2019杭州高中数学教师招聘-高中数学各种集合表示
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1
例1 若0<a<1,则不等式(x-a)(x-)<0的解是
a
[ ]
1
A.a<x<
a
1
B.<x<a
a
1
C.x>或x<a
a
1
D.x<或x>a
a
1
分析
比较a与的大小后写出答案.
a
11
解
∵0<a<1,∴a<,解应当在“两根之间”,得a<x<.
aa
选A.
例2 x
2
?x?6有意义,则x的取值范围是
分析
求算术根,被开方数必须是非负数.
.
解 据题意有,x
2
-
x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外”,所以x≥3
或x≤-2.
例3 若ax
2
+bx-1<0的解集为{x|-1<x<2},则a=_____
___,b=________.
分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax<
br>2
+bx-1=0的两
个根,考虑韦达定理.
解
根据题意,-1,2应为方程ax
2
+bx-1=0的两根,则由韦达定理知
?
b
??(?1)?2?1
?
?
a
得
<
br>?
1
?
??(?1)×2??2
?
?
a
a?
11
,b??.
22
例4 解下列不等式
(1)(x-1)(3-x)<5-2x
(2)x(x+11)≥3(x+1)
2
(3)(2x+1)(x-3)>3(x
2
+2)
3
(4)3x
2
?3x?1>?x
2
2
1
(5)x
2
?x?1>x(x?1)
3
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分析 将不等式适当化简变为ax
2
+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解公式”给
出答案(过程请同学们自己完
成).
答 (1){x|x<2或x>4}
3
(2){x|1≤x≤}
2
(3)?
(4)R
(5)R
说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.
例5
不等式1+x>
A.{x|x>0}
C.{x|x>1}
0}
1
的解集为
1?x
[ ]
B.{x|x≥1}
D.{x|x>1或x=
分析
直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.
1
>0,
1?x
?x
2
x
2
通分得>0,即>0,
1?xx?1
解
不等式化为1+x-
∵x
2
>0,∴x-1>0,即x>1.选C.
说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.
例6
与不等式
x?3
≥0同解的不等式是
2?x
[ ]
A.(x-3)(2-x)≥0
B.0<x-2≤1
2?x
C.≥0
x?3
D.(x-3)(2-x)≤0
?
(x?3)(2?x)≥0,
解法一
原不等式的同解不等式组为
?
x?2≠0.
?
故排除A、C、D,选B.
x?3
解法二
≥0化为x=3或(x-3)(2-x)>0即2<x≤3
2?x
两边同减去2得0<x-2≤1.选B.
说明:注意“零”.
例7
不等式
ax
<1的解为{x|x<1或x>2},则a的值为
x?1
[ ]
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1
2
1
C.a=
2
A.a<
B.a>
1
2
1
D.a=-
2
分析
可以先将不等式整理为
(a?1)x?1
<0,转化为
x?1
11
=2,∴a=.
a?12
[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1或x>2}
可知a-1<0,即a<1,且-
答 选C.
说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.
例8
解不等式
3x?7
≥2.
x
2
?2x?3
3x?7
?2≥0
x
2
?2x?3
解 先将原不等式转化为
?2x
2?x?12x
2
?x?1
即
2
≥0,所以
2
≤
0.
x?2x?3x?2x?3
17
由于2x
2
+x+1
=2(x+)
2
+>0,
48
∴不等式进一步转化为同解不等式x
2
+2x-3<0,
即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1}.
说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题.
例9 已知集合A={x|x
2
-5x+4≤0}与B={x|x
2
-2ax+a+2
≤0},若B?A,求a的范围.
分析
先确定A集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系,结合B?A,利用数形结合,建立关于a的不等式.
解
易得A={x|1≤x≤4}
设y=x
2
-2ax+a+2(*)
(1)若B=?,则显然B?A,由Δ<0得
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4a
2
-4(a+2)<0,解得-1<a<2.
(2)若B≠?,则抛物线(*)的图像必须具有图1-16特征:
应有{x|x
1
≤x≤x
2
}?{x|1≤x≤4}从而
?
?
1
2
-2a·1+a+2≥0
?
2
1
8
?
4-2a·4+a+2≥0 解得12≤a≤
7
?
