高中数学新课标研讨交流活动-高中数学必修一第二章函数概念教学视频
.
次不等式:
一元二
一元一次不等式的解
轴表示)
例1、已知关于
范围.
例2.关于
x
的不等式
对所有实数
x
∈R都成立,求
a
的取值范围.
例3、若关
于
x
的不等式
x
2
?ax?a?
0
的解集为
(??,??)
,则实数
a
的取值范围是
______________;
若关于
x
的不等式
x
2
?ax?a??
3
的解集不
是空集,则实数
a
的取值范围是
______________。(-4,0),
?
??,?6
?
?
?
2,??
?
几个重要不等式
(
1)
若a?R,则|a|?0,a
2
x
2
?(3?a
2)x?2a?1?0
法:(依据、步骤、注意的问题,利用数
y?log
2
(?ax
2
?ax?1)
x
的不等式在(–2,0)上恒成立,求实数a
的取值
?0
(2)
若a、b?R
?
,则a
2
?b
2
?2ab(或a
2
?b
2
?2|
ab|?2ab)
(当仅当a=b时取等号)
(3)如果
a
,
b
都是正数,那么
(4)若a、
b、c?R
?
,则
ab?
a?b
(当仅当
.
2a=b时取等号)一正、二定、三相等.
a?b?c
3
?abc
(当仅当
3
a=b=c时取等号)
ba
(5)若ab?0,则??2
(当仅当
ab
a=b时取等号)
|x|?a?x
2
?a
2
??a?x?a
|x|?a?x
(6)a?0时,
2
?a
2
?x
??a或x?a;
(7)
若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
常用不等式
.
.
22
a?b
?
a?b
?a
b?
2
(根据目标不等式左右的运算结构选用); (1)
221
?
1
ab
(2)
a
、
b
、
c
?
R,
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
(
当且仅当
a?b?c
时,取等号);
(3)若
a?b?0,m?0
,则
?
b
a
b?m
(糖水的浓度问题)。如
a?m
如果正数
a
、
b
满足
ab?a?b?3
,则
ab
的取值范围是_________(答:
?
9,??
?
)
常用不等式的放缩法:①
1
?
n
111111
?
p
2
p
??(n?2)
n?1n(n?1)nn(n?1)n?1n
②
n?1?n?
性
1
n?n?1
p
1
2n
p
1
n?n?1
?n
?n?1(n?1)
利用函数的单调
简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1
)分解成若干个一次因式的积,
并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标
在数轴上,
从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显
现
f(x)
的符号变化规律,写出不等式的解集。
如(1)解不等式
(x?
1)(x?2)
2
?0
。(答:
{x|x?1
或
x??2}
);
(2)不等式
(x?2)x
2
?2x?3?0
的解集
是____(答:
{x|x?3
或
x??1}
);
(3)设函数<
br>f(x)
、
g(x)
的定义域都是R,且
f(x)?0
的解集
为
{x|1?x?2}
,
g(x)?0
的
解集为
?
,则不等式
f(x)gg(x)?0
的解集为______(答:
(??,1)U[2
,??)
);
(4)要使满足关于
x
的不等式
2
x
2
?
9
x?a?
0
(解集非空)的每一个
x
的值
至少满足不
等式
x
2
?
4
x?
3
?
0
和x
2
?
6
x?
8
?
0
中的
一个,则实数
a
的取值范围是______.(答:
[7,)
)
分
式不等式的解法:先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式
中最高次项的系数
为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但
分母恒为正或恒为负时可去分母。
如(1)解不等式
5?x
;
??1
(答:
(?1
,1)U(2,3)
)
2
x?2x?3
.
81
8
.
(2)关于
x
的
不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
,则关于
x
的不
等式
解集为_____(答:
(??,?1)?(2,??)
).
绝对值不等式的解法:
ax?b
?
0
的
x?2
(1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如
x?1?x?2
>
a
在<
br>x?R
上有解,则
a
的取
值范围是(
?
??,3?
)
(2)利用绝对值的定义;
x?a(a?0)??a?x?a
,
x?a(a?0)?x??a或x?a
(3)数形结合;如解不等式
|x|
?|x?1|?3
(答:
(??,?1)U(2,??)
)
(4)两边平方
:如若不等式
|3x?2|?|2x?a|
对
x?R
恒成立,则实数
a
的取值范围为______。
(答:
{}
)
含参不等式的解法:
求解通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”
注意解完之后要写上:“综上,原
不等式的解集是…”。注意:按参数讨论,最后按参数取
值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应
求并集.
如(1)若
log
a
?1
,则
a
的取
值范围是__________(答:
a?1
或
0?a?
);
ax
2
?x(a?R)
(2)解不等式
ax?1
2
3
2
3
4
3
(答:
a?0
时,{x|x?0}
;
a?0
时,
{x|x?
或
x?0}<
br>;
a?0
时,
{x|?x?0}
或
x?0}
) 提醒:(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;(2)不等式
解集的端点值
往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于
x
的不等
式
ax?b?0
的解集为
(??,1)
,则不等式
含绝对值不等式的性质: <
br>a、b
同号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
;
a、b
异号或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
.
x?2
(-1,2))
?
