高中数学不等式解法15种典型例题

不等式解法15种典型例题
例1 解不等式：（1）
2x
3
?x
2
?15x?0
；（2）
(x?4)(x?5)
2
(2 ?x)
3
?0
．
分析：如果多项式
f(x)
可分解为n
个一次式的积，则一元高次不等式
f(x)?0
（或
f(x)?0）可用“穿根法”求解，
但要注意处理好有重根的情况．
解：（1）原不等式可化为
x(2x?5)(x?3)?0

把方程
x(2x?5)(x?3)?0的三个根
x
5
1
?0,x
2
??
2
, x
3
?3
顺次标上数轴．然
后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图 的阴影部分．

∴原不等式解集为
?
?
x?
5
?
2
?x?0或x?3
?
?
?

(x?4)(x?5 )
2
(x?2)
3
?0
（2）原不等式等价于
?
?
?
x?5?0
?
x??5

?
(x?4)(x?2)?0
?
?
?
x??4或x?2
∴原不等式解 集为
?
xx??5或?5?x??4或x?2
?

说明：用“穿根法 ”解不等式时应注意：①各一次项中
x
的系数必为正；②对
于偶次或奇次重根可转化为 不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇
穿偶不穿”，其法如下图．
典型例题二
例2 解下列分式不等式：
（1）
32
x
2
?4x?1
x?2
?1?
x?2
； （2）
3x
2
?7x?2
?1

分析：当分式不等式化为< br>f(x)
g(x)
?0(或?0)
时，要注意它的等价变形
①
f(x)
f
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
g(x)
?0?f(x)?g(x)?0
②
(x)
g(x)
?0?
?
或?0?f(x)?0或
?
g(x)?0
g(x)
f(x)?g(x)?0< br>

（1）解：原不等式等价于
3x
x?2
?
x? 2
?
3
x?2
?
x
x?2
?0
?
3(x?2)?x(x?2)?x
2
?5x?6
(x?2)(x?2)
?0?
(x?2)(x?2)
?0

?
(x?6)(x?1)
?< br>(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(x?2)(x?2)
?0?
?
?
(x?2)(x?2)?0

用“穿根法”
∴原不等式解集为
(??,?2)?
?
?1,2
?
?
?
6,???
。
（2）解法一：原不等式等价于
2x
2
?3x?1
3x
2
?7x?2
?0

?(2x
2
?3x?1)(3x
2
?7x?2)?0
??
?
?
2x
2
?3x?1?0
?
?
2 x
2
?3x?1?0
?
?7x?2?0
∴原不等式解集为
( ??,
1
)?(
1
?
3x
2
?7x?2?0
或
?
?
?
3x
2
32
,1)?(2,??)。
?x?
1
3
或
1
2
?x?1或x?2解法二：原不等式等价于
(2x?1)(x?1)
(3x?1)(x?2)
?0< br>
?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

用“穿根法”∴ 原不等式解集为
(??,
1
)?(
1
32
,1)?(2,? ?)

典型例题三

例3 解不等式
x
2
?4?x?2

分析：解此题的关键是去绝对值符号， 而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义
a?
?
?
a(a?0)< br>?
?a(a?0)

二是根据绝对值的性质：
x?a??a?x?a, x.a?x?a
或
x??a
，因此本题有如下两种解法．
解法一：原不等式
?
?
?
?
x
2
?4?0
?
?x
2
?4
?
x?2
或
?
x
2
?4?
?
?0
?
?
4?x
2
?x?2
< br>即
?
?
x?2或x??2
?
?2?x?2
?
?2?x?x
或
?
?
x??2或x?1

∴
2?x ?3
或
1?x?2
故原不等式的解集为
?
x1?x?3
?< br>．
解法二：原不等式等价于
?(x?2)?x
2
?4?x?2

即
?
?
?
x
2
?4?x?2
?
?2?x?3
?
?
x
2
?4??(x?2)
∴
?
故
?
x?1或x??2
1?x?3
．
典型例题四

例4 解不等式
x
2
?6x?5
12?4x?x
2
?0
．
分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x
二次式的商，由商的符号法则，它等 价于下列两个不等式组：
?
?
?
x
2
?6x?5?0
?
?
x
2
?
?
4x?x?0
或
?
12?
2
?
6x?5?0
?
?
12?4x?x
2
?0

所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．

解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
?
?
?< br>x
2
?6x?5?0,　
?
或
?
?
x
2
?6x?5?0,
?
12?4x?x
2
?0
?
?
?
12?4x?x
2
?0

