2河北017全国高中数学竞赛时间-高中数学最后一道选做题
高一寒假数学同步辅导讲义(
专题讲解
)
第一章 集合与简易逻辑专题讲解
一 、 集合的概念、运算与不等式
1.在解题
过程中,要善于理解和识别集合语言(即符号和图形语言),并会用集合语言
准确地叙述。
2
.特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、
?
与
?
、
?
的区别,元素与集合间的
从属关系用∈、
?
表示,集合与集合之间的包含与相等的关系
用
?
、
?
、
?
、
?
、=表示.
3.给定两个集合A,B,它们的运算意义为:A∩B=
xx?A且x?B
,A∪
B=
xx?A或x?B
,C
S
A=
xx?S,且x?A
.这些运
算都是同逻辑连词“且”与“或”紧
密相连的,“且”表示两条件要同时成立,“或”表示两条件中要至
少有一个成立.理解好这
些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用
关系:C
s
(A
∪B)=(C
s
A)∩(C
s
B)
,C
s
(A∩B)=(C
s
A)∪(C
s
B),与此有关问
题的运用韦恩图有示
更直观.见表1—9.
4.集合M=
?
a
1<
br>,a
2
,
?
,a
n
?
的子集个数为2
n
,真子集个数为2
n
-1,非空子集个数为2
n
—
1<
br>??
??
??
,非空真子集个数为2
n
-2.
含绝
对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具,同时也为研究
集合与命题间的逻辑关
系提供了具体的数学模型.
表1
命题
集合
关键字
词
自反性
对称性
A∪A=A
A∪B=B∪A
A∩A=A
A∩B=B∩A
C
U
(C
U
)A=A
A
?
A真子集无
A=A
C
B
A=C
A
B
若A
?
B,B
?
C
则A
?
C
结合律 (A∪B)∪C=A
∪(B∪C)
(A∩B)
∩C=A
∩(B∩C)
A=A若A=B则
B=A
传递性
若A=B,B=C,
A=C
或
并集∪
或
且
交集∩
且
否定┐
补集C
非
蕴涵
?
子集
?
若……则……
等价
?
相等=
当且仅当必须且
只须
分配律 (A∪B)∪C=(A∩C)∪(B∪C)
(A∩B) ∪C=(A∪C)∩(B∩C)
摩根律
C
U
(A∩B)=(C
U
A)∪(C
U
B)
C
U
(A∪B)=(C
U
A)∩(C
U
B)
2
【例1】 已知集合M=
yy?x?1,x?R
,N=yy?x?1,x?R
,则M∩N=( )
??
??
A.(0,1)(1,2)
B.
?
(0,1),(1,2)
?
C.
yy?1或y?2
D.
yy?1
分析 集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M,N
分别
表示函数y=x
2
+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的
交集.
2
解 M=
yy?x?1,x?R
=
yy?1
,N
=
yy?x?1,x?R
=
yy?R
.
??
??
??
??????
∴M∩N=
yy?1
∩
yy?R
=
yy?1
,故选D.
??????
?
y?x
2
?1?
x?0
?
x?1
说明(1)本题求M∩N.经常发生解方程组
?
得
?
或
?
从而选B错
y?1y?2
y?x?1<
br>?
??
误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了
集合的元
素是什么,事实上M,N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.
(2
)集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分
?
xy?x
的. <
br>2
?1,x?R
,
yy?x
2
?1,x?R
,
(x,y)y?x
2
?1,x?R
这三个集合是不同
???
??<
br>【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系:(1)0
?
?
0
?<
br>;(2)0∈
?
0
?
;(3)Φ
∈
?
??
;(4)a∈
?
a
?
;(5)Φ=
?
0?
;(6)
?
0
?
∈Φ;(7)Φ∈
?
0?
;(8)Φ
?
?
0
?
,其中正
确的是(
)
A.(2)(3)(4)(8) B.(1)(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4)(6) D.(2)(3)(4)(7)
分析
依次判断每个关系是否正确,同时用排除法筛选.
解 (1)应为0∈
?
0
?
;(2)(3)(4)正确,排除B,再看(6)(7)(8)哪个正确,由
Φ是
?
0
?
的子集,因此(8)正确,故选A.
说明
0与
?
0
?
只有一种关系:0∈
?
0
?
;R与
?
R
?
;Φ与
?
0
?
也只有一种关
系:Φ
?
?
0
?
.
2
【例3】 已知集合A=<
br>xx?(m?2)x?1?0,x?R
,若A∩R
+
=Φ,则实数m的取
??
值范围是__________.
分析
从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x
2
+(m+2)x+1=0的解集,<
br>而x=0不是方程的解,所以由A∩R
+
=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根,从而
分别由
判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围.
解 由A∩R
+
=Φ又方程x
2
+(m+2)x+1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
?
??(m?2)
2
?4?0
即
?
?(m?2)?0.
?
或△=(m+2)
2
-4<0.
解得m≥0或-4<m<0,即m>-4.
说明 此题容易发生的错误是由A∩R
+
=Φ只片面地推出方程只有两个负根(因为两根
之积为1,因此方程无零根),而把A=Φ漏掉
,因此要全面正确理解和识别集合语言.
22
【例4】 已知集合A=
xx?3x?
2?0
,B=
xx?ax?a?1?0
,且A∪B=A,
????
则
a值为__________.
分析
由A∪B=A
?
B
?
A而推出B有四种可能,进而求出a的值.
解
∵A∪B=A,
∴B
?
A,
∵A=
?
1,2
?
,∴B=Φ或B=
??
1
或B=
?
2
?
或
B=
?
1,2
?
.
若B=?,则令△<0得a∈?;若B=
??
则令△=0得a=2,此时1是方程的根;若B=
?
2
?
,<
br>1
,
则令△=0得a=2,此时2不是方程的根.
∴a∈? ;若B=
?
1,2
?
,则令△>0得a∈R且a≠2,把x=1代入方程得a∈R,把x=2
代入方程得a=3,综上a的值为2或3.
说明 本题不能直接写出B=(),因为a()可
能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另
外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况
.
【例5】 命题甲:方程x
2
+mx+1=0有两个根异负根;命题乙:方程4x
2
+4(m-2)x+1=0
无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围
.
分析 使命题甲成立的m的集合为A,使命题乙成立的m的集合而为B,有且只有一个
命题
成立是求A∩C
R
B与C
R
A∩B的并集.
解 因使命题甲成立的
条件是△
1
=m
2
-4>0,且-m<0,所以解得m>2,即集合
A=
mm?2
;因使命题乙成立的条件是△
2
=16(m-2)
2<
br>-16<0,所以解得1<m<3,即集
合B=
m1?m?3
.若命题甲、乙有
且只有一个成立,则m∈A∩C
R
B或m∈C
R
A∩B,而A
∩C<
br>R
B=
??
??
?
mm?2
?
∩
?
mm?1或m?3
?
=
?
mm?3
?
,C
R
A∩B=
?
mm?2
?
∩
?
m1?m?3
?
=
?
m1?m?2
?
,
所以综上所求m的范围是
?
m1?m?2或m?3
?
.
说明(1)
本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;(2)用集合语言来表示m的满
园即准备又简明.
二、 一元二次方程实根的分布
【例1】关于x的方程3x
2<
br>-5x+a=0,实数a在什么范围内,一个根大于-2,而小于0,
另一个根大于1,而小于3
?
解 由题意,a应满足条件
?
f(?2)?3?(?2)
2
?5?(?2)?a?0
?
?
f(0)?a?0
??
f(1)?3?5?a?0
?
f(3)?3?3
2
?5?3?
a?0
?
解得-12<a<0.
【例2】关于x的方程2x
2
+3
x-5m=0,有两个小于1的实根,求实根m的取值范围.
解 二次函数图像是开口向上的抛物线
,对称轴x=-
3
,在x=1的左侧.这样抛物线与
4
x轴有两个交点的横坐
标都小于1,所以应满足的条件是:
?
f(1)?2?3?5m?0
?
?
??9?40m?0
解得-
9
≤m<1.
