高中数学得分技巧完整版

高中数学得分技巧整理（完整版）

第1讲 选择题的解题方法与技巧
一、题型特点概述



选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1) 绝大部分 数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，
主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分 的体现和应用，并且因为
它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，< br>所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．

(2)选择题具有概括性强 、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和
深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法， 能有效地检测学生的思
维层次及观察、分析、判断和推理能力．
由选择题的结构特点，决 定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方
法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利 用题目中(包括题干
和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、
特例检验法、排除法、逆向思维 法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是
解题的有效手段．














1

二、解题方法例析

题型一 直接对照法

直接对 照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、
公式、公理、定理、法则等基础知 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从
而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入 座”，从而确定正确
的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．

例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝
2，则f(99)等于
( )
132
A．13 B．2 C.
2
D.
13

思维启迪先求f(x)的周期．
131313
解析 ∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝＝f(x)．
f(x)
f(x＋2)
13< br>f(x)
∴函数f(x)为周期函数，且T＝4.∴
f
(99)＝
f< br>(4×24＋3)＝
f
(3)＝
1313
＝.

f
(1)2
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分 挖掘题
设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分
析条件得 到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．















2

1
变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝
f(x)
，


若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为
A．5 B．－5








(
1
C.
5

)
1
D．－
5

11
，得
f
(
x< br>＋4)＝＝
f
(
x
)，所以
f
(
x
)是以4为周期的函数，
f
(
x
)
f
(
x
＋2)
111
所以
f
(5)＝
f
(1)＝－5，从而
f
(
f
(5))＝
f
(－5)＝
f
(－1)＝＝ ＝－.

f
(－1＋2)
f
(1)5
解析
由f
(
x
＋2)＝
x
2
y
2
例2 设双 曲线
a
2
－
b
2
＝1的一条渐近线与抛物线y＝x
2
＋1只有
一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
55
A.
4
B．5 C.
2

D.5
思维启迪
b
求双曲线的一条渐近线的斜率即
a
的值，尽而求离心率．
解析 设双曲线的渐近线方 程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x
2
＋1相切，联立
?
y＝kx
b
22
?
，整理得x－kx＋1＝0，则Δ＝k－4＝0，解得k＝±2，即＝2， 故
2
a
y＝x＋1
?
c
双曲线的离心率e＝
a＝
c
2
a
2
＝
a
2
＋b
2< br>a
2
＝
b
1＋(
a
)
2
＝5.

探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本
题即 是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．


















3

x
2
y
2
变式训练2 已知双曲线C：
a< br>2
－
b
2
＝1(a>0，b>0)，以C的右
焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 ( )
A．a B．b D.a
2
＋b
2

x
2
y
2
b
解析
a
2
－
b
2
＝1的其中一条渐近线方程为：y＝－
a
x，即bx＋ay＝0，而焦 点坐
|b×a
2
＋b
2
|
标为(c,0)，根据点到直线的 距离d＝＝b.故选B.
a
2
＋b
2


题型二 概念辨析法
概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，
直 接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念
或性质，这需要考生在平时 注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，
同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选 择．一般说来，这类题目运算
量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．
例3 已知非零向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2，y
2
)，给出下列条
件，①a＝kb(k∈R)；②x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0；③(a＋3b)∥(2a－
222
b)；④a·b＝|a||b|；⑤x
2
1
y
2< br>＋x
2
y
1
≤2x
1
x
2
y
1
y
2
.
其中能够使得a
∥
b的个数是 (
)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量
垂直的条件；③ 是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当
λ＋3
11
λ≠
2
时，整理得a＝b，故a∥b，当λ＝
2
时也可得到a ∥b；④是正确的，
2λ－1
若设两个向量的夹角为θ，则由a·b＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，
222
所以a
∥
b；⑤是正确的，由 x
2
可得(x
1
y
2
－x
2
y
1
)
2
≤0，从而x
1
y
21
y
2
＋x
2
y
1
≤2x
1
x
2
y
1< br>y
2
，
－x
2
y
1
＝0，于是a
∥
b.
探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线
向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的
数量积、向量的模以及 夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线
向量．








变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

4

①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为
60°.
则假命题为
( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
B
解析 ①a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为
假命题．
②∵a
∥
b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．
③由平行四 边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a
与a＋b夹角为30°，故③为 假命题．






























