浙江省金华十校2018-2019学年高一下学期期末调研考试数学试题 Word版含解析

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金华十校2018-2019学年高一下学期期末调研考试
第I卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是 符合题目要求的．
，2，3，4，5
?
，集合
A?
?
1， 2
?
，
B?
?
2，3
?
，则
AI
?
C
U
B
?
?
（ ） 1.设全集
U
?
?
1
5
?
A.
?
4，
【答案】D
【解析】
【分析】
B.
?
2,3
?
C.
?
4
?
D.
?
1
?

先求得集合
B
的补集，然后求其与集合< br>A
的交集，由此得出正确选项.
【详解】依题意
C
U
B?< br>?
1,4,5
?
，所以
AI
?
C
U
B
?
?
?
1
?
，故选D.
【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

2.过点（1，0）且与直线
x?2y?1?0
垂直的直线方程是（ ）
＝0
A.
x-2y+1
2x+y-2＝0

【答案】D
【解析】
【分析】
＝0
B.
x-2y-1
＝0
C.
2x?y?1
D.
设出直线方程，代入点
?
1,0
?
求得直线方程.
【详解 】依题意设所求直线方程为
2x?y?c?0
，代入点
?
1,0
?< br>得
2?c?0,c??2
，故所求
直线方程为
2x?y?2?0
，故选D.
【点睛】本小题主要考查两条直线垂直的知识，考查直线方程的求法，属于基础题.

?
2
x
?2,x
?
1
?
3.函 数
f(x)?
?
1
则
f
?
f
?
2
?
?
＝（ ）
?
x?1,x?1
?
2
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A.
?2

【答案】B
【解析】
【分析】
B.
?1
C. 2 D. 0
先求得
f< br>?
2
?
的值，进而求得
f
?
f
?
2
?
?
的值.
【详解】依题意
f
?
2
?< br>?
1
?2?1?0
，
f
?
0
?
?2
0
?2??1
，故选B.
2
【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.

4.已知
?
＞
?
＞0
，则（ ）
A.
sin
?
＞sin
?

【答案】C
【解析】
【分析】
根据特殊值排除A,B选项，根据单调性选出C,D选项中的正确选项.
【详解】当
?
?4π,
?
?2π
时，
sin
??sin
?
?0,cos
?
?cos
?
?1
， 故A,B两个选项错误.
??
由于
2?1
，故
log
2?
?log
2
?
,2?2
，所以C选项正确，D选项错误.故本 小题选C.
B.
cos
?
?cos
?
C.
log
2
?
＞log
2
?
D.
2
?
＜2
?

【点睛】本小题主要考查三角函数值，考查对数函数和指数函数的单调性，属于基础题.
< br>5.将函数
y＝sin2x
的图象上各点沿
x
轴向右平移
心为 （ ）
A.
?
?
12
个单位长度，所得函数图象的一个对称中
?
7
?
?
,0
?

?
12
?
?
?
?
B.
?
,0
?

?
6
?
C.
?
?
5
?
?
,0
?

?
8
?
D.
?
2
?
?
,?3
??

3
??
【答案】A
【解析】
【分析】
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先求得图象变换后的解析式，再根据正弦函数对称中心，求出正确选项.
【详解】
y?sin2x
向右平移
?
?
π
?
?π
?
π
?
的单位长度，得到
y?sin
?
2< br>?
x?
?
?
?sin
?
2x?
?
， 由
6
?
12
?
?
?
12
?
?2x?
π
k
ππ
?
7
?
?
,0
?
，故选A.
?kπ
解得
x??
，当
k?1
时 ，对称中心为
?
12
6212
??
【点睛】本小题主要考查三角函数 图象变换，考查三角函数对称中心的求法，属于基础题.

?
?x?y
?< br>1
6.实数满足
?
,则
3x?y
的取值范围为（ ）
y?2x?1
?
，
A.
19
【答案】A
【解析】
【分析】
??
9
B.
3，
??
C.
?
1，
?