?
?
?(x?1)(x?5)?0,
;
或
?
(x?1
?
1?x ?5,
?
x?1,或x?5,
?
(x?2)(x?6)?0
?
)(x?5)?0,
?
(x?2)(x?6)?0;
?
?
；
或
?
?2?x?6
?
?
x??2,或x?6

? 1?x?5,
或
x??2
或
x?6
．∴原不等式解集是
{x x??2，或1?x?5，或x?6}
．
解法二：原不等式化为
(x?1)(x?5 )
(x?2)(x?6)
?0
．
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(x?1)(x?5)
(x?2)(x?6)
符号

∴原不等式解集是
{xx??2，或1?x?5，或x?6}
．
说明：解法 一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．
解法二中，“定符号”是关键．当每个因式
x
的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他 各区间正负相间；也可以先决
定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
典型例题五

例5 解不等式
x
2
?2x?2
3?2x?x
2
?x
．
分析：不等式左右两边都是含有
x
的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再 解．
解：移项整理，将原不等式化为
(x?2)(x
2
?x?1)
(x?3)(x?1)
?0
．
由
x
2
?x?1?0
恒成立，知原不等式等价于
(x?2)
(x?3)(x?1)
?0
．
解之，得原不等式的解集为
{x?1?x?2或x?3}
．
说明：此题易出 现去分母得
x
2
?2x?2?x(3?2x?x
2
)
的错误 解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有 实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
典型例题六

例6 设
m?R
，解关于
x
的不等式
m
2
x
2?2mx?3?0
．
分析：进行分类讨论求解．
解：当
m?0
时，因
?3?0
一定成立，故原不等式的解集为
R
．
当
m?0
时，原不等式化为
(mx?3)(mx?1)?0
； 当
m?0
时，解得
?
3
m
?x?
1
m
；
当
m?0
时，解得
13
m
?x??
m
．
∴当
m?0
时，原不等式的解集为
?
?
?
x?3
m
?x?
1
?
m
?
；
?
当
m?0
时，原不等式的解集为
?
?
1
?
x
m
?x??
3
?
m
?
．
?
说明：解不 等式时，由于
m?R
，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当
m?0时，原不等式化为
?3?0
，
此时不等式的解集为
R
，所以解题 时应分
m?0
与
m?0
两种情况来讨论．
在解出
m
2
x
2
?2mx?3?0
的两根为
x
3
1
??
m
，
x
131
2
?
m
后，认为?
m
?
m
，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来
讨论： 当
m?0
时，
?
3131
m
?
m
；当m?0
时，
?
m
?
m
．
典型例题七

例7 解关于
x
的不等式
2ax?a
2
?1?x(a?0)
．
分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
?
2ax?a
2
?0,
解：原不等式
?(1)
?
?
1?x?0,
或
(2)
?
2x?a
2
?0,
?
?

?
2ax?a
2
?(1?x)
2
;
?
1?x?0.
?
?
x?
a
,
a
由
a?0< br>，得：
(1)?
?
2
?
?
x?1,

(2)?
?
x?,
?
?
2

?
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1?0;
?
?
x?1 .
?
由判别式
??4(a?1)
2
?4(a
2
?1 )?8a?0
，故不等式
x
2
?2(a?1)x?a
2
?1 ?0
的解是
a?1?2a?x?a?1?2a
．
当
0?a?2时，
a
2
?a?1?2a?1
，
a?1?2a?1
，不 等式组(1)的解是
a?1?2a?x?1
，不等式组(2)的解是
x?1
．
当
a?2
时，不等式组(1)无解，(2)的解是
x?
a
2
．
综上可知，当
0?a?2
时，原不等式的解集是
?
a? 1?2a,??
?
；当
a?2
时，原不等式的解集是
?
?< br>a
?
?
2
,??
?
?
．
说明：本 题分类讨论标准“
0?a?2
，
a?2
”是依据“已知
a?0
及(1)中‘
x?
a
2
，
x?1
’，(2)中‘
x?
a
2
，
x?1
’”
确定的．解含有参数的不等式是不等 式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多
数情况下依“不等式 组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．
本题易误把原不等式等价于不等式
2ax ?a
2
?(1?x)
．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．
典型例题八

例8 解不等式
4x
2
?10x?3?3
．
分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得
?3?4x
2
?10x?3?3
，
∴原不等式等价于不等式组

?
22
?
?
?
?3?4x?10x?3
?
?
4x
?
2x(2x ?5)?0
?
x?0或x?
5
,
?
?
4x
2
?10x?3?3
?
?
?10x?0
?
2
??
4x
2
?10x?6?0
?
?
?
2(x?3 )(2x?1)?0
?
?

