高中数学属于符号-2017年全国高中数学联赛报名
高考数学复习总结归纳点拨
概率问题中的数学思想
一、化归思想
1.运用公式
P(A)?P(A)?1
进行化归
例1 一枚硬币连掷3次,求至少出现一次正面的概率.
解:设
A
表示事件
“掷3次硬币,3次均出现反面”,根据题意,易知
P(A)?
1
,而
8P(A)?P(A)?1
,故
P(A)?1?P(A)?
7
.
8
点评:点评:含有“至多”、“至少”等类型的概率问题,从正面突破比较困难或者比较
繁琐
时,可考虑其反面,即对立事件,然后应用对立事件的性质
P(A)?1?P(A)
进一步求<
br>解.
2.将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率
例2 一个口袋中装有大小相
同的2个白球和3个黑球,从中摸出一个球,放回后再摸
出一个球,求两球恰好颜色不同的概率.
解:记“摸出一球,放回后再摸出一个球,两球恰好颜色不同”为事件A,而摸出一个
球得
白球的概率是
23
?0.4
,摸出一球得黑球的概率是
?0.6
,故
“有放回地摸两次,颜
55
色不同”是指“先白再黑”或“先黑再白”.
∴P(A)?0.4?0.6?0.6?0.4?0.48
.
二、分类讨论思想
例3
袋中装有白球和黑球各3个,从中任取2个,取到黑球的概率是多少?
分析:取到黑球包括两种情况:“一个黑球、一个白球”、“两个黑球”,因此,需分情况
讨论.
解:设“取到一个黑球、一个白球”为事件
A
,“取到两个黑球”为事件
B
,“取到黑
球”为事件
C
,则
P(C)?P(AUB)
.
由题意易知,从袋中任取2个球,共有
6?5?2?15
种可能结果,“取到一个
黑球、一
1
高考数学复习总结归纳点拨
个白球”有
3?
3?9
种可能结果,“取到两个黑球”有
3?2?2?3
种可能结果.
故
P(A)?
9331
?
,
P(B)??
.
155155
4
.
5
又事件
A
与事件
B
互斥,故
P(C)?P(A)?P(B)?
评注:分类讨论时,需注意做到不重不漏.
三、方程思想
例4 为了调
查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员某天逮住这种动物
1200只,作标记后放回,经
过一星期后,又逮到这种动物1000只,其中有作过标记的100
只,按概率的方法估算,保护区内有
多少只这种动物?
解:设保护区内共有这种动物x只,每只动物被逮到的可能性是相同的.那么第
一次逮
1200
;第二次逮到的1000只中,有100只是第一次逮到
x
1
001
的,说明第一次逮到的占所有这种动物的比例为
?
。
100010
11200
故,解得
x?12000
.
?
10x
到的1200只占所有动物的比例为
按此方法估算,保护区内约有此种动物12000只.
四、数形结合思想
例5 两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达,设甲、乙两
艘船停靠泊位的时
间分别是2小时与4小时,求有一艘船停靠泊位
时必须等待一段时间的概率.
分析:如图
所示,当甲比乙早到2小时内乙须等待,甲比乙晚
到4小时内甲须等待,所以有一艘船停靠泊位时必须等
待一段时间
的条件为
?2
≤
x?y
≤
4
.
解:以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一艘船停靠泊位时必须等待一<
br>段时间的条件是
?2
≤
x?y
≤
4
,在平面直角坐标
系内,
(x,y)
的所有可能结果是边长为
24的正方形,而事件
A
“有一艘停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果为图中阴
11
24
2
??22
2
??20
2
67
22
影部分.由几何概型公式,
得
P(A)?
.
?
2
24288
2
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3
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