新编高中数学100讲-高中数学数期末考试
高中数学必修5等差数列精选题目(附答案)
1.等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一
个常数,那么这个数列
就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号
表示为a
n
+
1
-a
n
=d(n∈N
*
,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=
做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:a
n
=a
1
+(n-1)d.
(2)前
n项和公式:S
n
=na
1
+
n?n-1?n?a
1
+a
n
?
d=.
22
a+b
,其中A叫
23.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)a
n
=a
1
+(n-1)d可化为a
n
=dn+a
1
-d的形式.当d≠0时
,a
n
是关于n
的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减
数列.
(2)数列{a
n
}是等差数列,且公差不为0?S
n
=A
n
2
+Bn(A,B为常数).
已知{a
n
}为等差数列,d为公差,S
n
为该数列的前n项和.
(1)通项公式的推广:a
n
=a
m
+(n-m)d(n,m∈N<
br>*
).
(2)在等差数列{a
n
}中,当m+n=p+q时,am
+a
n
=a
p
+a
q
(m,n,p,q∈<
br>N
*
).特别地,若m+n=2p,则2a
p
=a
m
+a
n
(m,n,p∈N
*
).
(3)a
k
,a
k
+
m
,a
k
+
2
m
,…仍是等
差数列,公差为md(k,m∈N
*
).
(4)S
n
,S
2
n
-S
n
,S
3
n
-S
2
n<
br>,…也成等差数列,公差为n
2
d.
(5)若{a
n
},{
b
n
}是等差数列,则{pa
n
+qb
n
}也是等差数列.
?
S
n
?
(6)若{a
n
}是等差数列,则
?
n
?
也成等差数列,其首项与{a
n
}首项相同,公差
??
1
是{a
n
}公差的.
2
S
奇
(7
)若项数为偶数2n,则S
2
n
=n(a
1
+a
2
n
)=n(a
n
+a
n
+
1
);S
偶-S
奇
=nd;=
S
偶
a
n
.
a
n
+
1
(8)若项数为奇数2n-1,
则S
2
n
-
1
=(2n-1)a
n
;S
奇
-S
偶
=a
n
;
S
奇
n
=. <
br>S
偶
n-1
?
a
m
≥0,
(9)在等差数列
{a
n
}中,若a
1
>0,d<0,则满足
?
的项数m使得
S
n
?
a
m
+
1
≤0
?
a
m
≤0,
取得最大值S
m
;若a
1
<0,d>0,则满足
?
的项数m使得S
n
取得最小值
a≥0
?
m
+
1
S
m
.
一、等差数列的基本运算
1.(2018·全国卷Ⅰ)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和
,若3S
3
=S
2
+S
4
,a
1
=2,<
br>则a
5
=( )
A.-12 B.-10
C.10 D.12
2.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
2
=4,S
4
=22,a
n
=28,则
n=( )
A.3
C.9
注:
(1)等差数列的通项公式及前n项
和公式共涉及五个量a
1
,a
n
,d,n,S
n
,
知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变
量代换的作用,而a
1
和
d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常
用方法.
3.(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a
n
}的前n项和为
S
n
,且a
1
+a
5
=10,S
4
=16
,则数列{a
n
}的公差为( )
A.1
C.3
B.2
D.4
B.7
D.10
4.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
3
·a
5
=12,a<
br>2
=0.若a
1
>0,则S
20
=( )
A.420
C.-420
B.340
D.-340
5.在等差数列{a
n
}中,已知a
5
+a
10
=12,则
3a
7
+a
9
=( )
A.12 B.18
C.24 D.30
二、等差数列的判定与证明
1
6
.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
且满足a
n
+2S<
br>n
·S
n
-
1
=0(n≥2),a
1
=2
.
?
1
?
(1)求证:
?
S
?
是等差数列.
?
n
?
(2)求a
n
的表达式.
注:
等差数列的判定与证明方法
方 法
定义法
解 读
对于任意自然数n(
n≥2),a
n
-a
n
-
1
(n≥2,n∈N
*<
br>)为
同一常数?{a
n
}是等差数列
(n≥3,n∈N
*
)成立?{a
n
}是等差数列
适合题型
解答题中证
明问题
等差中项法 2a
n
-1
=a
n
+a
n
-
2
通项公式法
a
n
=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立?
{a
n
}
是等差数列
S
n
=An
2
+Bn(A,B是常数)对任意的正整数
n都
选择、填空
题中的判定
问题
前n项和公验证
式法
成立?{a
n
}是等差数列
7.(2019·陕西质检)已知数列{an
}的前n项和S
n
=an
2
+bn(a,b∈R)且a
2
=3,
a
6
=11,则S
7
等于( )
A.13
C.35
B.49
D.63 1
a
n
-
1
(n≥2,n∈N
*
),设bn
=
1
(n∈N
*
).求
a
n
-1<
br>8.已知数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n
=2-<
br>证:数列{b
n
}是等差数列.
