必修4第二章 平面向量 章末检测卷(含解析)

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第二章 平面向量 章末检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
→→→
1．若OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，则AB等于( )
A．(－2,3)
C．(－1,2)
B．(0,1)
D．(2，－3)
→→→
2．设e
1
，e
2
为基 底向量，已知向量AB＝e
1
－ke
2
，CB＝2e
1
－e
2
，CD＝3e
1
－3e
2
，若A，B，D三点共
线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
3．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是( )
10
A．λ>
3
10
C．λ<
3
10
B．λ≥
3
10
D．λ≤
3
4．设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b
C．a∥b
B．|a|＝|b|
D．|a|>|b|
→
5．已知A(2，－3)，AB＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0,0)
7
?
B．B(5，－5)，M?
?
2
，－4
?

C．B(1,1)，M(0,0)
7
，－4
?
D．B(1,1)，M
?
?
2
?
π
→→→
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AO B内，|OC|＝22，且∠AOC＝，设OC＝ λOA
4
→
＋OB(λ∈R)，则λ的值为( )

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112
A．1 B. C. D.
323

31
，sin α
?
，b＝
?
sin α，
?
，若a∥b，则锐角α为( ) 7．已知向量a＝
?
6
??
2
??
A．30° B．60° C．45° D．75°
→→→→→→→→
8．设四边形ABCD为平行四 边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM
等于 ( )
A．20 B．15 C．9 D．6
ππ
－，
?
，则|a＋b|的取值范围是( ) 9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈
?
?
22
?
A．[0，2] B．(1，2] C．[1,2] D．[2，2]
→→→
10．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝ 1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)
等于( )
4444
A．－ B．－ C. D.
9339
11．已知|a|＝ 2|b|≠0，且关于x的方程x
2
＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范 围是( )
πππ2ππ
0，
?
B.
?
，π
?
C.
?
，
?
D.
?
，π
?
A.
?
?
6
??
3
??
33
??
6
?
→→→
12．已知△ABC是 边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
34
A．－2 B．－ C．－ D．－1
23
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知单位向量e 满足|a－e|＝|a＋2e|，则向量a在e方向上的投影为________．
14．如图，直线 EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于
→
2< br>→→
1
→→→
点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值 为______．
52

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15．若非零向量a，b满足 |a|＝
22
|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
3
16．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数 λ的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
→→→→→
17．(10分)已知AB＝(－1,3)，BC＝(3，m)，CD＝(1，n)，且AD∥BC.
(1)求实数n的值；
→→
(2)若AC⊥BD，求实数m的值．









18．(12 分)已知向量a＝3e
1
－2e
2
，b＝4e
1
＋e
2
，其中e
1
＝(1,0)，e
2
＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．








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19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝25，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝10，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.







→→→
1
→
20．( 12分)如图所示，在△ABC中，AQ＝QC，AR＝AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边
3
BC交于点P.
→→→→
(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；
→→→→→
(2)如果AI＝AB＋λBQ＝AC＋μCR，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．












21．(12分)在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，3)，点M满足
→
1→
OM＝OA，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．
2
(1)求∠OCM的余弦值；
→→→
(2)是否存在实数λ，使(OA－ λOP)⊥CM？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请
说明理由．





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22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2 )，点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，
π
0≤θ≤
?
. t)
?
2
??
→→→→
(1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA| ，求向量OB；
→→→
(2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求OA·OC.




















参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
→→→
1．若OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，则AB等于( )
A．(－2,3)
C．(－1,2)
答案 D
→→
解析 OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，
→→→
所以AB＝OB－OA＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)．

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B．(0,1)
D．(2，－3)

