粉笔科目三高中数学-高中数学知识点 解析几何总结
高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(生)
1
《数学》必会基础题型——《平面向量》 【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量既有大小又有方向的量。记作或
a。
2.向量的模向量的大小或长度记作
|
|AB或| |
a。
3.单位向量长度为1的向量。若e是单位向量则
。
4.零向量长度为0的向量。记作。【0方向是任意的
向量平行】
5.平行向量共线向量方向相同或相反的向量。
6.相等向量长度和方向都相同的向量。
7.相反向量长度相等方向相反的向量。
。
8.三角形法则
1 24
且与任意
AB
BC CD DE AE AB AC CB
9.平行四边形法则
以,
a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为
10.共线定理
。当时与同向当
向。
11.基底任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模若
则2 2| |
2| |
13.数量积与夹角公式
| | | |
2
24
指向被减数
。
时与反
a b
14.平行与垂直
题型1.基本概念判断正误
1共线向量就是在同一条直线上的向量。
2若两个向量不相等
3与已知向量共线的单位向量是唯一的。
4四边形ABCD是平行四边形的条件是AB CD
。
5
则A、B、C、D四点构成平行四边形。
6因为向量就是有向线段所以数轴是向量。
3 24
则它们的终点不可能是同一点。
若AB CD
7若
a与b共线
8
则a b
10
a与b不共线则a与b都不是零向量。
11
则
a b。
12
则
题型2.向量的加减运算
1.设
a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则
4 24
与c共线则a与c共线。
若ma mb
。 2
9若ma na则m n。
若
若
若| | | |
。
。
2.化简( ) ( )
。
3.已知
则| |AB的最大值和最小值分别为
、 。
4.已知AC AB AD
为
与的和向量
则
AD 。
5.已知点C在线段AB上且3
5
则
题型3.向量的数乘运算
1.计算
5 24
且
。
2.已知
3
2
。
题型4.作图法球向量的和
已知向量,
如下图请做出向量1
3
2
和32
2
。
则1
6 24
a b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC
中D是BC的中点请用向量ABAC
2.在平行四边形ABCD中已知
求AB AD
和。
题型6.向量的坐标运算
1.已知
A则点B的坐标是 。
2.已知
则点Q的坐标是 。
3.若物体受三个力1
7 24
表示AD。
则合力的坐标为
。 3
4.已知
5.已知(1,2), (3,2)
A B,向量
与AB相等
x y的值。
6.已知(2,3)
则
。
7.已知O是坐标原点
且
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
8 24
求。
求,
求OC的坐标。
1.已知1 2,
e e是平面内的一组基底判断下列每组向量是否能构成一组基底
A.1 2 1 2
和
和 和
2.已知(3,4)
能与a构成基底的是
A.3 4
( , )
5 5 B.4 3
( , )
5 5 C.3 4
( , )
5 5
D.4
( 1, )
9 24
和4 C.1 2 2 13
3
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点点A在第二象限
求OA的坐标。
2.已知O是原点点A在第一象限
| | 4
求OA的坐标。
题型9.求数量积
1.已知
且a与b的夹角为
2
10 24
求
31
( )
2
2.已知(2, 6), ( 8,10)
求
3(2 )a a b
(2 ) (
4
11 24
。
。
题型10.求向量的夹角
1.已知
求a与b的夹角。
2.已知
求a与b的夹角。
3.已知(1,0)
求
1.已知
且a与b的夹角为
。
2.已知(2, 6),
( 8,10)
求
12 24
。 4
题型11.求向量的模
求
|
|
2
。
3.已知
求
。
题型12.求单位向量
a平行的单位向量
a
【与
13 24
e
a
】
1.与(12,5)
平行的单位向量是
2.与1
( 1, )
2
平行的单位向量是
。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知
。
m为何值时
14 24
当
2.已知(1,2)
k为何值时向量与垂直
2
k为何值时向量与平行
3.已知
a是非零向量且求证
题型14.三点共线问题
1.已知(0, 2)
求证三点共线。
15 24
。
2.设2
( 5
), 2 8 , 3( )
2
求证
、
、三点共线。
5 3.已知
则一定共线的三点是 。
4.已知(1, 3)
若点
在直线AB上求a的值。
5.已知四个点的坐标(0,0)
是否存在常数
成
立
16 24
使
题型15.判断多边形的形状
1.若3
且
则四边形的形状是
。
2.已知(1,0)
证明四边形ABCD是梯形。
3.已知( 2,1)
求证
4.在平面直角坐标系内
17 24
是直角三角形。
求证
题型16.平面向量的综合应用
1.已知(1,0)
当
k为何值时
2.已知
且a
b
求b的坐标。
3.已知a b
与同向
则10
求a的坐标。
3.已知(1,2)
18 24
是等腰直角三角形。
向量与平行
则
4.已知(5,10)
请将用向量
,a b表示向量c。
5.已知( ,3)
若
a与b的夹角为钝角求m的范围
2若
a与b的夹角为锐角求m的范围。
19 24
。
6.已知
当m为何值时
钝角
为锐角
7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)
且
求点C的坐标。 6 8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别
为
9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶
向与水流方向成30角
水流速度与船的实际速度。
10.已知ABC
三个顶点的坐标分别为(3,4)A(0,0)B( ,0)C c
1
20 24
与b的夹角为
与b的夹角
求第四个顶点D的坐标。
航船实际航行方
求
若0
求c的值若
【备用】
1.已知| | 3,| | 4,| | 5
求
和向量,
a b的夹角。
2.已知x a b
且
求
,x y的夹角的余弦。
1.已知(1,3), ( 2, 1)
则
。
21 24
求sinA的值。
4.已知两向量(3,4), (2, 1)
求当与垂直时的x的值。
5.已知两向量(1,3), (2, )
与的夹角为锐角求的范围。
变式若
与的夹角为钝角求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法
1.特例法
例《全品》。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立
取特殊情况即M,N与B,C
重合时可以得到1
。
2.代入验证法
例已知向量(1,1), (1, 1), ( 1, 2)
则
22 24
所以
A.1 3
2
2
2 2
2 2
2 2
变式已知(1,2), ( 1,3), ( 1,2)
请用,a b表示c。
3.排除法
例已知M是ABC
的重心则下列向量与AB共线的是
MB BC
23 24
B.3AM AC BC AC BM
CM
24 24
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