4
0
【例3】关于x的方程x
2
―2tx+t
2
―1=0的两个根介于
―2和4之间,求实数t的取值范
围.
解 由题意可知,t需满足
?
f(
?2)?t
2
?4t?3?0
?
f(4)?t
2
?8t?1
5?0
?
?
?
??4t
2
?4(t
2
?1
)?4?0
?
?
?2??
b
?t?4
?
2a
?
解得 -1<t<3.
说明 讨论二次方程实根的分布,常有以下一些结论
(设方程f(x)=ax
2
+bx+c=0(a>0)
两实根为x
1
,x
2
):
(1)若m<x
1
<n<p<x
2
<
q,则方程系数应同时满足下列不等式组:
?
f(m)?am
2
bm?c?0
?
2
?
f(n)
?an?bn?c?0
?
2
?
f(p)?ap?bp?c?0?
f(q)?aq
2
?bq?c?0
?
特别地,当方程f(x)
=0有一正根,一负根,即x
1
<0,x
2
>0,则应用f(0)=c<0;
若方
程f(x)=0有一个根大于k,一个根小于k,则应有f(k)<0.
(2)若二次方程f(x)=0的两面根在区间(m,n)内,则应同时满足
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?
?
??0
?
?
m??
b
?n
?
2a
?
特别地,若f(x)=0两根都大于k时,则有
?
?
f(k)?0,
?
?
??0,
?
b
?
??k.
?
2a
三、
四种命题与充要条件
1.所谓命题,是指可以判断其真假的陈述语句,一个陈述语句所叙述的事情符合
事实,
我们称它为真命题,反之,一个陈述语句所叙述的事情违反事实,我们称它为假命题.
2.命题有四种形式,即原命题、逆命题、否命题、逆否命题,其中原命题与逆否命题
是等价的,逆命题
与否命题是等价的。
3.充分条件和必要条件是用来区分命题的条件A与结论B之间的关系的数学概念
,若
A
?
B,则称A是B成立的充分条件;若B
?
A,则称A是B成
立的必要条件;若A
?
B
成立的充要条件.
4.由于互为逆否的两个命题是
等价的,因此A
?
B与┐B
?
┐A等价,可由┐B
?
┐A得A是B成立的充分条件;又B
?
A与┐A
?
┐B等价,可由┐A?
┐B得出A是B的成
立的必要条件.
5.充要条件的概念对证明问题的方法—
—综合法、分析法起着指导性作用,综合法的
特点是由因导果,即由命题的条件出发,寻找命题结论成立
的充分条件;分析法的特点是执
果索因,即由命题的结论出发,寻找结论成立的充分条件.
6
.判断充要条件问题时,要按以下步骤进行:(1)明确命题中的条件A是什么,结论
B是什么;(2)
由条件 A推导结论B;若A
?
B,则A不是B成立的充分条件,若A
?
B,
A是B成立的充分条件;(3)由结论B推条件A,若B
?
A,则A是B成立的必要条
件,
若B
?
A,则A不是B成立的必要条件.
7.“有且仅有”,“当且仅当”,“须且只须”等用语都是指既有充分性又有必要性的.
【例1】
┐A是命题A的否命题,如果B是┐A的必要非充分条件,那么┐B是A的______
条件.
分析 此题就是要判断┐B
?
A和A
?
┐B是否成立,根据必要条件
概念及互为逆否的
两个命题等价来处理。
解 由B的┐A的必要条件,则有┐A
?
B,且B
?
┐A,由互为逆否等价,得┐B
?
A
且A
?
┐B,因此┐B是A的充分而非必要条件.
说明
解本题须掌握命题的四种形式及其关系,即原命题与逆否命题同真同假.逆命题与
否命题同真同假. <
br>【例2】若下列三个方程:x
2
+4ax―4a+3=0,x
2
+(a
―1)x+a
2
=0,x
2
+2ax―2a=0中至少有
一个方程有
实根,试求实数a的取值范围.
分析
若直接求,须分三大类七种情况,其过程不仅繁杂,而且极易出错,故不宜采用.
考虑到“三个方程中至少有一个方程有实根”的否命题为“三个方程都无实根”.
设原命题的否命题的范围为A,则原命题所求a的范围即为C
R
A.
解
若三个方程都无实根
△
1
=(4a)
2
―4(―4a+3)<0
―
31
<a<
22
1
?
△
2
=(a―1)
2
―4a
2
<0
?
a<-1或a>
3
△
3
=(2a)
2
―4(―2a)<0 -2<a<1
?
A=(―,―1)
3
??
?
C
R
A=
?
??,?
?
∪
?
?1,??
?
. 2
??
∴三个方程中至少一个方程有实根的a的范围为
?
??,?
?
∪
?
?1,??
?
.
2
3
2
?
?
3
?
?
说明 由于“
充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化,它们之间存在着密切的联系,
所以当一个命题正面入手
困难的时候,可以考虑其反面,利用等价转化的思想促使命题转化.
巩固练习
一、选择题:(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1. 下列命题正确的是(
)
A.
211?
{实数集} B.
211?x|x?35
C.
211?x|x?35
D.
{211}?x|x?35
2.在①1
?
{0,1,2}
;②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}
?
{0,1,2};
??
????
④、
?
{0}上述四个关系中,错误的个数是( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3.已知
全集
U?{x|?2?x?1}
,
A?{x|?2?x?1}
,
B?{x|x
2
?x?2?0}
,
C?{x|?2?x?1}
,则( )
A、
C?A
B、
C?C
U
A
C、
C
U
B?C
D、
C
U
A?B
4.已知集合
M?{x|x?1}
,
P?{x|x?t}
,若
M?P?
?
,则实数
t
应该满足的条件是
( )
A、
t?1
B、
t?1
C、
t?1
D、
t?1
5.下列说法正确的是( )
A、任一集合必有真子集;
B、任一集合必有两个子集;
C、若
A?B?
?
,则A、B之中至少有一个为空集;
D、若
A?B?B
,则
B?A
。
2
6.已知集合
P=
y|y??x?2,x?R
,Q=
?
y|y??x?2,x?R
?
,那么
P
??
Q
等于
A、 (0,2),(1,1)
B、 {(0,2 ),(1,1)}
C、 {1,2}
D、
?
y|y?2
?
11
和
|x|?
同时成立,则
x
的取值范围是(
)
23
1111
A、
??x??
B、
?x?
2332
111111
C、
?x?
或
??x??
D
??x?
322332
7.若
|x|?
8.不等式3?|?2x?1|?0
的解集是( )
A、{
x
|
x
<-2或
x
>1}
B、{
x
|-2<
x
<1}
C、{
x
|
?1?x?2
}
2
D、R
9.方程
mx?2x?1?0
至少有一个负根,则( )
A、
0?m?1
或
m?0
B、
0?m?1
C、
m?1
D、
m?1
2
10.“
x?3x?2?0
”是“
x?1
或
x?4
”的( )
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
22
11.当
a?0
时,关于
x
的不等式
x?4ax?5a?0
的解集是( )
A、{
x|
x?5a
或
x??a
}
B、{
x|
x?5a
或
x??a
}
C、{
x|
?a?x?5a
}
D、{
x|
5a?x??a
}
12.不等式
ax?ax?4?0
的解集为R,则
a
的取值范围是(
)
A、
?16?a?0
B、
a??16
C、
?16?a?0
D、
a?0
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
1
3.已知集合A={
a
,
b
,2},B={2,
b
,2a
}且,
A
=
B
,则
a
=
14.已知全集U = R,不等式
2
2
x?4
?0
的解集
A,则
C
U
A?
3?x
15.不等式
x(x?4)(3?x)?0
的解集是
16.有下列四个命题:
①、命题“若
xy?1
,则
x
,
y
互为倒数”的逆命题;
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题;
③、命题“若
m
≤1,则
x?2x?m?0
有实根”的逆否命题;
④、命题“若
A
∩
B
=
B
,则
A
?
