高中数学：1角度问题

ruize

桑植县贺龙中学集体备课电子教案

高一年级 数学备课组（总第 课时） 主备人：刘毅 时间： 年 月 日

课 题
教
学
目
标
角度问题
1．知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．
2．过程与方法
通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问 题的过程中来，逐步让学
生自主发现规律，举一反三．
3．情感、态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神．

第 课时
教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．

教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．

教学方法 讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课

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方位角与方向角
【问题导思】
课上，老师让同学们画148°的方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的说法不对，
应具 体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的角度，如南偏东148°.乙说：方位角应该小于
90°，不 应该为148°.你认为老师说法正确吗？二位同学产生疑问的原因是什么？
【提示】 老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与方向角的概念．


图1－2－17
1．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B的 方位角为
α
°(如
图1－2－17)． 方位角的取值范围：0°～360°.
2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水 平角，如南偏西60°，指以正南
方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
俯角、仰角与坡角
(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线 的夹角，目标视线
在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图1－2－18 ，仰角为∠
1，俯角为∠2.

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图1－2－18
(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡度(坡比)是指坡面的垂直高度和水平宽度的
比．

确定航向的角度问题
一艘海轮从A出发，沿北偏东
75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile
后达到海岛 C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少
距离？(角度精确到 0.1°，距离精确到0.01 n mile)

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图1－2－19
【思路探究】 (1)如图AB，BC已知，只要求出它们的夹角ABC就可以用余弦定理求出AC，
∠ABC怎样求？
(2)∠CAB怎样求？若求出∠CAB，航向该怎样表示？
【自主解答】 在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
AC＝AB
2
＋BC
2
－2AB×BC×cos ∠ABC
＝67.5
2
＋54.0
2
－2×67.5×54.0×cos 137°
≈113.15.
由正弦定理，得
BCsin ∠ABC
BCAC
＝， sin ∠CAB＝
AC
sin ∠CABsin ∠ABC
54.0×sin 137°
≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，
113.15
75°－∠CAB＝56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.

＝

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1．本题中由于A、C均为固定点，故所求 航向是确定的，只要解出∠CAB的大小，可用方
向角表示出来．
2．在解三角形问题中，求 某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)
上是单调递减的，而正弦函数在(0 ，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角在
π
(0，
2
]上 时，用正、余弦定理皆可．

如图1－2－20所示，从A到B，方位角是50°，距离是470 m，从B到C，方位角是80°，
距离是860 m，从C到D，方位角是150°，距离是640 m，试计算从A到D的方位角和距离．

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图1－2－20
【解】 连接AC，在△ABC中，
∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，
由余弦定理，得
AC＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BCcos 150°≈1 289 m，
由正弦定理，得
sin ∠BAC＝
BCsin ∠ABC860sin 150°
≈≈0.333 6，
AC1 289
∴∠BAC≈19.5°，
∴∠ACB≈10.5°.
在△ACD中，∠ACD≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.
由余弦定理，得AD＝AC
2
＋CD
2
－2AC·CDcos ∠ACD≈1 531 m.
AC
2
＋AD
2
－CD
2
∴cos ∠CAD＝≈0.911 1，
2AC·AD
∴∠CAD≈24.3°.
∴从A到D的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8°.
即从A到D的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.

不确定航向的角度问题

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某渔船在航行中不幸遇险，发 出
呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的
C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇
立即 以103海里时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？相遇时有怎样的
等量关系？
【自主解答】 如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝103t，CB＝10t，

在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB
2
＝AC
2
＋BC
2
－2AC·BC·cos 120°，
可得：(103t)
2
＝10
2
＋(10t)
2
－2×10×10tcos 120°.
整理得：2t
2
－t－1＝0，
1
解得t＝1或t＝－
2
(舍去)，
所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝103，BC＝10.

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BCAB
＝，
sin∠CABsin 120°
3
10×
2
在△ABC中，由正弦定理得：
∴sin∠CAB＝
BC·sin 120°
1
＝＝
AB2
.
103
∴∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角为75°.