?2a
?
1≤≤4
?2
?
综上所述得a的范围为-1<a≤
18
.
7
说明:二次函数问题可以借助它的图像求解.
例10
解关于x的不等式
(x-2)(ax-2)>0.
分析
不等式的解及其结构与a相关,所以必须分类讨论.
解 1° 当a=0时,原不等式化为
x-2<0其解集为{x|x<2};
22
2°
当a<0时,由于2>,原不等式化为(x-2)(x-)<0,其解
aa
集为
2
{x|<x<2};
a
22
3°
当0<a<1时,因2<,原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解
aa
集为
2
{x|x<2或x>};
a
4°
当a=1时,原不等式化为(x-2)
2
>0,其解集是{x|x≠2};
22
5°
当a>1时,由于2>,原不等式化为(x-2)(x-)>0,其解
aa
集是
2
{x|x<或x>2}.
a
从而可以写出不等式的解集为:
a=0时,{x|x<2};
2
a<0时,{x|<x<2};
a
2
0<a<1时,{x|x<2或x>};
a
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a=1时,{x|x≠2};
2
a>1时,{x|x<或x>2}.
a
说明:讨论时分类要合理,不添不漏.
例11 若不等式ax
2
+bx+c>0的解集为{x|α<x<β}(0<α<β),求cx
2
+bx
+a
<0的解集.
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的解集实质
上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑
使用韦达定理:
解法一 由解集的特点可知a<0,根据韦达定理知:
?
b
-=α+β,
?
?
a
?
c
?
=α·β.
?
?
a
?
b
=-(α+β)
<0,
?
?
a
即
?
c
?
=α·
β>0.
?
?
a
∵a<0,∴b>0,c<0.
又
bab
×?,
acc
b11
∴=-(+)cαβ
ca11
由=α·β,∴=·
acαβ
对cx
2
+bx+a<0化为x
2
+
①
②
ba
x+>0,
cc
由①②得
11ba11<
br>,是x
2
+x+=0两个根且>>0,
αβccαβ
ba1
1
2
∴x+x+>0即cx+bx+a<0的解集为{x|x>或x<}.
ccαβ
2
解法二
∵cx
2
+bx+a=0是ax
2
+bx+a=0的倒数方程.
且ax
2
+bx+c>0解为α<x<β,
∴cx
2
+bx+a<0的解集为{x|x>
11
或x<}
.
αβ
说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维.
x
例12
解关于x的不等式:<1-a(a∈R).
x?1
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分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.
解 原不等式变为
xax?1?a
-(1-a)<0,即<0,
x?1x?1
进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0.
(1)当a>0时,不等式化为
a?1a?1a?1
(x-)(x-1)<0,易见
<1,所以不等式解集为{x|<x
aaa
<1};
(2)a=0时,不等
式化为x-1<0,即x<1,所以不等式解集为{x|x<1};
a?1a?1
(3)a<
0时,不等式化为(x-)·(x-1)>0,易见>1,所以
aa
a?1
不等式解集为{x|x<1或x>}.
a
综上所述,原不等式解集为:
a?1
当a>0时,{x|<x<1};当a=0时,{x|x<1};当a<0时,{x|x
>
a
a?1
或x<1}.
a
例13
(2001年全国高考题)不等式|x
2
-3x|>4的解集是________.
分析 可转化为(1)x
2
-3x>4或(2)x
2
-3x<-4
两个一元二次不等式.
由(1)可解得x<-1或x>4,(2)?.
答
填{x|x<-1或x>4}.
例14 (1998年上海高考题)设全集U=R,A={x|x<
br>2
-5x-6>0},B={x||x-5|
<a}(a是常数),且11∈B,则
[ ]
A.(
U
A)∩B=R
U
B)=R
U
B)=R
B.A∪(
C.(
U
A)∪(
D.A∪B=R
分析
由x
2
-5x-6>0得x<-1或x>6,即
A={x|x<-1或x>6}由|x-5|<a得5-a<x<5+a,即
B={x|5-a<x<5+a}
∵11∈B,∴|11-5|<a得a>6
∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R.
答 选D.
说明:本题是一个
综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等式、一元二次
不等式等内容都得到了考查
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