高中数学会考基础知识汇总

高中数学会考基础知识汇总
集合与简易逻辑
一．集合
1、 集合的有关概念和运算
（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；
（2）元素
a
和集合A之间的关系：
a∈A，
或
a
?
A
；
2、子集定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：A
?
B，
注意：A
?
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
3、真子集定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：
A?B
；
4、补集定义：
C
U
A?{x|x?U,且x?A}
；
5、交集与并集 交集：
A?B?{x|x?A且x?B}
；并集：
A?B ?{x|x?A或x?B}

6、集合中元素的个数的计算： 若集合
A
中有
n
个元素，则集合
A
的所有不同的子集个数为_________，
所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
二．简易逻辑：
1．复合命题： 三种形式：p或q、p且q、非p；
判断复合命题真假：
2.真值表：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真；非p，真假相反。
3.四种命题及其关系：
互
逆命题
原命题
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
若q则p
若p则q
否命题：若
?
p则
?
q； 逆否命题：若
?
q则
?
p；
否
互
互为逆否的两个命题是等价的。
互
为
逆
互
原命题与它的逆否命题是等价命题。
为
逆
否
否
4.充分条件与必要条件：
互
否
逆否命
若
p?q
，则
p
叫
q
的充分条件；
否命题
题
若
p?q
，则
p
叫
q
的必要条件；
若< br>?
p则
互
若
p?q
，则
p
叫
q的充要条件；
函数
一． 函数
1、映射：按照某种对应法则
f
，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，
记作
f
：A→B，若
a?A,b?B
，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。
求y=f(x)定义域.括号内范围一致，定义域始终是关于自变量x的范围。
4、求值域的一般方法：
①图象观察法：
y?0.2
；②单调函数法：
y?log
2
(3x?1),x?[,3]

③二次函数配方法：
y?x?4x,x?[1,5)
，
y?
④“一 次”分式反函数法：
y?
2
|x|
1
3
?x
2?2x?2

x
；⑥换元法：
y?x?1?2x
⑦构造解析式法
2x?1
5、求函数解析式
f
（
x
）的一般方法：
①待定系数法：一次函数
f
（
x
），且满足
3f(x?1)?2f (x?1)?2x?17
，求
f
（
x
）
②配凑法：
f(x?)?x?
6、函数的单调性：
（1）定义：区间D上任 意两个值
x
1
,x
2
，若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f (x)
为D上增函数；
若
x
1
?x
2
时有
f(x
1
)?f(x
2
)
，称
f(x)
为D上减 函数。（一致为增，不同为减）
（2）区间D叫函数
f(x)
的单调区间，单调区间
?
定义域；
（3）复合函数
y?f[h(x)]
的单调性：即同增异减；
7.奇偶性：
定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) －f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =－f(-x)
?
f(x)为奇函数。
8.周期性：
定义：若函数f(x)对定义域内的 任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
9．函数图像变换：
（1）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b；（2）法则：加左减右，加上减下
（3）注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ
1
x
2
1
；③换元法：
f(x?1)?x?2x
， 求
f
（
x
）
,
求
f
（
x
）
x
2
＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量
a
（ｍ，ｎ）平移的意义。
2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的 对应关系
f
，对于集合A中的任意一个数
10．反函数：
x
，集合 B中都有唯一确定的数
f
（
x
）和它对应，就称
f
：A→B 为集合A到集合B的一个函数，记作
?1?1
y=f
（
x
）， （1）定义：函数
y?f(x)
的反函数为
y?f(x)
；函数
y?f(x)
和
y?f(x)
互为反函数；
（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；
3、求定义域的一般方法：（1）已知解 析式①整式：全体实数R；②分式：分母
?0
，0次幂：底数
?0
； （2）反函数的性质：函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f< br>?1
(x)
的值域、定义域；
③偶次根式：被开方式
?0
， 例：
y?
1
25?x
2
；④对数：真数
?0
，例：
y?log
a
(1?)

x
（2）抽象函数求定义域：已知 y=f(x)定义域D，求y=f[g(x)]的定义域；已知y=f[g(x)]的定义域C，
函数< br>y?f(x)
的图象和它的反函数
y?f
?1
(x)
的图象关 于直线
y?x
对称；点（
a，b
）关于直线
y?x
- 1 -

