高中数学的向量什么时候学-高中数学题120道
数列
1
、数列中
n
a
n
与
S
n
之间的关系:
,
(n 1)
n 1
1
a
S
S
n
注意通项能否合并。
S ,( n 2).
2、等差数列:
⑴定义:
如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 即
a
-
a
n 1
n
=d ,(n≥ 2,n∈N ),
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数
⑶通项公式:
a
n
a、 A、 b
成等差数列
a b
A
2
a
1
(n 1)d a
m
(n m)d
或
a
n
⑷
前
n
项和公式:
pn q ( p、q是常数) .
n a a
1 n
n n 1
S
n
na
1
d
2 2
⑸常用性质:
①
若
m n p q m,
n, p,q N
,则
a
m
a
,
a
k
a
,
a
,
a
p
a
;
q n
②下标为等差数列的项
,仍组成等差数列;
k m k 2m
③数列
a
n
b
(
,b
为常数)仍为等差数列;
④
若
{a }
、
{b
n
}
是等差数列,则
n
*
{ ka
n
}
、
{ ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数
)、
{a
p nq
}( p,q
N )
、,? 也成等差数列。
⑤单调性:
a
的公差为
d
,则:
n
ⅰ)
d
ⅱ)
d
ⅲ)
d
0
0
0
a
为递增数列;
n
a
为递减数列;
n
a
为常数列;
n
a
n
pn q
( p,q 是常数)
,则 、 、
⑥数列 {
a
n
} 为等差数列
⑦若等差数列
a
n
的前
n
项和
S
n
S
k
S
2k
S
k
S
3k
?
S
2k
是等差数列。
3、等比数列
⑴定义:
如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数
列就叫做等比数列。
⑵等比中项:若三数
a、G、b
成等比数列
G
2
ab,
(
ab
同号)。 反之不一定成立。
⑶通项公式:
n 1 n
m
a
n
a q
1
a q
m
n
⑷
前
n
项和公式:
S
n
a
1
1 q
1 q
a
1
a
q
n
1 q
⑸常用性质
①
若
m n p
q m, n, p,q N
,则
a a
,
为等比数列,公比为
m
k
a a
;
p
q n
②
k
,a ,a
k m
a
k 2m
q
(下标成等差数列 ,则对应的项成等比数列 )
③数列
a
(
n
为不等于零的常数)仍是公比为
q
的等比数列;正项等比数列
a
;则
n
lg a
n
是公差为
lg q
的等差 数列;
④若
a
是等比数列,则
n
2
n n
1
n
ca ,a ,
a
2
,
a
r
(r Z)
是等比数列,公比依次是
n
.
r
q q q
, , ,
q
1
⑤单调性:
a
1
0,q 1或a
1
0,0 q 1
为递减数列;
a
n
为递增数列;
a
1
0,0 q 1或a
1
0,q 1 a
n
q 1
q 0
a
n
为常数列;
a
n
为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
a
n
的前
n
项和
S
n
,则
S
k
、
S
2k
S
k
、
S
3k
S
2k
?
是等比数列 .
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法:
已知数列前若干项, 求该数列的通项时, 一般对所给的项观察分析,
寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
n
类型Ⅱ公式法:
若已知数列的前
公式
n
项和 与
S
n
a
的关系,求数列
a
n
n
的通项
a
n
可用
a
S
1
, (n 1)
S ,(n 2)
n 1
构造两式作差求解。
S
n
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二
为一”,即
a
和
a
合为一个表达,
(要先分
n 1
和
n
1 n
2
两种情况分别进行运算,然后验证
能否统一)。
类型Ⅲ累加法:
形如
a
n 1
a
n
f (n)
型的递推数列
(其中
f (n)
是关于
n
的函数)可
构造:
a
n
a
n 1
f (n 1)
f (n 2)
n 2
a
n 1
a
...
a
a
2 1
f
(1)
将上述
n
1
个式子两边分别相加,可得:
a
n
f (n 1) f (n 2)
... f (2) f (1) a ,( n 2)
1
①若
f (n)
是关于
n
② 若
f (n)
是关于
③若
f (n)
是关于
n
④若
f (n)
是关于
n
类型Ⅳ累乘法:
形如
a
n
;
的一次函数,累加后可转化为等差数列求和
n
的指数函数,累加后可转化
为等比数列求和;
;
的二次函数,累加后可分组求和
.
