余弦三角函数值及知识点汇总

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余弦三角函数值及知识点汇总
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
1.3.3 已知三角函数值求角

二. 教学目的
1、掌握余弦函数、正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期
性等性 质，了解正切函数的渐近线。
2、会由已知的三角函数值求角，并了解反正弦、反余弦、反正切的意义 ，且
会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示角。

三. 教学重点、难点
重点：
1、余弦函数和正切函数的图象及其主要性质；
2、已知三角函数值求角。
难点：
1、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线， 利用正切线画出函数
的图象，并使直线确实成为此图象的两条渐近线。
2、（1）根据[0，2π]范围确定有已知三角函数值的角；
（2）对符号arcsinx、arccosx、arctanx的正确认识；
（3）用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示所求角。

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四. 知识分析
1、余弦函数的图象变换
（1）函数图象的左右变换，即由
象。
函数
左（当时）或向右（当
变换得到的图
的图象，可以看作把的图象上所有的点向
时）平行移动∣∣个单位而得到的。
变换得到图象。
的图象上的
倍（纵
（2）函数图象的横向伸缩变换，即由< br>函数（且）的图象，可以看作把
时）或伸长（当所有点的横坐标缩短（当
坐标不变）而得 到的。
时）到原来的
（3）函数图象的纵向伸缩变换，即由变换得到的图象
函数（ A>0且A1）的图象，可以看作是把函数的图象
上的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0不变而得到的）。
（4）一般地，函数的图象可以看作是）
）
用下面的方法得到的：先把图象上所有的点向左（）或向右（
平行移动∣∣个 单位，再把所得各点的横坐标缩短（）或伸长（
到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长 （A>1）或缩短（0到原来的A倍（横坐标不变）。
2、余弦曲线
如图是的图象。

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余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是 ；余
弦曲线是轴对称图形，其所有对称轴方程是，余弦曲线的对称轴一
定是过余弦曲线的最高点 或最低点，此时余弦值为最大值或最小值。
余弦曲线的对称中心一定是过余弦曲线与x轴的交点，此时余弦值为零。
由上述图象可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是：
，我们可以利用这五个点
画出余弦函数的简图。

3、余弦函数的性质
（1）余弦函数的定义域与值域。
余弦函数的定义域为R，值域从图象上可以看出是［－1，1］。
注意：当定义域不是R时，值域就不一定是［－1，1］了。
（2）余弦函数的周期性。
①余弦函数的周期可参照诱导公式：cos(x+2k)＝cosx (k∈z)，因而周
期是2k（k∈Z且k0），最小周期是2。
②一般地，函数
正周期T＝。
（A、、为常数且A0，>0）的最小
注意：如果则最小正周期为T＝。
（3）余弦函数的奇偶性。
①由图像可以看出余弦曲线关于y轴对称，因而是偶函数。
②也可由诱导公式cos(－x)＝cosx知，余弦函数为偶函数。
（4）余弦函数的单调性。
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由余弦曲线可以知道：余弦函数y＝cosx在每一个闭区间
上，都从－1增大到1，是增函数，在每一个闭区间
上，都从1减小到－1，是减函数，也不是 说，余弦函数
的单调区间是
4、正切函数的性质
及。
（1）定义域：｛x|x∈R且x，k∈z｝
（2）值域：R，函数无最大值、最小值；
（3）周期：；
（4）奇偶性：是奇函数；
（5）单调性：在每一个开区间
注意的两个问题：
，k∈z内均为增函数，须
①正切函数y＝tanx，x∈
函数在其定义域内是单调增函数；
（k∈z）是单调增函数 ，但不能说
②函数y＝Atan(
∈z）得到，其周期为
5、正切函数的图象
)(A>0，>0)，其定义域由不等式
。
（k
根据正切函数的定义域和周 期，我们取
通过平行移动，作出
得到函
线。
，利用单位圆中的正切线，的图象（如图1），而后向左、右扩展
的图象（如图2），并把它叫做正切曲
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图1 图2
6、正切函数与正、余弦函数的比较
正切函数，其定义域不是R，又正切函数与正、余
弦函数对应法则不同，因此一些性质与正、余弦函数的性质有了较大的差别，如
正、余弦函数是有界函 数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，
反应在图象上是连续无间断点，而正切函数在R 上不连续，它有无数条垂直于x
轴的渐近线，图象被这些渐近线分隔开来；正、余弦函数既有
单 调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个区间上
都是增函数。它们也存在大量的共性，如均为周期 函数，且对
而言，是奇函数，它的图像既可以类似地
用正切线的几何方法作图，又可以类似于“ 五点法”用“三点两线法”作简图，
这里三个点为（）、（）、（），直线，直
线（其中）。作 出这三个点和这两条渐近线，便可得到
在一个周期上的简图；正弦函数与正切函数同是中心对称图形（注 意余弦函数同
时也是轴对称图形）。
函数的对称中心的坐标是，的值域为R是显
然的。
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还须注意 的是，对正、余切函数相关的表示式的一些性质不能由正、余弦函
数的结论作一般的推广，须论证后加以 应用，例如：
的周期的一半，而与
的周期是
的周期却相同，均为。再如
的周期 用最小的周期可用最小公倍数法求，而
公倍数计算时不一定是最小正周期。
7、已知三角函数值求角的有关概念
根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sinx＝a (－1≤a≤1)的角x
有且只有 一个，我们选择闭区间作为基本的范围。在这个闭区间上，符
合条件sinx＝ a(－1≤a≤1)的 角x，记作arcsina，即x＝arcsina，其中x∈
，且a＝sinx。
根据余弦 函数的图象的性质，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x
有且只有一个，我们选择闭区 间作为基本的范围。在这个闭区间上，符合
，条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x，记作arcc osa，即x＝arccosa，其中x∈
且a＝cosx.。
根据正切函数的图象的性质， 为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x
有且只有一个，我们选择开区间（）作为基本的范 围。在这个开区间内，
符合条件tanx＝ a(a为任意实数)的角x，记作arctana，即x＝ arctana，其中
x∈（），且a＝tanx。
注意：（1）arcsina、arcc osa、arctana都表示一个角，它们的正弦值、余弦
值、正切值分别都是a。并且arcsin a∈
∈（）。
，而arctana中的a∈R。
、arccosa∈、arcta na
（2）arcsina、arccosa中的a∈
8、已知三角函数值时角的表示
三角函数值与角都在某一范围内变化时，三角函数值与角的对应关系如下
表：
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9、已知三角函数值求角应注意的问题
（1）已知角x的一个三角函数值求x，所得的角不一定只有一个，角的个数
要根据角的取值范围来确定 ，这个范围应该在题目中给定。如果在这个范围内已
知三角函数值对应的角不止一个，可分为以下几步求 解：
第一步，确定角x的可能是第几象限角。
第二步，若函数值为正数，则先求出对应的锐 角x
1
；如果函数值为负数，则
先求出与其绝对值对应的锐角x
1
。
第三步，如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角得出（0，2）
内对应的角——如果 它是第二象限角，那么可表示为－x
1
+；如果它是第三或
第四象限角，那么可表示为 或。
第四步，如果要求出以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的
三角函数值这一规律 写出结果。
（2）arcsinx、arccosx、arctanx这些符号，在解决某些非特殊角 的问题（例
如立体几何中求两条异面直线的角、直线与平面所成的角、二面角等）时常用，
所以 应该了解它们的意义，并学会正确使用它们。
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（3）如果求得的角是特殊角，则最好用弧度来表示。

