高中数学教学中渗透数学文化的实践与探索

高中数学教学中渗透数学文化的实践与探索
叶秋平 浙江省龙游中学 324400 E-mail：zjlyyqp@

摘 要： 以提高学生的素质，特别 是提高民族素质为最终目的的数学教育，从根本上说应该是数学文化教育。数学文
化是人类文化宝库中的 奇葩，它的内容、思想、方法与语言是现代文明的重要组成部分。对普通高中数学教育中如何渗透
数学文 化正逐步受到重视。本文从数学史的教学意义、形成正确数学观、加强数学应用、与其他学科交融等四个方面进行
数学文化渗透作了有益的探索。
关键词：文化；数学文化价值；数学观
数学是一种 文化，已逐步成为数学教育工作者的共识。研究表明，数学的文化价值主要体现在：⑴数学是打开科学大
门的钥匙；⑵数学是科学的语言；⑶数学是思维的工具；⑷数学是一种思想方法；⑸数学充满理性的精神。为提高 人们对
数学文化价值的认识，《全日制义务教育数学课程标准》与《普通高中数学课程标准》在教学理念 与教学要求上都对渗透数
学文化作了明确的要求，作为一线教师，应如何贯彻理念，在教学实践中体现数 学的文化价值呢？笔者从以下几个方面进
行了尝试。
1 结合高中数学知识，介绍数学史上重要人物、事件、优秀数学成果，展示数学文化
自20世纪70年代 以来，数学史对数学教育的意义已引起数学教育家的重视：利用它可以激发学生的学习兴趣，培养
学生的 数学精神，启发学生的人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对
数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁，等等。
例1 蝴蝶定理研究史
如图 ，椭圆的长轴
A
1
A
2
与
x
轴平行，短轴B
1
B
2
在
y
轴上，中心为
M
（0，r）（
b?r?0).
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭
圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线
y ?k
1
x
交椭圆于两点
C(x
1
,y
1
) ,D(x
2
,y
2
)(y
2
?0);
直线
y?k
2
x
交椭圆于两点
G(x
3
,y
3
),H(x
4
,y
4
)(y
4
?0).
求证：k
1
x
1
x
2
k
2
x
3x
4
；（Ⅲ）
?
x
1
?x
2
x
3
?x
4
对于（Ⅱ）中的
C
，
D
，
（证 明过程不考虑
CHG
，
H
，设
CH
交
x
轴 于点
P
，
GD
交
x
轴于点
Q
.求证：|< br>OP
|=|
OQ
|.
或
GD
垂直于
x
轴的情形）
评析：本题将平面几何中著名的“蝴蝶定理”推广到椭圆中。教学中应有意识
介 绍问题的背景知识：早在1815年，英国伦敦出版的数学科普刊物《先生日记》
中就刊登了数学家霍纳 和泰洛给出的蝴蝶定理的两个证明。而后的100多年里，不
同时代的数学家不断公布新证法。1944 年2月号《美国数学月刊》就以“蝴蝶定
理”征解。1946年，该题成为美国普南特大学生数学竞赛的 试题。20世纪70年
代末80年代初，我国中学数学界也兴起研究蝴蝶定理的热潮。近两百年来，世界 各地的数学爱好者对蝴蝶定理的证明方法
已达数百种，而且对蝴蝶定理的研究也逐步深入，如：将蝴蝶定 理推广到一般的曲线中、推广到三维甚至高维空间、用机
器证明蝴蝶定理等等。这充分反映了他们在科学 探究中勇于探索、锲而不舍的钻研精神和态度！
数学史能使学生深深体会到数学是人类精神文明的硕果 ，它不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且它的发展也充分体现了
人类为真理而生生不息、孜孜以求的精神。 需要指出的是：在进行数学史教育时，不能仅停留在杨辉三角比帕斯卡三角早
多少年之类上，而应客观公 正地介绍中外科学家的长处与短处，以及中外科学家发展的历史，不搞民族狭隘主义。
2 充分利用数学素材，引导学生形成正确的数学观
学生的数学观（即学生对“数学是什么？”、“数学是 如何习得的？”以及“数学应怎样教授？”、“面对数学问题如何