?
3
?
?
2
?
9
?
D. ?
，
?
3
?
?
2
?
画出可行域，平移 基准直线
3x?y?0
到可行域边界的位置，由此求得目标函数的取值范围.
【详解 】画出可行域如下图所示，平移基准直线
3x?y?0
到可行域边界的位置，由图可知目
标函数
3x?y
分别在
A
?
0,1
?
,B
?
2,3
?
出取的最小值和最大值，最小值为
1
，最大值为
3?2?3?9
，故
3x?y
的取值范围是
?
1,9
?< br>，故选A.
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【点睛】本小题主要考查线性规划求最大值和最小值，考查数形结合数学 思想方法，属于
基础题.

7.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?2
?a
1
an
(n?N*)
，则（ ）
A.
a
3
＞a
5

【答案】B
【解析】
【分析】
分别令
n?1,2,3
，求得不等式，由此证得
a
3
?a
5
成立.
B.
a
3
?a
5
C.
a
2
?a
4

【详解】当
n?1
时，a
3
?a
1
?a
1
,a
3
?4
，当
n?2
时，
a
4
?a
1
?a
2,a
4
?2a
2
，当
n?3
时，
a
5
?a
1
?a
3
?2a
3
，所以
a
5
?a
3
?2a
3
?a
3
?a
3
?4?0
，所以
a
5
?a
3
，故选B.
【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.

8.在
△ABC
中，
sinAsinBsinC?
的
D.
a
2
?a
4

1
，且
?ABC
面积为1，则下列结论不正确的是（ ）
8
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ba?b?8
A.
a
B.
ab
?
a?b
?
?8
C.
ab?c
?
22
?
?16
D.
a?b?c?6

【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形面积公式列式，求得
abc?8
，再根据基本不等式判断出C选项错误.
?
1
?
2
absinC?1
?
?
1
【详解】根据三角形面积为
1
得
?
acsinB?1
，三个式子相 乘，得到
?
2
?
1
?
2
bcsinA?1
?
1
222
1
abcsinAsinBsinC?1
，由于
sinAsinBsinC?
，所以
abc?8
.所以
88
a
?
b
2
?c
2
?
?a?2bc?2abc?16
，故C选项错误.所以本小题选C.
【点睛】本小题主要考查三角形面积公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.

9.若存
ba?b)?b?a
，则（ ） 正实数
b
，使得
a (
B. 实数
a
的最小值为
2?1

D. 实数
a
的最小值为
2?1

A. 实数
a
的最大值为
2?1

C. 实数
a
的最大值为
2?1

【答案】C
【解析】
分析】
将题目所给方程转化为关于
b
的一元二次方程，根据此方程在
b?0
上有解列不等式组，解不
等式组求得
a
的取值范围，进而求出正确选 项.
【详解】由
ab(a?b)?b?a
得
ab?a?1b?a?0
，当
a?0
时，方程为
?b?0,b?0
不
和题意，故这是关于< br>b
的一元二次方程，依题意可知，该方程在
b?0
上有解，注意到
b< br>1
?b
2
?1
，
2
?
2
?
?
??a
2
?1
2
?4a
2
?0
?
所以由
?
解得
0?a?2?1
，故实数
a
的最大值为2?1
，所以选C.
a
2
?1
?
??0
?
2a
??
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【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方 法，属
于中档题.

10.如图，直角
?ABC
的斜边
B C
长为2，
?C?30?
，且点
B,C
分别在
x
轴 ，
y
轴正半轴上
uuuruuuruuur
uuuvuuuv
滑动， 点
A
在线段
BC
的右上方．设
OA?xOB?yOC
，（< br>x,y?R
），记
M?OA?OC
，
N?x?y
，分别考察< br>M,N
的所有运算结果，则（ ）

