高一数学《函数的性质》知识点总结

高一数学《函数的性质》知识点总结

二．函数的性质
函数的单调性
增函数
设函数y=f的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x12时，都有f2)，
那么就说f在区间D上是增函数 .区间D称为y=f的单调增
区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 ，当
x12时，都有f＞f，那么就说f在这个区间上是减函数.区
间D称为y=f的单调减区 间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
图象的特点
如果函数 y=f在某个区间是增函数或减函数，那么说函
数y=f在这一区间上具有单调性，在单调区间上增函数 的图
象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
函数单调区间与单调性的判定方法
定义法：
任取x1，x2∈D，且x12；
作差f－f；
变形；

定号；
下结论．
图象法
复合函数的单调性
复合函数f[g]的单调性与构成它的函数u=g，y=f的单
调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能
把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
．函数的奇偶性
偶函数
一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=f，
那么f就叫做偶函数．
．奇函数
一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f=
—f，那么f就叫做奇函数．
具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对
称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f与f的关系；
作出相应结论：若f=f或f－f=0，则f是偶函数；若

f=－f或f＋f=0，则f是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必
要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称
则函数是非奇非偶 函数.若对称，再根据定义判定;由f±f=0
或f／f=±1来判定;利用定理，或借助函数的图象判 定.
函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要
求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有：
)凑配法
)待定系数法
)换元法
)消参法
0．函数最大值
利用二次函数的性质求函数的最大值
利用图象求函数的最大值
利用函数单调性的判断函数的最大值：
如果 函数y=f在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]
上单调递减则函数y=f在x=b处有最大 值f；
如果函数y=f在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]
上单调递增则函 数y=f在x=b处有最小值f；

例题：
求下列函数的定义域：
⑴⑵
设函数的定义域为，则函数的定义域为__
若函数的定义域为，则函数的定义域是
函数，若，则=
求下列函数的值域：
⑴⑵
已知函数，求函数，的解析式
已知函数满足，则=。
设是R上的奇函数，且当时,,则当时=
在R上的解析式为
求下列函数的单调区间：
⑴⑵⑶
0.判断函数的单调性并证明你的结论．
1.设函数判断它的奇偶性并且求证：．