的分式函数,累加后可裂项求和
1
a f (n)
n
a
n
1
型的递推数列 (其中
f
(n)
是关于
n
的函数)
可构造:
( )
f n
a
n
a
n
f (n 1)
a
n
1
a
n
1
f (n 2)
a
n
2
...
a
2
a
1
f (1)
将上述
n 1
个式子两边分别相乘,可得:
a
n
f
(n 1) f (n 2) ... f (2) f (1)a ,( n 2)
1
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法:
㈠形如
a
n 1
pa
n
q
(其中
p,q
均为常数且
p 0
)
型的递推式:
(1)若
p 1
时,数列 {
a
}为等差数列
n
(2)若
q 0
时,数列 {
a
} 为等比数列
n
(3)若
p 1
且
q 0
时,数列 {
a
} 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比
n
数列来求
. 方法有如下两种:
法一:
a
设
1
p(a
n n
)
,
展开移项整理得
a
n 1
pa
n
( p 1)
, 与题设
q
a
n 1
q
,( p 0) a
n
1
q
p(a
n
pa
n
q
比较系数(待定系数法) 得
)
p 1 p 1
a
n
p 1
q
1
p
为首项,
以
q
p(a
n 1
q
, 即
a
n
)
q
构成以
a
p
1
1
p
为公比的等
p 1 p 1
比数列 .
再利用等比数列的通项公式求出
a
n
q
的通项整理可得
a .
p
1
a
1
n
n
a
n
p,
即
法二:
由
a
n
1
pa
n
q
得
a
n
pa
n
1
q(n 2)
两式相减并整理得
a
n
a
n 1
a
n 1
a
构成以
a
n
2
a
为首项,以
p
为公比的等比数列
. 求出
1
a
n 1
a
的通项再转化为
n
类型Ⅲ(累加法)
㈡形如
a
n
1
便可求出
a .
n
pa
n
f (n)
( p 1)
型的递推式 :
⑴当
f (n)
为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:
设
a An B p a
n
1
A(n
1) B
,通过待定系数法确定
n
A 、B
的值,转化
成以
a
1
A B
为首项,以
p
为公比的等比数列
a
n
An B
,再利用等比数列的通项公
式求出
a
n
An B
的通项整理可得
a
n
.
1
法二:
当
f (n)
的公差为
d
时,由递推式得:
a
n
pa
n
f (n)
,
a
n
pb
pa
n
1
f (n 1)
两式相减得:
a
1
n
a
n
p a
(
n
a
1
d
,令
b
)
n
a
n 1
a
得:
b
n n
d
转化为 类型
n 1
n
Ⅴ㈠ 求出
b
,再用
类型Ⅲ(累加法) 便可求出
n
a
n
.
⑵当
f (n)
为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:
设
a
n
f (n) p a
n 1
f (n 1)
,通过待定系数法确定
a
n
的值,转化成以
a
1
f
为首项,以
p
为公比的等比数列
(1)
a
a
n
n
f (n)
,再利用等比数列的通项公式求
出
f (n)
的通项整理可得
.
法二:
当
f (n)
的公比为
q
时,由递推式得:
a
1
n
pa
n
f (n)
— —
①,
a
n
pa
n
1
f (n
1)
,两以
q
边同时乘
得
a
n
q pqa
n
1
qf
(n 1)
— — ② ,由①②两式相
减得
a
n
1
a q p(a
n n
qa
1
)
,即
n
a
n 1
qa
qa
n
n
1
a
n
p
,在转化为
类型
Ⅴ
㈠
便可求出
a .