题型三 数形结合法

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基
石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定
条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点

5

的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根
据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、
性质，综合图象的特征，得出结论．




































例4 (2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最
小值．设f(x)＝min{2
x
，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大
值为
( )
A．4 B．5 C．6

6

D．7

C
思维启迪
画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直
观、易懂．
解析 由题意知函数f(x)是三个函数y
1
＝2
x
，y
2
＝x＋2，y
3
＝10－x中的较小者，
作出三个函数在同一个坐标系之下的 图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知
A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．


















变式训练4 (201 0·湖北）设集合
?
?
x
2
y
2
?
A＝< br>?
(x，y)
?
4
＋
16
＝1
?
?
?

?
?
?
，
?
?
x
B＝
{
(x，y)|y＝3
}
，则A∩B的子集的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
A
x
2
y
2
解析 集合A中的元素是椭圆
4
＋
16
＝1上的点，集合B中的元素是函数y＝3
x
的图象上的点．由数形结合，可知 A∩B中有2个元素，因此A∩B的子集的个

7

数为4.


































例5 函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2
x
＝1的实根的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
C
思维启迪
?
1
?
若直接求解方程显然不可 能，考虑到方程可转化为f(x)＝
?
2
?
x
，而函数y＝f(x) 和
??
?
1
?
x
y＝
?
2
?的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象
??

8

交点的个数确定相应方程的根的个数
?
1
?
解析 方程f(x)·2
x
＝1可化为f(x)＝
?
2
?
x
，在同一坐标系下分别画出函数y＝f(x)和
??
?
1
??
1< br>?
y＝
?
2
?
x
的图象，如图所示．可以发现其图象 有两个交点，因此方程f(x)＝
?
2
?
x
有
????两个实数根．

探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题， 要多考
虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合
法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如
果一开始给出的方程中 涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的
变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再 进行求解．







变式训练5 函数y＝|log
1

x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
2


D
则区间[a，b]的长度b－a的最小值是 ( )
3
A．2 B.
2
C．3
3
D.
4

解析 作出函数y＝|log
1
x|的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解
2
113
得x＝4或 x＝
4
.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－
4
＝
4< br>.

9

题型四 特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条
件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、
特 殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法
之一，适用于解 答“对
某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断
形式出现的题目，其原理是“ 结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下
也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策 略．
例6 已知A、B、C、D是抛物线y
2
＝8x上的点，F是抛物线
→→→→→→→
的焦点，且FA＋FB＋FC＋FD＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＋
→
|FD|的值为

10

( )
A．2 B．4 C．8 D．16
D
解析 取特殊位置，AB，CD为抛物线的通径，
→→→→
显然FA＋FB＋FC＋FD＝0，
→→→→
则|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|＝4p＝16，故选D.
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行．利用特殊检验法
的关键是所选特例要符合条件．






变式训练6 已知P、Q是椭圆3 x
2
＋5y
2
＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则
11 ( )
2
＋
OPOQ
2
等于
834
A．34 B．8 C.
15
D.
225

B
3511
解析 取两特殊点P(
3
，0)、Q(0，
5
)即两个端点，则
OP
2
＋
OQ2
＝3＋5＝8.故选
B.





例7 数列{a
n
}成等比数列的充要条件是 ( )
A．a
n
＋
1
＝a
n
q(q为常数) B．a
2
a
n
＋
2
≠0
n
＋
1
＝a
n
·
n
－1
C．
a
n
＝
a
1
q
(
q
为常数) D．
a
n
＋1
＝
a
n
·
a
n＋2

B
解析 考查特殊数列0,0，…，0，…，
不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项．
故选B.
a
n
＋
1
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定 义法，也就是看
a
是
n
否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条 件是否成立．




11

变式训练7 已知等差数列{a项 和为S
a
2n
n
}的前n
n
，若
a
n＝

4n－1
S
2n－1
，则
2n
S
n
的值为
A．2 B．3 C．4

解析 方法一 (特殊值检验法)
取n＝1，得
a
2
3
a
1
＋a
2
4
a
1
＝
1
，∴
a
1
＝
1
＝4，
于是，当n＝1时，
S
2n
S
2a
1
＋a
2
S
n
＝
S
1
＝< br>a
1
＝4.
方法二 (特殊式检验法)
注意到
a
2n
4n－12n－1
a
n
＝
2n－1
＝
2·2·n－1
，取a
n
＝2n－1，
1＋(4n－1)
S
2n
2
·2n
S
n
＝
1＋(2n－1)
＝4.
2
·n
方法三 (直接求解法)