1．本题欲求方位角，先求边长，而 要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船同时在移动，
故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画 图的关键是设出相遇点B，画出可以求解的
三角形．
2．解决这类问题首先明确题中所给各个 角的含义，然后分析题意，根据题意画出正确的示
意图，将实际问题转化为数学问题，运用正弦定理或余 弦定理求解．体现了数形结合与方程的
数学思想方法．

在甲船A处观察到乙船在它 的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，

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若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙
船行驶了多 少海里？

【解】 设甲船沿直线与乙船同时到C点，
则A、B、C构成△ABC，如图，设乙船速度为v，则甲船速度为3v，到达C处用时为t.
由题意BC＝vt，AC＝3vt，∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BC·cos 120°，
∴3v
2
t
2
＝a
2
＋v
2
t< br>2
＋avt. ∴2v
2
t
2
－avt－a
2
＝0,
a
解得vt＝－
2
(舍去)或vt＝a. ∴BC＝a，
在△ABC中AB＝BC＝a，∴∠BAC＝∠ACB＝30°. 60°－30°＝30°.
即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了a海里．
易错辨析题：
应用正余弦定理时出现增根致误

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图1－2－21
某观测站C在A城的南偏西20°
方向上，由A城出发的一条公路 走向是南偏东40°.在C处测得公路上距C为31 km的B处有
一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，则这人还要走
多远才可到达A城？
【错解】 如题图所示，∠CAD＝60°，
在△BCD中，由余弦定理，得：
cos B＝
BC
2
＋BD
2
－CD
2
3 1
2
＋20
2
－21
2
23
＝＝
31.
2BC·BD2×31×20
123
所以sin B＝1－cos
2
B＝
31
.
在△ABC中，AC＝
BCsin B
＝24(km)．
sin ∠BAC
在△ACD中，由余弦定理，得：
CD
2
＝AC
2
＋AD
2
－2AC·ADcos ∠CAD，
即21
2
＝24
2
＋AD
2
－24AD. 所以AD＝15或AD＝9，

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即这人还要走15 km或9 km才能到达A城．
【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检验解是否合题
意，导致了错误．
【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问题．
【正解】 设∠ACD＝
α
，∠CDB＝
β
，
在△CBD中，由余弦定理，得：
BD
2
＋CD
2
－CB
2
20
2
＋21
2
－31
2
143
cos
β
＝＝＝－
7
. 所以sin
β
＝
7
.
2BD·CD2×20×21
4313153
所以sin
α
＝sin(
β
－60°)＝sin
β
cos 60°－sin 60°cos
β
＝
7
×
2
＋
2
×
7
＝
14
.
在△ACD中，由正弦定理，得

所以AD＝
21×sin
α
＝15(km)．
sin 60°
CDAD
＝，
sin 60°sin
α
即这人还要走15 km才可以到达A城．

巩固练习：

1－2－22
1．对右图正确的描述应为( )
A．东偏北
α
° B．东北方向
α
° C．北偏东
α
°
【★答案★】 C
图
2．已知两座灯塔A 和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，
灯塔B在观察站C的南偏东60° ，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【解析】 如图，由题意，知AC＝BC，∠ACB＝80°，
∴∠CBA＝50°，
α
＋∠CBA＝60°.

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∴
α
＝10°，
即A在B的北偏西10°.

【★答案★】 B

3．△ABC中，a＝4，b＝5，c＝7，则cos C＝( )
11
A．－
5
B.
5

74
C.
9
D.
5

a
2
＋ b
2
－c
2
－8
1
【解析】 cos C＝
2ab
＝
40
＝－
5
.
【★答案★】 A
4．一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，
继续 航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，
求该船的速 度．
【解】 如图，B，C为两灯塔，行驶半小时后船从A到达D，由∠ADC＝75°，∠ADB＝
60°，∴∠BCD＝∠BDC＝15°.

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∴BD＝BC＝10，∴AD＝10×cos 60°＝5.
1
设船速为x，则
2
x＝5，即x＝10(海里小时)．

课堂小结：
1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生 活中，要
测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问< br>题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．
2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角 、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理
的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.

布置作业：

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板
书
设
计
教
学
反
思