的对称点为（
b，a
）；
二、指对运算：
1. 指数及其运算性质：当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
m
n
?
a(a?0)

?a(a?0)
?
图 定 点
?a
0
?1,?
过定点（0，1）

象
图象
?a
x
?0,?
图象在x轴上方
特征
图象
关系
?log
a
1?0,?
过定点（1，0）
?x?0,?
图象在y轴右边
2.分数指数幂：正分数指数幂：
a
3.对数及其运算性质：
?a
；负分数指数幂：
a
n
m
?
m
n
?
1a
m
n
y?a
x
的图象与
y?log
a
x
的图象关于直线
y?x
对称

数列
a
n
?
?
一．数列：（1）前n项和：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
； （2）前n项和与通项的关系：
?
a
1
?S
1
(n?1 )

S?S(n?2)
nn?1
?
（1）定义：如果
a?N (a?0,a?1)
，以10为底叫常用对数，记为
lgN
，以e=2.718282 8…为底叫
自然对数，记为
lnN
（2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等 于0：
log
a
1?0
，③底的对数等于1：
log
aa?1
，
b
二．等差数列 ：
1.定义：
a
n?1< br>?a
n
?d
。2.通项公式：
a
n
?a
1< br>?(n?1)d
（关于n的一次函数），
3.前n项和：（1）．
S
n
?
4.等差中项：
A?n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
2
d
（即S
n
= An+Bn） （2）.
S
n
?na
1
?
2
2
M
④积的对数：
log
a
(MN )?log
a
M?log
a
N
， 商的对数：
loga
?log
a
M?log
a
N
，
N
1
n
幂的对数：
log
a
M?nlog
a
M
， 方根的对数：
log
a
n
M?log
a
M
，
n
三．指数函数和对数函数的图象性质
函数
定义


图象

指数函数 对数函数
a?b
或
2A?a?b

2
5.等差数列的主要性质： < br>（1）等差数列
?
a
n
?
，若
n?m?p?q
，则
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
。
a
?
a
?
?
n?m
?
d
nm
也就是：
a
1
?a
n
?a
n
?? ???
a
1
??????
a,a,a,?,a
n?2
,a< br>n?1
,a
n

?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
，如图所示：
1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
y?a
x
（
a?0且a?1
）
a>1






y
0y=a
x


y=a
x
y
y?log
a
x
（
a?0且a?1
）
a>1

y
y=log
a
x
0
y
x
*
（2）若数列
?
a
n
?
是等差数列，
S
n
是其前n项的和，
k?N
，则
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
? S
2k
成等差
????????????
S
?
3k
????????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
数列。如下图所示：
?
1??
2
??
3
????
k
?
k?
?? ???????????
S
k
S
2k
?S
k
S3k
?S
2k
1
O
1
x
O
1
x
O
1
y=log
a
x


性



质
O
x
定义域 （-∞，+∞）
（-∞，+∞）
值域 （0，+∞）
三．等比数列：
a
n?1
1.定义：
n?1
?q(q?0 )
；2.通项公式：
a
n
?a
1
q
（其中：首项是
a
1
，公比是
q
）
a
n
（0，+∞）
（0，+∞）
（-∞，+∞）
在（0，+∞）
上是增函数
在（0，+∞）
上是减函数
na
1
,(q?1)
??
n
3.前n项和]：
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q)
（推导方法：乘公比，错 位相减）
?,(q?1)
?
1?q
?
1?q
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
(q?1)
；
○
说明：①
S
n
?
2
S
n
?1
3当
q
(q?1)
；
○
1?q
1?q
单调性 在（-∞，+∞） 在（-∞，+∞）
上是增函数 上是减函数
函数值
变化
?1
时为常数列，
S
n
?na
1
。
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
?1,x?0
?
a
x
?
?1,x?0

?
?1,x?0
?
?
? 0,x?1
?
log
a
x
?
?0,x?1log
a
?
?0,0?x?1
?