?
?
?
?
1< br>2
?x?3.
∴原不等式的解集为
?
?
?
x?
1
2
?x?0或
5
?
2
?x?3
?
?< br>．
说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化 为不等式组，变成求不
等式组的解．
典型例题九

例9 解关于
x
的不等式
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
? 0
．
分析：不等式中含有字母
a
，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元 二次不等式的解法完全一样：求出方程
x
2
?(a?a
2
)x?a< br>3
?0
的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母
a
，故需 比较两根的大小，从而引出讨论．
解：原不等式可化为
(x?a)(x?a
2
)?0
．
(1 )当
a?a
2
（即
a?1
或
a?0
）时，不等式的 解集为：
?
xx?a或x?a
2
?
；
(2)当
a ?a
2
（即
0?a?1
）时，不等式的解集为：
?
xx?a
2
或x?a
?
；
(3)当
a?a
2
（即
a?0
或1）时，不等式的解集为：
?
xx?R且x?a
?
．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的 需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求
不等式的解，需先求出方程的 根
x
1
?a
，
x
2
?a
2
，因此 不等式的解就是
x
小于小根或
x
大于大根．但
a
与
a
2
两根的大小不
能确定，因此需要讨论
a?a
2
，
a?a
2
，
a?a
2
三种情况．
典型例题十

例10 已知不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?x
?
?x?
?
?
(
?
?0)
．求不等 式
cx
2
?bx?a?0
的解集．
分析：按照一元二次不等式的一 般解法，先确定系数
c
的正负，然后求出方程
cx
2
?bx?a?0
的两根即可解之．
解：(解法1)由题可判断出
?
，
?
是 方程
ax
2
?bx?c?0
的两根，
∴
?????
b
a
，
????
c
a
．又
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x??x??
?
，说明
a?0
．
而
??0
，
??0
????0?
c
a
?0?c?0
，∴
cx
2
?bx?a?0?x
2
?
ba
c
x?
c
?0
．
?
?
?< br>?
?
?
??
b
?
?
b
??
?
?
?
??
1
?
1
,
?
a
?
c
????
?
c
?
?
c111
?
?
?
?
?
?
a
?
?
?a
?
??
?(?
?
)(?
?
),
∴< br>x
2
?
b
c
x?
a
c
?0
，即
x
2
?(?
1
?
?
1
?
)x ?(?
1
?
)(?
1
?
)?0
， 即
(x?
1111
?
)(x?
?
)?0
． 又
0????
，∴
?
?
?
，
∴
(x?< br>1
?
)(x?
1
?
)?0
的解集为
?
?
x
1
?x?
1
?
?
??
?
．
?
(解法2)由题意可判断出
?
，
?
是方程
ax< br>2
?bx?c?0
的两根，
∴
????
c
a
．又
ax
2
?bx?c?0
的解集是
?
x??x???
，说明
a?0
．
而
??0
，
??0
????0?
c
a
?0?c?0
．
对方程
cx
2
?bx?a?0
两边同除以
x
2
得
a?(
11< br>x
)
2
?b?(
x
)?c?0
．
令
t?
1
x
，该方程即为
at
2
?bt?c?0
， 它的两根为
t
1
??
，
t
2
??
， ∴
11
1
1
1
x
??
，
x
? ?
．∴
x
?bx?a?0
的两根为
1
1
?
，
x
2
?
，∴方程
cx
2
，
?
．
1
2
?
?
?
∵
0????
，∴
1
?
1
?
．∴不等式
cx
2
?
11
?
?
?bx?a?0
的解集是
?
x?x?
?
??< br>?
．
?
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负 ，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中
只有
?
，
?
是已知量，故所求不等式解集也用
?
，
?
表示，不等式系数
a，
b
，
c
的关系也用
?
，
?
表示出来 ；(3)注意解
法2中用“变换”的方法求方程的根．
典型例题十二

例12 若不等式
x?a
x
2
?x?1
?
x?b
x
2
?x?1
的解为
(??，
1
3
)?( 1，??)
，求
a
、
b
的值．
分析：不等式本身比较复杂 ，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于
a
、
b
式子．
解：∵
x
2
?x?1?(x?
1
2
)
2
?
3
4
?0
，
x
2
?x?1?(x?
13
2
)
2
?
4
?0
，
∴原不等式化为
(2?a?b)x
2
?(a?b)x?a?b?0
．
?
?
?
2?a?b?0
?
依题意
?
?a?
5
?
a?b
a?b
?
1
3
，∴< br>?
2
．
?
2?
?