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→→→
2．设e
1
，e
2
为基底向量，已知向量AB＝e
1
－k e
2
，CB＝2e
1
－e
2
，CD＝3e
1
－3e
2
，若A，B，D三点共
线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
答案 A
→→→
解析 易知DB＝CB－CD＝ －e
1
＋2e
2
＝－(e
1
－2e
2
)，
→→
又A，B，D三点共线，则DB∥AB，
则k＝2，故选A.
3．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角θ是钝角，则λ的取值范围是( )
10
A．λ>
3
10
C．λ<
3
答案 A
解析 |a|＝λ
2
＋4，|b|＝34，a·b＝－3λ＋10.由cos θ＝
1<
10
<0，解得λ>.
2
3
λ
＋4×3 4
10－3λ
a·b
及θ为钝角时cos θ∈(－1,0)，知－
|a||b|
10
B．λ≥
3
10
D．λ≤
3
4．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b
C．a∥b
答案 A
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|
2
＝|a－b|
2
.
∴ a
2
＋b
2
＋2a·b＝a
2
＋b
2
－2 a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.
方法二 利用向量加法的平行四边形法则．
→→
在?ABCD中，设AB＝a，AD＝b，
→→
由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
→
5．已知A(2，－3)，AB＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M坐标分别为( )
A．B(5，－5)，M(0,0)
7
，－4
?
B．B(5，－5)，M
?
?
2
?
C．B(1,1)，M(0,0)
7
?
D．B(1,1)，M
?
?
2
，－4
?


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B．|a|＝|b|
D．|a|>|b|

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答案 B
→→→
解析 OB＝OA＋AB＝(2，－3)＋(3，－2)
7
，－4
?
. ＝(5，－5)，AB中点M
?
?
2
?
π
→→→
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C 在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝，设OC＝ λOA
4
→
＋OB(λ∈R)，则λ的值为( )
112
A．1 B. C. D.
323
答案 D
解析 过C作CE⊥x轴于点E.

π
→
由|OC|＝22，且∠AOC＝，
4
得|OE|＝|CE|＝2，
→→→→→
所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，
→→
即OE＝λOA，
2
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
3
31
，sin α
?
，b＝
?
sin α，
?
，若a∥b，则锐角α为( ) 7．已知向量a＝
?
6
??
2
??
A．30° B．60° C．45° D．75°
答案 A
311
解析 ∵a∥b，∴sin
2
α＝
×＝，
264
1
∴sin α＝±.又∵α为锐角，∴α＝30°.
2
→→→→→→→→
8．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4.若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM
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等于( )
A．20 B．15 C．9 D．6
答案 C
解析 ?ABCD的图象如图所示，由题设知，

→→→→
3
→→
1
→
1
→
AM ＝AB＋BM＝AB＋AD，NM＝AB－AD，
434
→→
?
→
3
→
??
1
→
1
→
?
∴AM·NM＝?
AB＋
4
AD
?
·
?
3
AB－4
AD
?

1
→
3
→
1
→→
1
→→
＝|AB|
2
－|AD|
2
＋AB·AD－ AB·AD
31644
13
＝×36－×16＝9.
316
ππ
－，
?
，则|a＋b|的取值范围是( ) 9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈
?
?
22
?
A．[0，2] B．(1，2] C．[1,2] D．[2，2]
解析 |a＋b|＝?1＋cos θ?
2
＋sin
2
θ＝2＋2cos θ.
ππ
－，
?
，所以cos θ∈[0,1]． 因为θ∈
?
?
22
?
所以|a＋b|∈[2，2]．
→→ →
10．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则PA· (PB＋PC)
等于( )
4444
A．－ B．－ C. D.
9339
答案 A
→→→
解析 由题意可知点P是△ABC的重心，∴PA＋PB＋PC＝0，
2
→
?
2
4
→→→→
MA
＝－. ∴PA ·(PB＋PC)＝－PA
2
＝－
?
?
3
?
9
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11．已知|a|＝2|b|≠0，且关 于x的方程x
2
＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
πππ2ππ
0，
?
B.
?
，π
?
C.
?
，
?
D.
?
，π
?
A.?
?
6
??
3
??
33
??
6
?
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ，∵方程x
2
＋|a|x＋a·b ＝0有实根，∴Δ＝|a|
2
－4a·b≥0，
1
2
a·b|a|
2
4|b|
2
1
π
∴a·b≤|a|.∴cos θ＝≤＝
2
＝，∵θ∈[0，π]，∴≤θ≤π.
4|a||b|4|a||b|8 |b|23
→→→
12．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平 面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最
小值是( )
34
A．－2 B．－ C．－ D．－1
23
答案 B
解析 以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系如图所示，

