递推数列求通式公式

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递推数列求通式公式
专题一：由数列的前几项写通项公式
191733

?

3
356399
325374
（2）
?

?

?

?

75
13
8
19
11
（3）1 ，0 ，-1 ，0 ，1 ，0 ，-1，0
?

（4）1，3，7，15，31
?

例1（1）1
专题二：由
S
n
求
a
n

例2：已知数列1，2，4，
?
的前
n
项和
S
n
?an
3
?bn
2
?cn.
求
a
n
及
a
，
b
，
c

15n
2
n
??1

a?,b?0,c?,a
n
?
6622
例3：设数列
?
a
n
?的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
?a< br>，
a
n?1
?S
n
?3
n
设
b< br>n
?S
n
?3
n
，求数
列
?
bn
?
的通项公式？
答：依题意，
S
n?1
?S
n
?a
n?1
?S
n
?3
n

即
S
n?1
?2S
n
?3
n
，由此得
S< br>n?1
?3
n?1
?2(S
n
?3
n
)
因此 可求通项公式为
b
n
?S
n
?3< br>n
?(a?3)2
n?1

练习：
a
1
?
1n(n?1)
a
n
数列
?
a
n
?
的通项公式？
且S
n
?
62
10
n
)
（
n?N
*
）试求该数列
?
a
n
?
有
11
专题三：求数列的最大 小项。
例3：已知数列
?
a< br>n
?
的通项公式
a
n
?(n?1)(
没有最大项？若 有，求最大项和最大项的项数，若没有，说明理由。
练习：已知
a
n
?
第几项？
专题四：递推数列通项公式的求法
请牢记以下各种类型的递推数列及
a
n
的求法，考试一般就如下类型。
1．
a
n?1
?a
n
?f(n)
（
f(n)
能够求和） 方法①累加法
n?98
*
（
n?N
），则该数列在前30项中，最大项与最小项是
n?99
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法②
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a
1
)?a
1

例1：在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?
答案
a
n
?
11
，
a
n?1
?a
n
?
求数列
?
a
n
?
的通项公式？
2
24n?1
4n?3

4n?2
2.
a
n?1
?f(n)a
n
方法①累乘法
法②
a
n
?
a
n
a
n?1
a
???
2
?a
1
?f(n?1)f(n?2)?f(1)a
1

a
n?1
a
n?2
a
1
例2: 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1

na
n?1
?2S
n
,求数列
?
a
n?
的通项公式？
(提示
(n?1)a
n
?2S
n?1
) 答案
a
n
?n

3.
a
n?1
?pa
n
?q
(
p
,
q
为常数): 方法① 参数法 方法② 方程组法
例3: 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n?1
?2a
n
?1
,求数列
?
a< br>n
?
的通项公式？
法①(参数法) 设
a
n? 1
?
?
?2(a
n
?
?
)?a
n?1?2a
n
?
?
.
对比已知
?
?1?an?1
?1?2(a
n
?
?
)
令
b
n
?a
n
?1
则数列
?
b
n
?
是以
b
1
?a
1
?1?2
为首项,公
比为2的等比数列.
?b
n
?an
?1?b
1
q
n?1
?2?2
n?1
?a< br>n

法②(方程组法) 由
a
n?1
?2a
n
?1?
①
a
n
?2a
n?1
?1?
②,故①
?
②
得:
a
n?1
?a
n
?2(a
n
?a
n?1
)< br>,这是数列
?
a
n?1
?a
n
?
以
a
2
?a
1
为首项,2为公比的等比数
列.

4.
a
n?1
?ca
n
?d
n
p

例4. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
??1
,
a
n
?a
n?1
?3
n
, 求数列
?
a
n
?
的通项公式？
解:由已知
an
1
a
n?1
a
n
1
???1b??b?b< br>n?1
?1?转化为3类型.
,令
nn
nn?1n
33333
?
练习: 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?a
,且
a
n?1
?2S
n
?2
n
?n
2,
n?N
,求数列
?
a
n
?
的通项公式？ < br>n2
?
?
a
n?1
?2S
n
?2?n
解:由
?

n?12
a?2S?2?(n?1),(n?2)
?< br>n?1
?
n
有
a
n?1
?3a
n
?2
n?1
?2n?1

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法一: (待定系数法) 设
a
n?1
?p2
n ?1
?q(n?1)?b?3(a
n
?p2
n
?qn?b)
则
整理有
p??
n
1
,q??1,b?0