12
( )
D．8

a
2n
－ a
n
a
2n
4n－1
2n
由＝，得＝，
a
n
2n－1
a
n
2n－1
d(2n－1)
nd2n
即
a
＝，∴a
n
＝，
2
2n－1
n
a
1
＋a
2n
2n
2
·
a
1
＋a< br>2n
S
2n
于是，
S
＝＝2·
a
1
＋a
n
a
1
＋a
n
n
n
2
·< br>dd
2
＋
2
(4n－1)
＝2·＝4.
dd
2
＋
2
(2n－1)























题型五 筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选 项，找到符
合题意的正确结论．筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提
供 的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
例8 方程ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A．0 C．a≤1 D．01
解析 当a＝0时，x＝－
2
，故排除A、D.
当a＝1时，x＝－1，排除B.
故选C.
探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有

13

< br>一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，
同时提高解题效率 ．



变式训练8 已知函数f(x)＝mx
2
＋(m －3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在
原点右侧，则实数m的取值范围是( )

A．(0,1) B．(0,1]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
1
解析 令m＝0，由f(x)＝0得x＝
3
适合，排除A、B.
令m＝1，由f(x)＝0得：x＝1适合，排除C.


题型六 估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过
程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值
特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，
这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了
思维的层次．






?
x≤0
例9 若A为不等式组
?
y≥0
?
y－x≤2

表示的平面区域， 则当a从－2连续变化到1
时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为
( )
37
A.
4
B．1 C.
4
D．2
解析 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角 形．阴影部分面积比1
1
大，比S
△
OAB
＝
2
× 2×2＝2小，故选C项．

14

探究提高 “估算法 ”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就
没有意义．本题的关键在所求值应该比△AO B的面积小且大于其面积的一半．





















变式训练9 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的 距离等于球半径的一半，
且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是( )




16
A.
π
9









8
B.π C.4π
3

64
D.π

9

23
解析 ∵球的半径R不小 于△ABC的外接圆半径r＝
3
，则S球＝4πR
2
≥4πr
216
＝
3
π>5π，故选D.

15

规律方法总结
1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和 数形结合法．但
大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点
灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文
章，切忌盲目地采用直接 法．
2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误
入“陷阱 ”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大
胆跳跃．
3．作为平时 训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，
并注意及时总结，这样才能有效地 提高解选择题的能力.




















三、知能提升演练

1．已知集合A＝{1,3,5,7,9 }，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(?
N
B)等于

A．{1,5,7} B．{3,5,7}
C．{1,3,9} D．{1,2,3}
解析 由于3∈?
N
B，所以3∈A∩(?
N
B) ∴排除B、C、D，故选A.

2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么
( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析 当k＝1时，c＝a＋b，不存在实数λ，使得a＝λb.所以c与d不共线，与
c∥d 矛盾．排除A、B；当k＝－1时，c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，所以c∥d，
且c与d反向． 故应选D.

16

?
ππ
?
3．已知函数y＝tan ωx在
?
－
2
，
2
?
内是减函数，则( )
??
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
B
解析 可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期 的连
续区间内为增函数，∴排除A、C，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小
?ππ
?
于π，∴y＝tan ωx在
?－
2
，
2
?
内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D，
??
故选B.
< br>4．已知函数f(x)＝2mx
2
－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一 实数x，f(x)与g(x)
的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(－∞，0)

解析 当m＝1时，f(x)＝2x
2
－6x＋1，g( x)＝x，由f(x)与g(x)的图象知，m＝1满
足题设条件，故排除C、D.当m=2时，f(x )=4x
2
-4x+1,

17

g(x)=2x ,由其图象知，
m
=2满足题设条件，故排除A.
因此，选项B正确．

























→→→
5．已知向量OB＝(2,0)，向量OC＝(2,2)，向量CA＝
→→
(2cos α，2sin α)，则向量OA与向量OB的夹角的
取值范围是
)
π5ππ
A．[0，
4
] B．[
12
，
2
]
π5ππ5π
C．[
4
，
12
] D．[
12
，
12
]
→
解析 ∵|CA|=
(
2
，∴A的轨迹是⊙C，半径为
2
.
→→
πππππ< br>由图可知∠COB＝
4
，设向量OA与向量OB的夹角为θ，则
4
－< br>6
≤θ≤
4
＋
6
，故选
D.