?
?
a ?b
?
b?
3
?
2?a?b
?
4
?
?
2
3
说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．
典型例题十三

例13 不等式的解集为
?
x?1?x?2
?
，求
a
与
b
的值．
分析：此题为一元二次不等式逆向思 维题，要使解集为
?
x?1?x?2
?
，不等式
ax
2?bx?2?0
需满足条件
a?0
，
??0
，
ax2
?bx?2?0
的两根为
x
1
??1
，
x< br>2
?2
．
解法一：设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1
，
x
2
，由韦达定理得：

?
?
?
x
1
?x
2
??
b
?
?
b
??1?2
?
a
?
?
a
?
2
由题意：
?
2

?
?
x
1
?x
2
??
?
a
?
?
?
a??1?2
∴
a?1
，
b??1
，此时满足
a?0，
??b
2
?4a?(?2)?0
．
解法二：构造解集为
?
x?1?x?2
?
的一元二次不等式： (x?1)(x?2)?0
，即
x
2
?x?2?0
，此不等式与 原不等式
ax
2
?bx?2?0
应为同解不等式，故需满足：
ab?2
1
?
?1
?
?2
∴
a?1
，
b??1
．
说明：本题考查一元二次方程、一元二次不 等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同
学往往掌握得不好．
典型例题十四

例14 解关于
x
的不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
．
分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．
解：分以下情况讨论
(1)当
a?0
时，原不等式变为：
?x?1 ?0
，∴
x?1

(2)当
a?0
时，原不等式变为：
(ax?1)(x?1)?0
①
①当
a?0
时，①式变为
(x?
1
)(x?1)?0< br>，∴不等式的解为
x?1
或
x?
1
a
a
．
②当
a?0
时，①式变为
(x?
1
a
)(x?1) ?0
． ②
∵
1
1
a
?1?
1?a
a
，∴当
0?a?1
时，
a
?1
，此时②的解为
1? x?
1
a
．当
a?1
时，
1
a
?1
，此时②的解为
1
a
?x?1
．
说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
?
?
a?0
?
?
a
a?R
?
?
?
?0
?
0?a?1

?
a?0
?
??
?
a?0
?
?
a?1
?
?
?
?
?
?
a?1
分类应做到使所给参数
a
的集合的并集为全 集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论
a?0
时，解
一元二 次不等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数变为正数再 求解．
典型例题十五

例15 解不等式
x
2
?3x?10?8?x
．
分析：无理不等式转化为有 理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
f(x)?g(x)
可转化为
f(x)?g(x)
或
f(x)?g(x)
，而
f(x)?g(x)
等价于：
?
?
f(x)?0
?
或
?
f(x )?0
?
g(x)?0
?
g(x)?0
．
?
?< br>f(x)?[g(x)]
2
解：原不等式等价于下面两个不等式组：
①
?
?
8?x?0
?
?
8?x?0
?
x
2
?3x?10?0
②
?
x
2
?3x?10?0

?
?
x2
?3x?10?(8?x)
2
?
由①得
?
?
x?8
?
x?8
，∴
x?8
由②得∴
?
?
x?5或x??2
?
x?5或x??2

74
?x?8
，
?
13
?
?
x?
74
13.
所以原不等式 的解集为
?
?
74
?
x
13
?x?8或x?8?
?
?
，即为
?
?
?
xx?
74?
13
?
?
．
?
说明：本题也可以转化为
f (x)?g(x
f(x)?g(x)?
?
f(x)?0
)
型的不等式 求解，注意：
?
g(x)?0
，
?
?
f(x)?[g(x) ]
2
这里，设全集
U?{xx
2
?3x?10?0}?{xx??2 或x?5}
，
A?
?
?
2
?
?
xx?3x ?10?8?x
?
?
，
则所求不等式的解集为
A
的补集
A
，
?
由
x
2
?3x?10?8?x?
?
8?x?0
?
x
2
?3x?10?0?x??2
或
5?x?
74
．
?x?3x?10?(8?x)
13
?
22
即
A?
??
xx?2或5?x?
74
?
13
?
?
，∴原 不等式的解集是
A?
?
?
74
?
??
xx?
13
?
?
．