高中数学基础不好买什么区别-全国高中数学联赛贵州赛区试题
高一数学数列知识总结
知 识 网 络
二、知识梳理
定义
递推
公式
通项
公式
前
n
项和
中项
公式
1
2
等差数列
a
n?1
?a
n
?d
<
br>a
n
?a
n?1
?d
;
a
n
?a<
br>m?n
?md
a
n
?a
1
?(n?1)d
等比数列
a
n?1
?q(q?0)
a
n
a
n?a
n?1
q
;
a
n
?a
m
q
n?m
a
n
?a
1
q
n?1
(
a
1
,q?0
)
?
na
1
(q?1)
?
S
n
?
?
a
1
1?q
n
a
1
?a
n
q
?(q?2)
?
1?q
?
1?q
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)
2
n(n?1)
d
2
??
S
n
?na
1
?
A=
a?b
2
G
2
?ab
推广:
a
n
?a
n?m
?a
n?m
若m+n=p+q,则
a
m
a
n
?a
p
aq
。
若
{k
n
}
成等比数列 (其中
kn
?N
),
则
{a
k
n
}
成等比数列
。
2
推广:2
a
n
=
a
n?m
?an?m
若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
若
{k
n
}
成等差数列(其中
k
n
?N
)
则
{a
k
n
}
也为A.P。
3
4
性
质
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法:
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
<
br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法:
①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)
2
②
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
,
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
)
a
m
?0
的项数m使三、在等差数列{
a
n
}中,有关S
n
的
最值问题:(1)当
a
1
>0,d<0时,满足
?
?
?a
m?1
?0
?
a
m
?0
得
s
m
取最大值. (2)当
a
1
<0,d>0时,满足
?
的
项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值
a?0
?
m?1<
br>
.
s
n
,s
2n
?s
n
,s3n
?s
2n
成等差数列。
s
n
,s
2n
?s
n
,s
3n
?s
2n
成等比数列。
a?a
1
a
m
?a
n
d?
n
?(m?n)
n?1m?n
q
n?1
?
a
n
a
n?m
,
q?
n
(m?n)
a
1
a
m
的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
四.数列通项的常用方法:
(1)利用观察法求数列的通项.
S(
1
n?1)
(2)利用公式
法求数列的通项:①
a
n
?
?
?
?
S
n<
br>?S
n?1
(n?2)
;②
?
a
n
?
等差、等比数列
?
a
n
?
公式.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项:
①
a
n?1
?a
n
?f(n)
;②
a
n?1
?a
n
f(n
).
(4)造等差、等比数列求通项:
①
a
n?1
?pa
n
?q
;②
a
n?1
?pa
n
?q
n<
br>;③
a
n?1
?pa
n
?f(n)
;④
a<
br>n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
.
第一节通项公式常用方法
题型1 利用公式法求通项
例1:1.已知{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+2,而且a
1
=1。求
a
n
。
2.已知
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和,求下列数列
?
a
n
?
的通项公式:
⑴
S
n
?2n
2
?3n?1
;
⑵
S
n
?2
n
?1
.
总结:任何一个数列,它的
前
n
项和
S
n
与通项
a
n
都存在关系:<
br>a
n
?
?
合
a
n
,则把它们统一起来,否则
就用分段函数表示.
题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例2:⑴已知数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2,a
n
?
a
n?1
?2n?1(n?2)
,求数列
?
a
n
?
的通项公式;
⑵已知
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和,
a
1
?1
,
S<
br>n
?n
2
?a
n
,求数列
?
a
n<
br>?
的通项公式.
总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“
a
n?1<
br>?a
n
?f(n)
”; 迭乘法适用于求递推关系形如
“
a<
br>n?1
?a
n
?f(n)
“;⑵迭加法、迭乘法公式:
①
a
n
?(a
n
?a
n?1
)?(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n?2
?a
n?3
)?
?
?(a
2
?a
1
)?a
1
② <
br>a
n
?
?
S
1
(n?1)
若
a1
适
?
S
n
?S
n?1
(n?2)
a
n
a
n?1
a
n?2
a
a
???
?
?
3
?
2
?a
1
.
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
2
a
1
题型
3 构造等比数列求通项
例3已知数列
?
a
n
?
中,a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
,求数列<
br>?
a
n
?
的通项公式.
