高中数学思想方法调查问卷-高中数学必修一新新学案答案
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炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷(八)
数学(理科)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四
个选项中,只有一
项
是符合题目要求的).
1.命题“
?x?R,x?0
”的否定是( )
A.
?x?R,x?0
B.
?x?R,x?0
C.
?x?R,x?0
D.
?x?R,x?0
2.在复平面内,
复数
z?(a?1)?(a?1)i
(
a?R,i
为虚数单位),对应的点在
第四象限的充
要条件是( )
A.
a??1
B.
a??1
C.
a??1
D.
a??1
3.已知
?
a
n
?
是等差数列,
a
10
?10
,其前10项和
S
10
?70
,则其公差
d
为( )
A.
2222
2
2112
B.
C.
?
D.
?
3333
4.设函数
f(x)
?sin
?
x(
?
?0)
,将
y?f(x)
的图象
向左平移
原函数的图象重合,则
?
的最小值是( )
A.
?
个单位长度后,所得图象与
3
1
B.3
C.6 D.9
3
?
y?x?1
5.设非负实数
x,y
满足:
?
,
(2,1)
是目标函数
z?ax?3y(a?0)
取最大值的最优
2x?y?5
?
解,则
a
的取值范围是(
)
A.
(0,6)
B.
?
0,6
?
C.
?
6,??
?
D.
(6,??)
x
2
y
2
??1
上非顶点的动点,
F
1
,F
2
分别为椭圆的左、右焦点,
O
是坐标6.已知点
P
是椭圆
168
uuuuvuuuv
uuuuv
原点,若
M
是
?F
1
PF
2
的平分线上一点,且
FM
g
MP?0,则
OM
的取值范围是( )
1
A.
?
0,3
?
B.
(0,22)
C.
?
22,3
D.
?
0,4
?
?
?
7.在闭区间
?
?4,6
?
上随机取出一个数
x
,执行右图程序框图,则输出
x
不小于39的概率为
( )
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A.
1234
B. C. D.
5555
9.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )
A.4 B.
2026
C. D.8
33
?4
log
2
x,0?x?2
?
10.已知函数
f(x)?
?<
br>1
2
,若存在实数
a、b、c、d
,满足
x?5x?12,x
?2
?
?2
f(a)?f(b)?f(c)?f(d)
,其中
d?c
?b?a?0
,则
abcd
的取值范围是( )
A.
(16,21)
B.
(16,24)
C.
(17,21)
D.
(18,24)
uuuvuuuv
11.
?ABC
中,
BC?5,G,O
分别为
?ABC
的重心和外心,且
GO
g
BC?5
,则?ABC
的形
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状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
D.上述均不是
12.用
g(n)
表示自然数
n
的所有因数中最大
的那个奇数,例:9的因数有1,3,9,
g(9)?9
,
10的因数有1,2,5,
10,
g(10)?5
,那么
g(1)?g(2)?g(3)?L?g(2
A
.
2016
?1)?
_________.
4
2015
1414141
?4?
B.
?4
2015
?
C.
?4
2016
?
D.
?4
2016
?
33333333
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上)
13.在某项
测量中,测量结果
?
:N(1,
?
)
,若
?
在(0,2)
内取值的概率为0.8,则
?
在
?
??,2
?
2
内取值的概率为________.
14.已知
(1?2x)(1?a
x)
的展开式中
x
的系数为2,则实数
a
的值为________.
15.曲线
y?sinx
与直线
x??
x
54
?<
br>3
,x?
?
2
及
x
轴所围成的图形的面积是____
____.
16.设函数
g(x)?e?2x?a
(
a?R
,e
为自然对数底数),定义在
R
上函数
f(x)
满足:
1
??
f(?x)?f(x)?x
2
,且当
x?0
时,f
?
(x)?x
,若存在
x
0
?
?
x
|f(x)??f(1?x)?x
?
.使
2
??
g
?
g(x
0
)
?