A.
M
有最小值，
N
有最大值
C.
M
有最大值，
N
有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
B.
M
有最大值，
N
有最小值
D.
M
有最小值，
N
有最小值
设
?OCB?
?
，用
?
表示出
M,N
，根据
?
的取值范围，利用三角函数 恒等变换化简
M,N
，
进而求得
M,N
最值的情况.
【详 解】依题意
?BCA?30,BC?2,?A?90
，所以
AC?
则
oo
3,AB?1
.设
?OCB?
?
，
?ABx?
?
?30
o
,0
o
?
?
?90
o
，所以
，
A
?
3sin
?
?
?30
o?
,sin
?
?
?30
o
?
所
?，
以
B
?
2sin
?
,0
?
,C?
0,2cos
?
?
uuuvuuuv
1
M?OA?O C?2cos
?
sin
?
?30
o
?sin2
?< br>?30
o
?
，当
2
?
?30
o
?9 0
o
,
?
?30
o
时，
2
13
M
取得最大值为
1??
.
22
????
uuuruuuru uur
3sin
?
?30
o
sin
?
?30
o
，所以
OA?xOB?yOC
，所以
x?,y?
2sin
?
2cos
?
????
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3sin
?
?
?30
o
?
si n
?
?
?30
o
?
3
oo
，当
2
?
?90,
?
?45
时，
N
有
?1?N?x?y??
2sin2
?
2sin
?
2cos
?< br>最小值为
1?
3
.故选B.
2
【点睛】本小题主要考查平面 向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与
转化的数学思想方法，属于难题.

二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答
题卷的相应位置．
11.若直线
l
的方程为
x?3y?3?0，则其倾斜角为____，直线
l
在
y
轴上的截距为_____.
【答案】 (1).
【解析】
【分析】
先求得斜率，进而求得倾 斜角；令
x?0
，求得直线在
y
轴上的截距.
【详解】依题意，直线
l
的斜率为
?
(2).
3

6
π
3
，故倾斜角为.令
x?0
，求 得直线在
y
轴上的截距
3
.
6
3
【点睛】本小题 主要考查直线斜率和倾斜角，考查直线的纵截距的求法，属于基础题.

12.已知角
?
终边上一点
P
的坐标为
?
sin2,cos2
?
，则
?
是第____象限角，
sin
?
?
____·
【答案】 (1). 四 (2).
cos2

【解析】
【分析】
根据
sin2,cos2
的正负，判断出
P
所在 的象限，由此确定
?
所在象限，根据三角函数的定义
求得
sin
?< br>的值.
【详解】由于
π
?2?π
，所以
sin2?0,co s2?0
，故
P
点在第四象限，也即
?
为第四象限
2
cos2
sin2?cos2
22
角.由三角函数的定义有
sin
?
??cos2
.
【点睛】本小题主要考查弧度制，考查三角函数在各个象限的符号，考查三角函数的定义，
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属于基础题.

13.已知函数
f(x)?lg(2? x)?alg(2?x)
为偶函数，则
a?
_____，函数
f
?< br>x
?
的单调递增区
间是_____.
【答案】 (1). 1 (2).
?
?2,0
?

【解析】
【分析】
利用
f
?
?x
?
?f
?
x
?列方程，由此求得
a
的值.化简
f
?
x
?
解析 式，然后根据复合函数单调性
同增异减求得函数
f
?
x
?
的 单调递增区间.
【详解】
f
?
?x
?
?lg
?< br>2?x
?
?alg
?
2?x
?
，由于函数为偶函数， 故
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，即< br>lg
?
2?x
?
?alg
?
2?x
?
?lg(2?x)?alg(2?x)
，故
2
a?1
.所以
?2?x?0
f
?
x
?
?lg
?
2?x
?
?lg
?
2?x
?
?lg
?
?
?
2?x
??
2?x
?
?
?
?lg
?
?x ?4
?
，由
?
2?x?0
解得
?
2
?2? x?2
，由于
y??x?4
?
?2?x?2
?
是开口向下的 二次函数，且左增右减，而
y?lgx
底数为
10?1
，根据复合函数单调性 ，可知函数在区间
?
?2,0
?
上单调递增.
【点睛】本小题主要 考查利用函数的奇偶性求参数，考查复合函数单调性的判断方法，属于
基础题.