总结:递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
”
适用于待定系数法或特征根法:
①令
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
;
② 在
a
n?1
?pa
n
?q
中令
a
n?1
?a
n
?x?x?
q
,
?
a
n?1
?x?p(a
n
?x)
;
1?p
③由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a
n
?pa
n?1
?q
,
?
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?
1
)
.
例4已知数列
?
a
n
?
中,a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3
n
,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
总结:递推关系形如“
a
n?1
?pa
n
?q
n<
br>”通过适当变形可转化为:
“
a
n?1
?pa
n
?
q
”或“
a
n?1
?a
n
?f(n)
n
求
解.
例5已知数列
?
a
n
?
中,
a
1<
br>?1,a
2
?2,a
n?2
?3a
n?1
?2an
,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
,通过适当变形转化为可求和的数列.
总结:递推关系形如“
a
n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
”
强化巩固
练习
1、已知
S
n
为数列
?
a
n
?的前
n
项和,
S
n
?3a
n
?2(n?N<
br>?
,n?2)
,求数列
?
a
n
?
的通项公式
.
2、已知数列
?
a
n
?
中,
a
1?2,(n?2)a
n?1
?(n?1)a
n
?0(n?N
?<
br>)
,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
小结:
数列通项的常用方法:⑴利用观察法求数列的通项;⑵利用公式法求数列的通项;⑶
应用迭加(迭乘、迭
代)法求数列的通项:①
a
n?1
?a
n
?f(n)
;②<
br>a
n?1
?a
n
f(n).
(4)构
造等差、等比数
列求通项:
④
a
n?2
?p?a
n?1
?q?a
n
.
3、数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n
?n(a
n?1
?a
n
)
,则
数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?
。
;②
a
n?1
?pa
n
?q
n
;③
a
n?1
?pa
n
?f(n)
;
a?pa?q
n?1n
①
4、数列
?
a
n
?
中,
a
n?1
?3a
n
?2(n?N
?
)
,且
a
10
?8
,则
a
4
?
。
22
5、设
?
a
n
?是首项为1的正项数列,且
(n?1)a
n?1
?na
n
?a<
br>n?1
a
n
?0(n?N
?
)
,
则数列<
br>?
a
n
?
的通项
a
n
?
.
6、数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,a
n?1
?
2a
n
(n?N
?
)
,则
?
a
n
?
的通项
a
n
?
.
2?a
n
7、设数列
?
a
n
?
的前<
br>n
项和为
S
n
,已知
a
1
?a,a
n?1
?S
n
?3
n
(n?N
?
)
,设<
br>b
n
?S
n
?3
n
,求
数列
?b
n
?
的通项公式.
第二节数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式:
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n
?1)
?na
1
?d
22
(q?1)
?<
br>na
1
?
n
2、等比数列求和公式:
S
n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q
?(q?1)
?
1?q
?
1?q
n
11
3、
S
n
?
?
k?n(n?1)
4、
S
n
?
?
k
2
?n(n?1)(2n?1)<
br>
26
k?1k?1
n
1
S
n
?
?
k
3
?[n(n?1)]
2
2
k?1
巩
固练习:设S
n
=1+2+3+…+n,n∈N,求
f(n)?
*
n
S
n
的最大值.
(n?32)S
n?1
?
c?
二.裂项相消法:适用于
??
其中{
a
n
}是各项
不为0的等差数列,c为常数;部分无理数
aa
?
nn?1
?
列、含
阶乘的数列等。
例2 求数列
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分
解
,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
(1)
a
n
?
1
的前n项和
n(n?1)
111
??
n(n?1)nn?1
2
(2n)111
(2)
a<
br>n
??1?(?)
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
1111(3)
a
n
??[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
??
巩固练习:1.在数列 的前n项
和为
1
n(n?1)
1
n
1
n?1
s
n<
br>,则
s
99
?
2.数列的通项公式是
a
n
?
1
n?n?1
,若前n项和为10,则项数为
6666,,,
??
,
,??
1?22?33?4n(n?1)
3.求数
列前n项和
三.错位相减法:可以求形如
的数列的和,其中
为等差数列,
为等比数列.
例1:求和:
.
例2:数列1,3x,5x
2
,…,(2n-1)x
n-1
前n项的和.