2
?
a,(n?1)
所以
?
a
n
?2?n
?
以3为公比,
则
a
n
?
?

n?2n?1
?
(2a?7 )3?2?n,(n?2)
a
n?1
a
n?1
a
n
2
n?1
2n?12
n?1
2n?1
法二: 有
n?1
?
n
?
n?1
?
n?1
,设
b
n ?1
?
n?1
,由
b
n?1
?b
n
??< br>n?1
?
n?1

3
333333
用迭带法解之, (注右边当作两数列,等比,与等比差数列,故能求和)

5.分式递推数列,一般取”倒”的方法: 形式
a
n?1
?
ca
n

ba
n
?d
例5. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?
1
3a
n
,
a
n?1
?
, 求数列
?
a
n
?
的通项公式？
2
2a
n
?1
12
?b??转化为3类型
.
n?1n
33
解:
2a?1
2111
1
?
n
???
,令
b
n
?
则有
b
a
n?1
3a
n
33 a
n
a
n
6.(第5类型变形)
a
n?1
a
n
?pa
n?1
?qa
n
类型,一般处理为:若
p?q< br>,则转化为
111
1p11
???
从而为等差数列 .若
p?q
,则可化为
???
,即转化为类型3.
a
n ?1
a
n
p
a
n?1
qa
n
q
例 6. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?解:由题薏知:
1
,
a
n
a
n?1
?2a
n
?a
n?1
,求数列
?
a
n
?
的通项公式？
2
111
?(?1)
,
a
n?1
2a
n
?
a
111
?1?(?1)
,
2a
nn?1
?
1
1
1
?
?
?
?1
?
是首项为
?1?1
,公比为的等比数列.
a
2
a
?
n
?
1
?

2
n?1
11

?1?
n?1
即
a< br>n
?
n?1
2?1
a
n
2
2
练习: 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,当
n?2
时,其前
n
项和
S
n
满足
S< br>n
?a
n
(S
n
?)
,求数列
1
2
?
a
n
?
的通项公式？
解: 当
n?2
时,
S
n
?(S
n
?S
n?1
)(S
n
?)

2
1
2
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即
2S
n
S
n?1
?S
n? 1
?S
n

?
S
1
?
S
1< br>n
n
n?1
?

S?a?1?0
,
?
S?0

?
1
?
1
?2
,
?
??
是以2为公差,
?1
为首项的等差数列.
S
S
11n
?
n
?
1
?

S
1
?2n?1
,
?
S
n
?
1

2n?1
当
n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1
?
112

???
2n?12n?3(2n?1)(2n?3)
?
1(n?1)
?
故
a
n
?
?

2
?(n?2)
?
(2n?1)(2n?3)
?
7（了解）.
a
n?1
?
式.
例7 .已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
f(n)a
n
类型,一般 为等式两边取倒数后转化为
a
n?1
?pa
n
?q
的形g(n)a
n
?d(n)
3
3(n?1)a
n
,
a
n?1
?
,求数列
?
a
n
?
的通项公 式？
2
2a
n
?n
设知解: 由题
1n2
??< br>a
n?1
3(n?1)a
n
3(n?1)
.即
n?1 1n2n?11n
???.设?
?
?(?
?
)
可求得
?
??1
,
a
n?1
3a
n
3a
n?1
3a
n
?
?
n
?
?
?1
?

?
a
n
?
1
n?3
n
n 11
n?1
11

是?1??
为首项,为公比的等比数列. 则
?1???()
,整理得
a
n
?
n
3
3?1
a
n
33
a
1
3
8(了解).对于
a
n?1
?
aa
n
?b
类型,一般采用待定系数法,转化为 等式两边取倒数,变为
ca
n
?d
ax?b
的根求系数.
cx?d
b
n?1
?pb
n
?q
的形式. 也可用特征方程
x?
例8: 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
,且
8a
n?1
a
n
? 16a
n?1
?2a
n
?5?0
记
b
n
?
1
1
a
n
?
2
,求
数列
?
b
n
?
的通项公式？及数列
?
a
n
b
n
?
的前
n
项和
S
n
?

解 :法一:由题设知
a
n
?
11
?
,代入递推关系
8 a
n?1
a
n
?16a
n?1
?2a
n
? 5?0
,整理
b
n
2
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得:
4
463
???0
即
b
n?1
?2b
n
?
,
3
b
n?1
b
n
b
n?1
b
n
?

b
n
n?1
?
44
?2(b
n
?)
.
33
n?1
42
4
?
?

