浅析向量在高中数学中的角色

浅析向量在高中数学中的角色
在高中数学新课程教材中，在必修二学习空间几何体，点 、线、面的位置关系，接着必修四第
二章学习平面向量，让学生对向量有了初步认识，到选修2-2的空 间向量与立体几何充分将之前学
过的内容有机的结合在一起，用向量解决空间几何问题思路清晰，过程简 洁，有意想不到的神奇效
果，比起过去的常规法解决空间几何问题有了更深刻更新颖的认识。这充分揭示 方法求变的重要性，
如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物
理 等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一
体，能与 中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，空间
几何占有着很重 要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数
的转化，则会大大简化 过程。
根据2010年的《高考大纲》数学科目在2009年的考纲的基础上基本没有变动。这一特点 说明
全国高考数学科的考试通过多年的探索、改革，已逐渐趋于稳定的格局，形成“保持稳定，注重基< br>础，突出能力，着力创新”的特色。《考纲》强调了对数学基础的考查。对数学基础知识的考查，
要既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主
体，注 重学科的内在联系和知识的综合性，不要刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维
价值的高度考 虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。
我仔细研读《考 纲》对“考试内容”的具体要求，不难发现，其重点内容集中在函数、导数、
三角函数、向量、概率与统 计、数列、不等式、直线与平面、直线与圆锥曲线等是支撑数学学科知
识体系的重点内容。所以在这里依 据考纲，在全面复习的基础上重点把握个别热点问题。现在我就
以对向量在高考中扮演的角色及向量的教 学与成果，总结以下几点认识与同行进行分析、共享，希
望能抛砖引玉。
1．空间向量在高中数学中的地位和作用
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供 新的视角。在空间特别是空间直角坐标系
中引入空间向量，可以为解决立体图形的形状、大小及位置关系 的几何问题增加一种理想的代数工
具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。这相对过去要有很强的 空间立体思维即利用做几条
辅助线或者平移线段解决问题这些方法来的更加方便。
2．向量在高考中的地位提升
电脑在改朝换代，科技在日异更新，等等无不说明了一个现象： 事物是会随着时间的推移为了
适应环境而逐步在进化，这是达尔文的进化思想。同理，从2002年起， 随着中学教改的逐步深入，
对新课程的命题已经提高了要求，这些新增内容的考查形式和要求也相应发生 变化，向量、导数等
知识已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的 工具，成为综
合运用数学知识，多角度展开解题思路的重要教材。所以对这些教材的深入使得新课程计划 与现行
教学情况相比，教学时间比较紧张，复习时间相对短，通常我考查层次会控制在基本题和中等题上 。
3．在2010年的《高考大纲》中考点解析强调

（1）向量：分值在1 0分左右，一般有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与
立体几何中均可能结合出题。向 量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角
函数、函数、解析几何、立体几何自然 交汇、亲密接触。在处理位置关系、长度、夹角计算上都有
优势，向量作为代数与几何的纽带，理应发挥 其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具
性功能，因此加大对向量的考查力度，充分体现向量 的工具价值和思维价值，应该是今后高考命题
的发展趋势。向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的 命题亮点，向量不再停留在问题的直接
表达水平上，而与解析几何、函数、三角等知识有机结合将成为一 种趋势，会逐渐增加其综合程度。
（2）立体几何：分值在22分左右（两小一大），两小题以基本位 置关系的判定与柱、锥、球的
角、距离、体积计算为主，一大题以证明空间线面的位置关系和有关数量关 系计算为主，诸如空间
线面平行、垂直的判定与证明，线面角和距离的计算。试题的命题可能趋向于不规 则几何体，但仍
以“方便建系”为原则。
4．发挥向量知识在解题中的作用。
向量 知识在立体几何、解析几何以及不等式等知识方面均能得到较充分的应用，因为向量具有
几何形式和代数 形式的双重身份，它可作为联系代数与几何的鹊桥，是中学数学知识的一个交汇点。
因此向量不仅要作为 一种知识去学习，更重要的是要作为一种方法、一种思想去理解，并渗透到它
的本质，充分发挥它的作用 ，将会给学生带去不可估量的兴趣。
下面我就以高考中利用空间向量解立体几何作为例题。
（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏)）第18题(本小题满分12分)
如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=
90
，O 为BC中点．
(Ⅰ)证明：SO⊥平面ABC；
(Ⅱ)求二面角A—SC—B的余弦值．
证明：
(Ⅰ)由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰
直 角三角形，所以OA=OB=OC=
?
S