B
”的逆否命题。
其中是真命题的是
(填上你认为正确命题的序号)。
2
三、解答题:(本大题共4小题, 36分)
2
17.若
A?{x|x?5x?6?0},B?{x|ax?6?0}
,且
A?B?A
,求由实数a组成的
集合。
2
b
、18.用反证法证明:
若
a
、且
x?a?2b?1
,
y?b?2c?1
,
z?c?2a?1
,
c
?R
,
22
则
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0。
19.解下列关于
x
的不等式:
①、
(1?x)(1?|x|)?0
②、
(x?a)(ax?3a)?0
20. 已知集合
P?{x|2?1?x?3}
,
M?
{x|x
2
?(a?1)x?a?0}
,
N?{y|y?x
2?2x
,
x?P}
,且
M?N?N
,求实数
a
的取值范围。
21.我校高中部先后举行了数理化三科竞赛,学生中至少参加一科竞赛的有:数学807人,
物理7
39人,化学437人,至少参加其中两科的有:数学与物理593人,数学与化学371
人,物理与化
学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数。
参考答案
一、选择题:
题号
答案
二、填空题:
13、0或
1
D
2
B
3
D
4
C
5
D
6
D
7
C
8
B
9
D
10
B
11
B
12
C
1
14、
{x|x??4
或
x?3}
4
15、
{x|x??4
或
0?x?3}
16、①、②、③
三、解答题:
17.
解:
当a=0时,
B?{x|ax?6?0}?
?
当a
?
0时,
B?{x|ax?6?0}?
??
∵
A?{x|x
2
?5x?6?0}?{2,3}
,且
A?B?A<
br>,
∴B
?
A
∴
?
6
?
?
a
?
66
=2或=3
aa
∴a=3或a=3
综上述实数a组成的集合为{0,2,3}。
18.
证明:
假设
x
、
y
、
z
均小于0,即:
x?a?2b?1?0
----① ;
y?b
2
?2c?1?0
----② ;
z?c?2a?1?0
----③;
①+②+③得
x?y?z?(a?1)?(b?1)?(c?1)?0
,
这与
(a?1)?(b?1)?(c?1)?0
矛盾,
则假设不成立,
∴
x
、
y
、
z
中至少有一个不小于0。
19.解下列关于
x
的不等式:
①、
(1?x)(1?|x|)?0
。
222
222
2
2
解:
{x|x?1
且
x??1}
②、
(x?a)(ax?3a)?0
解:原不等式化为:
a(x?a)(x?3)?0
①、当
a?0
时, 其解集为:
R
②、当
a?0
时, 其解集为:
{x|?a?x?3}
③、当
?3?a?0
时,
其解集为:
{x|x??a
或
x?3}
④、当
a??3
时,
其解集为:
{x|x?3
或
x??a}
⑤、当
a??3
时, 其解集为:
R
20.
解:依题意,
集合
P?{x|2?1?x?3}
,
M?
{x|x
2
?(a?1)x?a?0}
,
N?{y|y?x
2
?2x
,
x?P}?{y|1?y?3}
,
由
M?N?N
知
M?N
,
∴实数
a
的取值范围J
1?a?3
。
21.由公式或如图填数字计算
Card(A
?
B
?
C)= Card(A)+ Card(B)+
Card(C)- Card(A
?
B) - Card(A
?
C) -
Card(C
?
B)+
Card(A
?
B
?
C)=965
数学
380
213
54
158
物理
化学
第二章 函数专题讲解
一 复合函数
尽管复合函数在课本上只作了简单的介绍,但是复合函数的概念及性质在历年的高考试
题中多有涉及,因此有必要对复合函数进行研究.
所谓的复合
函数,就是由几个基本函数复合而成的函数,例如y=log
a
(3x
2
+5
x-2)可看作
由函数u=3x
2
+5x-2与对数函数y=log
a
u复合而成的函数,其中,x是自变量,y是函数,
而u为中间变量.
一般地,如果有两个
函数,y=f(u),u=
?
(x),前者的自变量为u,函数y,后者自变量
为x,
函数为u,如果将u=
?
(x)代入y=f(u)中就得到y=f[
?
(x)
],这个以x为自变量,y为
函数的函数称为复合函数,其中u为中间变量.
2
x
2
?1
42
【例1】
设g(x)=(x≠0),且f[g(x)]=2x-3x+1,求f()的值.
2
3
x
x
2
?1x
2
?1
解法1
先求出f(x),由f[g(x)]=2x-3x+1,g(x)=,有f()=2x
4
-3x
2
+1.
22
xx
22
1
x
2
?1x
2
?1
2
24
用换元法,令=t,则x=,于是f()=2x
-3x+1变成f(t)=-
1?t
x
2
x
2
(1?t)<
br>2
3
+1.
1?t
所以f(
2
)=
3
22
-+1=10
2
2
2
1?
(1
?)
3
3
2
x
2
?1
2
解法2
当g(x)= 时,=,x
2
=3,
2
33
x
于是f(<
br>2
)=2·3
2
-3·3+1=10.
3
22
,构造出f(),进而求出其值.
33
说明 解法1中应
用了换元法.一般来说,在复合函数中通过换元可使函数表达式化简
为需要的形式。解法2可看人是构造
法. 通过取g(x)=
【例2】已知f(3)=3x-2,求f
1
[f(x)].
—
解 由已知y=3x-2,解得x=
1
y?2x?2
——
,于是f
1
(x)=
,从而f
33
[f(x)]=
f(x)?2(3x?2)?2
==x.
33
—
说明
对于形如f
1
[f(x)]的函数是先求逆(即先求反函数)然后再复合.
【例3】讨论函数y=log
a
(3x
2
+5x-2)的单调性.
1
或x<―2,则函数定义域(―∞,-
3
15495
2)∪(,+
∞),设u=3x
2
+5x―2=3(x+)
2
-,则u在(―∞,―)上是
减函数,
312
66
解
先求函数定义域,由3x
2
+5x-2>0,得x>
在(―
5
,+∞)上是增函数.
6
1
,
3
当a>1时,y是u的增函数,故y=log
a
(3x
2
+5x―2)在(
―∞,―2)上是减函数,在(
+∞)上是增函数,(为什么不为(―∞,―
5
)等)
6
当0<a<1时,y是u的减函数,故y=log
a
(3x
2+5x-2)在(―∞,―2)上是增函数,
在(
1
,+∞)上是减函数.
3
说明 研究复合函数常引进中间变量,例如讨论复合函数单调性时,常考查自变量x
增大时,中间变量u怎样变化,进一步考查中间变量u增大(或减小)时,函数y怎样变化.
“同增异
减”是其中规律.请你再体会其真谛.
【例4】
求函数y=log
1
(x
2
-6x+17)的值域.
2
解
此函数是对数函数y=log
1
u与二次函数u=x
2
-6x+17=(x-
3)
2
+8的复合.很明显.u≥
2
8,不等式两边取以
为
?
??,?3
?
.
1
为底的对数得log
1
≤l
og
1
8=-3,故函数y=log
1
(x
2
-6x+17
)的值域
2
222
【例5】 已知函数f(x)=x+1,
?
(x)
=
求函数
?
g
?1
[f(x)]
的定义域.
x
,g(x)=2
x
,
??
解
应先求出函数
?
g
?1
[f(x)]
的解析式,然后再求其定义域.
首先求g
1
(x).
由g(x)=2
x
得g
1
(x)=log
2
x,
——
??
于是g
1
[f(x)]=log
2
[f(x)]=
log
2
(x+1),又
?
(x)=
—
x
,
?1
?1
所以
?
g[f(x)]
=
g[f(x)]
=
log
2
(x?1)
。
??
函数自变量的取值必须满足
?
?
x?1?0
?
x??1 即
?
得x≥0
?
log
2
(x?1)?0
?
x?1?1
故函数
?
g[f(x)]
的定义域为x≥0.
【例6】 已知函数f(x)=x
2
-x+k满足log
2
f(a)
=2,f(log
2
a)=k(a>1,且a≠1).
