2019_2020学年高中数学第三章统计案例复习提升课学案新人教A版选修2_3

第三章 统计案例
章末复习提升课
,




线性回归分析
[问题展示] (选修2?3 P101复习参考题A组T2)如果美国10家工业公司提供了以下数据：
公司

通用汽车

福特

埃克森

IBM

通用电气

美孚

菲利普·莫利斯

克莱斯勒

杜邦

德士古

销售总额
x
1

百万美元
126 974

96 933

86 656

63 438

55 264

50 976

39 069

36 156

35 209

32 416

利润
x
2
百
万美元
4 224
3 835
3 510
3 758
3 939
1 809
2 946
359
2 480
2 413
(1)作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
(2)建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；
(3)计算R
，你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由．

【解】 (1)将销售总额作为横轴
x
，利润作为纵轴
y
，根据表中 数据绘制散点图如图．
2

1

由于散点图中的 样本点基本上在一个带状区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈线性相关
关系．
^^
(2)由最小二乘法的计算公式，得
a
≈1 334.5，
b
≈0.026，
^
则线性回归方程为
y
＝0.026
x
＋1 334.5.
其残差值计算结果见下表：
销售
总额

利润

残差

销售
总额

利润

残差

126 974

4 224

－411.824

50 976

1 809

－850.876

96 933

3 835

－19.758

39 069

2 946

595.706

2
86 656

3 510

－77.556

36 156

359

－1 915.556

63 438

3 758

774.112

35 209

2 480

230.066

55 264
3 939
1 167.636
32 416
2 413
235.684
(3)对于(2)中所建立的线性回归方程，
R
≈0.457，说明在线性回归模型中销售总额只能解
释利润变化的46%，所以线性回归模 型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系．

经分析预测，美国通用汽车等10家大公司 的销售总额
x
i
(
i
＝1，2，…，10，单位：百万美
^ ^
元)与利润
y
i
(
i
＝1，2，…，10，单位：百万美 元)的近似线性关系为
y
＝0.026
x
＋
a
，经


（2）若通用汽车公司的销售总额
x
1
＝126 974（百万美元），残差
车的利润；
（3）福特公司的销售总额为96 933百万美元，利润为3 835，比较通用汽车与福特公司利
润的解释变量对于预报变量变化的贡献 率说明了什么？
,
（以上答案精确到个位）

＝－387，估计通用汽

2

得样本中心点为(62 309，2 930)，
^
所以
a
＝2 930－0.026×62 309＝1 310.
^
(2)由(1)知
y
＝0.026
x
＋1 310，
当
x
1
＝126 974时，
^
y
1
＝0.026×126 974＋1 310≈4 611，
^^
所以
y
1
＝
y
1
＋
e
1< br>＝4 611＋(－387)＝4 224，
估计通用汽车的利润为4 224百万美元． < br>(3)由(1)(2)可得通用汽车利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为
R
1< br>，
^
22
（
y
1
－
y
1
）（－387）
则
R
＝1－＝1－
2
≈0.911＝91.1%.
－
2
（1 294）
（
y
1
－
y
）
2
1
2
设福特公司利润的解释变量对于预报变量变化的贡献率为
R
2
，
^
由
y
＝0.026
x
＋1 310得
^
2
y
2
＝0.026×96 933＋1 310≈3 830，
（3 835－3 830）5
则
R
＝1－
2
＝1－
2
≈0.999 9＝99.99%.
（3 835－2 930）905
2
2
22
^
22
由
R
1
＜
R
2
知，用
y< br>＝0.026
x
＋1 310作为解释变量与预报变量的关系，预报通用汽车的效果没< br>有预报福特公司的效果好，或者说预报通用汽车的精确度低于预报福特公司的精确度．

非线性回归分析
[问题展示] (选修2?3 P86例2)一只红铃虫的产卵数
y
和温度
x
有关．现收集了 7组观测
数据列于表中，试建立
y
关于
x
的回归方程．
温度
x
℃