三、等差数列的性质与应用
(一)等差数列项的性质
9.已知在等差数列{a
n
}中,
a
5
+a
6
=4,则log
2
(2a
1
·
2a
2
·…·2a
10
)=( )
A.10
C.40
B.20
D.2+log
2
5
10.
(2019·福建模拟)设S
n
,T
n
分别是等差数列{a
n
},{b
n
}的前n项和,若a
5
S
9
=2b
5
,则
T
=( )
9
A.2
C.4
B.3
D.6
(二)等差数列前n项和的性质
11.设等差数列
{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
3
=9,S
6<
br>=36,则a
7
+a
8
+a
9
等于
( )
A.63 B.45
C.36
D.27
(三)等差数列前n项和的最值
12.在等差数列{a
n
}中,
a
1
=29,S
10
=S
20
,则数列{a
n}的前n项和S
n
的最大
值为( )
A.S
15
C.S
15
或S
16
注:
1.应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{a
n
}为等差数列
,m+n=p+q,则a
m
+a
n
=a
p
+a
q<
br>(m,n,p,q∈N
*
).因
此,若出现a
m
-
n
,a
m
,a
m
+
n
等项时,可以利用此性质将已知
条件转化为与a
m
(或
1
其他项)有关的条件;若求a
m
项
,可由a
m
=(a
m
-
n
+a
m
+
n
)转化为求a
m
-
n
,a
m
+
n2
或a
m
+
n
+a
m
-
n
的
值.
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用,如a
n
=a
m
+(n-
a
n
-a
m
n?a
1
+a<
br>n
?n?a
2
+a
n
-
1
?
m)d
,d=,S
2
n
-
1
=(2n-1)a
n
,Sn
==(n,m∈N
*
)等.
22
n-m
2.求等差数列前n项和S
n
最值的2种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式S
n
=an
2
+bn,通
过配方或
借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
?
a
m
≥0,
①当a
1
>0,d<0时,满足
?
的项数
m使得S
n
取得最大值为S
m
;
?
a
m
+
1
≤0
B.S
16
D.S
17
?
a
m
≤0,
②当a
1
<0,d>0时,满足
?<
br>的项数m使得S
n
取得最小值为S
m
.
?
a
m
+
1
≥0
13.在等差数列{a
n
}中,若a
3
=-5,a
5
=-9,则a
7
=( )
A.-12
C.12
B.-13
D.13
14.设等差数列{
a
n
}的前n项和为S
n
,且a
1
>0,a
3+a
10
>0,a
6
a
7
<0,则满足
Sn
>0的最大自然数n的值为( )
A.6
C.12
B.7
D.13
15.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知前6项和为36,最后6项的和
为180,S
n
=324(n>6),则数列
{a
n
}的项数为________.
巩固练习:
1.在数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n
+
1
=a
n<
br>+2,S
n
为{a
n
}的前n项和,则S
10
等于(
)
A.90
C.110
B.100
D.130
2.(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a
n
}的前n项和为
S
n
,a
3
=3,a
5
=5,
则S
7的值是( )
A.30
C.28
B.29
D.27
3.(2019·山西五校联考)在数列{a
n
}中,a
n
=28-
5n,S
n
为数列{a
n
}的前n项
和,当S
n
最
大时,n=( )
A.2
C.5
B.3
D.6
4.(2019·广东中山一中统测)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
a
n
=-2n+1,
?
S
n
?
则数列
?<
br>n
?
的前
??
11项和为( )
B.-50
D.-66
A.-45
C.-55
5.(2018·南昌模拟)已
知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
5
=50,S
10
=200,
则a
10
+a
11
的值为( )
A.20
C.60
B.40
D.80
6.(2019·广州高中综合测试)等差数列{a
n
}的各项均不为零,
其前n项和为
2
S
n
.若a
n
+
1
=a<
br>n
+
2
+a
n
,则S
2n
+
1=( )
A.4n+2
C.2n+1
B.4n
D.2n
24
7.已知等差数列5,4
7
,3
7
,…,则
前n项和S
n
=________.
8.已知{a
n
}为等差数列
,S
n
为其前n项和.若a
1
=6,a
3
+a
5<
br>=0,则S
6
=
________.
9.等差数列{a
n<
br>}中,已知a
5
>0,a
4
+a
7
<0,则{an
}的前n项和S
n
的最大值
为________.
1
10.在等差数列{a
n
}中,公差d=
2
,前100项的和S
1
00
=45,则a
1
+a
3
+a
5
+…+a
99
=________.