(1)求f(log
2
x)的最小值及相应的x值;
(2)求x的取值范围
,使f(log
2
x)>f(1),且log
2
f(x)=2<f(1)
同时成立.
解
(1)先求出函数f(x)的解析式。由log
2
f(a)=2得f(a)=
4,于是f(a)=a
2
-a+k=4
由f(log
2
a)=k,得
?
?1
?
(log
2
a)
2
-(log
2
a)+k=k <
br>由式②得log
2
a=0或log
2
a=1,故a=2,a=1(舍去
).将a=2代入式①中,得
4―2+k=
4,k=2,于是f(x)=x
2
―x+2.
f(log
2
x)=
(log
2
x)
2
-log
2
x+2=(log
2
x-
小值为1
1
2
31
)+1. 当log
2<
br>x=,即x=
2
时,f(log
2
x)的最
242
3
.
4
2
?
f(log
2
x)?f(1)
?
?
(log
2
x)?(log
2
x)?2?2
(
2)由
?
有
?
2
logf(x)?f(1)
?<
br>?
2
?
log
2
(x?x?2)?2
即
?<
br>?
log
2
x?1或log
2
x?0
2
?<
br>0?x?x?2?4
从而
?
?
x?2或0?x?1
解得0<x<1.
?
?1?x?2
【例7】
已知f(x)=x
2
+c,且f[f(x)]=f(x
2
+1).
(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x)的解析式;
(2)设
?
(
x)=g(x)-λf(x),求实数λ,使
?
(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1
,
0)上单调递增.
解(1)g(x)=f[f(x)]=[f(x)]
2
+c=(x
2
+c)
2
+c=x
45
+2cx
2<
br>+c
2
+c.
又f(x
2
+1)=x
4
+
2x
2
+c+1,由g(x)=f(x
2
+1),
有x
4
+2cx
2
+c
2
+c=x
4
+2x
2<
br>+c+1
由待定系数法,得c=1,故g(x)=x
4
+2x
2
+2; (2)
?
(x)=g(x)-λf(x)=x
4
+(2-λ)x
2
+2-λ
2?
?
2
(2?
?
)
2
=(x+)+2-λ-.
2
4
2
2?
?
=―1,即λ=
4时,
?
(x)=(x
2
―1)―3.
2
x∈(―1,0
)时,x增大,x
2
―1减小,
?
(x)=(x
2
―1)<
br>2
―3递增;x∈(-∞,―1)时,
当
?
(x)=(x
2<
br>―1)
2
―3递减.
x
2
【例8】
已知函数f(x―3)=log
a
(a>0,且a≠1)
2
6?x
2
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)≥log
a
2x,求x的范围.
(3)求f
1
(x)<0,求x的取值范围.
—
x
2解(1)先求出f(x)的解析式,由已知自变量x需满足>0,即0<x
2
<6,换元,
6?x
2
令x
2
-3=u,则f(u)=log
a
<3=.
u?33?x
( -3<u<3=,将u改写在x,则f(x)=l
og
a
(-3<x
3?u3?x
于是f(-x)=log
a
3?x3?x3?x
=log
a
=
-log
a
= -f(x),所以f(x)为奇函数.
3?x3?x3?x
3?x
(2)若f(x)≥log
a
2x,则log
a
≥loga
2x,(0<x<3=.
3?x
?
3?x
?2x
?
2x
2
?5x?3?0
3
?
当a>1时,
?
3?x
即
?
解得≤x<3或0<x<1;
2
?
0?x
?3
?
0?x?3
?
?
3?x
?2x
?
2
x
2
?5x?3?0
3
?
当0<a<1时,
?
3?
x
即
?
解得1≤x≤.
2
?
0?x?3
?
?
0?x?3
3(a
y
?1)
3?x
(3)由y=f(x
)=log
a
(-3<x<3=解得x,得x (-3<x<3=
y
a?
1
3?x
3(a
x
?1)
—
于是f(x)=
(-3<f
1
(x)<3).
x
a?1
—
1
3(a
x
?1)
若f(x)<0,则-3<(<0,
x
a?1
—
1
3(a
x
?1)
即
>-3 从而
x
a?1
3(a
x
?1)
<0 x
a?1
x
?
?
a?0
即0<a
x
<
1.
?
x
?
?
a?1
所以,当a>1时,x<0,当0<
a<1时,x>0.
二 抽象函数
函数部分有一类比较抽象的习题
,它给定函数f(x)的某些性质,要证明它的其他性质,
或利用这些性质解一些不等式或者方程,学生
很感棘手.其实这些题目的设计,一般都有一
个基本函数做“模特”,如能正确分析估猜这个模特函数,
联想这个函数的其他性质来思考
解题方法,那么这类难题就可转化为简易问题为处理。
【例1
】设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(
x
)=f(x)-f(y).
y
(1)求证f(1)=0;(2)求不等式f(x+1)=f(
(3)求证f(x
n
)=nf(x).
我们先看该题的解题过程.
1
)≤f(7)的解集;
x?5
(1)证
令x=y=1,则f()=f(1)-f(1)=0,从而f(1)=0.
1
1
(2)解 ∵f(
x
)=f(x)-f(y),
y
1
)―f(7)等价于f[(x+1)(x―5)]≤f(7).
x?5
∴不等式f(x+1)―f(
又∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数.
∴ (x+1)(x―5)≤7,
x+1>0,
x―5>0.
解之,得x∈
x5?x?6
.
??
(3)证
∵f(xy)=f(
x
1
)=f(x)-f()
1
y
y
=f(x)-f(1)+f(y)=f(x)+f(y)
∴f(x
n
)=f(x·x·x…x)=nf(x).
n个
从以上例题中的条件:f(x)的定义在(0,+∞)上的增函数,且f(
x)=f(x)-f(y);
y
欲证结论f(1)=0,f(x
n
)=nf
(x)可猜测f(x)的模特函数是对对函数y=log
a
x(a>1).至少可以说,
对数函数y=log
a
x(a>1)具有这些基本性质,函数f(x)是y=log
a
x(a>1)是这些性质存在
的充分条件,而回忆对数函数的性质log
a
x
n
=nlog
a
x是作为log
a
(xy)=loga
x+log
a
y这一性质为
推论而得出的,因此这题的难点,证f(x
n
)=nf(x)(n∈N)可由证f(xy)=f(x)+f(y)起步,从而化解
了这题的难点.
【例2】定义在实数集R上的函数f(x),对任意x,y∈R,都有f(x+y)+
f(x-y)=2f(x)·f(y),
且f(0)≠0.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证y=f(x)是偶函数;
*(3)若顾虑在正常数c,使f(
c
)=0
2
①求证:对任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立.
②试问函数f(x)是否为周期函数?如果是,指出它的一个周期;如果不是,说明理由.
分析 该题的难点在(3).但从题给条件x,y∈R总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)
·f(y)看似
像三角函数的和化为积。不规则由同种函数之和化成同种函数之积。故可猜f(x)=c
osx.而
f(0)=1及f(x)为偶函数又坚信了f
(x)的模特是cosx,那么f(
c
)=0中c=π,cosx的周期2π
2
正是欲证题中常数2c,既然探出周期2c,证题的思路就豁然了.
证 (1)令x=y=0,(旨
在得f(0)代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),得2f(0)=2f
2
(0),∵f(0)
≠0,∴f(0)=1.
(2)令x=0,(旨在得f(-x))得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y
f(-y)=f(y) 它是偶函数.
ccc
)=0.(旨在得f(x
0<
br>+c))令x=x
0
+,y=
222
c
则
f(x
0
+c)+f(x
0
+). (为什么?)
2
*(3)① ∵f(
解
②令x=x
0
+c,y=c(佛旨在得f(x
0
+2c))
得 f
(x
0
+2c)+f(x
0
)=2f(x
0
+c)f(c)
=-2f(x
0
)·f(c)
∴f(x
0
+2c)=-f(x
0
)[2f(c)+1]
又令x=y=
ccc
得f(c)+f(0)=2f()f()=0.
222
∴f(c)=-f(0)=-1.