则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，
→
→
则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，
→
PC＝(1－x，－y)，
→→→
∴PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)
＝2(x
2
＋y
2
－3y)＝2
?
x
2
＋
?
y－
??
3
?
2
3
?
－
2
?
4
?
3
3
－
?
＝－. ≥2×
?
?
4
?
2
当且仅当x＝0，y＝
故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

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33
→→→
时，PA·(PB＋PC)取得最小值，最小值为－.
22

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13．(2018·山西太原联考)已知单位向量e满足|a－e|＝|a＋2e|，则向量a在e方向上的投影 为________．
1
答案 －
2
解析 由|a－e|＝|a＋2e| 得(a－e)
2
＝(a＋2e)
2
，于是|a|
2
－2a· e＋1＝|a|
2
＋4a·e＋4，
1a·e1
解得a·e＝－，于是向量a在e方向上的投影为＝－.
2|e|214．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC交于< br>→
2
→→
1
→→→
点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，A K＝λAC，则λ的值为______．
52

2
答案
9
→
2
→→
1
→
解析 ∵AE＝AB，AF＝AD，
52
→
5
→→→
∴AB＝AE，AD＝2AF.
2
→→→
由向量加法的平行四边形法则可知，AC＝AB＋AD，
5
→→
→→→→
AE＋2AF
?
∴AK＝λAC＝λ(A B＋AD)＝λ
?
?
2
?
5
→→
＝
λAE
＋2λAF，
2
52
∵E，F，K三点共线，∴
λ＋2λ＝1，∴λ＝
.
29
15．若非零向量a，b满足|a|＝
π
答案
4
解析 由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，
即3a
2
－a·b－2b
2
＝0.∵|a|＝

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22
|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________．
3
22
|b|，设〈a，b〉＝θ，
3

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则3|a|
2
－|a||b|cos θ－2|b|
2
＝0，
822
2
2
∴|b|
2
－|b|cos θ－2|b|
2
＝0，∴cos θ＝.
332
π
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
4
16．已知a＝(1,3) ，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是________．
??
5
λ>－
，且λ≠0
?
答案
?
λ
?
2
?
??

解析 由题意得c＝(1＋λ，3＋λ)，
∵a，c夹角为锐角，∴010＋4λ
a·c
∵cos〈a，c〉＝＝
|a||c|
10·?1＋λ?
2
＋?3＋λ?
2
＝，
20λ
2
＋80λ＋100
<1，
20λ
2
＋8 0λ＋100
10＋4λ
10＋4λ
∴0<
5
∴0<10＋4λ<2 0λ
2
＋80λ＋100，∴λ>－，且λ≠0，
2
?
?
?
5
??
.
λ>－
，且 λ≠0
∴实数λ的取值范围是
λ
?
2
??

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
→→→→→
17．(10分)已知AB＝ (－1,3)，BC＝(3，m)，CD＝(1，n)，且AD∥BC.
(1)求实数n的值；
→→
(2)若AC⊥BD，求实数m的值．
→→→
解 因为AB＝(－1,3)，BC＝(3，m)，CD＝(1，n)，
→→→→
所以AD＝AB＋BC＋CD＝(3,3＋m＋n)，
→→→→
(1)因为AD∥BC，所以AD＝λBC，
?
?
3＝3λ，
即
?

?
3＋m＋n＝λm，
?

解得n＝－3.
→→→
(2)因为AC＝AB＋BC＝(2,3＋m)，
→→→
BD＝BC＋CD＝(4，m－3)，
→→
又AC⊥BD，
→→
所以AC·BD＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.

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18．(12分)已知向量a＝3e1
－2e
2
，b＝4e
1
＋e
2
，其中e1
＝(1,0)，e
2
＝(0,1)．
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值．
解 (1)因为e
1
＝(1,0)，e
2
＝(0,1)，
所以a＝3e
1
－2e
2
＝(3，－2)，
b＝4e
1
＋e
2
＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝7
2
＋?－1?
2
＝52.
(2)设a与b的夹角为θ，
a·b1010221
则cos θ＝＝＝.
|a||b|221
13×17
19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量， 其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝25，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝10，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解 (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝25，所以x
2
＋y
2
＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2
－3c
2
－2a·c＝0，
由|a|＝5，|c|＝10，解得a·c＝5，
a·c2
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
|a||c|2
π
所以a与c的夹角θ＝.
4
→→→
1
→
20．(12分)如图所示，在△ABC中，AQ＝QC，AR＝ AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边
3
BC交于点P.