O

C

2
SA，且OA⊥BC，又△SBC
B

2
2
SA，从而
2
A

S

为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=
M

O

C

OA
2
?SO
2
?SA
2
．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
B

又
AO?BO?O
．
所以SO⊥平面ABC．
A

(Ⅱ)解法一：取SC中点M，连结AM，OM，由(Ⅰ)知SO=OC，SA=AC，得O M⊥SC，AM⊥SC．
∴∠OMA为二面角A—SC—B的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，
SO?BC?O
得AO⊥平面SBC．
所以AO⊥OM,又AM=
3
SA，
2
故sin∠AMO=
AO26
．
??
AM3
3
3
．
3
所以二面角
A?S C?B
的余弦值为
个人浅析：显然在解法一中用的是立体几何知识解，这里的M点考生并非容易 找到，而且要说
明∠OMA就是所求的二面角这无形给考生增加一定的难度，也许在这道例题比较容易找 到二面角，
如果换作一些找二面角复杂一点的题型考生就会不适应，所以在这里我利用空间向量来解决夹 角问
题。
解法二：以
O
为坐标原点，射线
OB，OA
分别 为
x
轴、
y
轴的正半轴，建立如图的空间直角
坐标系
O?x yz
．设
B(1，0，0)
，则
C(?1，0，，0)A(0，1，，0)S (0，0，1)

∵AO⊥平面SBC∴SBC的法向量为
OA
=（0,1,0）
设平面SCA的法向量为
u
=（x,y,1）
z

S

∵
CS
=（1，0，1）
CA
=（1，1，0）
∴
u
⊥
CS
?
u
·
CS
=0
?
x+1=0
?
x=-1

u
⊥
CA
?
u
·
CA
=0
?x+y=0
?
y=1
O

x

B

C

A

y

∴
u
=(-1,1,1)
∴COS<
u
,
OA< br>>=
u?OA
=
1
uOA
1?3
=
3

3
个人浅析：在用空间向量解立体图关键是先建系再找相关的点坐标，向量坐标，及法向量 坐标，

法向量一旦找到问题就变得游刃有余，在平时的教学当中我反复强调的是法向量< br>u
的设法，一般情
况下是可以设为
u
=(x,y,1），但如果是坐标 面xoz或平行xoz面的平面还有坐标面yoz面或平行
yoz面的平面的法向量不能设为
u
=(x,y,1）,那么碰到这些问题怎么办呢？坐标面或平行坐标面的
法向量的设法其实很简 单,总结出坐标面xoy面或平行xoy面的法向量是
u
=(0,0,1)坐标面xoz或平行xoz面的法向量可以设为
u
=(0,1,0), 坐标面yoz面或平行yoz面的 法向量是
u
=(1,0,0)。这
些特殊的平面的法向量就不需要你在解题过程花很多 时间去运算寻找法向量，所以要善于用立体的
眼光先观察需要寻找的平面是否特殊。
（200 8年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(海南、宁夏)）18、（本小题满分12分）如图，
已知 点P在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
上，∠PDA=60°。
（1）求DP与CC
1
所成角的大小；（2）求DP与平面AA
1
D
1
D所成角的大小。
解: （1）如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D—xyz．
则A(1,0,0),C(0,1,0),C
1
(0,1,1),
∴
DA
=(1,0 ,0)BD,，
CC
1
=(0,0,1)，
连结BD,
B
1
D
1

在平面B
B
1
D1
D中，延长DP交
B
1
D
1
于H
设
DH
=(m,m,1)(m＞0)
A
D
D
1< br>A
1
P
C
1
B
1
C
B
z
由已知<
DH
,
DA
>=60，
o
D
1

DA
·
DH
=|
DA< br>||
DH
|cos<
DH
,
DA
>
m=
m?m?1?
22
H
P
A
1

D
A
x
C
1

B
1

C
B
y
1

2
2m=
2m
2
?1

解得m=
222
,∴
DH
=（，，1）
222