18

6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数
?
f(x)，f(x)≤K，
K，定义函数f
K
(x)＝
?
取函数f(x)＝2
－
|x|
，
?
K，f(x)>K.
1
当K＝
2
时，函数f
K
(x)的单调递增区间为 ( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
11
－
解析 函数f(x)＝2
|x|
＝(2
)
|x|
，作图f(x)≤K＝
2
?x∈(－∞，－1]∪[ 1,＋∞),故在(－
∞,－1)上是单调递增的,选C项．




19

7．设x，y∈R，用2y是1＋x和1－x的等比中 项，则动点(x，y)的轨迹为除去
x轴上点的 ( )
A．一条直线 B．一个圆
C．双曲线的一支 D．一个椭圆
解析 (2y)
2
＝(1－x)(1＋x)(y≠0)得x
2
＋4y
2
＝1(y≠0)．


















8．设A、B是非空数集，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∈A∩B}，已知 集合A＝{x|y
＝2x－x
2
}，B＝{y|y＝2
x
，x>0} ，则A*B等于
( )
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[0,2]
解析 A＝R，B＝(1，＋∞)，故
A
*
B
＝(－∞，1]，故选C.

x
2
2
9．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线a
2
－y＝1(a>0)的中心和左焦点，
→→
点P为双曲线右支上的任 意一点，则OP·FP的取值范围为 ( )

A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞)
77
C．[－
4
，＋∞) D．[
4
，＋∞)

20

解析 由c＝2得a
2
＋1＝4，∴a
2
＝3，
x
2
2
∴双曲线方程为－y＝1.设P(x，y)(x≥3)，
3
→→
OP·FP＝(x，y)·(x＋2，y)
2
x4
＝x
2
＋2x＋y
2
＝x
2
＋2x＋
3
－ 1＝
3
x
2
＋2x－1(x≥3)．
4
2
令g
(
x
)＝
x
＋2
x
－1(
x
≥3)，则
g
(
x
)在[3，＋∞)上单调递增．
g
(< br>x
)
min
＝
g
(3)＝3＋
3
→

→
23.∴
OP
·
FP
的取值范围为[3＋23，＋∞)．
10．已知等差数列{a
n
}满足a
1
＋a
2
＋… ＋a
101
＝0，则有 ( )

A．a
1
＋a
101
>0 B．a
2
＋a
102
<0
C．a
3
＋a
99
＝0 D．a
51
＝51
解析 取满足题意的特殊数列a
n
＝0，则a< br>3
＋a
99
＝0，故选C.


1
11． 在等差数列{a
n
}中，若a
2
＋a
4
＋a
6＋a
8
＋a
10
＝80，则a
7
－
2
a
8
的值为

A．4 B．6 C．8 D．10
1
解析 令等差数列{
a
n< br>}为常数列
a
n
＝16.显然
a
7
－
a8
＝16－8＝8.故选C.

2

11
12．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；
ab
ba
③aa
＋
b
>2中，正确的不等式是 ( )
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
解析 取a＝－1，b＝－2，则②、③不正确，所以A、B、D错误，故选C.

21

13.(2010·全国)如图，质点P在半径 为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P
0
(2，
－2)，角速度为1，那么点P到 x轴距离d关于时间t的函数图象大致为
( )

22

解析 观察并联想P运动轨迹与d的关系，
当t＝0时，d＝2，排除A、D；当开始运动时d递减，排除B.
C
2
?
x
?
14．若函数f(x)＝
?
x
2
＋1
－a
?
＋4a的最小值等于3，则实数a的值等于
??


23

33
A.
4
B．1 C.
4
或1
解析 方法一 直接对照法
x
2
令
2
＝t，则t∈[0,1)．
x＋1
若a≥1，则f(x)＝|t－a|＋4a＝5a－t不存在最小值；
D．不存在这样的a
3
若0≤a<1，则f(x)＝|t－a|＋4a，当t＝a时取得最小 值4a，于是4a＝3，得a＝
4
符合题意；
若a<0，f(x)＝|t－a|＋4 a＝t＋3a，当t＝0时取得最小值3a，于是3a＝3，得a＝
1不符合题意．
3
综上可知，a＝
4
.


