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→→→→
(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；
→→→→→
(2)如果AI＝AB＋λBQ＝AC＋μCR，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置．
→
1
→
解 (1)由AQ＝AC，
2
→→→→
1
→
可得BQ＝BA＋AQ＝－AB＋AC.
2
→
1
→
∵AR＝AB，
3
→→→→
1
→
∴CR＝CA＋AR＝－AC＋AB.
3
→→
1
→→→
1
→
(2)将BQ＝－AB＋AC，CR＝－ AC＋AB
23
→→→→→
代入AI＝AB＋λBQ＝AC＋μCR，
→
1
→→
1
→
→→
－AB＋AC
?
＝AC＋ μ
?
－AC＋AB
?
， 则有AB＋λ
?
2
?3
???
→
1
→
1
→→
即(1－λ)AB＋< br>λAC
＝
μAB
＋(1－μ)AC，
23
?
∴?
1
?
2
λ＝1－μ，
1
1－λ＝
μ，
3

?
解得
?
3
μ＝
?
5
.< br>4
λ＝
，
5


→→→→
(3)设BP＝mBC，AP＝nAI.
→
1
→
2
→
由(2)知AI＝AB＋AC，
55
1
→
2
→
?
→
2n
→
?
n
?
→→→→→→→→→
AB＋AC
－AB＝·
－1
AB＝ mBC＝mAC－mAB， ∴BP＝AP－AB＝nAI－AB＝n
?
AC＋
5??
5
?
5
?
5

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?
－m＝
5
－1，
∴
?
2n
m＝
?
5
，
n

?
m＝
3
，
解得
?5
n＝
?
3
，
2


BP
→
2
→
∴BP＝BC，即＝2，
3PC
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
21．(12分)在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，3)，点M满足
→
1→
OM＝OA，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图所示．
2

(1)求∠OCM的余弦值；
→→→
(2)是否存在实数λ，使(OA－λOP)⊥ CM？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请
说明理由．
→→
解 (1)由题意，可得OA＝(6,0)，OC＝(1，3)，
→
1
→→→
O M＝OA＝(3,0)，CM＝(2，－3)，CO＝(－1，－3)．
2
→→
CO ·CM7
→→
∴cos∠OCM＝cos〈CO，CM〉＝＝.
14
→→
|CO||CM|
(2)设P(t，3)，其中1≤t≤5，
→
则λOP＝(λt，3λ)，
→→
OA－λOP＝(6－λt，－3λ)．
→→→
若(OA－λOP)⊥CM，
→→→
则(OA－λOP)·CM＝0，
即12－2λt＋3λ＝0，∴(2t－3)λ＝12，

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3
若t＝，则λ不存在；
2
312
若t≠，则λ＝.
2
2t－3
33
1，
?
∪
?
，5
?
. ∵t∈
?
?
2
??
2
?
12
，＋∞< br>?
. ∴λ∈(－∞，－12]∪
?
?
7
?
12，＋∞
?
. 即满足条件的实数λ存在，实数λ的取值范围为(－∞，－12]∪
?
?
7
?
22．(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，
π
0≤θ≤
?
. t)
?
2
??
→→ →→
(1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA|，求向量OB；
→→→
(2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsin θ取得最大值4时，求OA·OC.
→
解 (1)由题设知AB＝(n－8，t)，
→
∵AB⊥a，∴8－n＋2t＝0.
→→
又∵5|OA|＝|AB|，
∴5×64＝(n－8)
2
＋t
2
＝5t
2
，
得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
→→
∴OB＝(24,8)或OB＝(－8，－8)．
→
(2)由题设知AC＝(ksin θ－8，t)，
→
∵AC与a共线，
∴t＝－2ksin θ＋16，
4
32
sin θ－
?
2
＋. tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k
?
k
??
k
4
∵k>4，∴0<<1，
k
432
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
kk
由
32
π
＝4，得k＝8，此时θ＝，t＝8，
k6
→
则OC＝(4,8)．
→→
∴OA·OC＝(8,0)·(4,8)＝32.


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