n
法三:
递推公式为
n n
1
a
n 1
pa
n
q
(其中 p,q 均为常数) 或
a
n
pa
n
rq
(其中 p,
n
n
q,
r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以
n 1
q
1
a
n
,得:
n
1
1
p a
1
,引入
q
q
q
q
辅助数列
b
n
(其中
a
n
n
n
),得:
b
q
b
n
1
p
b
n
q
再应用 类型Ⅴ㈠ 的方法解决。
q
⑶当
f (n)
为任意数列时,可用 通法:
在
a
n
1
pa
n
f (n)
两边同时除以
p
可得到
n 1
a
n 1
n 1
a
n
n
f (n)
a
,令
n
n 1 n
b
,则
n
p
p p
n
p
p b
.
n
b
n 1
b
n
f (n)
,在转化为
类型Ⅲ(累加法) ,求出
b
n
之后得
a
n 1
n
p
类型Ⅵ
形如
对数变换法:
q
a
n
1
pa ( p 0,a
n
q
0)
型的递推式:
两边取对数得
lg a
n 1
在原递推式
a
n 1
pa
qlg a
n
lg p
,令
b
n
lg a
n
得:
b
b
n
1
qb
n
lg p
,化归为
a
n 1
pa
n
q
型,求出
b
之后得
a
n
n
10 .
(注意:底数不一定
n
要取 10,可根据题意选择)
。
类型Ⅶ
形如
a
n 1
倒数变换法:
a
n
pa a
(
p
为常数且
p 0
)
的递推式:
两边同除于
a
n 1
a
n
,转化为
n
1 n
1
a
n
1
a
n
1
形式,化归为
a
n 1
p
pa
n
q
型求出
1
a
n
的表达式,再求
1
a
n 1
a
;
n
还有形如
a
n
ma
n
n
1
的递推式, 也可采用取倒数方法转化成
m 1
q a
n
m
形式, 化归为
p
pa
q
n
a
n 1
n
型求出
1
的表达式,再求
a
.
pa q
a
n
类型Ⅷ
a
n
2
形如
pa
n 1
qa
n
型的递推式:
{a
n
a }
的形式求解。方法为:设
n 1
用待定系数法,化为特殊数列
a
n
2
ka
n 1
h(a
n
1
ka )
,比较系数得
h k
n
p,
hk q
,可解得
h 、k
,于是
{a
n
1
ka
n
}
是公比为
h
的等比数列,这样就化归为
a
n 1
pa
n
q
型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解, 对不能转化为以上方法
求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a .
n
5、非等差、等比数列前
⑴错位相减法
n
项和公式的求法
①若数列
a
为等差数列, 数列
n
b
n
为等比数列, 则数列
a
n
b
n
的求和就要采用此法 .
b
n
的公比,然后在错位相减,进而可得到数列
②将数列
a
n
b
n
的每一项分别乘以
a
b
n n
n
项和
.
的前
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法
.
⑵裂项相消法
一般地,当数列的通项
a
n
( a,b ,b ,c为常数)
时,往往可将
(an b )( an
b )
a
n
1 2
1 2
c
变成两项的差,采用裂项相消法求和
可用待定系数法进行裂项:
设
a
n
.
an b
1
an
b
2
,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相等得
c
b
2
,从而可得
b
1
c
=
(an b )( an b ) (b
1 2 2
c 1
(
b ) an b
1 1
1
).
an b
2
常见的拆项公式有:
①
;
n(n 1) n n 1
1
1 1 1
②
1 1 1
( );
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
③
1
b
m
a
m 1
n
1
( a
a b
m
1
b);
④
C C
n
C
n
⑤
n n! (n 1)!
n!.
⑶分组法求和
有一类数列,既不是等差数列, 也不是等比数列,
若将这类数列适当拆开, 可分为几个
等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可
②由通项公式确定如何分组
⑷倒序相加法
如果一个数列
a
,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒
.一般分两步:①找通向项公式
.
n
着写的两个和式相加,就得到了一
个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:
a
1
a
n
a
2
a
n 1
...
⑸记住常见数列的前
n
项和:
①
n(n 1)
1 2 3
... n
2
②
2
1 3 5 ... (2n
1) n
③
2 2 2 2
1
1 2 3 ...
n n(n 1)(2 n 1).
6