复杂计算高中数学方法-高中数学增减区间公式
向量的有关概念
教学任务
理解有关向量的概念,掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向
知识与技能目标
量的
运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件3、了解
平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概
念,掌握平面向量
教
的坐标运算。
学
学生通过“回顾-反思-巩固-小结”的过程中,理解有关向量
目
的概念,掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则
标
过程与方法目标 及运算律,理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本
定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。
4、培养学生的观察、分析、归
纳、抽象的思维能力
情感,态度与价值
观目标
在探究活动中,培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
重点
理解有关向
量的概念,掌握向量加减法作图。掌握实数与向量的运算法则及运算律,
理解两个向量共线的充要条件
难点
了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力
教学流程说明
活动流程图
活动内容和目的
活动1 课前热身-练习 重温概念领会新知
活动2 概念性质-反思
深刻理解定义,理解平面向量的坐标的概
念,掌握向量加减法作图
活动3
提高探究-实践 掌握平面向量的坐标运算
活动4 归纳小结-感知
让学生在合作交流的过程总结知识和方法
活动5 巩固提高-作业 巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
设计
意图
活动1课前热身(资源如下)
向量:既有大小又有
重温
1、基本概念
方向的量,向量的长度
概念
向量的定义____________________、
(模)——向量的大小,
领会
向量的模____________________、
零向量____________________、
记作
a
或
AB
新知
同方向单位向量____________________、
平行向量(共线向量)
相反向量____________________、
——方向相同或相反的
平行向量____________________、
非零向量,规定零向量与
相等向量______________________________ 任意向量平行。
向量的表示:__________________________
相等向量——长度相
2、加法与减法的代数运算 等且方向相同的向量,若
若
r
a
=(
x
r
(
x
rr
1
,y
1
),
b
=
2
,y
2
)则
a
?<
br>b
=( )
向量
a
与
b
?
相等,则记
向量加法与减法的几何表示:___________________
向量加
法有如下规律:____________;____________;____________;
作
a?b
。
____________
零向量——长度为零
3
、实数与向量的积:实数
?
与向量
a
的积是一个向量。
的向量记作
?
0
,零向量的
(1)︱
?
a
︱=︱
?<
br>︱·︱
a
︱;
方向是任意的。
(2) 当_________时,
?
a
与
a
的方向相同;当_________时,
?
a
与
相反向量——长度相
a
的方向相反;当_________时,
?
a
=
r
0
.
等且方向相反的向量。
(
3)若
a
=(
x
1
,y
1
),则
?
·
a
=( ).
单位相量——长度等
两个向量共线的充要条件:
1单位长度的向量。
(1)
向量
r
b
与非零向量
a
共线的充要条件是_______
________________
二、向量的表示方法
(2)
若
a
=(
x
rr
1
,y
1
),
b
=(
x
2
,y
2
)则
a
∥
b
?
_______________
__.
1、字母表示法:如
a
,
4、平面向量基本定理:
若e<
br>1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的
AB
任一向量
a
,有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使得
a
=
?
1
e
1
+
?
2
e
2
.
5、向量的模(绝对值):
2、几
何表示法:用一
条有向线段表示向量,用
1)
a
=(
x
1<
br>,y
1
),则
a
r
?
______________
__
有向线段的长度表示向
2)若=(x,y
uuur
11
),b
=(x
2
,y
2
),则在坐标系上对应的点
A,B
有
AB
量的大小,用箭头所指的
( );
u
AB
uur
=
?
_______________________;
方向表示向量的方向。
6、向量的夹角:___________________________
3、代数表示法 (x、
y)
已知两个非零向量
a
与
r
b
,作
OA
=
a
OB
=
r
,
b
,则∠AOB=
?
(
0
0
?
?
?180
0
)叫
做向量
a
与
r
b
的夹角。
活动2概念性质
培
1、基本概念
养学
向量的定义、向量的模、零向量、同方向单位向量、相反向量、平
生用
行向量、相等向量。 <
br>2、加法与减法的代数运算
自己
(1)
u
A
uuuuruuu
uuruuuuu
的语
1
A
2
?A
2
A
3
?L?A
uuruuuuur
n?1
A?AA
言来
(2)若
a
=(
x,y
r
n1n
.
?
r
11
),
b
=(
x
2
,y
2
)则
a
b
=(
x
1
?x
2,y
1
?y
2
).
描述、
向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。
理解
以向量
AB
=
a
、
AD
=
b
为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线
有关
的向量
AC
=
a<
br>+
b
,
BD
=
b
-
a
,
D
B
=
a
-
b
且有︱
a
︱-︱
b
︱
概念
≤︱
a
?
b
︱≤︱
a
︱+︱b
︱.
公式。
向量加法有如下规律:
a
+
b
=
b
+
a
(交换律);
a
+(
b
+c)=(
a
+
注意
b
)+c (结合律);
定义
中的
a
+0=
a
a
+(-
a
)=0. <
br>重点、
3、实数与向量的积:实数
?
与向量
a
的积是一个向量
。
核心。
(1)︱
?
a
︱=︱
?
︱·︱
a
︱;
(2) 当
?
>0时,
?
a
与
a
的方向相同;当
?
<0时,
?
a
与
a
的方
向相反;当
?
=0时,
?
a
=
r
0<
br>.
(3)若
a
=(
x
1
,y
1
),则
?