1 4.已知数列
?
a
n
?
满足：
a
n
?2n ?17
，其前
n
项的和为
S
n
，则
S
13
?
_____，当
S
n
取得最小
值时，
n
的值为______.
【答案】 (1).
?39
(2). 8
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式判断出数列是等差数列，并求得首项和公差 ，进而求得
S
13
的值.利用
a
n
?0
，求得当< br>n
为何值时，
S
n
取得最小值.
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【详解】由于
a
n
?2n?17
，故
?
a
n
?
是等差数列，且首项
a
1
??15
，公差
d?2
.所以
S
13
?13a
1
?
最小值.
13?1217
d??39
.令
a
n
?2n?1 7?0
，解得
n??8.5
，故当
n?8
时，
S
n
取得
22
【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式，考查等差数列前
n项和公式，考查等差数列前
n
项和的最小值有关问题的求解，属于基础题.
< br>15.已知
?
?(0,
?
)
，且
sin
?< br>?
?
【答案】
?
【解析】
【分析】
首先根据已知 条件求得
sin?+cos?
的值，平方后利用同角三角函数的基本关系式求得
??
?
?
1
?
，则
cos
?
?sin< br>?
?
_____.
?
4
?
3
4

3
cos
?
?sin
?
的值.
?
?1
7
?
2
sin
?
?
【详解】由，两边平方并 化简得
2sin
?
cos
?
??
，
??
?
得
sin
?
?cos
?
?
4
?
3
?
9
3
由于
?
?(0,
?
)
2< br>，所以
?
π
?
sin
?
?0,cos
??0,
?
?
?
,π
?
?
2
?
.而
?
cos
?
?sin
?
?
?1?2sin?
cos
?
?
164
，由于
cos
?
?sin
?
?0
，所以
cos
?
?sin
?
??

93
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦 公式，考查化归与
转化的数学思想方法，属于基础题.

rr
rr
?
v
v
a?b?2
a
16.已知，向量
a,b
的夹 角为，则
?b
的最大值为_____.
3
【答案】
43

3
【解析】
【分析】
rr
v
v
a?b?2a
将两边平方，化简后利用基本不等式求得
?b
的最大值.
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rr
rr
a?b?2
【详解】将两边平方并化简得
a?b
??
2
rr
?ab?4
，由基本不等式得
rrrr
2
a?b
rr
?
a?b
?
?
?a b?
?
?
2
?
4
??
??
2
3< br>rr
a?b
，故
4
??
2
rr
?4
，即
a?b
??
2
?
rr
43
16
，即< br>a?b?
，
3
3
v
v
43
所以
a? b
的最大值为.
3
【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式 求最值，考查化归与转化
的数学思想方法，属于中档题.

17.若存在实数
b
使得关于
x
的不等式
asinx?(4a?b)sinx?13a?2b
?2sinx?4
恒成
立，则实数
a
的取值范围是____.
【答案】
?
?1,1
?