方法二 试验法
2
?
x
?
若a＝1 ，则f(x)＝
?
x
2
＋1
－1
?
＋4>4，显然 函数的最小值不是3，故排除选项B、
??

24

2
3
?
3x
2
3
?
x
C；若a＝
4
，f(x)＝
?
x
2
＋1
－
4
?
＋3， 这时只要令
2
－
4
＝0，即x＝±3，函数
x＋1
??可取得最小值3，因此A项正确，D项错误．
A
m－34－2m
πθ
15．已知sin θ＝，cos θ＝(<θ<π)，则tan
2
等于
m＋5m＋5
2

( )
m－3m－3
1
A. B．|| C.
3

9－m9－m
D．5
D
解析 由于受条件sin
2
θ＋cos
2
θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是s in θ，cos
θππθπθ
θ的值应与m的值无关，进而tan
2
的 值与m无关，又
2
<θ<π，∴tan
2
>1，
4
<
2
<
2
，
故选D项．























1 6．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)图象
可能是 ( )

25

解析 从导函 数的图象可知两个函数在x
0
处斜率相同，可以排除B项，再者导
函数的函数值反映的 是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，
所以原函数应该增加的越来越慢，排 除A、C两项，最后只有D项，可以验证y
＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快．

26

第2讲 填空题的解题方法与技巧
一、题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题 一样，属于客观性试题．它只要
求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一 般为中
等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同．
1. 填空题的类型
填空题 主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具
有小巧灵活、结构简单、概念性 强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要
写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定 量填写，一类是定性填
写．
2．填空题的特征
填空题不要求写出计算或推理过程， 只需要将结论直接写出的“求解题”．填空
题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项， 因此，解答时有不
受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个
正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，
留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．
从历年 高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准
确、形式规范、表达式最简，稍 有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快
速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理 、计算过程，因此要想
“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合< br>理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
3．解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．解填空题的
常用方法有：直 接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理
法等．
二、解题方法例析
题型一 直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，
通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，
自觉地、有意 识地采用灵活、简捷的解法．
例1 在等差数列{a
n
}中，a
1
＝－3,11a
5
＝5a
8
－13，则数列{a
n
}的前n 项和S
n
的最
小值为________．
思维启迪
计算出基本量d，找到转折项即可．
解析 设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，
5
∴d＝
9
.
∴数列{a
n
}为递增数列． < br>532
令a
n
≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤
95
，

27

∵n∈N
*
.
29
∴前6项均为负值，∴S
n
的最小值为S
6
＝－
3
.
29
答案 －
3

探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的 通项公式判断出数列的项的符
号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值．
变式训练1 设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
2
＝3，a
6
＝11，则S
7
＝
________.
49
7(a
1
＋a
7
)
解析 方法一 S
7
＝
2
7(a
2
＋a
6
)7×(3＋ 11)
＝＝＝49.
22
故填49.
?
a
2
＝ a
1
＋d＝3，
?
a
1
＝1，
方法二 由
?
可得
?

a＝a＋5d＝11d＝2，
?
6< br>?
1
∴a
7
＝1＋6×2＝13.
7(a
1
＋a
7
)7×(1＋13)
∴S
7
＝＝＝49.
22
故填49.
题型二 特殊值法
特殊值法在考试中应用起来比较方便 ，它的实施过程是从特殊到一般，优点
是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数 值、特殊位置、
特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为
特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．
例2 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
(sin A－sin C)(a＋c)
＝sin A－sin B，则C＝_______.
b
思维启迪 题目中给出了△ABC的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定
角C的大小，因此可考虑一些特殊 的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、
直角三角形等，若满足，则可求出此时角C的大小．
(sin A－sin C)(a＋c)
解析 容易发现当△ABC是一个等边三角形时，满足＝sin A
b
－sin B，而此时C＝60°，故角C的大小为60°.
答案 60°
探究提高 特殊值法的理论 依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，
我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“ 弱点”，“以偏概全”来求
值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意， 选
择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如
下：
(sin A－sin C)(a＋c)
由＝sin A－sin B可得
b