?
?0,x?1
?
x
?
?0,x?1

?
?0,0?x?1
?
4.等比中项：
Gb
2
?
，即
G
aG
?ab
（或
G??ab
，等比中项有两个）
5.等比数列的主要性质：
（1）等比数列
?
a
n
?，若
n?m?u?v
，则
a
n
?a
m
?au
?a
v
a
?
a
nm
q
n?m

- 2 -

也就是：
a
1
?a
n?a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???
1
?a
n
?????
a
??????
a,a ,a,?,a
n?2
,a
n?1
,a
n
。如图所示：1
?
2
?
3
???????
a
2
?a
n?1
（2）若数列
?
a
n
?
是等比数列，
S
n
是前n项的和，
k?N
*
，则
S
k
，
S
2k
?S
k
，
S
3k
?S
2 k
成等比数列。
????????????
S
?
3k
?? ??????????
a?a?a???a?a
1
???a
2k
?a
2k?1
???a
3k
如下图所示：
?
1
??< br>2
??
3
????
k
?
k?
??????? ??????
S
k
S
2k
?S
k
S
3k< br>?S
2k
?
sin(?
?
)?cos
?
3< br>?
?
3
?
sin(?
?
)?cos
?
2
sin(?
?
)??cos
?
sin(?
?
) ??cos
?
2
2
2

?
3
?
?
3
?
cos(?
?
)?-sin
?
cos(?
?
)??sin
?
cos(?
?
)?? sin
?
cos(?
?
)?sin
?
2
2
2
2
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?

S(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

四．求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法
n
1.公式法：等差等比数列 ；2.分组求和法：如a
n
=2n+3 3.裂项相消法：如a
n
=
C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

C
(
?
?< br>?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?

1?tan
?tan
?
1?tan
?
tan
?
1
n
；4.错位相减法：“差比之积”的数列：如a
n
=(2n-1)2
n(n?1)
三角函数
?
1、角：与
?
终边相同的角的 集合为{
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
2、弧度制：（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 （2）度数与弧度数的换算：
180?
?
弧度，1弧度
?(
?< br>7、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
(s inx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
?b2
?sin(x?
?
)

（其中
?
称为辅助角 ，
?
的终边过点
(a,b)
，
tan
?
?
180
?
)
o

b
）
a
11
2
（3）弧长公式：
l?|
?
|r
（
?
是角的弧度数） 扇形面积：
S?lr??|
?
|r

22
3、三角函数 定义：（如图）
yy
sin
?
?　　　tan
?
?　　　　
rx
x
cos
?
?　　　
r
8、二倍角公式：（1）、
S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
（2）、降次公式：
4、同角三角函数基本关系式
r?x
2
?y
2
?0

y
P（x，y）

r
0
?

x
1
sin2
?

2
1?cos2
?
11
22
2

?1?2sin
?
?2cos
?
?1

sin
?
???cos2
?
?

222
2 tan
?
1?cos2
?
11
2
T
2
?< br>：
tan2
?
?

co s
?
??cos2
?
?
2
222
1?tan
?
C
2
?
：
cos2
?
?cos
2< br>?
?sin
2
?

sin
?
cos
?
?
9、三角函数的图象性质
（1）函数的周期性：
①定义：对于函数
f
（
x
），若存 在一个非零常数T，当
x
取定义域内的每一个值时，都有：
f
（
x< br>+T）
=
f
（
x
），那么函数
f
（
x
）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；
②如果函数
f
（x
）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫
f
（
x
）的最小正周期。
（2）函数的奇偶性：
①定义：对于函数
f
（
x
）的定义域内的任意一个
x
，都有：
f
（
-x
）
= - f
（
x
），则称
f
（
x
）是奇 函数，
f
（
-x
）
= f
（
x
），则称
f
（
x
）是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
（3）正弦、余弦、正切函数的性质（
k?Z
）
函数 定义域 值域
[
-
1，1]
周期性 奇偶性 递增区间
?
?
?
?
??2k
?
,?2k
?
??
2
?2
?
（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
?
sin
?

cos
?
5、诱导公式（理解记忆方法：奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(
?
?k?360?)?sin
?　　
c os(
?
?k?360?)?cos
?　　
tan(
?
?k ?360?)?tan
?

公式二： 公式三： 公式四： 公式五：
sin(180??
?
)?sin< br>?
sin(?
?
)??sin
?
sin(360??
?
)??sin
?　　
cos(180??
?
)??cos
?

cos(180??
?
)??cos
?

cos(?
?
)?cos
?

cos(360??
?
)?cos
?　　

tan(??
)??tan
?
tan(180??
?
)??tan
?
tan(180??
?
)?tan
?
tan(360??
?
)??tan
?
sin(180??
?
)??sin
?< br>递减区间
3
?
?
?
?