?
b? ??2
是首项为,公比为2的等比数列.故
b?
??
33
3
?
n
?
,即
b
n
?
1
n
(2?4 )
.
3

a
n
?
11
?
,b
n
2
n
1
?
ab?
1
b?1??2
23
nnn
n?1
5
?
.
3
?

S

b?a??
n
a
n1
b
1
? a
2
b
2
?
1
(1?2
n
)
51

?
3
?n?(2
n
?5n?1)

1?233
点评:若试图从
8a
n?1
a
n
?16 a
n?1
?2a
n
?5?0
中求
a
n
,进 而求
b
n
,将会走进死胡同.将
条件
b
n
?
1
1
a
n
?
2
代入上式,转化为类型3,从而解决.
法二: (特征方程) 有已知:
a
n?1
?
2x?515
2a
n
?5
,故
x?
解有
x
1
?,x< br>2
?

16?8x24
16?8a
n
15
6 (a
n
?)12(a
n
?)
1
4
②
2
①，
a?
5
?
即
a
n?1
??
n?1
416?8a
n
216?8a
n
1
?
111
?
a
n
?a?
a?
1
n
2
?
1
2
,故数列
?
2
??2
为首项, 以
1
2
?
是以 则①②相除,有
??
52
55
2
?
a
n
?
5
?
a< br>n?1
?a
n
?a
1
?
444
?4?
a
n?1
?
2
n?1
?5
为公比的数列, 则
a
n
?
n
.
2?4
故
a
n
?
13
?
n
,则
b
n
?
22? 4
1
?(2
n
?4)

1
3
a
n
?
2
:
1
法三. 有已 知
a
n?1
?
2a
n
?5
16?8a
n< br>,设
a
n?1
?
?
?
2a
n
?5< br>?
?
16?8a
n
,得
(2?8
?
)an
?5?16
?
(2?8
?
)(a
n
?
?
)?5?14
?
?8
?
2
,
a
n?1
?
?
?

a
n?1
?
?
?
16?8a
n
16?8a
n
2
令
5?14
??8
?
?0
,即
?
??
15
,
???

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15
6(a
n
?)12(a
n
?)1
1
4
②
2
①,当
?
??
5
时,有
a?
5
?
当
?
??
时,有
a
n?1
??
n?1
24
416?8a
n
216? 8a
n
1
?
111
?
a
n
?a?
a?
1
?
n
2
?
1
222
??2
为首项, 以
1
为则①②相除,有,故数列
?
是以
?
?5
2
55
5
2
?
a
n
?
?< br>a
n?1
?a
n
?a
1
?
444
? 4?
a
n?1
?
2
n?1
?5
公比的数列, 则
a
n
?
n

2?4
例9. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,
a
n?1
?
2
,求数列
?
a
n
?
的通项公式？
a
n
?1
?
(a
n
?< br>?
)?
?
2
?
?
?2
2
解,( 带待定系数法)
a
n?1
?
?
?

?
?
?

a
n?1
?
?
?
a
n
?1
a
n
?1
2
令
?
?
?
?
?2?0
得
?
?2
或
?
??1
.(任选一个算)
当
?
?2
时,
a
n?1
?2?
2(a
n
?2)
1111
,化简向类型5转化.
???

a
n
?1a
n?1
?22(a
n
?2)2
11
1< br>(?2)
n?1
?2
令
b
n
?
向类 型3转化:
b
n?1
??b
n
?
.再求解.
a
n
?

n?1
22
a
n
?2
(?2)?1
9
a
n?1
?pa
n
q
(
p
,
a
n
?0
)类型,常用对数转化.
?lg a
n?1
?lgp?qlga
n
令b
n
?lga
n
,得
b
n?1
?qb
n
?lgp
转化为
3 型.
例10. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
2
?3
,
an?2
a
n?1
a
n?2
?
a
n?1
a
n?1
, 求数列
?
a
n
?
的通项公式？
a
n
解:
数列.
lg
1
a
n?1< br>?
a
n?1
?
?lg?
?
lg
?
是 以
q?
1
首项为
lg
a
2
2a
n
2
a
1
?
a
n
?
1
?lg
3< br>的等比
?

