新人教版高一数学《向量的概念》市公开课教案

向量的概念
教学目的：
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨
认图形中的相等向量或出与某一已 知向量相等的向量；
3.了解平行向量的概念.
教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示
教学难点：向量概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析：
向量这一概念是由 物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向
量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具， 向量之
所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图
形的性质转化为向量 的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的
直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量 ，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量
范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明 了向量与数
量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、
减法、实数与向 量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量
与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向 量的坐标)的代数
运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法—
—向量法 和坐标法
本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的
概念、向量的加法 与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；
线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向 量数量积的坐
标表示、平移等
本节从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概
念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、
向量的长度、零向量、单位 向量、平行向量、共线向量、相等向量等
基本概念
在“向量及其表示”中，主要介绍有向线 段，向量的定义，向量
的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
教学过程：
一、复习引入：
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取 定单位后用

一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在
物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我
们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而
且用向量的有关知识还能有效地解决数学 、物理等学科中的很多问
题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节
课 ，我们将学习向量的有关概念.
二、讲解新课：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
注意：1?数量与向量的区别：数量只 有大小，是一个代数量，可
以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较
大小
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体
系，用以研究空间性质
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母
ａ
、
ｂ
等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：
AB
；
④向量
AB
的大小――长度称为向量的模，记作|
AB
|.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
00
的方向是任意的
注意
0
与0的区别
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ
平行，记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向 量
ａ
与
ｂ
相等，记作
ａ
＝
ｂ
；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示 ，

并且与有向线段的起点无关.
．．．．．．．．．．
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一
直线上.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位
置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的
位置关系.
探究：1.对向量概念的理解
要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.在线
段
AB
的两个端点中，我们规定了一个顺序，
A
为起点，
B
为终点，我
们就说线段
AB
具有射线
AB
的方向，具有方向 的线段就叫做有向线段.
通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以
A
为起点，以
B
为终
点的有向线段记为
AB
，需要学生注意的是：
AB< br>的字母是有顺序的，
起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、
长度.
既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方
向、作用点(起点)， 比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、
速度，我们现在所学的向量一般指后者.
2.向量不能比较大小
我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是
两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量
ａ
，
ｂ
，
ａ
＞
ｂ
，或
ａ
＜
ｂ
”这种说法是错误的.
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
初学向量的同学很可能认为一个实数与 一个向量之间可进行加
法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，
相乘 的意义就是几个相等向量相加.
4．向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有 大小和方向两个要素；与起点无关：
只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（ 2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大
小和方向相同，也是不同的有向线段
三、讲解范例：
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量< br>AB
与
CD
是共线向量，则
A
、
B
、
C
、
D

④四边形
ABCD
是平行四边形的充要条件是
AB
＝
DC

⑤模为0是一个向
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确. 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，
并不要求两个向量
AB
、
AC
在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是
相等的.
④、⑤正确 .⑥不正确.如图
AC
与
BC
共线，
虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、
共线向量的概念特征及相互关系 必须把握好.
例2下列命题正确的是（
A.
ａ
与
ｂ共线，
ｂ
与
ｃ
共线，则
ａ
与
c

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶

C.向量
ａ
与
ｂ
不共线，则
ａ
与
ｂ

D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由 于数学中研究
的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而
此时就构不成 四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所
以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可 ，与起点是否相同
无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其
逆否命题 来入手考虑，假若
ａ
与
ｂ
不都是非零向量，即
ａ
与
ｂ
至少有
一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有
ａ
与
ｂ
共线，不
符合已知条件，所以有
ａ
与
ｂ
都是非零向量，所以 应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可
以从反面进行考 虑，要启发学生注意这两方面的结合
四、课堂练习：
1．平行向量是否一定方向相同？（不一定）
2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
3．与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
4．与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
5．若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平

行向量）
6．两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）
7．共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
8．如图，设O是正六边形ABCDEF的中 心，分别写出
图中与向量
OA
、
OB
、
OC
相等的 向量
五、小结 ：向量及向量的有关概念、表示方法，还知
道有两个特殊向量，最后学了向量 间的两种关系，即
平行向量（共线向量）和相等向量
六、课后作业：
1.下列各量中不是向量的是（ A.浮力
B
.风速 C.位移 D.

2.下列说法中错误的是（ ）
．．
A.
B
.零向量的长度为0
C. D.
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终
点所构成的图形是（ ）
A.
B
.C. D.一个单位

4.“两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.

5.已 知非零向量
a
∥
b
,若非零向量
c
∥
a
, 则
c
与
b
必
定 .
6.已知
a
、
b
是两非零向量,且
a
与
b
不共线,若非零 向量
c
与
a
共线,
则
c
与
b
必定 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.
c
∥
b
6.不共线

七、板书设计（略）
八、试题：
1.在△
ABC
中,
AB
=
AC,
D
、
E
分别是
AB
、
AC
的中点, 则（
A.
AB
与
AC
共线
B
.
DE
与
CB
C.
AD
与
AE
相等 D.
AD
与
BD
相等
2.下列命题正确的是（
A.向量
AB
与
BA






B
.若
a
、
b
都是单位向量,则a
=
b

C.若
AB
=
DC
,则
A
、
B
、
C
、
D

D.两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3.在下列结论中,正确的结论为（
(1)
a
∥
b
且|
a
|=|
b
| 是
a
=
b

(2)
a
∥
b
且|< br>a
|=|
b
|是
a
=
b

(3)< br>a
与
b
方向相同且|
a
|=|
b
|是
a
=
b

(4)
a
与
b
方向相反或|< br>a
|≠|
b
|是
a
≠
b

A.(1)(3)
B
.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)

4.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构
成的图形是 ;若这些向量为单位向量,则终点构成的图形
是 .
5.已知|
AB
|=1,|
AC
|=2,若∠
BAC
=60°,则|
BC
|= .
6.在四边形
ABCD
中,
AB
=
DC
,且 |
AB
|=|
AD
|,则四边形
ABCD
是 . 7.设在平面上给定了一个四边形
ABCD
,点
K
、
L
、
M
、
N
分别是
AB
、
BC
、
C D
、
DA
的中点,
求证：
KL
=
NM
.
8.某人从
A
点出发向西走了200m到达
B< br>点,然后改变方向向西偏
北60°走了450m到达
C
点,最后又改变方向,向 东走了200m到达
D
点.

(1)作出向量
AB
、
BC
、
CD
(1 cm表示200 m)
(2)求
DA
的模.
.
9.如图,已知四 边形
ABCD
是矩形,设点集
M
={
A
、
B
、
C
、
D
},求集合
T
={
PQ
、Q
∈
M
,且
P
、
Q
不重合}.
参考答案：
1.B 2.A 3.D 4.

8.(1)


第9题图
5.
3
6.菱形 7.(略)

(2)450 m
9.{
AC
、
CA
、
BD
、
DB
、
AB
、
AD
、
BA
、
DA
}