高中数学各章节常见题型及解题策略

选择+填空
一、集合（简单）
方法：交集
A?B?{x|x?A且x?B}

并集
A?B?{x|x?A或x?B}

补集
C
U
A?{x|x?U且x?A}

二、充分条件或必要条件的判断（难易中等）
方法：若
P?Q
，则
P
是
Q
的充分条件
若
Q?P
，则
P
是
Q
的必要条件
原命题与逆否命题；否命题与逆命题等价
三、三角函数（稍难）
(1) 正弦、余弦、正切函数的对称轴和对称中心
方法：
sinx
周期
2< br>?
，对称轴
x?
?
2
?k
?
，对称中心(k
?
,0)

cosx
周期
2?
，对称轴
x?k
?
，对称中心
(
?
2
?k
?
,0)

tanx
周期
?
，对称中心
(k
?
,0)

(2)
y?Asin(
?
x?
?
)
的性质
方法：周期
T?
2
?
|
?
|
，最大 值
|A|

平移：左加右减、上加下减
(3) 恒等变换
方法：熟记和差化积公式、辅角公式等
(4) 解三角形
方法：牢记正、余弦定理，面积公式，注重与向量的结合应用
四、数列（难易中等）
(1) 等差数列性质的应用
方法：等差中项
2B?A?C

若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

(2) 等比数列性质的应用
方法：等比中项
B
2
?A?C

若
m? n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a< br>q



1

五、点线面位置的判断（较简单）
方法：一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线（线线平行）
平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线和这个平面平行（线面平行）
一个平面内两条相交线分别和另一个平面平行，则这两个平面平行（面面平行）
一条直线垂直于一个平面，则这条直线和这个平面内任意一条直线垂直（线线垂直）
一条直线垂直于一个平面内两条相交线，则这条直线和这个平面垂直（线面垂直）
一条直线垂直于一个平面，则过这条直线的所有平面都和这个平面垂直（面面垂直）
六、线性规划（难易适中）
方法：求截距问题：
Z?ax?by
，
b?0
时最高点最大，
b?0
时最低点最大
求斜率问题：
Z?
y?b
，点
(x,y)
和点
(a,b)
之间的斜率
x?a
求两点间距离：
Z?(x?a)
2
?(y?b)
2< br>，点
(x,y)
和点
(a,b)
之间的距离的平方
参数问题问题：画出可行域，找极限点
整数点问题： 找出取得最值的极限点，注意边界是实线还是虚线
七、基本不等式（偏难）
(1) 已知< br>x?y?k
，求
11
?
的最小值（
x,y?0
）
xy
方法：
111111yx4
??(x?y)(?)?(2??)?

xykxykxyk
(2) 已知
x?y?3?xy
，（
x,y?0
），求
xy
最小值
方法：利用
x?y?2xy
，得到
2xy?3?xy
，令xy?t
，解出二次函数
(3) 已知
x?y?3?xy
，（
x,y?0
），求
x?y
最小值
(x?y)
2
方法：利用
xy?
，令
x?y?t
，构造二次函数，解出二次函数
4
八、解析几何
x
2
y
2
(1) 椭圆
2
?
2
?1

ab
方法：定义的应用：
|PF
1
|?|PF
2
|?2a
b
2
b
2
)
，过
F
2
时交点为
(c,?)
过
F
1
垂直于
x
的直线与 椭圆的交点
(?c,?
aa

2

x
2
y
2
(2) 双曲线
2
?
2
?1

ab
方法：定义的应用：||PF
1
|?|PF
2
||?2a
或
||PF
2
|?|PF
1
||?2a

b
2
)
过
F
1
垂直于
x
的直线与椭圆的交点
(?c,?
a
b
2
过
F
2
垂直于
x
的直线与椭圆的交点
(c,?)

a
渐近线的应用：
y??
(3) 抛物线
y
2
?2px

方法：定义的应用：抛物线上的点到焦点的距离等于这个点到其准线的距离
ba
x
（或
y??x
）
ab
p
2
112
??
抛物线上两点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
满足
x
1
x
2
?
，
y
1
y
2
??p
2
，
AFBFp
4
九、三视图（较简 单）
方法：长对正、高平齐、宽相等

十、平面向量（比较难）
方法：建坐标系：对于涉及正方形、长方形、等腰、等边三角形的题型
向量转换：将未知向量转化为已知向量
借助圆求解：对于涉及两个单位向量、两个垂直向量等题型
三角形的四个心：重心 ---- 三角形三边中线的交点
垂心 ---- 三角形三边上高的交点
内心 ---- 三角形角平分线的交点
外心 ---- 三角形三边垂直平分线的交点
补充：三角形的重心、垂心、外心三点共线
十一、抽象函数（比较难）
(1) 函数的一般性质
方法：奇偶性
?
?
奇函数：f(?x)?f(x)

?
偶函 数：f(?x)??f(x)
f
?
(x)?0
?
增函数：

?
减函数：f
?
(x)?0
单调性
?