这样(*)式变为f(x
0
+2c)=-f(x
0
)(-1)=f(x
0
).
因此f(x)是周期函数,2c是它的一个周期.
从以上两个例子可以看出,利用“模特函数
”解起,可以先从题设条件及欲证结论多方
面猜想函数f(x)的模特,以此模特函数为桥梁,联想这模
特函数推证出欲证性质的过程,找
出证明抽象函数f(x)其他性质的方法,这种解题方法是在不允许用
具体函数代替的基础上将
具体函数高度抽象化后的结晶,因此解这类题要求学生的思维性灵活而深刻,要
求学生善于
透过表象和外部联系,揭露事物的本质和规律,深入地思考问题,系统地、一般地理解问题、
预见事物发展的过程,因此“模特函数”解题法是培养学生思维灵活性和深刻性的良好教材.
说明 三角函数及周期函数的概念将在高一下册中学习,本例第(3)问暂不作要求.
【例
3】函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,对任意m、n∈R,有
f(m+n)=
f(m+n)=f(m)·f(n),当m≠n时,f(m)≠f(n).
(1)证明f(x)在R上是增函数.
(2)若f(2)=9,解方程[f(x)]
2
+
1
f(x+3)-1=f(1).
9
分析 根据题给条件可猜
测f(x)的模特函数是y=a
x
(a>1),从而f(0)=1,又由f(2)=9,
可见a=3,即f(x)之一为3
x
,欲解(2)的方程时,需求出f(3)及f(1),从
而易得如下解法.
解
(1)为证f(x)在R上是增函数,先设m=n=0代入f(m+n)=f(m)·f(n),
得f(0)=f
2
(0).
∴f(0)=0或f(0)=1.
但由题意知f(0)≠0 ,否则f(x+0)=f(x)·f(0)=0,f(x)≡0.
其次f(x)=f(
xx
2
x
+)=f()>0,∴f(x)>0.
222
设n<m,则f(m)=f(n-n+m)=f(n)·f(m-n),
∵m-n>0,∴f(m-n)>1.
∴
f(m)
=f(m-n)>1,
f(n)
f(m)>f(n),故为增函数.
(2)∵ f(2)=9.
∴f(1+14)=f(1)f(1)=9.
f(1)=3.
f(3)+f(2)f(1)=9×3=27.
原方程变[f(x)]
2
+
1
·f(3)f(x)-1=3,f
2
(x)+3f(x)-4=0,
9
f(x)=1或f(x)=-4(舍去)由f(x)=1,得解为x=0.
【例4
】设函数f(x)是奇函数,对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-2.且
当x
>0时,f(x)<0.求f(x)在[-3,]上的最大值与最小值.
分析 模特函数
是f(x)=-2x,欲求函数f(x)在[-3,3]上的最值,只要证明函数f(x)在R
上递减即
可.
解 设x
1
>x
2
>0,∵f(x
1
)=
f(x
2
+x
1
-x
2
)=f(x
2
)+
f(x
1
-x
2
),
∴f(x
1
)-f(x2
)=f(x
1
-x
2
),
∵x
1
-x
2
>0,∴f(x
1
-x
2
)<0.
因而f
(x
1
)<f(x
2
),即是说f(x)在(0,+∞)上为减函数.
由于R上的奇函数必过原点,又根据奇函数的对称性,f(x)在(-∞,0)上也是减函
数.
∴ f(x)在R上减函数,当然在[-3,3]上为减函数.
而f(3)=f(1)+f(1)+f(1)=-6,
f(-3)=6.
故最小值为-6,最大值为6。
三 分类讨论在研究函数问题中的运用 分类讨论是中学数学中应用十分广泛的数学思想方法,其实质是一种选择划分的思想。
从思维策略上
看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,分解时要保证不重、
不漏,通过对各个部分的解
决而使问题得到解决的一种求解思路.
在运用分类讨论时,应该认真体会为什么要讨论,讨论什么和怎
么讨论这三个基本问题.
在函数问题研究中,分类讨论思想的运用主要体现在以下两个方面:
(1)表示函数关系的解析式中含有参数时,对这种函数性质的研究;
(2)对含字母系数的指数方程或对数方程求解时.
【例1】求函数f(x)=
lo
g
a
x
2
?1
x?x
(a>0,a≠1)的定义域.
分析 在确定函数f(x)的定义域时,必须涉及x的不
等式log
a
x
2
≥1的求解,也要涉及函
数g(x)=loga
x的增减性.讨论g(x)的增减性,应把a的取值范围分两部分:a>1;0<a<1.
解 要使函数有意义,x需满足
22
??
?
log
ax?1?0
?
log
a
x?1
?
??
??
?
x?x?0
?
x?x
?
x?0
?
2
当a>1时,得
?
x?0
即x≤-
a
.
?
x?0
?
?
x?0
?
2
当0<a<1时,得<
br>?
x?0
, 即-
a
≤x<0.
?
x?0
?
∴
f(x)的定义域当0<a<1时,为
?a,0
;
当a>1时,为
??,?a
说明 这里确定函数g(x)=log
a
x的增减性是分类讨论的原因,应讨论a,把a的取值范
围分成两类(0,1),(1,+
∞).
【例2】 已知函数f(x)=x
2
―2ax+3a
2
―1
(a>0,0≤x≤1),
(1)求函数f(x)的最大值或最小值;
(2)若f(x)的
最小值是-
?
?
?
?
7
,求其最大值.
8
分析 若由f(x)=(x-a)
2
+2a
2
-1就认为
f(x)的最小值是2a
2
-1,最大值不存在,是不正
确的,因为这里的函数的定义
域是[0,1],而不是(-∞,+∞),而且这里的二次函数f(x)
图象的对称轴(x=a)的位置
是可变的. 因此,应该讨论直线x=a相对于区间[0,1]的可能变化.
解 (1)f(x)=x
2
-2ax+3a
2
-1=(x-a)
2
+2a
2
+1,
∵a>0,当a≥1时,由于f(x)在[0,1]上是减函数,故f(x)的最
大值为f(0)=3a
2
-1,f(x)
的最小值为f(1)=3a
2
-2a;
当0<a<1时,f(x)的最小值为f(a)=2a
2
-1,f(x)
的最大值为f(0),f(1)中的较大者.
下面讨论f(0 ),f(1)的大小关系:
若f(1)>f(0),则3a
2
-2a>3a
2
-1,即a<
∴
当0<a<
当
1
,
2
1
时,f(x)的最大值为f(1)=3a
2
-3a;
2
1
≤a<1,f(x)的最大值为f(0)=3a
2
-1. 2
?
a?1
?
0?a?1
??
(2)由
?2
7
或
?
2
7
3a?2a??2a?1??
?
8
?
8
??
1
.
4
111115
由于0<<,
故此时f(x)的最大值为f()=3()
2
―2()=―
4244416
解得a=
说明 (1)对中对a作了二次划分,其层次是
?
a?0
?
1
?
?
0?a?
?
a>0
??
2
0?a?1
?
?
?
1
?a?1
?
?
?
2
?
前者以1为标准,后者以( )为
标准,这种分类讨论的方法叫二级分类,每一级都要求
不重、不漏,且两级还不能混淆.当然,若事先作
点分析也事以一次分三类作讨论.
0<a<
11
,≤a<1,a≥1.
22
【例3】 已知f(x)是函数y=0.3
2x
+3的反函数,且f(a
),f(2a)都有意义,试比较f(2a)与
2f(a)的大小,并说明理由.
分析 不
难得到f(x)=log
0.09
(x-3),故f(2a)=log
0.09
(2a-3),2f(a)=2log
0.09
(a-3). 比较(2a
-3)与
(a-3)
2
的大小,必须对a作出分类讨论,而a的取值范围由f(a),f(2a)都有意
义决
定.
解 由已知可得 f(x)=log
0.09
(x-3)
(x>3)
又由f(a),f(2a)有意义知
?
a?3?0
?
a>3,
?
2a?3?0
??
(a?3)
2
?2a?3
?
(a?2)(a?6)?0
而
?
?
?