小结:错位相减法类型题均为:
等差数列a
n
等比数列b
连续相加。
n
四.常用结论
1): 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
2)
1+3+5+...+(2n-1) =
n
2
2
3)
1<
br>3
?2
3
???n
3
?
?
?
1?
2
n(n?1)
?
?
?
4)
1
2
?2
2
?3
2
???n
2
?
1
6
n(n?1)(2n?1)
5)
1
n(n?1)
?
1
n
?
1
n?1
1
n(n?2)
?
1
2
(
1
n
?
1
n?2
)
单元练习
一、选择题:
1.数列1,3,6,10,……的一个通项公式是( )
A.n-n+1
2
B.
n(n?1)
2
C.n(n-1)
D.
n(n?1)
2
2.已知数列的通项公式为a
n
=n(n-1),则下述结论正确的是
( )
A.420是这个数列的第20项 B.420是这个数列的第21项
C.420是这个数列的第22项 D.420不是这个数列中的项
3.在数列{
a
n
}中,已知a
1
=1,a
2
=5, a
n+2
=a
n+1
-a
n
,则a
2000
= (
)
A.4 B.5 C.-4 D.-5
2
4.设数列{
a
n
}的首项为1,对所有的n≥2,此数列的前n项之积为n,则这个数列的第3
项
与第5项的和是 ( )
A.
25
9
B.
21
25
C.
61
16
D.
256
275
4、设
{a
n
}
是等差数列,若
a
2
?3,a
7
?13
,则数列
{a
n
}
前8项的和为( )
A.128
B.80 C.64 D.56
5记等差数列的前
n
项和为
S
n
,若
S
2
?4,S
4
?20<
br>,则该数列的公差
d?
( )
A、2 B、3
C、6 D、7
6设等比数列
{a
n
}
的公比
q?2
,前n项和为
S
n
,则
A.
2
B.
4
S
4
?
( )
a
2
C.
15
2
D.
17
2
7若等差数列
{a
n}
的前5项和
S
5
?25
,且
a
2
?
3
,则
a
7
?
( )
(A)12
(B)13 (C)14 (D)15
8知
?
a
n
?
是等比数列,
a
2
?2,a
5
?
1,则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?
?a
n
a
n?1
=( )
4
3232
?n?n?n?n
(A)16(
1?4
)
(B)16(
1?2
) (C)(
1?4
)
(D)(
1?2
)
33
9常数数列
{a
n
}是等差数列,且
{a
n
}
的第5、10、20项成等比数列,则此等比数
列的公比为
( ) A.
11
B.5
C.2 D.
52
10等差数列
{a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
,若
S
3
?9
,
S
6
?36
,则
a
7
?a
8
?a
9
?
( )
A.63 B.45 C.36
D.27
二、填空题
11.已知
?
a
n
?
为等
差数列,
a
3
?a
8
?22
,
a
6
?7
,则
a
5
?
____________
12.设数列
?
a
n
?
中,
a
1
?2
,a
n?1
?a
n
?n?1
,则通项
a
n
?
___________。
13.设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和,
a
12
??8,
S
9
??9
,则
S
16
?
三、解答题
1、设等差数列{a
n
}满足a
3
=5,a<
br>10
=-9.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求{
a
n
}的前n项和S
n
及使得S
n
最大的序号n的值
a
n
+a
n
+
1
2、已知数
列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=2,a
n
+
2
=,n∈N
*
.
2
(1)令b
n
=a
n
+
1
-a
n
,证明:{b
n
}是等
比数列;
(2)求{a
n
}的通项公式.
3、已知数列{x
n
}的首项x
1
=3,通项x
n
=2<
br>n
p+nq(n∈N
*
,p,q为常数),且x
1
,x
4
,
x
5
成等差数列.求:
(1)p,q的值;
(2)数列{x
n
}前n项和S
n
的公式.
4、已知等差数列{a
n
}满足a
2
=0,a
6
+a
8
=-10.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
?
?
a
n
?
?
(2)求数列
?
2
n
-
1
?
的前
??
??
n项和
111
5、已知数列{a
n
}是首项为a
1<
br>=
4
,公比q=
4
的等比数列,设b
n
+2=3lo
g
4
a
n
(n∈N
*
),
数列{c
n}满足c
n
=a
n
·b
n
.
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)求数列{c
n
}的前n项和S
n
.