【解析】
【分析】 < br>先求得
2?sinx
的取值范围，将题目所给不等式转化为含
2?sinx的绝对值不等式，对
a
分成
2
a?0,a?0,a?0
三种情况 ，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得
a
的取
值范围.
【 详解】由于
2?sinx?
?
1,3
?
，故
asinx?( 4a?b)sinx?13a?2b
?2sinx?4
可化简得
2
a
?
2?sinx
?
?
9a
?b?2
恒成立.
2?sinx
当
a?0
时，显然成立.
当
a?0
时，可得
a
?
2?sinx
?
?
9a
?
?
6a,10a
?
，
2?sinx
?2?b?a
?
2?sinx
?
?
9a
?2?b
，可得
?2?b?6a且
2?b?10a
，可得
2?sinx
9a
?
?
10a,6a
?
，可得
?2?b?10a
且
2?b?6a
，可得
2?sinx
?2?6a?b?2?10a
，即
?2?6a?2?10 a
，解得
0?a?1
.
当
a?0
时，可得
a?
2?sinx
?
?
?2?10a?b?2?6a
，即
?2?10a?2?6a
，解得
?1?a?0
.综上所述，
a
的取值 范围是
?
?1,1
?
.
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【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查 存在性
问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18 .已知函数
f(x)?2sin
?
x?
（I）求
f
?
x
?
的最小正周期；
（II）求
f
?
x
?在
?
0,
2
?
?
?
?
?
?3 cos2x,x?R
．
4
?
?
?
?
上的最大值与最小值．
?
2
??
【答案】（I）
?
；（II）3，
1?3
.
【解析】
【分析】
（I）利用降次公式和辅助角公式化简
f
?< br>x
?
解析式，由此求得
f
?
x
?
的最小正周 期.（II）根
据函数
f
?
x
?
的解析式，以及
x
的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得
f
?
x
?
在区 间
?
?
?
0,
?
上的最大值与最小值.
?
?
2
?
【详解】（I）
f(x)?2sin
?
x?
2
?
?
?
?
?
??
?3cos2x?1?cos 2x?
???
?3cos2x

4
?
2
??
?
??
sin2x?3cos2x?1?2sin
?
2x?
??1

3
??
f
?
x
?
的最小正周期
T?
?
．
?
?
?
2
?
?
?
?
?
3
?
?
?
??
Q
x?0 ,,?2x???,,?sin2x?,1
?

（Ⅱ）
??
?
?
?
????
3
?
33
?
3
?
?
2
?
?
2
??
f
?
x
?
max
?3
，
f(x)
min
?1?3
．
【点 睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，
属于中档题.

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C:(x?3)?(y?1)?8
相交与
PQ
两19.在 平面直角坐标
xOy
中，圆
O:x?y?4
与圆

点．
（I）求线段
PQ
的长．
（II）记圆
O
与
x< br>轴正半轴交于点
M
，点
N
在圆C上滑动，求
?MNC
面积最大时的直线
NM
的方程．
【答案】（I）
【解析】
【分析】
（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆
O
的圆心到相交弦 所在直线的距离，然后利用
直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长
PQ
.（II）先 求得当
?MCN?90?
时，
S
?MNC
取得
最大值，根据 两直线垂直时斜率的关系，求得直线
NC
的方程，联立直线
NC
的方程和圆的 方
程，求得
N
点的坐标，由此求得直线
MN
的斜率，进而求得直线< br>MN
的方程.
【详解】（I）由圆
O
与圆
C
方程相 减可知，相交弦
PQ
的方程为
3x?y?3?0
．
点（0，0）到 直线
PQ
的距离
d?
22
22
310
；（II）< br>3x?y?6?0
或
x?3y?2?0
．
5
3
10
，
310
?
3
?
< br>PQ?24?
?
?
?
5
?
10
?
（ Ⅱ）
QMC?
2
2
，
NC?22
.
S
? MNC
?
1
MCNCsin?MCN?2sin?MCN

2
当
?MCN?90?
时，
S
V
MNC
取得最大值． 此时
MC?NC
，又
k
CM
?1
则直线
NC< br>y??x?4
．
由
?
?
y??x?4
，
N
?
1,3
?
或
N
?
5,?1
?

22
?
(x?3)?(y?1)?8
当点
N
?
1, 3
?
时，
k
MN
??3
，此时
MN
的方程 为
3x?y?6?0
．
当点
N
?
5,?1
?时，
k
MN
??
1
，此时
MN
的方程为
x?3y?2?0
．
3
∴
MN
的方程为
3x?y?6? 0
或
x?3y?2?0
．
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【点睛】本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直 线与圆
相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，
属于中档题.