?
a≥6,
?
a?3
?a?0
?
(a?3)
2
?2a?3
?
(a?2)(a?
6)?0
?
?
?
?
3<a<6,
a?3a?3
?
?
∴当3<a<6时,0<(a-3)
2
<2a-3;
当a≥6时,(a-3)
2
≥2a-3>0.
由于函数y=log
0.09
x在(0,+∞)上是减函数,
∴当3<a<
6时,log
0.09
(a-3)
2
>log
0.09
(2
a-3),即2log
0.09
(a-3)>log
0.09
(2a-3),
即2f(a)
>f(2a);当a≥6时,log
0.09
(a-3)
2≥log
0.09
(2a-3),即2f(a)≤f(2a).
说明 本题中f
(a),f(2a)有意义的条件是多余的,写出来是为了强化对“怎么对a进行
讨论”的认识.
巩固练习
一、选择题(
本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题四个选项中,选出一个正
确答案)
1、
已知集合A={自然数的平方},映射f的对应法则是“除以3的余数”,则A中元素
的象的集合是 (
)
A、{0,1,2} B、{1,2,3} C、{0,1}
D、{1,2}
2、 关于集合A到集合B的映射,下面的说法错误是 ( )
A、 A中的每一个元素在B中都有象
B、 A中的两个不同元素在B中的象必不同
C、 B中的元素在A中可以没有原象
D、 B中的某元素在A中的原象可能不止一个
3、给出4个命题:(1)函数是其定义域到值域的映射(2)
f(x)?x?3?2
?x
是
x
2
函数(3)函数
y?2x(x?N)
的图象是一
条直线(4)
f(x)?
与
f(x)?x
是
x
同一个函数。
其中正确的有 ( )
A
、1个
B
、 2个
C
、3个
D
、4个
4、下列图形中,不可能是函数
y?f(x)
的图象的是 ( )
A B C
D
5、 设函数
f(x)
是(
??,??
)上的减函
数,又若
a?R
,则 ( )
2
A、f(a)?f(2a)
B、f(a)?f(a)
22
C、f(a?a)?f(a)
D、f(a?1)?f(a)
6、设(
a,b
),(
c,d
)都是函数
f(x)
的单调区间,且
x
1
?
(a,b),x
2
?(c,d),x
1
?x
2
,则f(x<
br>1
)与f(x
2
)
的大小关系是 ( )
A、f(x
1
)?f(x
2
)
B、f(x
1
)?f(x
2
)
C、f(x
1
)?f(x
2
)
D
、不能确定
7、
函数
y?x
2
(x?0)
的反函数是 ( )
A、y?
C、y?
x(x?0)
B、y??x(x?0)
?x
D、y???x(x?0)
?1
8、
函数
f(x)?ax?b
与它的反函数
f(x)
是同一个函数,则有
( )
A、a?1,b?0
B、a??1,b?0
C、a??1,b?0
D、a?1,b?0或a??1,b?R
9、 若
y?f(x
)
有反函数,则在同一直角坐标系中,
y?f(x)
与
x?f
象具有
性质( )
A
、关于直线
y?x
对称
B
、关于
y
轴对称
C
、表示同一曲线
D
、关于原点对称
10、 若函数
f(x)?x
2?2(a?1)x?2
在区间(
??,4
)上是减函数,则实数
a
的取
值范围是( )
A、a??3
B、a??3
C、a?5
D、a?3
11、 函数
f(x)?2x?mx?3
,
当
x?[?2,??)
时是增函数,当
x?(??,?2]
时是
减函
数,则
f(1)
等于( )
A、
-3
B、
13
C、
7
D
、由
m
而定的常数
2
?1
(y)
的图
x?11
,则f
?1
()
的解析式是 ( )
x?1x
1?xx?1
A、
B、
1?xx?1
12、
已知
f(x)
x
2
?1x
2
?1
C、
2
D、
2
x?1x?1
二、
填空题(本大题4小题,每小题4分,共16分)
?
0,x?0
?
13、已
知函数
f(x)?
?
?
,x?0
则
f[f(?3)]?__
___
。
?
x?1,x?0
?
32
14、设
f(
x),g(x)
都是定义在
R
上的函数,并且满足
f(x)?2g(?x)?
x?x
,则
f(?2)?2g(2)?______
。
15、若函数
y??
b
在(0,
??
)上是减函数,则
b
的取值范围是
_____
__
。
x
?1
16、已知函数
y?f(x)
有反函数y?f
三、
(x)
,则
f
?1
[f(m)]?_____
。
解答题:(本大题共6小题;共74分)
17、已知
f(x?1)?x
2<
br>?4x
,解方程
f(x?1)?0
(12分)
18、已知函数
y?f(x)
的定义域是
0?x?1
。(13分)
求:①
f(x
2
)
②
f(x?a)
(
a?0
) ③
f(x?a)?f(x?a)
(a?0)
的
定义域
2
?
?
3x?2x
19、已知函数
f(x)?
?
,求使
f(x)?2
的
x
值的集合。
(12
2
?
?
?2x?3
分)
20、已知函数
y?
2
21、已知
f(x)
是定义在[-1,1]上的增函数,且
f(x?1)?f(x?
1)
,求
x
的取值范
11
x?a和y?bx?
互为反函数,
求
a,b
的值。 (12分)
23
围。(12分)
22、已知
A?[1,b](b?1)
,对于
f(x)?
的取值范围。(13
分)
1
(x?1)
2
+1,若
x?A
时,
f(x
)?A
,试求
b
2
参考答案:
一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.D 7.B 8.D 9.C
10.A 11.B 12.A
二、填空题 13、
?
?1
14、-4
15、
b?0
16、
m
三、解答题:
17、
x??2
18、①
x?[?1,1]
②
x?[?a,1?a]
③
a?
1
时定义域为
?
;
2
1
0?a?
时定义域为
[a,1?a]
2
19、
{xx??
221?7
或?x?}
223
1
?
a?
?
20、
?
6
?
?
b?2
21、
1?x?2
22、
1?b?3
第三章 数列专题讲解
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
函数作为高中数学最重要的内容,几乎贯穿中
学数学的始终,数列作为特殊的函数,与
函数有着千丝万缕的联系:
数列的通项公式及前n项
和公式都是关于n的函数,当d≠0时,等差数列的通项是关
于n的一次函数,前n项和是关于n的一元
二次函数;等比数列的通项公式及前n项和公式
都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中,把变量之间的制约关系用函数关系反映出来,便形成了函数
思想;把众多待求量通过列方程、解方程来确定,便形成了方程思想,函
数与方程之间的辩
证思维便形成了函数方程思想。
因此,我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
[例](1)首项为正数的等差数列
{a
n
},其中S
3
=S
11
,问此数列前几项和最大?
(2)等差数列{a
n
}中,S
10
=100,S
20=300,求 S
30
。
(3)等差数列的公差不为0,a
3
=15,a
2
,a
5
,a
14
成等比数列,求S
n
。
分析 (1)等差数列前n项和S
n
=
2
d
2
d
n+(a
1
-)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数
22<
br>项为0,故可设S
n
=An+B
n
,运用配方法求最值;
(
2)由S
n
=An+B
n
及S
10
=100,S
2
0
=300,求出A、B后再求S
30
。
(3)求S
n
的
关键,在于求a
n
,由a
n
=dn+(a
1
-d)(d≠0
)知,它是关于n的一次函数,故可
设a
n
=
An+B,由条件列出方程组求A、B。
解(1)设S
n
=
An+B
n
(A≠0),
∵S
3
=S
11
,
∴9A+3B=121A+11B,即14A+B=0。
2
2
B
B
2
2
又∵S
n
=
An+B
n
=A(n+)-,
2A
4A
2
∴当n=-B
=7时,S
n
有最大值S
7
。
2A
另解由
S
3
=S
11
,得a
4
+a
5
+a
6
+a
7
+a
8
+a
9
+a
10
+a
11
=0,
又∵a
4
+ a
11
=
a
5
+ a
10
= a
6
+ a
9
=
a
7
+a
8
,
∴4(a
7
+a
8
)=0,
a
7
+a
8
=0.