1
()
n?1
3()
n?1a
n?1
3
2
2
lg?lg?lg

a
n
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a
n?1
2
1?n
a
2
a3
a
n
2
0
2
?1
2
?2
2
1?n
??3?a
n
?a
1
????1?3?3?3??3

a
n
a
1
a
2
a
n?1
?
1
?
1?
??
?
2
?
1
1?
2
n?1
?3

2
0
?2
?1
? 2
?2
?
?
?2
1?n
?3
.
10. (二次一阶递推数列)一般分解因式降次,为能否化生为熟.
22
例11. ①在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n
?0
,
a< br>n?1
?a
n
a
n?1
?2a
n
.求数列< br>?
a
n
?
的通项公式？
22
②在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
n
?0
,
(n ?1)a
n?1
?a
n
a
n?1
?na
n
.求数列
?
a
n
?
的通项公式？
二.二阶递推数列.?
?
a
1
?1,a
2
?6
(
p
,
q
为常数).常向等比数列转化,用带待定系数.
?
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
?0
例12. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
? 1
,
a
2
?5
.
a
n?1
?5a
n
?6a
n?1
?0
,求数列
?
a
n
?< br>的通项公式？
解:令
a
n?1
?
?
a
n
?k(a
n
?
?
a
n?1
)?a
n?1
?(k?
?
)a
n
?k
?
a
n?1
,比较
?
?
k?
?
?5
?
?
??2
?
?
?
k
?
??6
?
k?3或
?
?
?
??3
?a
n?1
?2a
n
?3(a
n
?2a
n?1
)
或
a
n?1< br>?3a
n
?2(a
n
?3a
n?1
)
均为等比数列.
?
k?2
n?1
n?1
,
?2a
n
?3?3?
n
3


?

a
?

a
n?1
?3a
n
?2?2
n?1
?2
n
,两式相减:
a
n
?3
n
?2
n
.
法2.只要一组
?
?
?
??2
得
a
n?1
?2a
n
?3(a
n
?2a
n?1
)
,这是以< br>a
2
?a
1
为首项3,
q?3
的等比
?
k?3
数列,
?

a< br>n?1
?2a
n
?3?3
n?1
?3
n
?a
n?1
?2a
n
?3
n
, (用迭代法)
作业: 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1
,
a
2
?7
,
a
n?1
?4a
n
?4a
n?1
?0
,求
a
n
(
a
n
?2
n?2
(3n?1)
)
11(了解周 期数列).
a
n?T
?a
n
,(T
?0
).对任意 的正整数都成立,可利用周期性解决.
例13.. 在数列
?
a
n
?
中,
a
1
?13
,
a
2
?56
,对所以的正整数
n
有:
a
n?1
?a
n
?a
n?2
求
a
2009
?
解,由
a
n?1
?a
n
?a
n?2
故
a
n?2
?a
n?1
?a
n?3
,两式相加.
a
n?3
??a
n
,

?
a
n?6
??a
n?3
?a
n

?
?
a
?
是以6为周期.
?
a
n
2009
?a
334?6?5
?a
5
,经计算
a
2009
??56
.
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12．归纳猜想型
2
例14:已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?na
n
?1,a
1
?2,
求
a
2
,a
3
,a
4
猜想
a
n
并证明你的结论.
解:由
a
2
?2
2
?1?
4?1?5

2 ?1?3,a
3
?3
2
?2?3?1?4,
a
4
? 4
2
?3?
猜想
a
n
?n?1

证明:①当
n?1
时,
a
1
?2?1?1
成立
②假设
n?k(k?1,k?N
?
)
时成立,即
a
k
?k?1

2
则
n?k?1
时,
a
k?1?a
k
?ka
k
?1?(k?1)
2
?k(k?1)? 1?(k?1)?1

即
n?k?1
时也成立.
13．运用 )
的函数
f(x)
,对任意的
m,n?(1??,
且
)
m?n
时,都有1.已知定义在
(0,1
上
11m?n1
f ()?f()?f()
.记
a
n
?f(
2
)
mn1 ?mnn?5n?5
中,
a
1
?a
2
???a
8< br>?
C
A
f()
B
f()
C
f()
D
f()