?x
0
,则实数
a
的取值
范围为________.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知
a?(2cosx?23sinx,1),b?(
cosx,?y)
,且
a?b
.
(1)将
y
表示为
x
的函数
f(x)
,并求
f(x)
的单调增区间.
(2
)已知
a,b,c
分别为
?ABC
的三个内角
?A,?B,?C对应边的边长,若
f()?3
且
A
2
a?2,b?c?4
,求
?ABC
的面积.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥<
br>P?ABCD
中,底面
ABCD
是平行四边形,
PG?
平面<
br>ABCD
,垂中为
G
,
1
G
在
AD
上,且
PG?4,AG?GD,BG?GC,GB?GC?2
,
E
是
BC
的中点.
3
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(1)求异面直线
GE
与
PC
所成角的余弦值;
(2)若
F
点是棱
PC
上一点,且
DF?GC
,求
19.(
本小题满分12分)
为弘扬民族古典文化,市电视台举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机
从题库中
抽取题目让选 手抢答,回答正确将给该选手记正10分,否则记负10分.根据以往统计,某
参赛选手能答对每一个问题的概率为
PF
的值.
FC
2
;
现记“该选手在回答完
n
个问题后的总得分为
S
n
”.
3
(1)求
S
6
?20
且
S
i
?0(i?
1,2,3)
的概率;
(2)记
X?S
5
,求
X
的分布列,并计算数学期望
E(X)
.
20.(本小题满分12分)
已知
曲线
C
1
:x?(y?)?1(y?)
,
C
2
:x
?8y?1(x?1)
,动直线
l
与
C
2
相交于
A
,B
两点,曲线
C
2
在
A,B
处的切线相交于点
M
.
(1)当
MA?MB
时,求证:直线
l
恒过定点,并求出定点坐标;
(2)若直线
l
与
C
1
相切于点
P
,试问
:在
y
轴上是否存在两个定点
T
1
,T
2
,当直线
MT
1
,MT
2
斜率存在时,两直线的斜率之积恒为定值?若存在求
出满足条件的点
T
1
,T
2
的坐标,若不存在,
请说明理由
.
21.(本小题满分12分)
2
1
4
2
1
4
2
x
3
?x
2
?ax(a?R)
. 已知函数f(x)?ln(ax?1)?
3
(1)若
y?f(x)
在
?<
br>4,??
?
上为增函数,求实数
a
的取值范围;
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32
x
3
2
x(ax?1)
?
??3ax?f(x)(x?0)
的两个极值点(2)当
a?
时,设
g(x)
?ln
?
??
2
3
x
1
,x
2
(
x
1
?x
2
)
恰为
?
(x)?lnx?cx
2
?bx
的零点,求
y?(x
1
?x
2
)
?
?
(
x
1
?x
2
)
的最小值.
2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)
在
?ABC
中,
AB?AC
,过点
A
的直线与其外接圆交于点
P
,交
BC
延长线于点<
br>D
.
(1)求证:
PCPD
;
?
ACBD
(2)若
AC?3
,求
APgAD
的值.
?
3
x??2?t
?
?
2
,曲线
C
的极坐标方程为2
3.已知曲线
C
1
的参数方程为
?
2
1
?
y?t
?
?2
?
?
?22cos(
?
?)
.以极点为坐标原点,极轴为
x
轴正半轴建立平面直角坐标系.
4
(1)求曲线
C
2
的直角坐标方程;
(2)求曲线C
2
上的动点
M
到曲线
C
1
的距离的最大值.
24.(本小题满分10分)
已知定义在
R
上的函数
f(x)?x
?m?x,m?N
,存在实数
x
使
f(x)?2
成立.
(1)求实数
m
的值;
(2)若
?
,
?
?1
,
f(
?
)?f(
?
)?2
,求证:
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*
4
?
?
1
?
?
9
.