思考？”、“喜欢上什么样的数学课” 这些问题的认识）将直接影响他们学习数学的动机与兴趣，进而直接或间接影响着学
生在数学方面的学习 表现。数学观念是数学文化的核心，包括数学精神、数学意识、数学思想方法和数学思维方式。教师
应有 意识引导学生形成如下的数学观：数学与客观世界有着密切的联系，数学有着广泛的应用，数学是一门通过对数与 形
的研究揭示客观世界秩序、和谐与统一美的规律的学科，数学是在探索、发现的过程中不断发展变化的 ，是一门在学习过
程中包含着尝试、错误、改正与改进的一门学科。
例2 秦九韶算法 nn?1
已知
n
次多项式
P???a
n?1
x?an
,如果在一种算法中，计算
x
0
k
（k＝2，3，4，?，< br>n
）的值需要
n
(x)?a
0
x?a
1
x< br>k
－1次乘法，计算
P
，那么计算
P
3
(x
0
)
的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法）
n
(x
0
)
的值共需要 次运算。下面

给出一种减少运算次数的算法：
P
（
k
＝0， 1，2，?，
n
－1）。利用该算法，计算
P
3
(x
0
)
的< br>0
(x)?a
0
,P
k?1
(x)?xP
k
(x)?a
k?1
值共需要6次运算，计算
P
n
(x
0)
的值共需要
次运算。
评析：在认知冲突（原有算法 与题目提供的算法）后实现同化与顺应，学习到一种简化运算的方法。作为教师还应挖
掘隐含在其后的文 化价值：⑴该算法早在南宋时期，我国数学家秦九韶（约1202—1261）就在他的代表作《数书九章》中< br>提出，体现了我国古代数学研究的杰出成就；⑵采用“迭代法”代替了机械的运算，极大的减少了乘法的运 算次数，故成
为计算机处理运算问题的基本原理，有力地推动了信息技术的应用与发展。这充分体现了数 学的应用价值及数学在推动人
类文明进步中所起的伟大作用。因此，数学不仅仅是培养学生思维能力的有 效载体，更是科学的语言，是一种文化。
3 用数学的眼光去观察与解释生活中的现象，使学生感受到数学“火热的激情”而非“冰冷的美丽”
如今 ，随便翻开报纸，“拓朴结构”、“数字化地球”、“伊拉克战争是一场数字化战争”等词句赫然在目，“数码相 机”、
“线性规划”、“体彩6+1近20期号码技术分析”等随处可见,数学就在我们身边。
例3 小概率事件
概率论中，把事件发生的概略很小的事件称为“小概率事件”，为加深对概念的理解，举下例说明： < br>⑴××市发行“体育彩票”，十万张中产生一个特等奖，奖金10万元，则中特等奖的概率为十万分之一， 中奖能看作
小概率事件吗？⑵伊拉克战争中，美英联军共向伊拉克发射了近千枚战斧式巡航导弹，据美国 军事专家称其精确度在0.999
以上，但实际上确有许多导弹因偏离目标而造成大量无辜平民伤亡，请 计算一千枚战斧式巡航导弹中至少有一枚不能命中
目标的概率。
评析：按独立重复试验的概率 计算，一千枚战斧式巡航导弹全部命中的概率为0.999
1000
≈0.368，则至少有一 枚不能命
中目标的概率竟达0.632。因此，在一场大规模的现代战争中，一枚战斧式巡航导弹失误的 概率0.001不能作为小概率。美
国军事专家认为战斧式巡航导弹产生偏差的概率很小，而伊拉克及周 边国家的人民却担心导弹产生偏差而恐惧，这说明小
概率事件是相对而言的。我们平时应辩证看待与正确 处理小概率事件，不能认为“万无一失”产生麻痹大意而“因小失大。”
例4 植物也懂数学
在一次劳动中，某学生偶然发现树从底部到顶部的分枝分布较有规律，依次为1，2，3，5，8，13、?， 似乎与斐波那
契数列有关，怎么会这样呢？还是算一算吧！
假设树苗在第一年长出一条新枝， 新枝一年后变为老枝，老枝每一年都长出一条新枝，每一条树枝都按照这个规律成
长。问⑴第5、6、7 年的枝条分别是多少？⑵假设各年的枝条数构成数列{
a
n
}，你能给出数列{
a
n
}的递推关系式吗？⑶你
能求数列{
a
n
}的通项公 式吗？⑷计算当n取1、2、3、4、5、6时
选择的结果吗？
通过计算学生发现：
a
n
的值，并解释树枝为何按此规律生长，是长期自然
a
n?1
li m
a
n??