·
a
=(
?
x
1
,
?
y
1
).
两个向量平行的充要条件:
(1)
向量b与非零向量
a
平行的充要条件是有且仅有一个实数
?
,
使得
b
=
?
a
.
(2)
若
a
=(
x
1
,y
1
),
b
=
(
x
2
,y
2
)则
a
∥
b
?x<
br>1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
平面向量基本定理:
若e
1
、e
2
是同一平面
内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的
任一向量
a
,有且只有一对实数
?
1
,
?
2
,使得
a
=
?
1e
1
+
?
2
e
2
.
活动3提高探究
资源1、
下列说法正确的是
( B )
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
E、和量
u
AB
uur
与
u
CD
uur
是共线向量,则A、B、C、D在同一直线上;
概
F、和量
u
a
r
与
u
b
r
平行,则
r
a,<
br>u
b
r
的方向相同或相反
;
念辨
析
G、
?ABC中,必有AB?BC?CA?0
;
H、若△ABC中,必有
AB?BC?CA?
?
0
如图所示,
?A
BC和?A
?
B
?
C
?
是在各边的
1
3<
br>处相交的
两个正三角形,?ABC的边长为a
,图中列出了长度均为
a
3
的若干个
向量,则
(1)与向量
GH
相等的向量是__________;
(2)与和量
GH
共线的向量有__________;
(3)与和量
EA
平行的向量是____________.
资源2、
??
1、 G是
?ABC
的重心,求证:
GA?GB?GC
?
?
?
0
2、 如图,已知四边形ABCD是梯形,AB∥CD,
E、F、G、H分别是
向量
AD、BC、AB与CD
加减
法作
的中点,则
EF
等于
图
3、若非零
向量
?
?
,
?
?
满足
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
,求
?<
br>?
与
?
?
所成角的大小。
资源3、
1、已知<
br>A(?2,3),B(3,?1),C(?3,?4)
????
,且
CM?3C
A,CN?2CB
,求
?
M,N的坐标和
MN
运
算
2、已知向量
a
?
?(1,2),b
??(x,1),
?
?
?a
?
?2b
?
,v?
?2a
?
?b
?
且
?
?
v
?
,求
x
3、(1)若
AB?a?b
BC?2a?8b
CD?3(a?b)
求证:A、B、
D三点共线
活动4归纳小结
活动5巩固提高 附作业
提高
向量的有关概念
一、填空:
1.
AB?DF?CD?BC?FA?
_____________
2.两向量平行是两向量相等的____________条件
3.向量
a
?
?(x,1)
与
b
?
?(4,x)
共线且方向相同,则<
br>x
=_______
a
r
?(x?y,xy)br
?(5,2).若a
r
?b
r
4.已知向量
22,x?.
______
y?
______
5.当
a
?
?b
?
?0,
且
a
?
,b
?
不共
线时,
a
?
?b
?
与
a
?
?b
?
的位置关系是______
6.有一边长为1的正方形ABCD,设
AB?a,B
C?b,AC?c,则|a?b?c|?________,|a?b?c|?
________,
|?a?b?c|?___________.
。
??
7、设平行四边形ABCD的对角线交于O,交
AD?(3,7),AB?(?2,1)
?,则
OB
=________
8、非零向量
a,b满足|a|?|b|
?|a?b|
,则
a,b
的夹角为
9、在四边形A
BCD中,若
AB?a,AD?b,且|a?b|?|a?b|
,则四边形ABCD的形状是
二、选择:
10、若向量
a?(1,1)
b?(1,?1)
r
c?(?1,?2)
则
c?
( )
A、
?
1
2
a?
3
2
b
B、
?
1
2
a?
3
2
b
C、
3
2
a?
1
2
b
D、
?
31
2
a?
2
b
11、两个非零向量相等的一个必要不充分条件是 ( )
A.两个向量长度相等 B.两个向量方向相反
C.两个向量长度相等,且方向相同
D.两向量的起点和终点分别重合
12、给出以下四个命题:(1)若两非零向量
a
?
,b
?
,使得
a
?
?
?
b
?<
br>(
?
?R)
,那么
a
?
b
?
;(2
)若两非零向量
a
?
?
a
?
?
?
b
?
(
?
?R)
;(3)若
?
?R
,则<
br>?
a
?
a
?
;(4)若
?
,
??R,
?
?
?
,则
(
?
?
?
)a
?
与
a
?
b
,则
平行。其中正确命题的
个数是_____
A 1 B 2 C 3 D 4
13、O是平面
上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足
OP?OA?
?
(
ABAC
AB
?
AC
)
?
?(0,??)
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A、外心
B、内心 C、重心、 D、垂心
三、解答
14、O是正六边形ABC
DEF的中心,且
OA?a,OB?b,AB?c,分别写出图中与a,b,c
相等的向量.
15、已知向量
AB?(6,1),BC?(x,y),CD
?(?2,?3),当向量BCDA
时,求实数x,y应满足的关系式
16、如图所示,平行四
边形ABCD中,
BM?
2
3
BD,CN?
1
4
C
A,若AB?a,AD?b,
试用
a.b
表示向量
MN
。
D
C
b
M
N
A
a
B
17、已知
A(2,3),B(?1,5)
且满足
AC?
1
3
AB,AD?3AB,AE??
1
4
AB
,求C、D、
E的坐标
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