【典型例题】
例1. 画出函数y＝－cosx，的简图。
分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线。
解析：按五个关键点列表：
x 0
cosx 1
－cosx －1
0
0
－1
1
0
0
1
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：

点评：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数
象来得到
的图象得到函数

例2. 求下列函数的单调递增区间：
的图象？同样的，能否从函数
的图象？
的图
（1）； （2）
的单调性来求解。

分析：根据基本函数
解析：（1）求函数的单调递增区间由下式确定：
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∵≤≤，≤≤，
即函数的单调递增区间是。
（2）函数
的单调递增区间，由下式确定：
≤≤，
≤x≤，即函数的单调递增区间是

点评：求形如的函数的单调区间，可以通
”视为一
的单调区间对
过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“
个“整 体”；②时，所列不等式的方向与
应的不等式方向相同或相反。

例3. 求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
；

。
分析：（1）先用诱导公式将转为正值，再用T＝
的意义；（3）可用最小公倍数法。
；（2）可利用绝对值
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解析：（1）。
（2）因为y＝|sinx|的周期是，故y＝|sin2x|的周期是。
（3）y
1
＝cos3x的周期是T
1
＝，y
2
＝sin2x的周期T
2
＝＝。
因为且4与6的最小公倍数是12，所以。
点评：周期的求法除应用定 义及有关结论外，还可作出函数的图象，由图象
直观判断求出周期，也是一种重要方法。如（2）题作出 图象容易观察得出周期
为。
例4. 求函数的定义域、周期和单调区间。
分析：根据正切函数的定义域、值域、单调性求解。
解析：函数的自变量应满足：

即
函数的定义域为
。

由于
因此函数的周期为。
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由是增函数。

即
因此，函数的单调递增区间为
。

点评：一般地，函数
式来求周期，此函数周期可直接由

的周期为
得到。
，常常使用此公
例5. 若∈()，且tanA. < B. < C. +< D. +>
分析：利用诱导公式化为同名的三角函数，再利用单调性进行比较。
解析：∵、∴。
，且在（）上单调递增，


【答案】C
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点评：比较三角函数值的大小要注意将不同名的三角函数转化 为同名的三角
函数，再将自变量化在同一单调区间内，利用单调性比较大小。

例6. 已知sinα＝－ ，若满足：
（1）α∈ （2）α∈；
（3）α为第三象限角； （4）α∈R。试分别求α。
分析：根据正弦函数图象的性质及诱导公式求解。
解析：（1）因为正弦函数在闭区间
－条件的角只有一个。
上是增函数，所以符合sinα＝
又因为sin，sin()＝， 所以α＝。
（2 ）因为sinα＝
性，符合sinα＝
sin(2－
<0，所以是第三或第四象限角， 由正弦函数的单调
)＝－sin
。
＝和的角有两个。根据三角式sin(
) ＝得α＝或α＝)＝sin(－
（3）因为α是第三象限角，在闭区间
sinα＝的第三象限角 的集合是｛
内有α＝，所以符合条件
∈z｝。
（4）由正弦函数的周期性可知：
当
是
或(k∈z)时，sin，即所求的角的集合
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｛或，k∈z｝。
+arcsina点评：对于， | a |≤1，这个方程的角可以表示成x
1
＝< br>或x
2
＝+－arcsina，k∈Z。

例7. 已知tanx＝－1，若满足：（1）x∈(
x。
)；（2）x∈R，试分别求角
分析：根据正切函数的图象的性质及诱导公式求解。
解析：（1）因为正切函数在(
tanx＝－1的角有且只有一个。因为
)上单调递增，所以在 (
。
)内满足
所以满足条件的角为x＝。
（2）根据正切函数的周期性知：
当（k∈z）时，tanx＝－1。
所以所求的角x的集合为｛， k∈z｝。
点评：方程tanx＝a，a∈z的解集为｛x|x＝k+arctana， k∈z｝。

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