2
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参考答案
一、选择题
题号 1
答案 B
2
D
3
A
4
C
5
C
6
B
7
A
8
B
9
B
10
B
11
B
12
B
6.B 【解析
】延长
F
1
M
交
PF
2
或其延长线于点
G
,
uuuuvuuuvuuuuvuuuv
∵
FM
g
MP
?0
,∴
F
1
M?MP?0
1
又
MP<
br>为
?F
1
PF
2
的平分线,∴
PF
1
G
的中点,∵
O
为
F
1
F
2
的中点,
1
?PG
且
M
为
F
∴
OMF
2<
br>G
,且
OM?
1
F
2
G
.
2
1
2a?2PF
2
?4?PF
2
.
2
uuuuv
∴
4?22?PF
2
?4
或
4?PF<
br>2
?4?22
,∴
OM?(0,22)
.
∵
F2
G?PF
2
?PG?PF
2
?PF
1
,∴
OM?
1323
8.B 【解析】共有
C
2
A
3
?C
3
A
3
?30
种方案.
10.B 【解析
】如下图,由
ab?1,c?d?10
,得
abcd?cd?c(10?c)?(16
,24)
.
11.B 【解析】
uuuvuuuvuuuvuuuvuu
uvuuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuvuuuvuuuv
1
uu
uv
2
uuuv
2
GO
g
BC?(AO?AG)
g
BC?AO(AC?AB)?(AC?AB)(AC?AB)?(AC?AB)?5
36
,
uuuv
2
uuuv
2
2222
而
AC?A
B?30
,∴
b?c?30,c?b??30
.
a
2
?c
2
?b
2
25?30
cosB???0
,故
B为钝角.
2ac2ac
12.B 【解析】由递推关系
n?1n
?g(1)?g(2)?g(3)?
L
?g(2
n
?1)?
?g(1)?g(2)?
L
?g(2?1)?1?3?5?
L
?(2?1)
??
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设
G(2?1)?g(1)?g(2)?L?g(2?1)
,
则
G(2?1)?G(2
二、填空题
13.0.9 14.3
15.
nn?1
nn
?1)?2
n?1
再由累加法得到.
3
2
16.
?
??,e?
?
?
1
?
?
2
?
【解析】设
h(x)?f(x)?
1
2x
,则
h(?x)??h(x)
2
又
x?0
时,
h
?
(x)?f
?
(x)?x?0
,
∴h(x)
在
(??,??)
单调递减,由
f(x)?
∴
x?1?x
,∴
x?
1
?f(1?x)?x
得
h(x)?h
(1?x)
,
2
1
.
2
∴
a?
?
??,e?
三、解答题
17.【解析】(1)由
a?b
得
agb?0
,所以
2cos
2
x?23s
inxcosx?y?0
,
即
y?2cosx?23sinxcosx?cos2x
?3sin2x?1?2sin(2x?
由
?
2
?
?
1?
?
.
2
?
?
6
)?1
,
?
2
?2k
?
?2x?
?
6
?
?
2
?2k
?
,k?Z
,得
?
?
3
?k<
br>?
?x?
?
6
?k
?
,k?Z
,
即增区间为
?
?
分
?
?
?
?
?
k
?
,?k
?
?
,k?Z
. .............
.............................6
6
?
3
?
(2)因为
f()?3
,所以
2sin(A?
所以
A?A
2
?
)?1?3,sin(A?)?1
,
66
?<
br>?
6
?2k
?
?
2
?
2
,k?Z<
br>,因为
0?A?
?
,所以
A?
2222
?
3
.
由余弦定理,得
a?b?c?2bccosA
,即
4?b?c?
bc
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所以
4?(b?c)?3bc
,因为
b?c?4
,所以
bc?4
.所以
2
1
......12分
S
?ABC
?bcsinA?3
. .
2
18.【解析】
uuuvuuuvuuuv
(1)以
G
点为原点,
GB
、<
br>GC
、
GP
分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系,则
B(2,0,0)
,
C(0,2,0),P(0
,0,4)
,故
uuuvuuuv
E(1,1,0),GE?(1,1,0),PC?