由于a
1
>0,据题意知a<
br>7
=-a
8
>0,a
8
<0
因此,前7项和最大。
(2)设S
m
=An+Bn(A≠0)
∵S
10
=100,S
20
=300,
100A+10B=100, A=
2
1
,
2
∴
400A+20B=300.
B=5.
∴S
30
=900×
1
+30×5=600。
2
另解 ∵S
10
=100,S
20
=300,又S
10
,S
20
-S
10
,S
30
-S
2
0
成等差数列。
∴S
30
-S
20
=2(S
20
-S
10
)-S
10
∴S
30
=600
(3)设a
n
=An+B(A≠0)
2
∵a
3
=
15,a
5
=a
2
·a
14
,
∴
3A+B=15
(5A+B)=(2A+B)·(14A+B).
A=2,
∴
a
n
=2n-1
B=-1..
∴S
n
=(2×1-1)+(2×2-1)+…+(2×n-1)
=2×(1+2+…+n)-n
=n(n+1)-n=n.
评析 从函数角度考察
等差数列中的通项公式,前n项和公式,从而把数列问题转化为
函数解决,体现了函数的思想和方法的应
用。
二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一,它如
同函数中的解析式一样,有解析式便可研究其
性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和
等,看来,求数列的通项往往是
解题的突破口、关键点,现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结
如下。
1. 观察法
观察法就是观察数列特征,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与
项数n的内在联
系,从而归纳出数列的通项公式。
【例1】 写出下面各数列的一个通项公式
(1)
2
2
1
4916
,
,,
…; 2
51017,
(2)1,-
,
1111
,?,
…;
371531,
(3)
371531
…;
,,,
481632,
(4)21,203,2005,20007,…;
(5)0.2,0.22,0.222,0.2222,…;
(6)1,0,1,0,…;
(7)1,
31517
,,,,,
…
23456
2222
解(1)注意各项的分子分别是1,2,3,4,…,分母比分子大1,
n
2
∴数列的通项公式为a
n
=
2
.
n
?1
(2)奇数项为正,偶然项为负,各项分母可看作2-1=1,2-1=3,2-1=7,2-1=
15,
2-1=31,…,各项分子均为1。
∴数列的通项公式为a
n
=(
-1)·
2
n
1
2
3
4
5
1
n
2?1
5
(3)各项的分母分别是2,2,2,2,…分子比分母小1。
3
4
2
n?1
?1
∴数列的通项公式为a
n
=
2
n?1
(4)各项可看作21=2×10+1203=2×100+3200
5=2×1000+5
20007=2×10000+7,
∴数列的通项公式为a
n
=2×10+(2n-1).
n
2212
2
×0.9=×(1-),0.22=2×0.11=×0.99=×(1-
99109912121
),0.222=×(1-),0.222=×(1-),…,
100100
00
910009
21
∴数列的通项公式为a
n
=·(1-
n
)。
9
10
(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=
(6)
奇数项皆为1,偶然项为0,
1?(?1)
n?1
∴数列的通项公式为a
n
=
2
(7)各项可看作1=1+0,
3111511171
=+1,=+0,=+1,=+0,=
+1,…,∴数
3355
224466
1
1?(?1)
n
列
的通项公式为a
n
=+.
n
2
评析
用观察法写数列的通项公式,一般考虑如下几点:
(1) 观察数列各项符号变化,考虑通项公式中是否有(-1)或者(-1)
nn?1
部分,如
本例中(2),(6),(7)也有所涉及。
(2) 分解分子分母的因数(式)
,考虑其变化规律与序号的关系,应注意根据某些变化规
律较明显的项,“猜”出某些因式约分后规律表
现得不那么明显的项,同时要特别注
意等差,等比关系,如本例(2),(3),(4)等。
(3)
考虑分子、分母与一些特殊数列如2,3,n,n等的关系,如本例(1),(2),
(3)等。
2. 已知S
n
求a
n
或已知S
n
与a
n
的关系求a
n
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
求a
n
时,要注意运用a
n
和S
n
的关
系,即
S
1
,n=1
a
n
=
S
n
-S
n?1
,n≥2.
【例2】已知下列
各数列{a
n
}的前n项和S
n
的公式,求{a
n
}的通项
公式。
(1) S
n
=10-1;(2)S
n
=10+1;(3)
S
n
=n+1.
解(1)当n=1时,a
1
=S
1
=9,
当n≥2时,a
n
= S
n
-S
n?1
=(10-
1)-(10
且n=1时,a
1
=9也适合上式,∴a
n
=9·10
(2)当n=1时,a
1
=S
1
=10+1=11,
当n≥2时,a
n
= S
n
-S
n?1
=(10+
1)-(10
而n=1时,a
1
=11,不适合上式,
∴a
n
11,n=1
9·10
n?
1
nn?1
n?1
nn?1
nn2
nn2
3
-1)
=10-10
?
nn?1
=9·10
n?1
,
(n
??
).
1
+1)=9·10
n?1
,
,n≥2.
(3)当n=1时,a
1
=S
1
=2,
当n≥2时,a
n
=
S
n
-S
n?1
=(n+1)-[(n-1)+1]=2n-1,
22
而n=1时,a
1
=2不适合上式,
2, n=1,
∴a
n
=
2n-1,n≥2.
评析
已知{a
n
}的前n项和S
n
求a
n
时应注意以下三点:
(1) 应重视分类类讨论的应用,要先分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意由S
n-S
n?1
=
a
n
推导的通项a
n
中的n≥2。
(2)
由S
n
-S
n?1
= a
n
,推得的a
n
且当n=1时,a
1
也适合“a
n
式”,则需统一“合写”。
(3) 由S
n
-S
n?1
= a
n
推得的an
,当n=1时,a
1
不适合“a
n
式”,则数列的通项应分段
表示(“分号”),即a
n
= S
1
,n=1,
如本例中(2),(3)。请观察本例
中(1)与(2)的差异及联系。
S
n
-S
n?1
, n≥2
【例3
】已知数列的前n项之和为S
n
,满足条件lgS
n
+(n-1)lgb=l
g(b
≠1
,(1)求数列{a
n
}的通项公式;(2)若对n
?
?
,n≥4时,恒有a
n?1
>a
n
,试求b的取值范围。
解(1)由已知得lgS
n
= lg(b
∴S
n
= b+<
br>2
n?1
n?1
+n-2),其中b>0,且b
?
+n-2)
-lgb
n?1
=lg(b+
2
n?2
),
n?1
b
n?2
.
b
n?1
2
当n=1
时,a
1
=S
1
=b-1;
n?2n?3
2
-(b+)
n?1
n?2
b
b
(1?b)n?3b?2
=。
b
n?1
当n≥2时,a
n
=
S
n
-S
n?1
= b+
2
b-1,n=1,
∴a
n
=
2
(1?b)n?3b?2
, n≥2
n?1
b
(2)∵a
n?1
>a
n
,
n≥4,
∴
(1?b)(n?1)?3b?2(1?b)n?3b?2
->0.
nn?1
bb
2
∴(n-3)b-2(n-2)b+(n-1)
>0,(以b为“主元”整理)
即(b-1)[(n-3)b-(n-1)] >0,
2
≤1+2=3,
n?3
n?12
∴b<1或b>=1+.
n?3n?3
∵1<1+
∴0<b<1或b>3.
【例4】(1
)在数列{a
n
}中,已知S
n
=3+2a
n
,求a
n
.
2
2S
n
(2)在数列{a
n
}中,已知
a
1
=1, a
n
=( n≥2),求a
n
.
2S
n
?1
解(1)∵a
n
=
S
n
-S
n?1
=(3+2
a
n
)-(3+2a
n?1
),
∴a
n
=2a
n?1
,
得
a
n
=2(n≥2);
a
n?1
∴{a
n
}是a
1
=S
1
=-3且q=2的等比数列,
∴a<
br>n
=a
1
·q
n?1
=-3·2
n?1
(n
≥1).