3

(2) 周期性问题
方法：
f(x?T)?f(x)
(
T?0
)

?
y?f(x)
的周期为
T
（
kT
也是函数的周期）
★
f(x?a)??f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?2a

★
f(x?a)?
1
f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?2a

f(x?a)??
1
f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?2a

★
f(x?a)?
1?f(x)
1?f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?3a

f(x?a)??
1
f(x)?1

?
y?f(x)
的周期为
T?2a

f(x?a)?
1?f(x)
1?f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?4a

f(x?2a)?f(x?a)?f(x)

?
y?f(x)
的周期为
T?6a

★偶函数
y? f(x)
满足
f(a?x)?f(a?x)
?
y?f(x)

周期
T?2a
★奇函数
y?f(x)
满足
f(a?x)?f(a? x)
?
y?f(x)

周期
T?4a
(3) 对称轴问题
方法：

f(a?x)?f(b?x)

?
y?f(x)
图象关于直线
x?
a?b
2
对称
f(a?x)?f(a?x)

?
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
f(x)?f(2a?x)

?
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
f(?x)?f(2a?x)

?
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
(4) 对称点问题
方法：
f(a?x)?f(b?x)?2c

?y?f(x)
的图象关于点
(
a?b
2
,c)
对称
f(a?x)?f(a?x)?2b

?
y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称
f(x)?f(2a?x)?2b

?
y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称
f(?x)?f(2a?x)?2b

?
y?f(x)
的图象关于点
(a,b)
对称

4

解答题
一、解三角形
(1) 求角或边
方法：利用正弦定理进行边角转换
(2) 求三角形面积的最值、某个参数的最值
方法：利用余弦定理+基本不等式
(3) 求参数的范围
方法：利 用辅角公式，将要求的参数转化为
y?Asin(
?
x?
?
)
的形式
(4) 涉及到某条边的中点
方法：利用余弦定理或向量法求解


二、数列
(1) 求通项公式
方法：累加法：
a
n?1
?a
n
?f(n)

累乘法:
a
n?1
?a
n
?f(n)

待定系数法:
a
n?1
?ka
n
?f(n)

公式法：
a
n
?S
n
?S
n?1

(2) 求前
n
项和
方法：分组求和：等差数列和等比数列混合在一起
裂项相消：
{
11n?11
},{},{
2
},{}

2
n(n?1)n(n?k)n(n?2)a
n
a
n?1
错位相减：
{a
n
b
n
}
，其中
{a
n< br>}
是等差数列，
{b
n
}
是等比数列
倒序求和：数列的第一项和最后一项有规律


三、立体几何
(1) 求二面角
方法：向量法：建立适当的空间直角坐标系，数量积公式求解
定义法：分别从两个面内的两个顶点向相交线做垂线，余弦定理求解
三垂线定理：从一个面内的一个顶点向另一个面做垂线，然后从垂足向相交线做
垂线，最后利用勾股定理求解。
投影法：计算出一个面在另一个面内的投影的面积，利用公式
cosq=


5
s
射影
S

四、解析几何
(1) 求参数范围
方法：利用函数、基本不等式、导数、数形结合等解答，不要忘记判别式的应用
(2) 直线和曲线的关系
方法：利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法（涉及到弦的中点时）等解答
弦 长公式
|AB|?1?k?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2

(3) 定点定值
方法：过定点的问题，先求曲线的方程， 再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问
题，直接求解就可以了
(4) 存在性问题
方法：先假设存在，再探求，最后检验
(5) 面积问题
方法：弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式、导数等

22
五、导数
(1) 导数单调性、极值、最值的直接应用
方法：求参数范围时一般将参数分三大类 ，①
a?0
②
a?0
③
a?0
，然后在有解的前
提 下对几个根的大小进行比较，进一步对参数进行分类讨论
(2) 不等式证明
方法：作差法、变形构造函数证明不等式等
(3) 不等式恒成立求字母范围
方法： 分离常数法，对函数进行一次或二次求导数求出最大值或最小值，参数大于函数
的最大值或小于函数的最 小值



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