?
2?2k
?
,
2
?2k
?
?
??
y?s inx

- 3 -
x?R

T?2
?
奇函数

y?cosx

x?R

{x|x?
[
-
1，1]
T?2
?
偶函数

?
(2k?1)
?
,2k
?
?

?
2k
?
,(2k?1)
?
?


?
22
?
（１）坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

设A、B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?.
（2）实数与向量的积的运算律: 设
a?
?
x,y
?，则λ
a?
?
?
x,y
?
?
?
?x,
?
y
?
，
（3）平面向量的数量积：
???
????
00
?
①定义：
a?b?a?bcos
?< br>?
a?0,b?0,0?
?
?180
?
，
0?a?0
.
??
????
????
y?tanx

?
?k
?
}
2

（
-
∞,+∞）
T?
?

奇函数
?
??
?
?
? ?k
?
,?k
?
?

?
??
?
3
?
（0，0），（，1），（
?
，0），（，
-
1），（< br>2
?
，0）；
y?sinx
图象的五个关键点：
2
2
?
3
?
（0，1），（，0），（
?
，
-
1），（，0），（
2
?
，1）；
y?cosx
图象的五个关键点：
2
2






y
?
?

?
?
2

1
0
-1
y?sinx
?
2

?

3
?
2

①平面向量的数量积的几何意义：向量
a
的长度|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影|
b
|
cos
?
的乘积；
2
?

x
③、 坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
；
向量
a
的模|
a
|：
|a|
2
?a?a
?x?y
；模|
a
|
?
??
22
??
??
平面向量
x
2
?y
2

x
1
x
2
?y
1
y
2
x
1
?y
1
22< br>
1．向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2．向量的运算：（1）、向量的加减法：

向量的减法
向量的加法

三角形法则
平行四边形法则
a



b
b

a
b


a
b


a?b
a?b
b

a

b

a?b

a
a

首位连结
指向被减向量
（2）实数与向量的积：①定义：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，记作：
?
a
；
②它的长度：
|
?
a|?|
?
|?|a|
； < br>③：它的方向：当
?
?0
，
?
a
与
a
的方向相同；当
?
?0
，
?
a
与
a
的方 向相反；当
?
?0
时，
?
a
=
0
； 3．平面向量基本定理：如果
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不 共线的向量，那么对平面内的任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
1< br>,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
；
4．平面向量的坐标运算：
④、 设
?
是向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
的夹角，则
cos
?
?
5、重要结论：
（1）两个向量平行的充要条件：
x
2
?y
2
22
。
设
a?
?< br>x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?a?
?
b?

x< br>1
y
2
?x
2
y
1
?0

(
?
?R)

（2）两个非零向量垂直的充要条件：
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?< br>x
2
,y
2
?
，则
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

（3）两点
A
?
x
1
,y
1
?
,B?
x
2
,y
2
?
的距离：
|AB|?
6、解三角形：
（1）三角形的面积公式：
S
?
?
（2）正，余弦定理
① 正弦定理：
??
????
??
????
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
111
absinC?acsinB?bcsinA

222
abc
???2R,或a?2RsinA,　b?2RsinB，　c?2Rsin
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
222
②余弦定理：
b?a?c?2ac?cosB< br>
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC?( a?b)
2
?2ab(1?cocC)
- 4 -

b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
? b
2
a
2
?b
2
?c
2
　　　　
cosB?
　　　　
cosC?
求角：
cosA?

2bc2ac2ab
不等式
一、不等式的基本性质：
1．特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
2．中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小
二．均值不等式：
1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若
a,b?0
，则
当
a?b
时取等号）
2.基本变形：①
a?b?
；②若
a,b?R
，则
a?b?2ab

3.基本应用：求函数最值：
注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。
22
（1）当
a?0
时，
|x|?a
的解集是
{x|x?? a,x?a}
，
|x|?a
的解集是
{x|?a?x?a}

（2）当
c?0
时，
|ax?b|?c?ax?b??c,ax?b?c
，
|ax?b|?c??c?ax?b?c

4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；
⑴
f(x)f(x)
?0?
；
?0?
； （2）
g(x)g(x)
直线和圆的方程
a?b
?ab
（当且仅
2
5.高次不等式组的解法：数轴标根法。
一、直线
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)直 线的斜率，即
k?tan
?
(
?
?90
0
)