2
2S
n
(2)∵a
n
=
S
n
-S
n?1
=,
2S
n
?1
∴
11
-=2(n≥2).
S
n
S
n?1
又a
1
=
S
1
=1,
则
1
=1,
S
1
1
1
}是以=1为首项,2为公差的等差数列。
S
n
S
1
∴数列{
∴
1
1
=+(n-1)·2=2n-1,
S
n
S
1
1
.
2n?1
∴S
n
=
当n=1时,a
1
=
S
1
=1,
当n≥2时,a
n
=
S
n
-S
n?1
=
1
12
-=-
2n?
1
2(n?1)?1(2n?1)(2n?3)
而n=1时,a
1
=
S
1
=1不适合上式,
1,n=1,
∴a
n
=
-
3. 累差法
若数列{a
n
}满足a
n?1
-a
n
=f(n)(n
??
),其中{f(n)}是易求和数列,那么可用累差法求
a
n
。(请你复习求等差数列通项公式的部分)
【例5】求数列1,3,7,13,21,…的一个通项公式。
解
∵a
2
-a
1
=3-1=2,
a
3
-a
2
=7-3=4,
a
4
-a
3
=13-7=6,
…
a
n
-a
n?1
=2(n-1)
以上n-1个等式左右两边分别相加,得
a
n
-a
1
=2[1+2+3+…+(n-1)]=(n-1)n,
∴a
n
=n-n+1.
且n=1时,a
1
=1适合上式。
∴a
n
=n-n+1.
评析
我们应验证n=1时a
1
=1适合a
n
=n-n+1式,这是什么原因。
2
2
2
2
, n≥2.
(2n?1)(2n?3)
?
4. 累商法
若数列{a
n
}满足
a
n?1
?
=f(n)(
n
??
),其中数列{f(n)}前n项积可求,则可用累商法求a
n
.
a
n
n?1
a
n
,求通项a
n
。 n
【例6】在数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n?1<
br>=
解
∵a
1
=2,a
n?1
=
∴
n?1
a
n
,
n
a
2
2
=,
a
1
1
a
3
3
=,
a
2
2
……
a
n
n
=。
a
n?1
n?1
以上n-1个等式左右两边分别相乘得
a
n
=n, a
n
=2n.
a
n
且n=1时,a
1
=2也适合上式。
∴a
n
=2n .
5. 构造法
直接求通项a
n
较难求,可以通过整理变形等,从中构造出一个等差或等比数列,从而
将问题转化为较易求
解的问题,进一步求出通项a
n
。
【例7】各项非零的数列{a
n
},首项a
1
=1,且2S
2
n
=2a
n
S
n
-a
n
,n≥2,求数列的通项a
n
。
解 ∵a1
=1,2S
2
n
=2a
n
S
n
-a
n
, n≥2,又a
n
=
S
n
-S
n?1
.
2
∴2S
2
n
=2S
n
-2
S
n
S
n?1
-S
n
+ S
n?1
,
∴
11
-=2 (n≥2)(怎么得到的?)
S
n
Sn?1
11
}是以=1为首项,以2为公差的等差数列,
S
n
S
n
∴数列{
∴
1
1
=1+(n-1)·2=2n-1, S
n
=.
2n?1
S
n
11
?2
-= (n≥2)
2n?12n?3
(2n?1)(2n?3)
∴a
n
= S
n
-S
n?1
=
又a
1
=S
1
=1,不适
合上式,
1,n=1,
∴a
n
=
?2
, n≥2 <
br>(2n?1)(2n?3)
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧(如例7即前面的例
4(2));当然
了,有些题可能有多种解法。
【例8】已知数列{a
n
}中的项满足 a
1
=b
求{a
n
}的通项公式。
a
n?1
=ca
n
+d
解(1)c=0时,a
n
= b,n=1
d,n≥2
(必须首先考虑到)
(1) c=1时,a
n
=b+(n-1)d.
(2) 当c≠0,c≠1时可有如下几种方法求a
n
。
解法1(递推法)
∵a
1
=b及a
n?1
= ca
n
+d,
∴a
n
= ca
n?1
+d=c(ca
n?2
+d
)+d=ca
n?2
+cd+d
=…=c
=c
c?1
n?
1
2
a
1
+c
n?2
n?2
d+c
n?3
n?3
d+…+cd+d
b+( cd+ c+…+c+1)d
= c<
br>c?1
c
n?1
bc
n
?(d?b)c
n?1
?d
b+d=
c?1
c
?1
解法2(构造法)∵a
n?
1
=ca
n
+d,
∴a
n?1
+x=
ca
n
+x+d=c(a
n
+
x?d
),
c
d?xdd?x
,得x=,(令x=有什么目的)
cc?1c
ddddd<
br>∴a
n?1
+=c(a
n
+),即数列{a
n
+}是
首项为a
1
+=b+,公比为c的等
c?1c?1c?1c?1c?1
令x=
比数列,
∴a
n
+
dd
c?1
=(b+)·c,
c?1c?1
bc
n
?(d?b)c
n?1
?d
整
理得a
n
=。
c?1
评析
构造法解决问题希大家尽量掌握,这对于提高我们的数学素质大有帮助。
注意 求数列通项公式的问题
是最为常见的试题,特别要注意已知S
n
求a
n
的问题。
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容,求和问题也是很常见的试题,对于
等差数列,等比数
列的求和主要是运用公式;某些既不是等差数,也不是等比数列的求和问题,一般有以
下四
种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和,立方和公式寻求和的方
法。 <
br>【例1】数列{a
n
}的通项a
n
=n-n,求前n项和S
n
。
解 S
n
=(1-1)+(2-2)+…+(n-n)
=(1+2+…+n)-(1+2+…+n)
222
222
2
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
-
62
n(n?1)(n?1)
=。
3
=
说明
请大家注意应用常见数列的求和公式。
(1)
1+2+3+…+n=
n(n?1)
;
2
2
(2)
1+3+5+…+(2n-1)=n;
(3) 1+2+3+…+n=
2.倒序求和法
3.错项求和法
【例2】求和S
n
=
2222
n(n?1
)(2n?1)
等。
6
1352n?1
+++…+。
24
8
2
n
请你独立完成,相信你会有更深的体会。
答案 S
n
=3-
4.裂拆项法
2n?3
。
2
n
n
【例3】在数列{a
n
}中,a
n
=10+2n-1,求S
n
解
S
n
=(10+2×1-1)+(10+2×2-1)+…(10+2n-1)
=(10+10+…+10)+2×(1+2+…+n)-n
1
2n
12n
10(10
n
?1)
=+n(n+1)-n
10?1
=
10
n2
(10-1)+n.
9
注意
把通项进行合理地分拆与组合,转化为易求和的数列的求和问题。
练习:求数列1,1+2,1+2+3,…的前n项的和。
答案
S
n
=
n(n?1)(n?2)
。
6
【例4】已知数列{
a
n
}:,
1
1
11
1
,,…,…,求它的前n项
和。
1?21?2?3
1
?
2
?
3
?
?
?n
分析 我们先看通项a
n
=
成两项之差如何?
解∵a
n
=
1
1
=,然后想什么办法求S
n
呢?将通项分
裂
1
?
2
?
3
?
?
?n
n(n?
1)
11
1
=2(
?
), (为什么呢?)
nn?1
n(n?1)
∴S
n
=a
1
+a
2+a
3
+…+a
n
1111111
)+(-)+(-)+…+(
?
)]
3
4
nn?1
22
3
12n
=2(1-)=。
(成功了!)
n?1n?1
=2[(1-
评析 如果数列的通项公式可转化为f(
n+1)-f(n)形式,常采用裂项求和的方法,特别地,
当数列的通项公式是关于n的分式形式时,
可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如:
111
1
=(
?
);
n(n
?k)
k
nn?k
1
n?k?n
=
1
(
n
?k
-
n
)等。
k
使用裂项法时要注意正负项相消时,消去了哪些
项,保留了哪些项;你是否注意到由于
数列{a
n
}中每一项a
n
均
裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数
项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项。
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