产卵数
y
个


【解】 根据收集的数据，作散点图：
21

7

23

11

25

21

27

24

29

66

32

115

35
325


3

由散点图知，样本点分布在某条指数函数曲线周围，故该回归方程为
y
＝
c
1
e
c
2
x
，两边取对
数得ln
y
＝
c
2
x
＋ln
c
1
，
作变换
?
?
z
＝ln
y
?
?
?
x
＝
x
^^^^^
(
c
2
＝
b
，ln
c
1
＝
a
)，得
z
＝
bx
＋
a
，
且变化后所得样本数据表为

x
z
21

1.946

23

2.398

25

3.045

27

3.178

29

4.190

32

4.745

35
5.784
经计算得
z
关于
x
的线性回归方程为
^
^
z
＝0.272
x
－3.849，所以
y
关于
x
的回归方程为
y
＝e
0.272
x
－3.849
即
y
＝
^
1
e
3.849
·e
0.272
x
.

[拓展1] “指数型”回归方程选择的等价性．
(1)选择指数 函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1)不科学， 因为指数函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1) 恒过定点
(0，1)，且仅有一个估计值
a
，不能有效体现解释变量
x
与预报变量
y
之间的关系，即拟合
效果很差．
(2)“平移型”指数函数 与
y
＝
c
1
e
c
2
x
的等价性．
①回归方程为
y
＝
a
由
y
＝
a
x
＋
b
x
＋
b
xx

得ln
y
＝(
x
＋
b
)ln
a
＝(ln
a
)
x
＋
b
ln
a
，
?
?
z
＝ln
y
^^^^^
作变换
?
(
b
＝ln
a
，
a
＝
b
ln
a
)，则有
z
＝
bx
＋
a
.
?
x
＝
x
?
②回归方程为
y
＝
a
＋
b
，令
a
＝
k
·e，
t
＝e，
1
?
?
t
＝
a
x
，
^^
可得变换
?
k
得
y
＝
kt
＋
b
(
b
＝
k
，
a
＝
b
)．
?
?y
＝
y
(3)一般“指数型”函数与
y
＝
c
1
e
c
2
x
的等价性．
回归方程为
y
＝< br>k
1
e
k
2
x
＋
b

因为
y
＝
k
1
e
k
2
x
＋
b
＝
k
1
e
k
2
x
·e＝
k
1
e·e
k
2
x
，
ln
y
＝ln(
k
1
e)＋
k
2
x
＝ln
k
1
＋
b
＋
k
2
x
，
?
?
z
＝ln
y
^^
作变换
?
(
b
＝
k
2
，
a
＝ln
k
1
＋
b
)，
?
?
x
＝
x
b
bb
xxxx
^^^
则有
z
＝
bx
＋
a
.
[拓展2] 从散点图看回归方程的设置

4

(1)由本例从散点图可以看出，样本点集中在某二次函数(抛物线)的附近，因此可选 择二次
函数
y
＝
ax
＋
b
作为回归方程．
?
t
＝
x
，
?
^^
作变换
?
即 得
y
＝
at
＋
b
(其中
b
＝
a< br>，
a
＝
b
)．
?
?
y
＝
y
2
2
(2)若选用
y
＝
ax
＋
bx＋
c
模型，则具有不确定性；
2
b
?
4
ac
－
b
?
因为
y
＝
ax
＋
bx＋
c
＝
a
?
x
＋
?
－，
4
a
?
2
a
?
2
2
2
2
?
?
2
?
t
＝
?
x
＋
b
?
4
ac
－
b
，
?
虽然作变换
?
?
2
a
?
可得出线性关系
y
＝
at
＋， < br>4
a
?
?
y
＝
y
b
??
但 由于
a
、
b
、
c
未确定，从而变换
t
＝< br>?
x
＋
?
的
t
值不确定，从而不能列出样本点(t
i
，
y
i
)
?
2
a
?4
ac
－
b
数据表，即
y
＝
at
＋不 能确定．
4
a
因此，我们根据散点图设置回归方程应特别注意：
?
?
t
＝
f
（
x
），
①变换
?
可 列出(
t
i
，
z
i
)的数据表．
?
z< br>＝
g
（
y
）
?
2
2
^^
② 注重变换后的线性回归方程中的
b
与
a
与变换前参数的关系．
③利用求出的线性回归方程替换变量后还原成原问题的回归方程．
④最后根据需要进行回归分析．