(3)斜率公式：经过两点P
1
(x
1
，y
1
)、P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率为
k?2．直线的方程
(1)点斜式 ：y－y
0
=k(x－x
0
) (2)斜截式：y=kx＋b
(3)两点式：
91
常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数
y?4x?(x?)< br>的最小值 。
2?4x2
11
②若正数
x ,y
满足
x?2y?1
，则
?
的最小值 。
xy
三、不等式的解法：
1.一元二次不等式的图解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=
b
-4
ac

二次函数
y
2
y
2
?y
1
(x
2
?x
1
? 0)

x
2
?x
1
y?y
1
x?x
1
xy
?
(4)截距式：
??1

y
2?y
1
x
2
?x
1
ab
??0


y
??0


??0

y

f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)

的图象


一元二次方程 有两相异实数根
x
1
O
x
2
x
O
x
1
=x
2
x
O
没有实数根

R
x
(5)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同时为0)．
3．两条直线的位置关系
(1)平行：当 直线
l
1
和
l
2
有斜截式方程时，k
1
= k
2
且b
1
≠b
2
；
(2)重合：当
l
1
和
l
2
有斜截式方程时，k
1
=k
2< br>且b
1
=b
2
；
(3)相交：当
l
1< br>，
l
2
是斜截式方程时，k
1
≠k
2
（4 ）垂直：设两条直线
l
1
和
l
2
的斜率分别为
k< br>1
和
k
2
，则有
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

一般式方程时，
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1< br>B
2
?0
（优点：对斜率是否存在不讨论）
有两相等实数根
ax?bx?c?0(a?0)
的根
一元二次不等式
2
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

{x|x?x
1
,x?x
2
}

“＞”取两边
ax?bx?c?0(a?0)
的解集
一元二次不等式
2
b
x
1
?x
2
??

2a
b
{x|x??}

2a
?
A
1x?B
1
y?C
1
?0
（5）交点：求两直线交点，即解方程组
?

Ax?By?C?0
?
222
4．点到直线的距离： 设点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l:Ax?By?C ?0,P
到
l
的距离为
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
.
{x|x
1
?x?x
2
}

“＜”取中间
?

?

5.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0(C
1
?C
2
)
，它们之间
的距离为d
，则有
d?
- 5 -
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
C
1
? C
2
A?B
22
3.绝对值不等式的解法：（“＞”取两边，“＜”取中间）
.

6. 关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决
7．简单的线性规划----线性规划的三种类型：
1．截距型：形如z=ax+by, 把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。
(1)两圆外切?|O1
O
2
|=r
1
＋r
2
；
(2)两圆 内切?|O
1
O
2
|=|r
1
－r
2
|；
(3)两圆相交?|r
1
－r
2
|＜|O
1
O2
|＜r
1
＋r
2
．

立体几何
1.平面的基本性质：三个公理及推论。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面；
3.直线与平面
位置关系
直线和平
面平行
（1）直线在平面内——有无数个公共点 。（2）直线和平面相交——有且只有一个公共
点（3）直线和平面平行——没有公共点
判 定 定 理
a
y?a
2．斜率型：形如
z?
时,把z看作是动点< br>P(x,y)
与定点
Q(b,a)
连线的斜率，目标函数的最值
x?b
就转化为PQ连线斜率的最值。
3．距离型：形如
z?(x?a)?(y?b)时,可把z看作是动点
P(x,y)
与定点
Q(a,b)
距离的平方，这
样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。
二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：①建系，设点；②列式；③代入④化简；⑤证明．
三、圆
1．．圆的方程:
222
(1)标准方程(x－a)＋(y－b)=r．(a，b)为圆心，r为半径．
(2) 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D?E?4F＞0
.）
2．点和圆的位置关系：给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)?(y?b)?r
. 222
（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
①
M
在圆
C
内
?d?(x< br>0
?a)?(y
0
?b)＜r
；②
M
在圆
C
上
?d?
222
③
M
在圆
C
外
? d?(x
0
?a)?(y
0
?b)＞r