28

(a－c)(a＋c)
22 2222
＝a－b，整理得，a－c＝ab－b，即a＋b－c＝ab.由余弦定理，
b
a
2
＋b
2
－c
2
1
得cos C＝
2ab
＝
2
，所以C＝60°.
变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c
cos A＋cos C
成等差数列，则＝
1＋cos Acos C
4

5
________.
cos A＋cos C
4
解析 方法一 取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cos A＝
5
，cos C＝0，
1＋cos Acos C
4
＝
5
.
π1
cos A＋cos C
4
方法二 取特殊角A＝B＝C＝
3
，cos A＝cos C＝
2
，＝.
1＋cos Acos C
5
→
例3 如 图所示，在△ABC中,AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且OA＝
→→→→
2AK, 过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC
→
＝nAN， 则m＋n＝________.
思维启迪
题目中过点
K
的直线是任意的， 因此
m
和
n
的值是变化的，但从题意看
m
＋
n的
值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解．
→→
解析 当过点K的直线 与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵OA＝2AK，
→→→→
∴K是AO的中点 )．这时由于有AB＝mAM，AC＝nAN，因此m＝n＝2，故m＋n
＝4.
答案 4
探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但
m
＋
n
的值却是定值”
这一信息，通过取直线的一个特殊位置得到了问题的解,显得非常简单,在求解这

29

类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题．
→→→
变式训练3 设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△A OC
的面积之比为______．
→→→
解析 采用特殊位置，可令△ABC为正三角形，则根据OA＋OC＝－2OB可知，
O是△ABC的中心，则OA＝OB＝OC，所以△AOB≌△AOC，
即△AOB与△AOC的面积之比为1.
题型三 图象分析法(数形结合法)
依 据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，
称为图象分析型填空题，这类 问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求
写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参 照图形的形状、位置、性
质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确
的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既
浅显易懂，又能 节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌
握程度及灵活处理问题的能力 ，此类问题为近年来高考考查的热点内容

1
例4 已知方程(x
2
－2x＋m)(x
2
－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为
4
的等差数列 ，
则|m－n|的值等于________．
思维启迪
1
2
< br>考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x
2
－2x＋m与y＝x
2
－2x＋n和x轴四
个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解．
解析 如图所示，易知抛 物线y＝x
2
－2x＋m与y＝x
2
－2x＋n有相同的对称轴x
＝ 1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
17
因为x
A
＝
4
，则x
D
＝
4
.
35
又|AB|＝|BC| ＝|CD|，所以x
B
＝
4
，x
C
＝
4
.
17351
故|m－n|＝|
4
×
4
－
4
×
4
|＝
2
.

探究提高 本题是数列问题，但由于和方 程的根有关系，故可借助数形结合的方
法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘 其中的有用信
息，寻求最简捷的解法．
变式训练4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x),且在区间[0,2]上是

30

增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个 不同的根x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，则x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＝___ _____.
-8
解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以 f(4－x)＝f(x)．因此，
函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f (x)知f(x－8)＝f(x)，所以
函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2 ]上是增函数，所以f(x)在
区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m >0)在区间[－8,8]上有
四个不同的根x
1
，x
2
，x
3
,x
4
，不妨设x
1
2
3< br>4
.由对称性知x
1
＋x
2
＝－12，x
3
＋
x
4
＝4，所以x
1
＋x
2
＋x< br>3
＋x
4
＝－12＋4＝－8.

f(x)
例5 函数y＝f(x)的图象如图所示，其定义域为[－4,4]，那么不等式
sin x
≤0的解
集为__________________________________．

π
[－4，－π)∪(－π，0)∪[
2
，π)
?
f(x)≤0，
?
f(x)≥0，
f(x)
解析
sin x
≤0?
?
或
?
在给出的坐标系中，再作出y＝sin x
?
sin x>0，
?
sin x<0，
在
[－4,4 ]上的图象，如图所示,观察图象即可得到所求的解集为[－4，－π)∪(－π，
π
0)∪[
2
，π)．


31

探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，
往往可使抽象 复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解．

变式训练5 不等式（|x|-


π
2
）·sin x<0，x∈[-π,2π］的解集
为 .
ππ
(?π,
)
?
(0,
)?(π,2π)

22

解析 在同一坐标系中分别作出y=|x|-
根据图象可得不等式的解集为：

π
2
与y=sin x的图象：

ππ
(
?
π,
)
?
(0,
)
?
(π,2π)
22

题型四 等价转化法
将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模

32