分析:
a
n
?f(
n?N
?
,则数列
?
a
n
?
12
1
3
1
4
1
5
1(n?2)?(n?3)1 1
)?f()?f()?f()
,再由迭加法.2
n
2
?5n?5 1?(n?2)(n?3)n?2n?3
3
x
x,?(R
,正
)项等比数列
?
a
n
?
满足
a
50
?1
,则2. .已知函数
f(x)?
x
3?1
f(lna
1< br>)?f(lna
2
)??f(lna
99
)?
C
A 99 B 101 C
分析:
99101
D
22
因为
f(?x)?f
,
?
且
x
f (lna
99
)?f(ln
1
)?f(?lna
1
)即f( lna
99
)?f(lna
1
)?1
.
a
12010
5a
n?1
?2
?
3．数列
?
an
?
满足
a
n
?(n?2,n?N)
,数列的前201 0项的和为403,则
?
a
i
a
i?1
的
a
n?1
?5
i?1
值是 A
A 10 B 9 C 8 D 7
分析(考查数列的周期性与转化思想)
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设
a
1
?a
,
a
2
?
由
a
n
?
2010
5a?2
.求得
a
3
?a< br> 所以数列周期为2
a?5
5a
n?1
?2
?a
n ?1
a
n
?5(a
n?1
?a
n
)?2

a
n?1
?5
?5
?
(a
i
?a
i?1
)?2?2010?5?2
?
a
i
?2?2010?10
i?1i?1
20102010

?
aa
i?1< br>ii?1
4.已知两个等差数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
，T
n
，且
41
S
n
3n?2
a
，则< br>7
?

?
T
n
2n?1b
5
19< br>37
S
n
2n?3
a
，则
9
?
< br>?
T
n
3n?1b
9
50
5．已知两个等差数列?
a
n
?
，
?
b
n
?
的前< br>n
项和
S
n
，
T
n
，且
注意：3,4的解法是有区别的
6．已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足，
3S
n
?4a< br>n
?2n?4,n?N
?
，
（1） 证明：当
n?2
时，
a
n
?4a
n?1
?2

（2） 求数列的
?
a
n
?
的通项公式。
（3） 设
c
n
?
2n?1
a
n

,T
n
为数列
?
c
n
?
的前
n
项和，证明：T
n
?
8
a
n?1
解：（1）由
3S
n
?4a
n
?2n?4
①，得当
n?2
时，
3S
n?1
?4a
n?1
?2(n?1)?4,
②。
则有
3(S
n
?S
n?1
)?4a
n
?4a
n?1
?2
，故
a
n
?4a
n?1
?2

（2）当
n?2
时，
a
n
?4a
n?1
? 2?a
n
?
2
3
?4(a
n?1
?)

所以数列
?
a
n
?
2
是以
a
1
?
2
为首项，4为公比的等比数列。
3
3
?
又
3S
1
?4a
1
??2?a
1
?2?a
1
?
2
3
2
3
24
?
。
33< br>4
n?1
4
n
4
n
?2
?a
n?,n?N
?
则
a
n
???4?
333
a
n
4
n
?24
n
?212
（3）
c< br>n
??
n?1
?
n?1
??
n?1

a
n?1
4?2444
当
n?1
时,
T1
?c
1
?
a
1
13
??

a
2
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当当
n?2
时，
T
n
?c
1< br>?c
2
?c
3
???c
n
?
a
1< br>n?1111
??2(
3
?
4
???
n?1
)

a
2
4444
111
?
?
3n?1< br>1n?1
444

???2?
134
1?
4
2n?122n?1
??

?
即证:
83
?
4
n?1
8< br>?
11
?????
7. 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
,
m?(S
n
, n?1)
,
n?(,
n
)
,且
a
n?1
? m?n
,
a
1
?1
.求
a
n
n2
的通项公式.
S
n
n?1
S
n?1
?
n
?S
n?1
?S
n
?
n
?
n
n2n2解:
SS
1
?
n?1
?
n
?
nn?1n2
a
n?1
?
S
S
SS
S
2
S
1
S
2
S
1
??(?)?(
3
?
2
)?
?
?(
n
?
n?1
)
2 12132nn?1
所以:
1111
n
??
?1??
2
?
?
?
n?1
?2
?
1?()
?
2222
??
S
n
n?1n?1
?
n
?2?
n

n22
n?2
当
n?2
时,
a
n
?2?
n?1
,又当
n?1
时,
a
1
?1

2
n?2
所以
a
n
?2?
n?1

2
2
8.已知数列
?
a
n
?
的前
n项和
S
n
(n?N
?
)
,
a
1
?
,且当
n?2
时.
S
n
S
n?1
?3S
n
?2?0

3
则
a
n?1
?
(1)求
a
2
,a3
的值
(2)若
b
n
?
1
,求数列
?
b
n
?
的通项公式
S
n
?1
?
S
n?1
?1
?
n1n
??T?
的前项和,证明
T
n
?
n
n
S?1
272
?
n
?
(3)设数列
?
法一(猜想归纳法)
248
,易知
a< br>2
?
,
a
3
?