22
性 质 定 理
β
b

a
22
222
b
α
直线与平
面垂直
判 定 定 理
α
性 质 定 理
b
a

3．直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
(x?a)?(y?b)?r(r＞0)
； 直线
l
：
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
；
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d?
Aa? Bb?C
A
2
?B
2
222
l
0
.
直线与平
面所成的
角
三垂线定
理
三垂线逆
定理
空
间
两
个
- 6 -
α
n
m
α


①几何法：
d?r
时，
l
与
C
相切；
d＜r
时，
l
与
C
相交；
d＞r
时，
l
与
C
相离.
?
?
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
② 代数法：方程组
?
用代入法，得关于
x
（或
y
）的一元 二次方程，其判别式为
?
，
?
Ax?Bx?C?0
?
（1） 平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
0
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0的角
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
则：
??0?l
与
C
相切；
?＞0?l
与
C
相 交；
?＜0?l
与
C
相离.
注意：几何法优于代数法
4．求圆的切线方法
①若已知切点(x
0
，y
0
)在圆上 ，则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。
②若已知切线过圆外一点(x
0
，y
0
)，则设切线方程为y－y
0
=k(x－x
0
)，再利用 相切条件求k，这时
必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
5．圆与圆的位置关系 ：已知两圆圆心分别为O
1
、O
2
，半径分别为r
1
、r< br>2
，则
4.平面与平面位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）
两个
平面
平行
判 定 性 质
（1）如果一个平面内 有两条相交直线平（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线
行于另一个平面，那么这两个平面平行 必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相
（2）垂直于同一直线的两个平面平行
交，那么它们的交线平行

平
面
相交
的两
平面
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个
平面，它也垂直于另一个平面
二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的
线，这两个半平面叫二面角 的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，
这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平
面垂
直
判 定
如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直
性 质
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平
面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一
个平 面内
③a⊥β,a∥α α⊥β
6．棱柱
（1）棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质；（2）长方体的性质。
（3）平行六面体 →直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以
及它们的特有性质。
（4）S
侧
＝各侧面的面积和；（5）V=Sh。
7．棱锥
１．棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）
２．相关计算：S
侧
＝各侧面的面积和 ，V=
8．球的相关概念：（1）S
球
=4πR V
球
＝
2
1
Sh
3
4
3
πR （2）球面距离的概念
3
5. 常用证明方法：
(1)判断线线平行的常用方法：
①a∥b,b∥c,
③a⊥α,b⊥α
a∥c;②a∥α,a β,α∩β＝b a∥b
a∥b a∥b;④α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α，b α a⊥b； ②b∥c,a⊥c
a⊥b；
a⊥b
③a⊥α，b∥α
(3)判定线面平行的常用方法：
①定义 ②a α,bα且a∥b a∥α.③α∥β,a β a∥β;
9.计算问题：计算步骤：一作、二证、三算
（1）异面直线所成的角 范围：0°＜
θ
≤90° 方法：①平移法；②向量法.
（2）直线与平面所成的角 范围：0°≤
θ
≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
（3）二面角方法：①定义法；②射影面积法：
S
′ =
S
cos
θ
三垂线法；③向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法：由二面角平面角的定义做出平面角；
②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
（4）两点之间的距离.(5)点到直线的距离.
(6)点到平面的距离： (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 等体积法. (3) 向量法
(7)两条平行线间的距离.
(8)两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长. (2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法
(9)平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离. (11)球面距离
概率


概率１．必然事件： P(A)=1；不可能事件： P(A)=0；随机事件的定义： 02.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出 现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，
那么，每一个基本事件的概率都是
1m< br>，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率
P(A)?
.
nn
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且a
③α∥β且a⊥α
α,b α,a，b无公共点 c⊥α；②a∥b且a⊥α b⊥α
a⊥β
(5)判定面面平行的常用方法：
①a、b β,a∩b＝A，若a∥α,b∥α
α∥β
α∥γ
α∥β
3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生( 即A、
B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P( B)；
推广：
P(A
1
?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)
.
4.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.（A、B互斥，即事件A、B不可能 同时发
．．．．．．．．．．．．．．．
生）（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但 A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)＝１
5.相互独立独立事件：事件A(或B)是否发 生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫
做相互独立事件. 如果两个相互独立事件 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P(A·B)=P(A)·P(B).

β⊥r
- 7 -
②a⊥α,α⊥β
③α∥β，β∥r
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,a β α⊥β ②α∥β，b⊥r