独立性检验
[问题展示] (选修2?3 P97练习)有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学 生考试成绩
优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：
班级与成绩列联表


甲班

乙班

总计

优秀

10

7

17

不优秀

35

38

73

总计
45
45
90
请画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关系；根 据列联表的独立性
检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？

【解】 列联表的等高条形图如图．由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”．

5

假设成绩与班级没有关系，则有
a
＝10，
b
＝35，
c
＝7，
d
＝38，
a
＋
b
＝45，
c
＋
d
＝45，
a
＋c
＝17，
b
＋
d
＝73，
n
＝90，代入< br>K
公式，得
K
的观测值
90×（10×38－7×35）
k
＝≈0.653.
45×45×17× 73
由于
k
≈0.653＜6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下 不能认为成绩与班级有
关系．

甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试 成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的
列联表
班级与成绩列联表
2
22


甲班

乙班

总计

18
2
若
K
的观测值为.
13< br>(1)求
a
，
b
，
c
，
d
的值；
(2)根据观测值表，能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为成绩与班级无关．
【解】 (1)由表知，
c
＝25－
a
，
b
＝45 －
a
，
d
＝45－
c
＝45－(25－
a
)＝20＋
a
，
n
＝90.
优秀

不优秀

总计
45
45
90
a
c
25

b
d
65

n
（
ad
－
bc
）
2
由
K
＝得
（< br>a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
2
90[
a< br>（20＋
a
）－（25－
a
）（45－
a
）]18< br>＝，
45×45×25×6513
化简得(2
a
－25)＝25，所 以2
a
－25＝5或2
a
－25＝－5，
所以
a
＝15或
a
＝10，当
a
＝10时，
2
2


甲班

乙班

优秀

10

15

不优秀

35

30

总计
45
45

6

总计

当
a
＝15时，
25

65

90


甲班

乙班

总计

说明甲班与乙班编号不同而已，
故当
a
＝10时，
b
＝35，
c
＝15，
d
＝30，
或当
a
＝15时，
b
＝30，
c
＝10，
d
＝35.
18
2
(2)因为
K
的观测值
k＝≈1.385＞1.323，
13
而
P
(
K
≥1.323)＝0.25，
所以在犯错误的概率不超过0.25的前提下可以认为成绩与班级无关．

数学教师 STC对他所任教的高二两个班进行一次数学考试(满分100分)，从两个班学生考试
成绩中，都随机 抽取了15名学生的数学成绩的茎叶图如下，
2
优秀

15

10

25

不优秀

30

35

65

总计
45
45
90

(1)从茎叶图能否判断乙班的成绩好于甲班的成绩；
(2)若记成绩在区间[8 0，100)为优秀，小于80为不优秀，你有多少把握判断乙班的成绩比
甲班的成绩优良．
【解】 (1)甲班成绩集中在“茎7”，乙班的成绩集中在“茎8”，从茎叶图可判断乙班的
成绩好于甲班的成绩．
(2)根据茎叶图列出2×2列联表