0
的解集为__________(答:
ax?b
1
a
1
a
如设
f(x)?x
2<
br>?x?13
,实数
a
满足
|x?a|?1
,求证:
|
f(x)?f(a)|?2(|a|?1)
.
.
不等式
的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函
数方程思想和“分离
变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,
利用数形结合法)
1).恒成立问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
min
?A
若不等式
f
?
x
?
?B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?
max
?B
如(1)设实数
x,
y
满足
x
2
?(y?1)
2
?1
,当
x?
y?c?0
时,
c
的取值范围是______(答:
?
2?1,??
);
?
?
(2)不等式
x?4?x?3?a
对一切实数<
br>x
恒成立,求实数
a
的取值范围_____(答:;
a?1
)
(3)若不等式
2
x?
1
?m
(
x
2<
br>?
1)
对满足
m?2
的所有
m
都成立,则
x
的取值范围_____(答:
(
7?13?1
,));
22
(?1)
n?1
(4)若不等式
(?1)a?2?
对于任意正整数
n
恒成立,则实数
a
的取值范围是
n
n
_____(答:<
br>[?2,)
);
(5)若不等式
x
2
?2mx?2m?1?
0
对
0?x?1
的所有实数
x
都成立,求
m
的取值
范围(.答:
1
m??
)
2
3
2
2).能成立问题
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?A
成立,则等价于
在区间
D
上
f
?
x
?
max
?A
;
若在区间
D
上存在实数
x
使不等式
f
?
x
?
?B
成立,则等价于在区间
D
上的
f
?x
?
min
?B
.如
已知不等式
(答:
a?1
)
两个重要函数:
|x|?|x?1|?3
函数y=x+
练习:
.
x?4?x?3?a
在实数集
R
上的解集不是空集,求实数
a
的取值范围____
1
x
.
1、已若
x?1
,求
2?3x?1
x
9
y
451
的最小值.
已知x<,求函数y=4x-2+的最大值
4x?5
x?14
2、知
x,y
?
R
?
且
??1
,则
x?y
的最小值是_
____________.若
x?2y?1
,则
2
x
?4
y
的最小
值是______
3、知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
<1>若
ab?0,bc?ad?0
,则
?
<3>若
bc
?
ad
?0,?
c
a
c
a
dcd
?0
;<2>若
ab?0,??0
,则
bc?ad?0
bab
d
?0
,则
ab?0
其中正确命题是()
b
(x?1)
2
?4
f(x)?(x??1)
x?1
4.求函数的最小值.
5、求证:
1?
111
112
3
4
2
??L??2
x(1?x)??2x(1?x)(1?x)?()?
222
2
3n
22327
二元一次不等式组与简单线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域:直线
l
:
ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部
分:
(1)直线
l
上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0
(2)直线
l
一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标都满足ax+by+c>0
(3)直线
l
另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c<0
所以,只需在直线
l
的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x
0
, y
0
),从a
0
x+b
0
y+c
值的
正负,即可判断不等式表示的平面区域。
2.线性规划:如果两个变量x,y满足一组一次不等式,求
这两个变量的一个线性函数的
最大值或最小值,称这个线性函数为目标函数,称一次不等式组为约束条件
,像这样的
问题叫作二元线性规划问题。其中,满足约束条件的解(x,y)称为可行解,由所有可行解
组
成的集合称为可行域,使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解。
.
.
3.线性规划问题应用题的求解步骤:(1)先写出决策变量,找出约束条件和线性目标函
数;
(2)作出相应的可行域;(3)确定最优解
例题分析:
?
x?0
?
例1.若
A
为不等式组
?
y?0
表示的平面区域,则当
a
从-2连续变化到1时,动直线
?
y?x?2
?
x?y?
a
扫过
A
中的那部分区域的面积为 ( )
A.
3
4
B.1 C. D.5
7
4
?
2x?y
?2?0
?
例2.如果点
P
在平面区域
?
x?y?2?0<
br>上,点
O
在曲线
x
2
?
(
y?
2)
2
?
1
上,
?
2y?1?0
?
那么
|PQ|的
最小值为()
(A) (B)
3
2
4
5
?
1
(C)
22?1
(D)
2?1
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0
?
例3、已知实数
x,y
满足
?
,则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
1、点P(x,y)在直线4x +
3y = 0上,且满足-14≤x-y≤7,则点P到
坐标原点距离的取值范围是()
A. [0,5] B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15]
?<
br>x?y?2≤0,
y
?
2.已知变量
x,y
满足约束条件?
x≥1,
则的取值范围是()
?
x?y?7≤0,
x
?
?
??
,6??
,U
?
6
,
???
C.
?
??,
A.
?
B.
3
?
U
?
6,??
?
?
??
?
5
??
?
5
?
99
D.
[
3,6]
.
.
?
x?2y?10,
?
2x?y?3,
3.设
D
是不等式组
?
表示的平面区域,则
D
中的点
P
(
x
,
y
)到直线
x
+
y
=10距
?
0?x?4,
?
?
?y?1
离的最大值是.
?
x?1,
?
4.已知
?x?y?1?0,
则
x
2
?y
2
的最小值是.
?
?
2x?y?2?0
例1.C; 例2. A;
例3、___0_____.1、
2.A;
.
3.
42
; 4. 5 B;
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