(0,2,4)
................................2分
∵
uuuvuuuv
uuuvuuuv
GE
g
PC210
c
osGE,PC?
uuu
?
,.........................
..............
vuuuv
?
10
2
g
20
GE?PC
.4分
∴
GE
与
PC
所成角的余弦值为
10
.
.......................................6分
10(2)解:设
F(0,y,z)
,则
DF?(0,y,z)?(?,,0)?(,
y?
uuuv
33
22
3
2
3
,z)
,
2
uuuvuuuvuuuvuuuv
GC?0
,
∵
DF
?GC
,∴
DF
g
333
...................
.......8分
,z)g(0,2,0)?2y?3?0
,∴
y?
,<
br>222
uuuvuuuv
3
又
PF?
?
PC
,即
(0,,z?4)?
?
(0,2,?4)
,
2
3∴
z?1
,故
F(0,,1)
,..................
.......................................10
2
即
(,y?
分
35
uuuvuuuv
PF
31
?
2
?3
.
PF?(0,,?3),FC?(0,,?1)
,∴..................
.......12分
FC
22
5
2
19.【解析】(1)当S
6
?20
时,即回答6个问题后,正确4个,错误2个.若回答正确第1
个和第2个问题,则其余4个问题可任意回答正确2个问题;若第一个问题回答正确,第2
个问题回答
错误,第三个问题回答正确,则其余三个问题可任意回答正确2个.记回答每个
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问题正确的概率为
p
,则
p?
2
.同时
回答每个问题错误的概率为
3
1
. ......................
..............................3分
3
2
22
2
1
2
2122
2
116
22
故所
求概率为:
P?()?C
4
?()?()????C
3
?()??<
br>..........6分
3333333381
(2)由
X?S
5
可知
X
的取值为10,30,50.
可有
P(X?30)?C5
()()?C
5
()()?
1
1
30
12
1
1
4
,
33381
11
5
2<
br>50
1
5
...............................
......9分
P(X?30)?C
5
()?C
5
()?
.
.
3381
44
2
3
故
X
的分布列为:
X
10
P
30 50
40
30
11
81
81
81
185
0
,............................................
............12分
E(X)?
81
20.【解析】(1)依题意,直
线
l
的斜率存在,设
l:y?kx?b,A(x
1
,y
1<
br>),B(x
2
,y
2
)
,
由
?
?
y?kx?b
2
得
x?8kx?8b?1?0
则
x
1
x
2
??8b?1
,........................
...2分
2
x?8y?1
?
x
2
?1
xxx
又由
y?
得
y
?
?k
MA
k
MB
?
1
g
2
??1x
1
x
2
??16
,
8
444
∴
?8b?1??16
,∴
17
...
..................................................
4分
8
1717
∴
l
的方程为
y?kx?
,恒过
定点
(0,)
....................................
..5分
88
xx
1
(2)设
M(u,v)
,直线
MA:y?y
1
?
1
(x?x
1
)
,即
1
x?y?y
1
??0
444
xx
11
又
MA
经过
M(u,v)
,∴
1
u?v?y
1??0
,即∴
1
u?y
1
?v??0
,
44
44
x
1
同理,∴
2
u?y
2
?v??0
44
x1
由此可得切线
AB
的方程为∴
u?y?v??0<
br>..............................8分
44
b?
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u11
0???v?
444
?1
,化简得由直线
AB
与圆相切得
u
()
2
?1
4
u
2
v??1
,..........................10分
1
6
2
x
2
?1
,为焦点在
y
轴上的双曲线. 从而
动点
M
的轨迹方程为
y?
16
2
x
2
y?
1y?1y
2
?1
16
1
取
T
1
(0,?
1),T
2
(0,1)
,则
k
MT
1
k
M
T
2
?g?
2
?
2
?
为定值
xxxx1
6
1
故存在两个定点
T
1
(0,?1),T
2
(0
,1)
满足
k
MT
1
k
MT
2
?