a
n
n?1
?0.618
。看来，树木 也懂黄金分割，也懂得用数学知识来保护自我（按此规律生长采光最
．．．．．．．．．
好）。 数学真是无处不在，魅力无穷！
．
4 寻找数学与其它学科的联结点，促进学科间的交融与渗透，体现数学的现实性、文化艺术性和哲理性
例5 最经济路线问题
某工厂生产的产品用到
a
1
、
a< br>2
、
a
3
、?、
a
n
等
n
种原料，
A
1
、
A
2
、
A
3
、?
A
n
为工厂的
n
个原料产地。现要建立一
个工厂，它所需< br>n
个产地的原料数量相同，为了节约，希望各原料产地到工厂的直线距离之和最小，那么工厂的厂 址应选
在何处？
评析：该题就数学角度求解则相当复杂，但若注意到其背景是物理学中的能量 最低原理，则有如下解法：在一块水平
光滑的木板上按实际距离的比例确定
A
1
、
A
2
、
A
3
、?
A
n
n个点的位置，并在
A
1
、
A
2
、
A
3
、?
A
n
点的位置各打一个洞，
洞口光滑。将
n
根 不可伸长的轻质绳的一端结于一点，另一端分别穿过
n
个洞，并在绳端系上质量相同的物体，那 么，当
系统平衡时，
n
根绳子的结点所在即为所求。
人们常说：“语言是思 维的外壳，数学是思维的体操”。此可见数学与语言在思维层面上能够统一起来。“物以类聚，人
以群分 ”便是集合的划分。“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下”抒发了生活在空旷时空里人类的 万
千感慨，不经意间成了时间和三维欧几里得空间的描述。人们常常用“水滴石穿”、“只要功夫深，铁 棒磨成针”来形容有

志者事竟成，实际上从概率的角度看是非常有道理的。设 在一次试验中，事件发生的概率为ξ>0，独立重复
n
次，设事件
B
为
n
次试验中
A
至少有一次发生，则
P
（
B
）=< br>1?(1?
?
)
n
，
lim[1?(1?
?
)]?1
，一件微不足道的事情，只要坚持下去就会
n??
n
产生不可思议的 结果，正是“锲而不舍，金石可镂”。
爱因斯坦说过，用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，可 以使他成为一台有用的机器，但不能成为一个和谐发
展的人，他必须获得对美和道德的辨别力，对价值有 所理解且产生热烈的感情，这才是最基本的。知识型的数学教育和文
化型的数学教育在提高学生的素质方 面都是可以发挥作用的，只是侧重点不同而已。因此为了充分发挥数学在提高学生乃
至提高全民族素质方 面的作用，我们的数学教育应是综合性的，应兼有知识教育、能力教育、文化教育的成分。从这个意
义上 说，作为数学教育工作者的我们任重而道远！
参考文献：
[1] 齐民友。数学与文化[M]。 长沙：湖南教育出版社，1990。
[2] 钱佩玲，邵光华。数学思想方法与中学数学[M]。北京：北师大出版社，1999。
[3] 童其林。人文素质在数学教学中的重要性及其渗透[J]。上海中学数学，2003（2）。
[4] 周春荔。蝴蝶定理——研究性学习的好课题［Ｊ］。数学通报，2004（1）。
[5] 张维忠，汪晓勤等。文化传统与数学教育现代化[M]。北京：北京大学出版社，2006。