?(4,5),
u
PC
uur
?(10,k)
，则k＝_____
时，A,B,C共线
5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角 三角形OAB，
?B?90?
，则点B的坐标是________
???
??????
6、平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其
中
?
1
,
?
2
?R
且
?
1
?
?
2
?1
,则点
C
的轨迹方程是____________
7、若
a
r
?(12,5)
，求
①
r
a
的单位向量；
②与
r
a
共线的单位向量；
③与
a
r
垂直的单位向量。






8、已知
a
=（1，2），
b
=（-3，2） ，①若k
a
+2
b
与2
a
-4
b
共线，求 实数k的值；②若k
a
+2
b
与2
a
-4
b
垂
直，求实数k的值






五、向量的模
1、 设向量
a
，
b
满足
a?b? 1
及
4a?3b?3
，则
3a?5b
的值为
2、 设向量
a
，
b
满足
a?1,b?2,a?(a?2 b),则2a?b的值为

3、已知向量
r
a、
r
b、
r
c
两两之间的夹角为60°，其模长都为1，则
r
a －
r
b＋2
r
c
= .
4、已知 向量
a?(1,sin
?
),b?(1,cos
?
),则a?b的最大值为
5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
u
BC
uur
2
?16,
u
AB
uur
?
u
AC
uur
?
u
AB
uur
?
u
AC
uur
,则
u
AM
uuur
?_____

六、平面向量基本定理的应用问题
1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A.
u
e
r
(0,0),
u
e
uru ruur
(5,7)
uruur
uruur
13
1
?
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?

C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3),e
2
?(
2
,?
4
)

2、
r
a?（，11），
r
b?（?11，），
r
c?（4，2），则
r
c?（ ）

(A)
3a?b
(B)
3a?b
(C)
?a?3b
(D)
a?3b

3、已知
u
AD
uur
,
u
BE
uur
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
u
AD
uur
?
r
a,
u
BE
uur
?
r
b
,则
u
BC
uur
可用向量
r
a,b
r
表示为_____
????????????
4、已知
?ABC
中，点
D
在< br>BC
边上，且
CD?2DB
，
CD?rAB?s
?
A C
??
，则
r?s
的值是________
????
5、 如图,在△
ABC
中,
AN?
1
??
3
NC
,
P
是
BN
上的一点,若
??
AP
?
? m
??
AB
?
?
2
???
9
AC
,求实数
m
的值 ．
A
6、如图
?ABC
中，
AD?2DB
,
2AE?EC
,
BEICD?P
，uuuruuuru
E
若
AP?xAB?yAC
uur
(x,y ?R)
，求
x?y

D

P

B
C

高一数学必修四《平面向量》基础知识与题型归类（5）
七、平面向量与三角函数的综合
1、已知
?
?
?
?
3
?
2
，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为
A(3,0)
、
B(0,3)
、
C(cos
?
,sin
?
)
。
(I)若
|
u
AC
u
2
ur|?|
u
BC
uur
|
，求角
?
的值； (II)当
u
AC
uur
?
u
BC
uur??1
时，求
2sin
2
?
?sin(2
?
)
1?tan
?
的值。














2 、已知
?ABC
的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量
m?( 1,sin(B?A))
，平面向量
n?(sinC?sin(2A),1).
若
m?n,
请判断
?ABC
的形状.














3、已知平面向量
r
a?(sin
?
,?2),b
r
?(1,cos
?
)相互垂直，其中
?
?（0，
?2
）
（）求1sin
?
和cos
?
的值;
< br>(2)若sin(
?
?
?
)?
10
?
10< br>,0?
?
?
2
,求cos
?
的值.









4、已知r
a?（sin
?
，cos
?
）（0?
?
?< br>?
），b
r
?（，13
（）当1
?
为何值时，向量< br>r
a，b
r
）
不能作为平面向量的一组基底？

（ 2）求
r
a?b
r
2
的取值范围。
小学二（2）班班规

一、 安全方面
1、 每天课间不能追逐打闹。
2、 中午和下午放学要结伴回家。
3?? 公路上走路要沿右边走，过马路要注意交通安全。
4?? 不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
1、每天到校后，不允许在走廊玩耍打闹，要进教室读书。

2、每节课铃声一响，要快速坐好，安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作，不与同桌说悄悄话， 认真思考，积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。每天按时完成作业，保证字迹工整，
卷面整洁。
5、考试时做到认真审题，不交头接耳，不抄袭，独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时，要快速出教室排好队，做到快、静、齐，安静整齐地排队走出
课室门，班长负责监 督。
2、上午第二节后，快速坐好，按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响，在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7：35到校做值日。
2、要求各负其责，打扫要迅速彻底，打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员（剑锋，锶妍，炜薪）要按时到岗，除负责自己的值日工作
外，还要做好记录。
五、 一日常规
1??每天学生到齐后，班长要检查红领巾。
2??劳动委员组织检查卫生。
3、 每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、 上课前需唱一首歌，由文娱委员负责。
5?? 做好两操。
6?? 放学后，先做作业，然后帮助家长至少做一件家务事。
7?? 如果有人违反班规，要到老师处说明原因。
班训：

坐如钟 站如松 快如风 静无声


班规：

课堂听讲坐如钟，精神集中认真听；

排队升旗站如松，做操到位展雄风；

做事迅速快如风，样样事情记得清；

自习课上静无声，踏实学习不放松；

个人努力进步快，团结向上集体荣；

我为领巾添光彩，标兵集体记我功。




加分标准
序
号
考核项目 加分值 备注
1 单元考试满分 +2

2 单元考试85分以上 +1
3 课堂小测满分 +1
4 期中、期末考试满分 +3
5 在红领巾广播站投稿+2
一次
6 在校级活动中获奖 +5
7 作业十次全对得一颗+3
星
8 课堂上得到表扬 +1
9 班干部工作认真负责 +1
10 做好事、有利于班集体+2
和学校的事
11 进步比较明显 +2
12 连续一周该组值日卫本组值日生
生达标 每人加2分






扣分标准
序考核项目 扣分值 备注
号
1 没交作业、不做晚作业 -1


2 忘带书本、学具 -1


3 迟到 -1


4 在课堂上被老师点名 -2
5 不穿校服，不戴红领巾 -1


6 吃零食、带钱、带玩具 -2
7 说脏话、打架 -3

请家长，写保证书
8 座位周围有垃圾 -2


9 课间操、眼保健操不认-1
真做

10 升旗时违反纪律 -2


11 来学校不进教室，在走-1

廊聊天打闹

12 体育课打闹说话、排队-2

不整齐


注：每人基本分60分起，学期末核算总分，作为学期评先依据。