恒为定
16
值..................................12
分
21.【解析】(1)
f
?
(x)?
a
?x
2
?2x?a
ax?1
?a
2
x
a
2?x
2
?2x?0
对
x?
?
4,??
?
恒成由题意
f
?
(x)??x?2x?a?0
,即
f
?<
br>(x)?
ax?1
ax?1
立,整理得
?a
2
?x
?2?0
,即
ax
2
?(1?2a)x?a
2
?2?0,在
?
4,??
?
恒成立
ax?1
设
h(x
)?ax?(1?2a)x?a?2
显然
a?0
其对称轴为
x?1?
22
1
?1
2a
2
∴
h(x)
在
(4,??)
单调递增,∴只要
h(4)?16a?4(1?2a)?a?2?0
,
∴
0?a?4?32
.............................
..................................6
分
22(x<
br>2
?ax?1)
(2)
g(x)?2lnx?2ax?x,g
?
(x)??2a?2x?
xx
2
?
32
a?
?
2
?
x
1
(x
1
?x
2
)
2
9
?
2
2
由题意
?
??a?4?0
,
∴
a??
解得
0?
1
?
,
x
2
2
x
1
x
2
2
?
x?x?a
?
1
2
?
?
x
1
x
2
?1
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2
?
?
(x)??2cx?b,
?
(x
1
)?lnx
1
?cx
1
2
?bx
1,
?
(x
2
)?lnx
2
?cx
2
?
bx
2
,
1
x
两式相减得
ln
x
1?c(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)
?b(x
1
?x
2
)?0
,
x
2
∴(x
1
?x
2
)
?
?
(
x
1
?x
2
2(t?1)1
)??lnt(0?t?)
记为
?<
br>(t)
,
2t?12
(t?1)?(t?1)1?(t?1)
2?
?
(t)?2???0
.
22
(t?1)tt(t?1)<
br>∴
?
(t)
在
?
0,
?
递减,
?<
br>(t)
min
?
?
()?ln2?
.
2
2
3
?
?
1
?
?
12
x
1
?x2
2
.............................12分
)
的最小值为
ln2?
.
23
PCPD
22.【解析】(1)
∵
?CPD??ABC,?D??D
,∴
?DPC:?DBA
,∴,
?
ABBD
PCPD
又∵
AB?AC
,∴...........
........................5分
?
ACBD
∴
(
x
1
?x
2
)
?
?
(
(2)∵
?
ACD??APC,?CAP??CAP
,∴
?APC:?ACD
,
∴
APAC
,
?
ACAD
2
∴
AC?A
PgAD?9
........................................
10分
23.【解析】(1)
?
?22cos(
?
?
2<
br>?
4
................2分
)?2(cos
??sin
?
)
,
22
即
?
?2(
?<
br>cos
?
?
?
sin
?
)
,可得
x
?y?2x?2y?0
,
故
C
2
的直角坐标方程为
(x?1)?(y?1)?2
……………………5分
(2)
C
1
的直角坐标方程为
x?3y?2
?0
,由(1)知曲线
C
2
是以
(1,1)
为圆心的圆,
且圆心到直线
C
1
的距离
d?
22
1?3?21
2
?(3)
2
?
3?3
,............
............8分
2
所以动点
M
到曲线
C
1
的距离的最大值为
3?3?22
.......................1
0分
2
24.【解析】(1)因为
x?m?x?(x?m)?x?m
, <
br>要使不等式
x?m?x?2
有解,则
m?2
,解得
?2?m?
2
.
因为
m?N
,所以
m?1
.
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(2)因为
?
,
?
?1
,所以
f(
?
)?f(
?
)?2
?
?1?2
?
?
1
,即
?
?
?
?2
.
所以
4
?
?
14114
??
14
??
9
?(?)?(5??
)?(5?2g)?
.
?
2
??
2
??
2
??
2
1
4
?
?
(当且仅当
?
?
42
时,即
?
?,
?
?
等号成立)
?
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