11.(2018·全国卷Ⅱ)记S
n
为等差
数列{a
n
}的前n项和,已知a
1
=-7,S
3
=
-15.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求S
n
,并求S
n
的最小值.
12.(2019·
山东五校联考)已知等差数列{a
n
}为递增数列,其前3项的和为-
3,前3项的积
为8.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
参考答案: <
br>1.[解析]设等差数列{a
n
}的公差为d,由3S
3
=S
2
+S
4
,得3(3a
1
+3d)=2a
1
+d<
br>+4a
1
+6d,即3a
1
+2d=0.将a
1
=2
代入上式,解得d=-3,故a
5
=a
1
+(5-1)d
=2+4×
(-3)= -10.
2.解:因为S
4
=a
1
+a2
+a
3
+a
4
=4a
2
+2d=22,d=
?22-4a
2
?
=3,a
1
=a
2
-d
2
=4-3=1,a
n
=a
1
+(n-1)d=1+3(n
-1)=3n-2,由3n-2=28,解得n=10.
3.解析:选B
设等差数列{a
n
}的公差为d,则由题意,得
?
a
1
+a
1
+4d=10,
?
?
4×3
4
a+
2
×d=16,
?
?
1
?
a
1
=1,
解得
?
故选B.
?
d=2,
4.解析:选D 设数列{a
n
}的公差为d
,则a
3
=a
2
+d=d,a
5
=a
2
+
3d=3d,
由a
3
·a
5
=12得d=±2,由a
1>0,a
2
=0,可知d<0,所以d=-2,所以a
1
=2,
20×19
故S
20
=20×2+
2
×
(-2)=-340,选D.
5.解析:选C
设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,
因为a
5
+a
10
=12,
所以2a
1
+13d=12,
所以3a
7
+a
9
=3(a
1
+6d)+a
1
+8d=4a
1
+26
d=2(2a
1
+13d)=2×12=24.
6.[解] (1)证明:因为a<
br>n
=S
n
-S
n
-
1
(n≥2),
又a
n
=-2S
n
·S
n
-
1
,所以S
n
-
1
-S
n
=2S
n
·S
n<
br>-
1
,S
n
≠0.
11
因此
S
-=2(n≥2).
n
S
n
-
1
?
1
?
11
故由等差数列的定义知
?
S
?
是以
S
=
a
=2为首项,2为公差的等差数列. ?
n
?
11
11
(2)由(1)知
S
=
S
+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,
n1
1
即S
n
=
2n
.
1
由于
当n≥2时,有a
n
=-2S
n
·S
n
-
1
=-,
2n?n-1?
1
又因为a
1
=
2
,不适合上式.
1
?
?
2
,n=1,
所以a
n
=
?
1
-
?
?
2n?n-1?
,n≥2.
7.解析:选B 由S
n
=an
2
+bn(a,b∈R)可知数列{
a
n
}是等差数列,所以S
7
7?a
1
+a
7?7?a
2
+a
6
?
===49.
22
11
8.证明:∵a
n
=2-(n≥2),∴a
n
+
1
=2-
a
.
a
n
-
1
n
11
∴b
n
+
1
-b
n
=-=
a
n
+
1
-1a
n
-1
a
n
-1
11
-==1,
1
a
n
-1a
n
-1<
br>2-
a
-1
n
1
∴{b
n
}是首项为b1
==1,公差为1的等差数列.
2-1
9.[解析]因为2a
1·2a
2
·…·2a
10
=2a
1
+a
2+…+a
10
=25(a
5
+a
6
)=2
5<
br>×
4
,
所以log
2
(2a
1
·2a2
·…·2a
10
)=log
2
2
5
×
4
=20.选B.
9?a
1
+a
9
?
2
a
5
S
9
a
5
10.解:由a
5
=2b
5
,得
b
=2,所以
T
===2,故选A.
59
9?b
1
+b
9
?
b
5
2
11.
[解析] 由{a
n
}是等差数列,
得S
3
,S
6
-S
3
,S
9
-S
6
为等差数列,
即2(S<
br>6
-S
3
)=S
3
+(S
9
-S
6
),
得到S
9
-S
6
=2S
6
-3S<
br>3
=45,故选B.
12.[解析]
∵a
1
=29,S
10
=S
20
,
10×920
×19
∴10a
1
+
2
d=20a
1
+
2
d,解得d=-2,
n?n-1?
∴S
n
=29n+
2<
br>×(-2)=-n
2
+30n=-(n-15)
2
+225.
∴当n=15时,S
n
取得最大值.
13.解析:选B 法一:设公差为d
,则2d=a
5
-a
3
=-9+5=-4,则d=-
2,故a
7
=a
3
+4d=-5+4×(-2)=-13,选B.
法二:由等差数
列的性质得a
7
=2a
5
-a
3
=2×(-9)-(-5)
=-13,选B.