321105
26 143062
,S
4
?,S
5
??
(2) 由(1)知:
S
1
?,S
2
?,S
3
?
3715316 3
(1) 由
a
1
?
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2
n?1
?2
猜想:
S
n
?
n?1

2?1
证明:①当
n?1
时,显然成立.
2
k?1
?2
②假设
n?k
时也成立,即
S
k
?
k?1< br>,当
n?k?1
时,由
S
k?1
S
k
?3S
k?1
?2?0

2?1
22
(k?1)?1
?2
知
S
k?1
?
即证.
?
(k?1)?1
3?S
k
2?1
则
Sn
?1?
?1
1
,故
b???2
n?1
?1< br>
n
n?1
2?1
S
n
?1
(3) 令c
n
?
S
n?1
?1
2?11
???

S
n
?12
n?2
?122
n?2
?1
n ?1
1
2
1n
则
T
n
?c
1
?c
2
?c
3
??c
n
?
即证
22
1
??????
又
c
n
??

222
n?2
?12142
n?2
?12142
n?2
2 72
n
所以
c
n
?
所以
T
n
?c
1
?c
2
?c
3
?
?
c
n
?
n1
?
11
2
1
3
1
?
?< br>?
?()?()?
?
?()
n
?

27?
2222
?
1
?
1
n
?
1?()< br>?
n1
2
?
2
?
n1
?
=
???
即证.
1
2727
1?
2
法二(1)略
(2) 当
n?2
时.
S
n
S
n?1< br>?3S
n
?2?0
即
S
n
?
2

3?S
n?1
则
S
n
?1?
S?1
2
?1?
n?1

3?S
n?1
3?S
n?1
有
3?S
n?1
12
1
???1?
而
b
n
?

S
n
?1S
n?1
? 1S
n?1
?1
S
n
?1
所以
b
n
?2b
n?1
?1
即
b
n
?1?2(b
n?1
?1)

故
?
b
n
?1
?
是以2为公比的数列,
b
n
??2
n?1
?1

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法三 直接由
b
n
?
1
1
得< br>S
n
?1?
代入
S
n
S
n?1
?3 S
n
?2?0
中,化间有
b
n
S
n
?1< br>b
n
?2b
n?1
?1
再解之. (点拨,以后如此递推关系可以考虑此法)
S
n?1
?1
2
n?1
?11111
(3)由 < br>?
n?2
????
S
n
?12?128?2
n
?227?2
n
?2
n
?2
则
n11n
S
n?1
?1
111
?(1?)?T?
从而
???
n
272
n
2
27?2
n
S
n
?12
n1n
??T
n
?
即证.
272
9 .在数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?< br>中,
a
1
?2,b
1
?4
且
a
n< br>,b
n
,a
n?1
成等差数列,
b
n
,a
n?1
,b
n?1
成等比数列.
(1) 求
a
2
,a
3
,a
4
及
b
2
,b
3
,b
4
,由此猜想
?
an
?
,
?
b
n
?
的通项公式,并证明
(2) 证明:
1115
??
?
??

a
1
?b
1
a
2
?b
2
a
n
?b
n
12
解:(1) 由条件得,
2b
n
?a
n
?a
n?1
,
a
n?1
2
?b
n
b
n?1
.
因此
a
2
?6,b
2
?9 ,a
3
?12,b
3
?16,a
4
?20,b
4< br>?25

猜想:
a
n
?n(n?1),b
n
?(n?1)
2

由归纳法证明:①当
n?1
时,显然成立
②假设
n?k
时 成立,即
a
k
?k(k?1),b
k
?(k?1)
2

那么:当
n?k?1
时,
a
k?1
?2b
k
?a
k
?2(k?1)
2
?k(k?1)?(k?1)(k?2)< br>.
2
a
k
b
k?1
?
?1
?(k ?2)
2
,所以
n?k?1
时,也成立.
b
k
由①②知:
a
n
?n(n?1),b
n
?(n?1)
2

(2) 证明:
115
??
,
a
1
?b
1
612
当
n?2
时,由(1)知,
a
n
?b
n
?(n?1)(2n?1)?2n(n?1)

故
11111111
??
?
???(??
?
?)< br>
a
1
?b
1
a
2
?b
2
a
n
?b
n
622?33?4n?(n?1)
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11111111
?(????
?
??)

622334nn?1
1111115
??(?)???
即证.
622n?16412
?



































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