20.在
?ABC
中，角
A
的平分线交
BC
于点D，
?ADC
是
?ABD
面积的
3
倍.
（I）求
AC
的值；
AB
（II）若
A?30?
，
AB?1
，求
AD
的值.
【答案】（I）
3
；（II）
【解析】
【分析】
（I） 根据
?ADC
是
?ABD
面积的
3
倍列式，由此求得
用正弦定理和两角差的正弦公式，化简（I）所得
6
.
2
AC
的 值.（II）用
B
来表示
C
，利
AB
AC
的表达式 ，求得
tanB
的值，进而求得
AB
?ADB
的值，利用正弦定理求 得
AD
的值.
【详解】（I）因为
AD
平分角
?BAD< br>，所以
?BAD??CAD
．
所以
S
V
ADCS
V
ABD
1
AC?AD?sin?BAD
AC
2???3
．
1
AB
AB?AD?sin?CAD
2
（ II）因为
A?30?
，所以
C?150??B
，
ACsinBs inBsinB
????3
由（I）
ABsinCsin
?
150? ?B
?
1
．
3
cosB?sinB
22
所以sinB?
33
cosB?sinB
，即
tanB??3
． < br>22
得
B?120?
，因为
AD
平分角
?BAC，所以
?ADB?30??15??45?
．
因为
AB?1
，由正弦定理知
ADAB
，
?
sin?ABDsin?ADB
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AD11
??
6
即
3
sin45?
．
2
，得
AD?
2
22
【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查 三角形内角和定理，考查正弦定理解三角
形，考查角平分线的性质，属于中档题.

21.已知
f(x)?(x?1?3)
．
（I）若函数
g(x)? f(x)?ax?2
有三个零点，求实数
a
的值；
（II）若对任意
x?
，均有
f(2)?2
［?11，］
xk?2x
2
?0
恒成立，求实数
k
的取值范围．
【答案】（I）
a??8?214
或
a?4?22
；（II）
k?4
．
【解析】
【分析】
（I）令
g
?
x
?
?0
，将< br>g
?
x
?
有三个零点问题，转化为
f(x)?ax?2
有三个不同的解的解决.
画出
f
?
x
?
和
y?a x?2
的图像，结合图像以及二次函数的判别式分类讨论，由此求得
a
的值.
2k
（II）令
2?t?
?
,2
?
，将恒成立不等式等价转 化为
[t(t?1?3)]?2
恒成立，通过对
t
分
2
x< br>?
1
?
?
?
类讨论，求得
[t(t?1?3)]的最大值，由此求得
k
的取值范围.
【详解】（I）由题意
g(x)? f(x)?ax?2?0
等价于
f(x)?ax?2
有三个不同的解
2?
(x?4)
2
,x
…
1
由
f(x)?
?
，可得其函数图象如图所示：
2
?
(x?2),x?1

联立方程：
(x?4)?ax?2
，
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2

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由
??(a?8)?56?0
可得
a??8?214

结合图象可知
2
a??8?214
．
同理
(x?2)? ax?2
，由
??(4?a)?8?0
可得
a?4?22
，
因为
4?22?k
PQ
?7
，结合图象可知
a?4?22
，
综上可得：
a??8?214
或
a?4?22
．
k< br>?
1
?
2
2
（Ⅱ）设
2?t?
?
, 2
?
，原不就价于
(t?1?3)?
2
，
?
2< br>?
t
x
22
两边同乘
t
2
得：
[t (t?1?3)]?2
，
设
m(t)?t(t?1?3),t?
?
,2
?
，
2
2k
?
1
?
?
?
[m(t)]
的最大 值． 原题等价于
2…
（1）当
t?[1,2]
时，
m(t)?t( t?4)
，易得
m(t)?[?4,?3]
，
（2）
t?
?
,1
?
，
m(t)??t(t?2)
，易得
m(t)?< br>?
?3,?
?
，
24
k
?
1
?< br>2
?
?
?
?
5
?
?
所以
[ m(t)]
的最大值为16，即
2
k
?16
，故
k?4．
【点睛】本小题主要考查根据函数零点个数求参数，考查数形结合数学思想方法，考查化
归与转化的数学思想方法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想，
属于难题.