14.解析:选C 因为a
1
>0,a
6
a7
<0,所以a
6
>0,a
7
<0,等差数列的公差小于
零,又a
3
+a
10
=a
1
+a
12
>
0,a
1
+a
13
=2a
7
<0,所以S
12>0,S
13
<0,所以满足S
n
>0
的最大自然数n的值为1
2.
15.解析:由题意知a
1
+a
2
+…+a
6
=36,①
a
n
+a
n
-
1
+a
n<
br>-
2
+…+a
n
-
5
=180,②
①+②
得(a
1
+a
n
)+(a
2
+a
n
-1
)+…+(a
6
+a
n
-
5
)=6(a1
+a
n
)=216,
n?a
1
+a
n?
∴a
1
+a
n
=36,又S
n
==324,
∴18n=324,∴n=18.
2
练习:
1.解析:选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列,S
10
=10×2
10×9
+
2
×2=110.故选C.
2.解析:选C 由题意,设等差数列的公差为d,则d=
7?a
1
+a7
?7×2a
4
a
3
+d=4,所以S
7
==
2
=7×4=28.故选C.
2
3.解析:选C
∵a
n
=28-5n,∴数列{a
n
}为递减数列.
28
令a
n
=28-5n≥0,则n≤
5
,又n∈N
*
,∴n≤
5.
∵S
n
为数列{a
n
}的前n项和,∴当n=5时,S
n
最大.故选C.
4.解析:选D ∵a
n
=-2n+1,∴数列{a<
br>n
}是以-1为首项,-2为公差的
?
S
n
?
n[-
1+?-2n+1?]
S
n
-n
2
2
等差数列,
∴S
n
==-n,∴
n
=
n
=-n,∴数列
?n
?
2
??
?
S
n
?
是以-1为首项
,-1为公差的等差数列,∴数列
?
n
?
的前11项和为11×(-1)??
a
5
-a
3
=1,故a
4
=
5-
3
11×10
+
2
×(-1)=-66,故选D.
5.解析:选D
设等差数列{a
n
}的公差为d,
5×4
?
?
S
5
=5a
1
+
2
d=50,
由已知得
?
1
0×9
?
?
S
10
=10a
1
+
2
d=200,
a+2d=10,
?
?
1
即
?
9<
br>a+
1
?
2
d=20,
?
?
a
1
=2,
解得
?
?
d=4.
∴a
10
+a
11
=2a<
br>1
+19d=80.故选D.
2
6.解析:选A 因为{a
n
}为等差数列,所以a
n
+
2
+a
n
=2a
n<
br>+
1
,又a
n
+
1
=a
n
+
2
2
+a
n
,所以a
n
+
1
=2an
+
1
.因为数列{a
n
}的各项均不为零,所以a
n
+
1
=2,所以S
2n
+
1
?a
1
+a
2n
+
1
??2n+1?2×a
n
+
1×?2n+1?
===4n+2.故选A.
22
n?n-1?
557.解析:由题知公差d=-
7
,所以S
n
=na
1
+
2
d=
14
(15n-n
2
).
8.解析:∵a
3
+a
5
=2a
4
,∴a
4
=0.
∵a
1
=6,a
4
=a
1
+3d,∴d=-2.
6×?6-1?
∴S
6
=6a
1
+d=6×6-30=6.
2
?
a
4
+a
7
=a
5
+a6
<0,
?
a
5
>0,
9.解析:∵
?
∴
?
?
a
5
>0,
?
a
6<
br><0,
∴S
n
的最大值为S
5
.
1009
10.解析:因为S
100
=
2
(a
1
+a
100
)=45,所以a
1
+a
100
=
10
,
2
a
1
+a
99
=a
1
+a
100-d=
5
,
50502
则a
1
+a
3
+a
5
+…+a
99
=
2
(a
1
+a<
br>99
)=
2
×
5
=10.
11.解:(1)设{a
n
}的公差为d,
由题意得3a
1
+3d=-15.
又a
1
=-7,所以d=2.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-9.
n?a1
+a
n
?
22
(2)由(1)得S
n
==n
-8n=(n-4)-16,
2
所以当n=4时,S
n
取得最小值,最小值为-16.
12.解:(1)设等差数列{a
n
}的公差为d,d>0,
∵等差数列{a
n
}的前3项的和为-3,前3项的积为8,
?
3a
1
+3d=-3,
∴
?
?
a
1
?a
1
+d??a
1
+2d?=8,
?a
1
=2,
?
a
1
=-4,
∴
?或
?
d=-3d=3.
??
∵d>0,∴a
1
=-4,d=3,∴a
n
=3n-7.
(2)∵a
n
=3n-7,∴a
1
=3-7=-4,
n?-4+3n-7?n?3n-11?
∴S
n
==.
22