甲班

乙班

总计

优秀

5

7

12

不优秀

10

8

18

总计
15
15
30

7

30×（5×8－7×10）5 5
K
的观测值
k
＝＝≈0.556＞0.455，且
k
＝≈ 0.556＜0.708，
15×15×12×1899
2
2
又
P
(
K
≥0.455)＝0.50，
P
(
K
≥0.7 08)＝0.40，
故仅有50%至60%的把握认为乙班的成绩比甲班的成绩优良．
< br>1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对
A
、
B
两变量的线性相关性做试验 ，并用回归分析方法分
别求得相关系数
r
与残差的平方和
m
如下表：
22


r
m
甲

0.82

106

乙

0.78

115

丙

0.69

124

丁
0.85
103
则哪位同学的试验结果体现
A
、
B
两变量有更强的线性相关性( )
A．甲
C．丙
B．乙
D．丁
解析 ：选D.相关系数
r
越接近于1和残差平方和
m
越小，两变量
A、
B
的线性相关性越强，
故选D.
2．某大学数学系学生会为了调查爱 好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别
不同的大学生是否爱好游泳运动，得到如下的列 联表：


爱好

不爱好

总计

2
男

40

20

60

女

20

30

50

总计
60
50
110
n
（
ad
－
bc< br>）
2
2
由
K
＝算得
K
的观测值
（
a
＋
b
）（
c
＋
d
）（
a
＋
c
）（
b
＋
d
）
110×（40×30－20 ×20）
k
＝≈7.8.
60×50×60×50
附表：
2

P
(
K
2
≥
k
0
)

k
0

参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”
0.050

3.841

0.010

6.635

0.001
10.828

8

C．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好游泳运动与性别无关”
解析：选C.因为
K
≈7.8＞6.635，但7.8＜10.828，故在犯错误的概率不超过1%的前提下< br>认为“爱好游泳运动与性别有关”，故选C.
3．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费 的时间，为此进行了5次试验，得到5组
数据(
x
1
，
y
1
)，(
x
2
，
y
2
)，(
x
3< br>，
y
3
)，(
x
4
，
y
4
)，(
x
5
，
y
5
)．根据收集到的数据可知
x< br>1
＋
x
2
＋
x
3
^
＋
x< br>4
＋
x
5
＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为
y＝0.67
x
＋54.9，则
y
1
＋
y
2＋
y
3
＋
y
4
＋
y
5
的值为 ________．
－
1
^－
解析：由题意，得
x
＝(< br>x
1
＋
x
2
＋
x
3
＋
x< br>4
＋
x
5
)＝30，且回归直线
y
＝0.67
x
＋54.9 恒过点(
x
，
5
－－－
y
)，则
y
＝0.67×30＋54.9＝75，所以
y
1
＋
y2
＋
y
3
＋
y
4
＋
y
5＝5
y
＝375.
答案：375
4．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的 传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某
种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小 鼠进行试验，得到如下列联表：
2


服用

未服用

总计

附表：
感染

10

20

30

未感染

40

30

70

总计
50
50
100

P
(
K
2
≥
k
0
)

k
0

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025
5.024
参照附表，在犯错误的概率不超过________(填百分比)的前提下，认为“小鼠是否被感染与
服用疫苗有关”．
100×（10×30－20×40）
解析：
K
的观测值
k
＝≈4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不
30×70×50×502
2
超过5%的前提下，认为“小鼠是否被感染与服用疫苗有关”．
答案：5%
5．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行了“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应
用题 ’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班
(常规教学，无 额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基
本一致，试验结束后，统计 几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：


9

甲班
(人数)

乙班
(人数)

60分
及以下

3

61～
70分

6

71～
80分

11

81～
90分

18

91～
100分
12
4

8

13

15

10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断 能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认
为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率 ”有关系．


甲班
乙班
总计
优秀人数




非优秀人数




总计



解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
30
甲班优秀人数为30，优秀率为＝60%，
50
25
乙班优秀人数为25，优秀率为＝50%，
50
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%，50%.
(2)2×2列联表如下：


甲班

乙班

总计

2
优秀人数

30

25

55

非优秀人数

20

25

45

2
总计
50
50
100
100×（30×25－2 0×25）100
所以
K
的观测值
k
＝＝≈1.010<2.706 ，
50×50×55×4599
所以不能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“加强‘语 文阅读理解’训练对提高‘数
学应用题’得分率”有关系．




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