22.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
??
1
2
，
a
n?1
?a
n
?3a
n
?
?
，其中实数
?
?1
.
2
（I）求证：数列
?
a
n
?
是递增数列；
（II）当
?
?1
时.
1
?
3
?
（i）求证：
a
n
…
?
??
2
?
2?
n?1
?1
；
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的

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（ii）若
b
n
?
1
，设数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
S
n
，求 整数
m
的值，使得
S
2019
?m
最小．
an
?2
【答案】（I）证明见解析；（II）（i）证明见解析；（ii）
2.
【解析】
【分析】
（I）通过计算
a
n?1
? a
n
?0
，结合
a
1
??
1
，证得数列< br>?
a
n
?
是递增数列.（II）（i）将
2
3
2
a
n?1
?a
n
?3a
n
?1
转化为
a
n?1
?1?
?
a
n
?1
??
a
n
?2
?
?
?
a
n
?1
?，利用迭代法证得
2
1
?
3
?
a
n
? ?
??
2
?
2
?
n?1
（i）得
a
n?1
?1?
?
a
n
?1
??
a
n?2
?
，从而
?1
.(ii)由
1
a
n?1< br>?1
?
11
?
，
a
n
?1a
n?2
1111
??
S?2?
即.利用裂项求和法求得
2019< br>，结合（i）的结论求得
a
n
?2a
n
?1a
n?1
?1
a
2020
?1
1.5?S
2019
?2，由此得到当
m?2
时，
S
2019
?m
取得最小值．
2
【详解】（I）由
a
n?1
?a
n
?a
n
?2a
n
?
?
?
?
a
n
?1< br>?
?
?
?1厖
?
a
n
?1
?
22
0

a
n
，因为
a
1
??
所以
a
n?1
…
1
1
，所以
a
n
…?
，即
a
n
??1
，
2
2
所以
a
n?1
?a
n
，所以数列
?
a
n
?< br>是递增数列．
（II）此时
?
?1
．
2
（i）所 以
a
n?1
?a
n
?3a
n
?1
，有a
n?1
?1?a
n
?3a
n
?2?
?
a
n
?1
??
a
n
?2
?

2
a
1
?2?
由（1）知
?
a
n
?
是递增数列，
a
n
?2…
所以
a
n?1
?1??
a
n
?1
??
a
n
?2
?
…
2
3

2
3
?
a
n
?1
?

2
3
?
3
?
所以
a
n
?1
厖
?a
n?1
?1
?
??
?
a
n?2
?1
?
厖L
2
?
2
?
2
?
3
?
??
?
2
?
n?1
13
?
?
a
1
?1
?
?
?
??
2
?
2
?
n?1

（ii）因为
a
n?1
?1?a
n< br>?3a
n
?2?
?
a
n
?1
??
a
n
?2
?

所以
1
a
n?1
?1
?
1
?
a
n
?1
??
a
n
?2
?
?
11
?

a
n
?1a
n
?2
111
??
有.
a
n
?2a
n
?1a
n?1
?1
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由
S
2019
?b
1
?b
2< br>???b
2019
?
111
????

a
1
?2a
2
?2a
2019
?2
?
111111???????

a
1
?1a
2
?1a
2?1a
3
?1a
2019
?1a
2020
?1
?
11111
????2?
a
1
?1a
2030
? 1
?
1
?1
a
2020
?1a
2020
? 1

2
n?1
1
?
3
?
由（i）知
a
n
?1?
??
2
?
2
?
所以
2?S
2019
?2?
1
?
3
?
，所以
a
2020
?1?
??
2
?
2
?
?2?1
?1.5

2
2019
1
?
3
?< br>81
?
??
??2

2
?
2
?32
4
1
a
2020
?1
所以当
m?2
时，
S
2019
?m
取得最小值．
【点睛】本小题主要考查数列 单调性的证明方法，考查裂项求和法，考查迭代法，考查化归
与转化的数学思想方法，属于中档题.

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